Fonctions exponentielles

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1 Fonctions xponntills T ST ID I - Fonction xponntill d bas ) Définition On rappll l tablau d variation d la fonction logarithm népérin, t sa courb rprésntativ x ln On définit ainsi l nombr comm l uniqu solution d l équation ln(x) =. Comm ln(x) vari d à + lorqu ]0;+ [, il xist d mêm toujours un uniqu solution à équation ln(x) = a pour tout a > 0. Définition Pour tout nombr a, on not xp(a) l nombr rél qui st l uniqu solution d l équation ln(x) = a. Corollair xp(0) = car ln() = 0 xp() = car ln() = Plus généralmnt: xp(x) = y x = ln(y) : ls fonctions xp t ln sont ds fonctions réciproqus. On sait qu, pour tout ntir rlatif n, ln( n ) = n, t donc qu xp(n) = n. On généralis ctt notation à tous ls nombrs réls : xp(x) = : la fonction xponntill associ à un nombr rél x la puissanc du nombr. On parl pour ctt raison d fonction xponntill d bas. ) Proriétés algébriqus Comm xp(x) = st un puissanc, on rtrouv aussi ls propriétés ds puissancs pour l xponntill : pour tout rél a t tous ntirs n t n on a a n a n = a n+n, soit pour l xponntill : Propriété Pour tous réls a t b, xp(a+b) = xp(a) xp(b). Démonstration: Soit a t b dux réls, on a : ln(xp(a+b)) = a+b d un part, t d autr part a+b = ln(xp(a))+ln(xp(b)). Or ln(xp(a))+ln(xp(b)) = ln(xp(a) xp(b), t donc, on a a+b = ln(xp(a+b)) = ln(xp(a) xp(b)), d où l résultat. Y. Morl - xymaths.fr.fr/lyc/tsti/ Fonctions xponntills - TSTID - /5

2 Propriété xp(x) = ln( a ) = a ln(b) = b Pour tous réls x t y > 0, y = ln(y) = x Pour tout rélx, > 0 a+b a b a b = a b a = a ( a ) b = ab Exrcic Simplifir ls xprssions : a) ln() b) ln(3) c) ln(5) d) ln(6) ) ln( 3 ) f) ln( 4 ) g) ln( ) h) ln i) 3 5 j) 5 3 k) ( 3 ) l) 7 m) ( ) 3 x+ n) x+3 + p) 3x+ +3 q) ( x+3 ) Exrcic Résoudr dans IR ls équations suivants : a) = 3 b) + = 0 c) +3 = d) ln(x) = 6 ) ln(x) = f) ln(x+) = 5 3) Étud d la fonction xponntill Ls fonctions logarithm népérin t xponntill sont réciproqus l un d l autr : pour tout rél x, ln(xp(x)) = x. Soit f la fonction défini par f(x) = ln(xp(x)), donc f(x) = x. f st un fonction composé, t donc, f (x) = xp (x)ln (xp(x)) = xp (x) xp(x). D autr part, comm f(x) = x, on a aussi f (x) =. En résumé, on a donc f (x) = xp (x) xp(x) =, c qui montr qu xp (x) = xp(x). Propriété La fonction xponntill st dérivabl sur IR t st égal à sa dérivé : pour tout rél x, xp (x) = xp(x). Corollair Pour tout fonction u dérivabl, on a ( u ) = u xp(u). Comm pour tout rél x, > 0, on n déduit qu la fonction xponntill st strictmnt croissant sur IR. En particulir, pour tous réls a t b : a = b a = b a < b a < b a > b a > b Exrcic 3 Calculr la fonction dérivé ds fonctions suivants : a)f(x) = 3 +x b)f(x) = x c)f(x) = +3 f)f(x) = ( +x ) g)f(x) = 3 cos(x) h)f(x) = d)f(x) = x + i)f(x) = 3x+ )f(x) = (3x +x) j)f(x) = 5 x+3 k)f(x) = x 3x l)f(x) = m)f(x) = + n)f(x) = cos(x) 3x p)f(x) = x + x Exrcic 4 Détrminr ls primitivs ds fonctions suivants : a)f(x) = b)f(x) = x++ c)f(x) = d)f(x) = x )f(x) = 5 3x+ f)f(x) = 3 0,0x g)f(x) = x + x h)f(x) = x Y. Morl - xymaths.fr.fr/lyc/tsti/ Fonctions xponntills - TSTID - /5

3 Exrcic 5 Détrminr dux réls a t b tls qu la fonction F : x (ax+b) soit un primitiv d la fonction f : x (x+). Exrcic 6 Résoudr : a) x+ = 3 b) 3x+ = 0 c) + = x d) 3x = x+5 ) +5x 5 = f) 6x = 5 g) 3x > h) 5x+ 5x+ > 0 i) 3x+6 > 6 3x+6 Exrcic 7 Étudir ls variations d la fonction f défini sur IR par f(x) = 3x 6x+5. 4) Courb rprésntativ t limits Soit M(x;y) un point d la courb rprésntativ d la fonction xponntill, donc tl qu y =. On a alors qu ln(y) = x, t donc l point M (y;x) st un point d la courb rprésntativ du logarithm népérin. Comm ls points M(x;) t M (x ;y ) par la symétri d ax la droity = x, ls courbs rprésntativs du logarithm népérin t d l xponntill sont symétriqus l un d l autr par rapport à ctt droit. y = y = ln(x) y = x On déduit ainsi ds limits d la fonction logarithm népérin clls d l xponntill : Propriété lim x = + t lim x x = 0. La droit d équation y = 0, c st-à-dir l ax ds abscisss, st asymptot à la courb rprésntativ d la fonction xponntill n. x + xp (x) = xp(x) + + xp 0 L graphiqu précédnt prmt d plus d comparr l comportmnt n + ds fonctions x ln(x), x x t x. Y. Morl - xymaths.fr.fr/lyc/tsti/ Fonctions xponntills - TSTID - 3/5

4 On rvoit qu ln(x) st négligabl dvant x lorsqu tnd vrs 0 t + : limxln(x) = 0 t x 0 ln(x) lim = 0. x D mêm, st prépondérant dvant x n t +. Propriété lim x xx = 0, t lim x = +. Plus généralmnt, pour tout ntir n, lim x xn = 0, t lim x n = +. Exrcic 8 Détrminr ls limits suivants, t intrprétr graphiqumnt l résultat, n trm d asymptot, lorsqu cla st possibl : a) lim x + +3x b) lim x x + +5x 3 ) lim f) lim +3 x x c) lim 0 0,x g) lim 5 x d) lim x x + h) lim x x +3 3x Exrcic 9 On considèr la fonction f défini sur IR par l xprssion f(x) = ( x x+) x +3.. Détrminr la fonction dérivé f d f t montrr qu f (x) = (x 4) x. En déduir l sign d f (x) puis l sns d variation d f.. Détrminr ls limits d f n t On considèr la fonction F défini sur IR par F(x) = (x +4x+) x +3x. Vérifir qu F st un primitiv sur IR d f. Exrcic 0 Soit f la fonction défini sur IR par f(x) = x t C sa courb rprésntativ.. a) Détrminr lim f(x). x ( x b) Vérifir qu, pour tout rél x non nul, f(x) = x x ). En déduir lim x f(x).. a) Détrminr la fonction dérivé f d f. b) Résoudr dan IR l inéquation 0. En déduir l sign d f (x). ( c) Calculr la valur xact d f ln ). d) Drssr l tablau d variation complt d f. II - Fonction xponntill d bas a ) Définition Soit un nombr rél a > 0. Pour tout ntir rlatif n, on a vu qu ln(a n ) = nln(a), donc xp(ln(a n )) = a n = xp(nln(a)). Or, l xprssion xp(n ln(a)) xist pour tout nombr rél n, pas sulmnt ntir rlatif. On put ainsi étndr la définition, t la notation, ds puissancs : Définition Pour tout rél a > 0 t tout rél b, a b = bln(a). Exmpl : 3,6 =,6ln(3) 3 = ln() π = πln( π ) = ln ou aussi, ( ) π π = = π Y. Morl - xymaths.fr.fr/lyc/tsti/ Fonctions xponntills - TSTID - 4/5

5 Définition Pour a > 0, on appll fonction xponntill d bas a, la fonction x a x = ln(a). Rmarqus : La fonction xponntill, réciproqu du logarithm népérin, st la fonction xponntill d bas : = ln(). La fonction xponntill d bas 0 st la fonction réciproqu du logarithm décimal, ou logarithm d bas 0 : 0 x = ln(0). ) Sns d variation Exrcic Soit a > 0, t f la fonction xponntill d bas a, donc défini par f(x) = a x.. Détrminr la fonction dérivé f d f.. En déduir l sign d f (x), puis l sns d variation d f, slon la valur d a. Y. Morl - xymaths.fr.fr/lyc/tsti/ Fonctions xponntills - TSTID - 5/5