. l équation différentielle y = k. y notée aussi = k. y, exprime une proportionnalité entre la fonction et sa dérivée. Elle permet

Transcription

1 Chapitr : La fonction ponntill I. Equation liant un fonction t sa dérivé Définition : on dit qu f fonction dérivabl sur un intrvall I, st solution d l équation différntill f = k. f si t sulmnt si pour tout d I, f () = k. f (). Résoudr l équation différntill, c st détrminr touts ls fonctions solutions d ctt équation. E : la fonction null st un solution sur R d l équation différntill y = y. Rmarqu : d y. l équation différntill y = k. y noté aussi = k. y, prim un proportionnalité ntr la fonction t sa dérivé. Ell prmt d d modélisr d nombru phénomèns ( n physiqu, ). Propriétés : il ist un fonction f dérivabl sur R, solution d l équation différntill y = y tll qu y (0) = 1 qu l on appll la fonction ponntill. On not provisoirmnt la fonction ponntill p(). p (0) = 1 la fonction ponntill n s annul pas sur R. Pruv : (istnc admis ). Soit la fonction Φ défini sur R par Φ() = p().p(-) Φ st dérivabl sur R t Φ () = p ().p(-) p().p (-) or p = p donc Φ () = 0 la fonction Φ st constant sur R t égal à 1 car p(0) = 1. Puisqu p().p(-) = 1, la fonction p n s annul jamais.. Supposons qu il ist un autr fonction g dérivabl sur R tll qu g = g t g(0) = 1 ( f n s annul pas sur R ) la fonction g g g ' f g f ' g st dérivabl sur R, d plus = = 0. La fonction f f f f D où g = C f, ainsi g (0) = C f (0) ; 1 = C 1 donc C = 1 t g = f. La fonction f = p st donc uniqu. ' st donc constant. Propriété : soit k un rél donné. Ls solutions d l équation différntill y = k. y sont ls fonctions définis sur R par f () = C. p( k. ) où C st un constant réll. Pruv :. la fonction f : C. p( k. ), C R st dérivabl sur R t pour tout d R vérifi f () = k.c. p( k. ) = k. f (). donc f st solution sur R d l équation différntill y = k. y.. soit g un autr fonction solution sur R d y = k. y donc pour tout d R, g () = k.g(). Comm la fonction p n s annul pas, on put définir sur R la fonction u : g() p( k. ) g ' () k. g() ; u st dérivabl sur R t on a après simplification u () = p( k. ) or g () = k.g() donc, pour tout d R, u () = 0. u st un fonction constant sur R, c st-à-dir soit g() = C. p( k. ). g() st constant, p( k. )

2 II. La notation Propriété : pour tous nombrs réls a t b, p( a + b ) = p(a) p(b) La fonction ponntill transform ls somms n produits Pruv : soit la fonction g défini sur R par g() = p( + b ) où b st un nombr rél. g st dérivabl sur R t on a g () = p ( + b ) =p ( + b ) = g() donc g() = C. p(). Pour tout d R, p( + b ) = C. p() t p( + b ) = p(). p(b) g vérifi l équation différntill y = y t pour = 0, p( b ) = C. p(0) = C. 1 = C Notation : on not = p(1) ; on a,718 Pour tout élémnt d R, p() = Pruv : tout d abord, on montr qu pour tout n N, on a la propriété P n : «pour tout rél a, p( na ) = ( p(a) ) n». la propriété st vrai pour n = 0, car p( 0 ) = 1 ; P 0 st vrai. supposons qu pour un ntir k, on ait p( ka ) = ( p(a) ) k alors p( (k+1) a ) = p( (ka + a) ) = p( ka ) p( a ) = ( p(a) ) k p( a ) donc p( (k+1) a ) = ( p(a) ) k+1. la propriété st vérifié pour n = 0 ; si on la suppos vrai pour n = k ( P k vrai) alors ll st vrai pour n = k +1 ( P k+1 vrai) t donc par récurrnc, la propriété st vrai pour tout ntir n 0. Par définition p( 1 ) = ; d plus p(1) p(-1) = p (1-1) = 1 donc p(-1) = 1 = -1 - si st un ntir positif, on put écrir = n a, avc a =1 t n ntir positif p( ) = p( n 1) = ( p(1) ) n soit p() = - si st un ntir négatif, on put écrir = n a, avc a =-1 t n ntir positif p( ) = p( n -1) = ( p(-1) ) n or (p(-1) ) n = ( -1 ) n = -n soit p() = donc pour tout Z, p() =. on admt qu l on put étndr ctt propriété à R t on convint d notr l nombr p() pour tout élémnt d R. Rmarqu : ainsi a un sns, c st l imag d par la fonction On a aussi 0 = 1 1 = -1 = 1 1 = Conséquncs : a Pruv : pour tous nombrs réls a t b : a+b = a. b -a = 1 a a b = pour a R t r Q : ra a = ( ) pour a R : a > 0 a r b. a b = a -b = a 1 b = b. a a a > 0 n fft a = + E : a = a a = a d où a > 0.

3 III. Etud d la fonction D après sa définition : solution d l équation différntill y = a y t tll qu f (0) = 1, la fonction st dérivabl sur R t égal à sa dérivé. Conséquncs :. st strictmnt croissant sur R.. 1 lim = 1. 0 Pruv :. soit f () = f () = or > 0 donc f st strictmnt croissant.. la fonction st dérivabl n 0 donc son tau d variation 0 0 a pour limit n 0 l nombr dérivé f (0) = 1. Limits :. lim = + +. lim = 0 Pruv :. pour étudir la limit n + on montr d abord qu pour tout, Soit la fonction f défini sur R par f () =. f st dérivabl sur R t f () = 1. Comm p st croissant sur R t 0 = 1 on obtint l tablau d variations d f. pour étudir la limit n - on pos = - t on a = t pour tout f () 0, on a t par comparaison sur ls limits - lim = lim lim = = 1 lim + = + Conséquncs :. pour tout nombr rél : > 0.. pour tous nombrs réls t y : = y équivaut à = y ; > y équivaut à > y. E : 3 = +1 équivaut à 3 = + 1 ; 1 équivaut à 0 ; 1 équivaut à 0.

4 Propriété : soit u un fonction défini sur un intrvall I. Si u st dérivabl sur I, alors la fonction u() st dérivabl sur I t sa dérivé st u (). u(). Pruv : d après l théorèm d la dérivé d un fonction composé. E : la fonction sin st dérivabl sur R d dérivé cos. sin. «ls limits fondamntals» :. lim + = +. lim = 0 Pruv :. on a vu qu pour tout, donc pour tout, t pour tout 0, Pour > 0, t par comparaison on obtint. lim = on a =, n posant = - on a = or lim = + donc lim = 0 t par suit soit 4 lim = 0 Conséquncs : pour tout ntir n strictmnt positif :. E : soit f :, lim f () = soit g : 1000, lim g() = 0 - lim n + = + n. lim = 0 Rmarqu : pour ls limits n + t n - on rtindra qu «p l mport sur». IV. L équation différntill y = a y + b Ls solutions d l équation différntill y = a. y sont ls fonctions définis sur R par f () = k. a où k st un constant réll.

5 Propriété : soit a t b ds nombrs réls. Ls fonctions solutions d l équation différntill y = a y + b sont définis sur R par :. b + k si a = 0. k. a b a si a 0 où k st un constant réll. Soit ( 0 ; y 0 ) un coupl d nombr réls ; l équation différntill y = a y + b admt un solution uniqu sur R vérifiant y 0 = f ( 0 ). Pruv :