x 1/3 1/2 1 2 e 4 10 = ) Lycée Berthelot L.Gulli Page 1 sur 8 Chapitre 6 Fonction exponentielle

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1 Chapitr 6 : Fonction ponntill 1 Définition d la fonction ponntill : 1.1 Activité préparatoir à la définition d la fonction ponntill Symétri par rapport à la droit d équation y = Tracr un rpèr orthonormal (unité 1cm) Placr ls points A(1 ; -5), B(5 ; -1), C(0 ; -2), D(-5 ; 1) ; F(-1 ;5), G(2 ; 1) t H(-2 ; 0). Tracr la droit (d) d équation y= Tracr ls symétriqus d A, B, C t D par rapport à la droit (d)? Qu constat-t-on pour lurs coordonnés? M( ;y) st un point qulconqu, Qulls sont ls coordonnés d M symétriqu d M par rapport à (d)? Complétr l tablau suivant : 1/3 1/ ln( ) à l aid d cs points tracr la courb C rpésntativ d y = ln( ) Tracr la courb C imag d C par la symétri d a (d) d équation y= ( C ) st la courb d la fonction applé fonction ponntill t noté p. Par lctur graphiqu, conjcturr : L nsmbl d définition d p ; L sign d p() Ls limits d p au borns d son nsmbl d définition 1.2Définition : La fonction ponntill, noté p, st la fonction défini sur R par ] 0; + [ R a y = p( ) où p( ) 1.3 Conséquncs d la définition y = signifi qu ln( y ) = Notation l nombr p( ) st aussi noté Propriétés fondamntals: pour tout R, t pour tout y > 0 : y = p( ) = ln( y ) pour tout R, pour tout y > 0 0 =1 ; 1 = ln(p( )) = (ou ln( ) = ) ln( ) p(ln( y )) = y (ou y y = ) 2 Dérivé d la fonction ponntill : 2.1 Activité préparatoir à la dérivé d la fonction ponntill En utilisant la calculatric, Tabulr dans Y1 la fonction ^ X, t dans Y2 la fonction Nbrdérivé(Y1,X,X), fair affichr ls tabls d valurs pour X=0,1,2,,10 Qu constat-t-on? 2.2 Théorèm. (admis) La fonction ( ) p( ) f '( ) = 2.3 Variations d f ( ) = p( ) La fonction f ( ) = p( ) st strictmnt croissant sur R f = st dérivabl sur R t pour tout R, p( ) 2.3 Limits d l ponntill. Nous admttrons ls résultats suivants : = 0 lim ; lim = Tablau d variations d f ( ) = p( ) + Lycé Brthlot L.Gulli Pag 1 sur 8 Chapitr 6 Fonction ponntill

2 f ' ( ) = f ( ) = Rprésntation graphiqu : La fonction ponntill st la fonction réciproqu d la fonction logarithm népérin, cla s traduit graphiqumnt par l fait qu ls courbs d cs du fonctions sont symétriqus l un d l autr par rapport à la droit d équation y =. 1 2, 7 y y=p() L a ds, d équation y=0 st asymptot A la courb n y=+1 La tangnt à la courb au point d absciss =0 a pour équation y=+1 3. Propriétés algébriqus d la fonction ponntill. 3.1 Activité préparatoir. Eponntill d un somm, d un opposé, d un différnc. Dans l tablau ci- dssous a 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0-0,5-1 -1,5-2 b 2 1,5 1 0,5 0-0,5-1 -1,5-2 -2,5-3 Rcopir ls valurs d a dans la list L1 t clls d b dans L2. a) Ecrir rspctivmnt n L3, L4, p(a) p(b) ; p( a + b) ; comparr, conjcturr. b) n prnant b = a comparr 1/p(a) ; p( -a). En utilisant ls résultats a) t b) qu put-on conjcturr pour p( a - b)? 3.2 Propriétés algébriqus a b a b Eponntill d un somm : Pour tout rél a t tout rél b : + = n a1 a2 Généralisation : Pour tout rél a, a,..., a t tout ntir n 2, = Cas particulir : : a Pour tout rél t pour tout ntir rlatif : ( ) n a n = a a a an Empls : + ln(4) = ln(4) =4 ; 7 2 = ln(7) 2 = 2+ln(7) ; 5+3 = 5 3 ;( ) 2 = Eponntill d un différnc : a a 1 Pour tout rél a t tout rél b : = ; = a b Empls : = ; = ; = = Equations t inéquations Propriétés : a t b sont ds réls, a = b = ; a < b < Empl : Résoudr dans R ls équations t inéquations a b a b = 6 ; 1 ; ;( 3 )( + 4 ) = 0 4. Fonction f ( ) = u( ) n an ; = 0 a b Lycé Brthlot L.Gulli Pag 2 sur 8 Chapitr 6 Fonction ponntill

3 4.1 Limits d u( ) f ( ) = : Empls : Calculr la limit au d l intrvall I d la fonction f : 4 1 = + f ( ) ; I = ] 1 ;+ [ ; 4.2 Dérivé d f ( ) = u( ) ² f ( ) = ; I = R 3 +7 f ( ) = ; I = R Propriété : Si pour tout I, u() st dérivabl alors f st dérivabl sur I t pour tout I ( ) ( ) '( ) u u f = ' = u '( ) ( ) Etud ds dérivés ds 3 mpls précédnts. u( ) 4.3 Empl d étud d fonction contnant Parti A - Étud d un fonction Soit la fonction numériqu f défini sur [0 ; + [ par : f () = 1, On not C la courb rprésntativ d f dans un rpèr orthonormé. 1. a. Résoudr dans R l équation 1 +1 = 0. b. Résoudr dans R l inéquation 1 +1 >0. 2. a. Étudir la limit d f n +. b. Vérifir qu f () = À l aid d la qustion précédnt, drssr l tablau ds variations d la fonction f sur [0 ; + [. 3. Montrr qu la droit (d) d équation y = 1,5 st asymptot à la courb C. 4. a. Détrminr l cofficint dirctur d la tangnt T au point d absciss0. b. Tracr la droit (d), la courb C t la tangnt T. Parti B Application économiqu Un ntrpris fabriqu un produit. L coût total d fabrication d un produit st donné par la fonction f précédnt, où st primé n tonns t f () st primé n millirs d uros. 1. Qull quantité d produit faut-il fabriqur pour qu l coût total d fabrication soit minimal? 2. Un tonn d produit st vndu 750. a. On appll R() la rctt primé n millirs d uros procuré par la vnt d tonns d produit. Justifir qu R() = 0,75. b. Eprimr l bénéfic B() n fonction d. c. On donn l sign d l prssion 0, dans l tablau suivant : On n dmand pas d justifir c tablau. Détrminr la production donnant l bénéfic maimum; on donnra l résultat à 10 3 près. 5. Primitivs 5.1 Primitiv d Propriété : Touts ls primitivs sur R d f ( ) = sont ls fonctions F( ) + C un constant réll qulconqu. Empl : Détrminr la primitiv F d f défini sur R par f()=, tll qu F(-5)= Primitivs d f ( ) = ( ) u' ( )u Propriété : Si u st dérivabl sur I alors touts ls primitivs sur I d fonctions ) F( ) = u( + C, où C st un constant réll qulconqu. =, où C st ( ) f ( ) = u' ( )u sont ls Empls: Détrminr la primitiv F d f défini sur R par f()= -3+7, tll qu F(-5)= 0 Lycé Brthlot L.Gulli Pag 3 sur 8 Chapitr 6 Fonction ponntill

4 Détrminr la primitiv F sur I 1 = ;+ 3 d la fonction f défini par : f ( ) = ( 3 1) 2 Empl 3 : détrminr ls primitivs sur R d f () = 1, Théorèms d croissancs comparés. Règls opératoirs (admiss) Pour tout ntir naturln ln lim n b) lim = + + n a) = 0 + n c) lim = 0 On put énoncr cs règls sous la form suivant : a) à l infini, ls puissancs d l mportnt sur l logarithm népérin d b) t c) à l infini, l ponntill d l mport sur tout puissanc d. Empls : f st la fonction défini sur ] 0;+ [ par f ( ) g st la fonction défini sur R par g( ) ( ² + 2 3) 3 = ln( ), lim f ( ) + =, lim g( ) 7 Ajustmnt ponntil Empl : L but d c problèm st détrminr l pri d équilibr d un produit. Rappl : L pri d équilibr st obtnu lorsqu l offr t la dmand sont égals. Un étud fait sur un produit a donné ls résultats suivants (l pri au kilogramm st primé n uros, ls quantités offr t dmand sont primés n millirs d kilogramm) Pri proposé 0,3 0,35 0,45 0,65 0,8 1 i Dmand y i 6,25 4,90 3,75 2,75 2,40 2,25 Offr z i 1,25 1,30 1,30 1,50 1,55 1,60 Rprésntr dans un rpèr prnant n absciss 10 cm 1 t n ordonné pour 2 cm pour 1 millir d kilogramms, ls nuags d points associés rspctivmnt au séris statistiqus ( i ; y i ) t ( i ; z i ) 1. Etud la dmand La form du nuag d points associé à la séri ( i ; y i ) prmt d nvisagr un ajustmnt à l aid d un fonction ponntill, on parl alors d ajustmnt ponntil d y n. Pour cla on pos Y i = ln( y i ). a) Complétr l tablau suivant : Pri proposé 0,3 0,35 0,45 0,65 0,8 1 i Dmand y i 6,25 4,90 3,75 2,75 2,40 2,25 Y i = ln( y i ) b)donnr un équation d la droit ds moindrs carrés du nuag d points associé à la séri ( i ; Y i ) c)en déduir, n utilisant Y = ln( y), un stimation d la dmand y n fonction du pri au kilogramm. 2.Etud d l offrla form du nuag d points associé à la séri ( i ; z i ) prmt d nvisagr un ajustmnt affin d y n Donnr un équation d la droit ds moindrs carrés du nuag d points associé à la séri ( i ; z i ) 3.Etud graphiqu du pri d équilibr :On considèr dans la suit du problèm qu l offr t la dmand sont rspctivmnt formalisés par ls fonctions f t g définis sur [ 0 ; 2 ] par f()= -1,41+2,08 t g()= 0,53+1,10. =? =? Lycé Brthlot L.Gulli Pag 4 sur 8 Chapitr 6 Fonction ponntill

5 a)détrminr l sns d variation d f sur [ 0 ; 2] t drssr son tablau d variation. b)sur l graphiqu ci-dssus tracr ls courbs d f t g. c)détrminr graphiqumnt l pri d équilibr du produit. 4.Etud numériqu du pri d équilibr Soit h la fonction défini sur [ 0 ; 2 ] par h() = f() g(). a)détrminr l sns d variation d h sur [ 0 ; 2] t drssr son tablau d variation. b)montrr qu l équation h() = 0 a un uniqu solution sur [0 ; 2 ] ; n donnr un valur approché à 0,01 près c)qul st l pri d équilibr du produit considéré? Ercics. Ercic 1 : 1 2+ ln(2) ln(8) 1 2 ln(5) ln(3) ln(2) - ln(3) Simplifir ls nombrs : 3ln( )- ; ; ; ln(2 ) ; ln(2) Ercic 2 : calculr ls limits suivants, qulls sont ls asymptots évntulls? + ( 3 ² ) ; lim ( 3 ² + ) ; lim ( ² + ) lim ; lim ; lim Ercic 3 :Résoudr pour tout rél ls équations t inéquations suivants : ( 3 )( 5 ) = 0 ; 3 = 1 ; ( + 1 ) = ; < Ercic 4 : 1. Quatr écriturs d un mêm prssion On pos pour tout A( ) 4 2 = (1) R : 2.Etud d limits : En utilisant un ds quatr prssions d A(), détrminr la limit d A() au borns d son nsmbl d définition. 3.Calcul d la dérivé a.calculr A (). (utilisr l prssion la miu adapté au calcul) b. Etudir l sign d A (). 4.Calcul d la primitiv. Calculr un primitiv d A sur R(utilisr l prssion la miu adapté au calcul) Ercic 5 : Polynési juin 2006 Lycé Brthlot L.Gulli Pag 5 sur 8 Chapitr 6 Fonction ponntill

6 Ercic 6 : La Réunion juin 2006 Ann : Courbs pour la qustion 1 Lycé Brthlot L.Gulli Pag 6 sur 8 Chapitr 6 Fonction ponntill

7 Ercic 7 : Amériqu du sud novmbr 2002 Lycé Brthlot L.Gulli Pag 7 sur 8 Chapitr 6 Fonction ponntill

8 Ercic 9 Nouvll Calédoni avril 2004 Lycé Brthlot L.Gulli Pag 8 sur 8 Chapitr 6 Fonction ponntill