CP46 Automne 2005 Corrigé de l'examen FINAL 18/01/2006. Toto et Momo au jardin public. 3 exercices indépendants - Durée : 2 h - Documents autorisés

Transcription

1 CP46 Auomne 5 8//6 / oo e omo au jardin public exercices indépendans - Durée : h - Documens auorisés - oo e omo jouen au foo Phase : oo fai une êe Le ballon de oo es considéré comme un poin maériel de masse m oo es debou sur le poin O, origine d'un repère ( O, i, j, k), dans lequel un poin possède les coordonnées x, e z Nous sommes sur erre, dans un champ de pesaneur uniforme, don l'accéléraion es G g k L'effe de l'air sur le ballon es considéré comme négligeable A l'insan, oo propulse son ballon depuis le poin (, z ) avec une viesse iniiale V, de module V, incluse dans le plan ( j, k) e faisan un angle ( j, V ) posiif avec le veceur j L'aliude de référence où l'énergie poenielle de pesaneur es nulle es le niveau du sol ( z ) Au momen où le ballon quie la êe de oo, quelles son ses énergies cinéique e poenielle de pesaneur? Au cours des insans suivans, l'énergie poenielle du ballon augmene, puis diminue Quel es le maximum d'énergie poenielle aein? En déduire l'aliude maximale aeine par le ballon Quand le ballon reombe sur le sol (z), quelle es son énergie cinéique, e quelle es sa viesse (module e orienaion)? Phase : omo rarape le ballon e le renvoie en le faisan rouler sur le sol Il réussi à le renvoer de façon à ce qu'il possède une énergie idenique à celle qu'il avai en omban sur le sol Le ballon es mainenan considéré comme une sphère creuse don la paroi a une épaisseur rès faible par rappor à son raon R (oue la masse es concenrée à la disance R du cenre) Calculer le momen d'inerie de cee sphère creuse par rappor à un axe passan par son cenre Sachan que le ballon roule sans glisser, exprimer sa viesse de roaion HQIRQFWLRQGH sa viesse de ranslaion V En déduire l'expression de son énergie cinéique oale (ranslaion + roaion) en foncion de sa viesse de ranslaion

2 CP46 Auomne 5 8//6 / Son énergie oale aan éé conservée depuis la êe de oo, quelle es cee viesse de ranslaion du ballon roulan sur le sol? ous les résulas seron exprimés liéralemen, puis calculés pour les valeurs numériques suivanes : ¾ g 9,8m / s ¾ V 6 m / s ¾ m 4 g ¾ Œ ¾ R cm ¾ ¾ z,5 m - Corrigé Phase Le ballon quie la êe de oo Energie cinéique : E c m V Energie poenielle de pesaneur : E m g z p Energie oale : E E + E c p La composane vericale de la viesse du ballon diminue à cause de son poids, alors que sa composane horizonale es consane e vau V cos L'énergie oale se conservan, l'énergie poenielle de pesaneur es maximale quand la composane vericale de la viesse es nulle E E E E p max Pmax m V c min Ep max m g z + Or E m g z p max + m g z m V max m V sin cos V zmax z + sin g Quand le ballon reombe sur le sol, oue son énergie iniiale es devenue de l'énergie cinéique E m V V + V g z

3 CP46 Auomne 5 8//6 / L'angle que fai alors la viesse V avec le veceur horizonal j es négaif, car la composane vericale de la viesse es dirigée vers le bas, sa valeur es donnée par : V cos cos V Arc cos Phase V V cos + g z omen d'inerie I C d'une sphère de raon R, don oue la masse m es concenrée à la disance R du cenre C, par rappor à ce cenre : I m R C Compe enu des sméries, momen d'inerie I P par rappor à un plan conenan le cenre : I P I C omen d'inerie I par rappor à un axe passan par le cenre : I I P I m R Le ballon roule sans glisser, donc : V R L'énergie cinéique oale (ranslaion + roaion), don la valeur es la même qu'iniialemen, vau aussi, dans ce mouvemen de roulemen : E m V + I En remplaçan I e SDUOHXUVYDOHXUVHQIRQFWLRQGHPHW5 5 E m V 6 D'où on dédui la viesse de ranslaion V du ballon roulan sur le sol 6 E V 5 m Applicaion numérique : Phase : E c 7 J E p 589 J E 9 J E pmax 9 J z max 88 m E c 9 J V 89 m/s -68

4 CP46 Auomne 5 8//6 4/ 5 z [m] [m] rajecoire du ballon Phase : I 84E- kgm² V 67 m/s - oo sur la balançoire oo es assis sur une balançoire consiuée d'une planchee suspendue à un poin fixe par cordes inexensibles de longueur L Les masses de la planchee e des cordes son négligeables par rappor à la masse de oo Sa maman le pousse pour qu'il se balance avec une ampliude faible e se demande quelle sera la période de ses oscillaions libres L'espace es muni d'un repère ( O, i, j, k), dans lequel un poin possède les coordonnées x, e z Nous sommes sur erre, dans un champ de pesaneur uniforme, don l'accéléraion es G g k Il n' a aucun froemen significaif ère approche oo es considéré comme un poin pesan siué en son cenre de gravié, à une haueur h au-dessus de la planchee Ce poin, la planchee e les cordes son parfaiemen solidaires e fixes les uns par rappor aux aures A un insan donné, les cordes fon un angle avec la direcion vericale Quels son les effors qui s'exercen sur le poin pesan e quelle es leur résulane? Appliquer la propriéé fondamenale de la dnamique à oo (poin), qui sera accéléré par ce effor résulan En déduire la variaion de l'angle (rappel : il es pei) en foncion du emps Consaer qu'il s'agi d'un mouvemen périodique Quelle en es la période?

5 CP46 Auomne 5 8//6 5/ ème approche oo es considéré comme un parallélépipède recangle homogène posé sur la planchee, de masse m de haueur h, de largeur b (direcion droie-gauche de oo) e d'épaisseur a (direcion avan-arrière de oo) Ce parallélépipède recangle, la planchee e les cordes, parfaiemen solidaires e fixes les uns par rappor aux aures, se comporen comme un solide unique, pour ce mouvemen Quel es le momen d'inerie de oo (parallélépipède recangle) par rappor à celui de ses axes de smérie qui va de sa gauche à sa droie? Quel es son momen d'inerie par rappor à l'axe passan par les poins d'accrochage des cordes? A un insan donné, les cordes fon un angle avec la direcion vericale Quels son les effors qui s'exercen au cenre de gravié de oo e quel es leur momen résulan par rappor à l'axe passan par les poins d'accrochage des cordes? Appliquer la propriéé fondamenale de la dnamique au parallélépipède recangle, qui es un solide en roaion auour de ce axe En déduire la variaion de l'angle (rappel : il es pei) en foncion du emps Consaer qu'il s'agi d'un mouvemen périodique Quelle en es la période? ous les résulas seron exprimés liéralemen, puis calculés pour les valeurs numériques suivanes : ¾ g 9,8m / s ¾ L m ¾ h 4 cm ¾ b cm ¾ a cm ¾ m 4 kg - Corrigé ère approche Les effors qui s'exercen sur le poin son son poids m G e la ension des cordes Le poids se décompose en forces : F dans la direcion des cordes e F perpendiculairemen m G F + F Comme les cordes on une longueur fixe, le poin ne bouge pas suivan leur direcion, ce qui implique : F + La résulane des effors qui s'exercen sur le poin es donc : m G + F Cee force F es perpendiculaire à la corde, orienée vers la vericale du poin d'accrochage, donc de signe opposé à ; sa valeur algébrique es : F m g sin

6 CP46 Auomne 5 8//6 6/ Propriéé fondamenale de la dnamique appliquée au poin pesan : il sera accéléré dans la direcion de F, avec une accéléraion + F m + U+HVWGLUHFWHPHQWliée à la dérivée seconde GHODQJOH d + (L h) d D'où l'équaion différenielle : d m g sin m (L h) d Cee équaion différenielle se simplifie dans le cas des peies oscillaions, où sinshxw êre assimilé à d g d L h La soluion générale d'une équaion de ce pe es : g cos(& P + ) avec & P L h Les consanes d'inégraion HWGépenden des condiions iniiales La période P es liée à la pulsaion & P par : Œ P & P P Œ L h g Applicaion numérique : p s ème approche omen d'inerie du parallélépipède recangle par rappor à son axe de smérie O a b h I! (x z ) d dz a b + h 8 8 I! ( a bh + abh ) m I (a + h ) Le héorème de Hughens perme de calculer le momen d'inerie du parallélépipède recangle par rappor à l'axe de roaion (accrochage des cordes) I I + m (L h ) I m [ a + h + (L h ] )

7 CP46 Auomne 5 8//6 7/ Les effors qui s'exercen sur le parallélépipède recangle son son poids m G e la ension des cordes Le momen de la ension des cordes par rappor à leur poin d'accrochage es nul Le momen du poids, qui es donc le momen résulan qui d'exerce sur le parallélépipède recangle, vau : mg (L h) sin Propriéé fondamenale de la dnamique appliquée à un solide en roaion auour d'un poin d I d D'où l'équaion différenielle : d m g (L h) sin I d Cee équaion différenielle se simplifie dans le cas des peies oscillaions, où sinshxwêre assimilé à d m g (L h) d I La soluion générale d'une équaion de ce pe es : m g (L h) cos(& S + ) avec & S I Les consanes d'inégraion HWGépenden des condiions iniiales La période S es liée à la pulsaion S S Œ & S Œ m I g (L h) & S par : Applicaion numérique : I 7 kgm² I 7 kgm² s 5 s

8 CP46 Auomne 5 8//6 8/ - oo e omo en équilibre sur le ape-cul oo (à gauche) e omo (à droie) on des masses différenes m e m Ils son assis sur une planche, de par e d'aure d'un appui, e cherchen une posiion d'équilibre, où leurs pieds ne oucheron plus le sol e où ils pourron éudier les solliciaions de leur planche Nous sommes sur erre, dans un champ de pesaneur uniforme, don l'accéléraion G, d'inensié g, es orienée vers le bas Il n' a aucun froemen significaif au niveau de l'appui, qui peu donc êre considéré comme un appui simple, ou un pivo parfai La planche, considérée comme une poure, es munie d'un repère ( O, i, j, k) don l'origine O es posiionnée au niveau de l'appui e dans lequel un poin possède les coordonnées x, e z L'axe ( O, i ) oriene la poure de la gauche vers la droie e l'axe ( O, k) es dirigé vers le hau A l'exrémié gauche de la poure, en x L, le poids de oo es appliqué vericalemen à la poure Sur la phoo, omo applique d'abord son poids à l'exrémié droie, Pei à pei, il avance jusqu'à ce que ses pieds décollen x L On suppose que la planche s'immobilise de façon à ce que la angene à la déformée de son axe soi parfaiemen horizonale en x, ce qui implique que G g k Quelle es la nouvelle disance L' enre omo e l'appui? En chaque secion x de la planche, la Résisance des aériaux considère le orseur des effors exercés par l'aval sur l'amon Quelles son les valeurs des composanes de ce orseur, en foncion de x racer sur un graphique l'allure de leurs évoluions En quel poin le momen fléchissan (x) es-il maximum e quelle es la valeur max de ce maximum? La secion de la planche es recangulaire, de largeur b (dans la direcion ( O, j ) ) e d'épaisseur e (dans la direcion ( O,k )) Dans la secion où le momen fléchissan es maximum, quel pe de conraine génère--il e commen cee conraine varie--elle en foncion de e z?

9 CP46 Auomne 5 8//6 9/ Quelle es la valeur maximale de cee conraine e en quel(s) poin(s) de la secion es-elle aeine? Le momen fléchissan exisan le long de la poure la déforme : chacun de ses poins se déplace un peu vers le bas, sauf bien sûr au niveau du poin d'appui, en x Soi V(x) ce déplacemen Déerminer V(x) le long de la poure, enre x L e x L, en ne enan compe que de l'effe du momen fléchissan Bien que la planche soi en bois, on considère qu'elle es consiuée d'un maériau homogène e isorope, possédan un module d'young E Quel es le déplacemen verical de la planche au niveau de oo (V(-L )), au niveau de omo (V(L' )) e à l'exrémié côé omo (V(L ))? En quel poin le déplacemen verical V(x) es-il maximum, en valeur absolue, e quelle es la valeur V max de ce maximum? Quelle pe de conraine génère l'effor ranchan z, dans quelle zone cee conraine eselle maximale e quelle es la valeur de ce maximum? ous les résulas seron exprimés liéralemen, puis calculés pour les valeurs numériques suivanes : ¾ m 4 kg ¾ m 4 kg ¾ L,5 m ¾ L m ¾ b cm ¾ e 4 cm ¾ g 9,8m / s ¾ E 5 N / mm - Corrigé Equilibre de la poure Comme il n' a aucune force dans la direcion ( O, i ) L'équilibre de la planche se radui par les équaions suivanes : R (m + m ) g (équilibre des composanes vericales de effors) m g L m g L' (équilibre des momens par rappor au pivo) D'où : m L ' L m

10 CP46 Auomne 5 8//6 / Evoluion du orseur de la RD le long de la poure Le orseur des effors exercés par l'aval sur l'amon a des expressions différenes le long des ronçons de poure délimiés par L,, L' e L L < x < < x < L' L ' < x < L g m g m (L + x) g m g m (L' x) Les composanes non-nulles son un effor ranchan z e un momen fléchissan Les graphes de leurs évoluions en foncion de x on éé racés avec les valeurs numériques (voir à la fin de ce corrigé) Le momen fléchissan es maximum au niveau de l'appui, où il vau : g m L ou g m max max L' Conraines dues au momen fléchissan Le momen fléchissan génère, dans la secion x, des conraines normales qui max ne dépenden pas de e varien linéairemen en foncion de z max n (,z) z I I es le momen d'inerie, ou momen quadraique, de la secion, par rappor à son axe de direcion Dans le cas d'une secion recangulaire de largeur b suivan e d'épaisseur e suivan z, il vau : b e I g m L n (,z) z b e Le maximum n max de cee conraine es aein pour e z, c'es à dire sur une ligne ransversale de la face supérieure de la planche, juse au-dessus de l'appui 6 g m L n max b e Déplacemens Le déplacemen vers le bas V (x) de chaque poin de la planche es dédui de l'équaion différenielle : d V(x) (x) E I

11 CP46 Auomne 5 8//6 / Déplacemens - Inégraion sur le premier ronçon ( L < x < ) d V(x) g m E I (x + L g m x + Lx + A E I V (x) g m x + Lx + A x + B E I 6 ) Les consanes d'inégraion A e B se déduisen du fai que V (x) e en x g m x V (x) x + L E I En pariculier : g m L V( L ) E I Déplacemens - Inégraion sur le deuxième ronçon ( < x < L' ) d V(x) g m E I V (x) ( x + L' g m x + L' x + A E I g m x + L' x + A x + B E I 6 ) Les consanes d'inégraion A e B se déduisen du fai que V (x) e en x g m x V (x) x + L' E I En pariculier : g m L' V(L' ) E I Pour la suie, il es d'aure par uile de calculer (L' g m L' ) E I en x L' son nuls son nuls

12 CP46 Auomne 5 8//6 / Déplacemens - Inégraion sur le roisième ronçon ( L ' < x < L ) d V(x) A V (x) A x + B Les consanes d'inégraion A e B se déduisen des valeurs de V (x) e calculées précédemmen, pour le ème ronçon, en V(x) g m L' E I En pariculier : g m L' V(L ) E I L' x L L' x L' Conraines dues à l'effor ranchan L'effor ranchan z génère des conraines de cisaillemen qui ne dépenden pas de e varien en foncion de z Dans le cas d'une secion recangulaire, la formule approchée des "echniques de l'ingénieur" es : z 4z (,z) b e e Cee conraine de cisaillemen possède même signe que l'effor ranchan Elle es maximale dans le plan horizonal moen de la planche, enre x L e x g m max b e

13 CP46 Auomne 5 8//6 / Applicaion numérique : L' 76 m max 589 mn n max Pa max 74 Pa x x [m] z [N] Effor ranchan [mn] omen fléchissan V [mm] Déplacemen - L L' L' 76-8 L [mn] z [N] x [m] x [m] V [mm] -5