Bac Blanc La Merci 4 heures

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1 Trminals S mars ac lanc La Mrci hurs Ercic, 5 points Parti La fonction f st défini sur l intrvall [; + [ par ( ) Étudir la limit d la fonction f n + f + Étudir ls variations d la fonction f t drssr son tablau d variations 3 Établir qu l équation f ( ) admt un uniqu solution strictmnt positiv α dans l intrvall ]; + [ Donnr un valur décimal approché à 3 près d α Parti On not y ( t ) la valur, n dgrés Clsius, d la tmpératur d un réaction chimiqu à l instant t, t étant primé n hurs La valur initial, à l instant t, st y ( ) On admt qu la fonction qui, à tout rél t appartnant à l intrvall [ ; + [ associ y ( t ), st solution d l équation t différntill (E): y' + y Vérifir qu la fonction f étudié dans la parti st solution d l équation différntill (E) sur l intrvall [ ; + [ On s propos d démontrr qu ctt fonction f st l uniqu solution d l équation différntill (E), défini sur l intrvall [ ; + [, qui prnd la valur à l instant a On not g un solution qulconqu d l équation différntill (E), défini sur [; + [ vérifiant g ( ) Démontrr qu la fonction g f st solution, sur l intrvall [; + [, d l équation différntill (E ): y' + y b Résoudr l équation différntili (E ) c Conclur 3 u bout d combin d tmps la tmpératur d ctt réaction chimiqu rdscnd-ll à sa valur initial? L résultat sra arrondi à la minut Corrigé Parti f ( + ) En +, tnd vrs t l mport allègrmnt sur + La limit st ' ( ) ( 5 ) f + + qui st positif lorsqu 5 3 < 3/ + f ( ) + f '( ) 8,9 3 Comm f ( ) t f st croissant, il n y a pas d solution ntr t 3/ ; comm la limit n + st, il y a un uniqu solution ntr 3/ t + : f (, 67 ) 9,997,99 f (, 673 ) donc, 673 α, 67 Parti On rmplac : t t t y' + y t (t + ) TS La Mrci ac lanc mars

2 g solution d (E) : t g' g t + ; comm on a f ' + f, n soustrayant on a g' f ' + g f ( g f )' + ( g f ), soit g f zst solution d (E ) t t y g f C g t f t + C ; comm g ( ), on a C g f t donc g f 3 La tmpératur rdscnd à à t α, soit nviron,67 h Ercic, points Ct rcic st un Qustionnair à Choi Multipl Pour chaqu qustion un sul ds réponss proposés st act Pour chaqu qustion vous justifirz votr répons ; tout répons non-justifié n sra pas noté L équation 3 admt dans R : a solution b solution c solutions d plus d solutions Répons : On pos X, soit X ln, sul solution X 3X qui a pour solutions X c qui st impossibl t La dérivé d la fonction f défini sur R par f ( ) + st : a f '( ) + b f '( ) ( + ) c f '( ) ( + ) d f '( ) ( + ) Répons : f ' ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) 3 lim + + a b c d + Répons : l trm st équivalnt à n + ; l trm lim lim st équivalnt à, on a : On a lim ln + a b c + d Répons : si on pos X 3 Ercic 3, 6 points, on a X t TS La Mrci ac lanc mars lim ln lim X lnx lim X lnx (théorèm du cours) Ct rcic n nécssit aucun utilisation du calcul intégral On considèr la fonction f défini sur ] ;+ [ par f ( ) ln + On not (C f ) sa courb rprésntativ dans un rpèr orthogonal ( O; i, j) Touts ls airs considérés dans c problèm sront primés n unités d air L but d ct rcic st d détrminr un ncadrmnt d l air du domain délimité par l a ds abscisss, la courb (C f ) t ls du droits d équations t

3 On not M t N ls points d (C f ) d abscisss rspctivs t, P t Q lurs projtés orthogonau rspctifs sur l a ds abscisss La figur st donné plus bas a Montrr qu f st positiv sur [ ; ] b Montrr qu l cofficint dirctur d la droit (MN) st ln c Soit E l point d absciss tangnt à (C f ) st parallèl à (MN) Montrr qu sur l intrvall [ ; ], l point E st l uniqu point d (C f) n lqul la ln + d On appll (T) la tangnt à (C f ) au point E montrr qu un équationd (T) st : y ln + Soit g la fonction défini sur [ ; ] par g ( ) f ( ) a Montrr qu g' ( ) + ln pour tout d [ ; ] b Etudir ls variations d g sur [ ; ] t n déduir la position rlativ d (C f ) t d (T) sur ct intrvall 3 Soint M t N ls points d abscisss rspctivs t d la droit (T) On admt qu la courb (C f ) rst sous la droit (MN) sur l intrvall [ ; ] t qu ls points M t N ont ds ordonnés strictmnt positivs a Calculr ls airs ds trapèzs MNQP t M N QP b En déduir, à l aid d la calculatric, un ncadrmnt d d amplitud Corrigé a ln > sur [ ; ] donc f st positiv sur [ ; ] Parti b M a pour coordonnés ( ; ), N ( ; ln ) y M M y N N ln ln + ; l cofficint dirctur d la droit (MN) st TS La Mrci 3 ac lanc mars

4 c La dérivé d f st : f '( ) ln + ln + ; la tangnt à (C f ) st parallèl à (MN) lorsqu ln ln ln + ln ln ln y + + ln ln + + ln ln + d ln + Soit g la fonction défini sur [ ; ] par g ( ) f ( ) ' ' ln + ln ln + ln a g ( ) f ( ) g + b ' ln ln Lorsqu, g st null ; donc décroissant jusqu à (C f ) st au-dssus d (T) 3 a Il nous faut ls ordonnés d M t N : ( ln ) +, y M ' ir d MNQP : ln,693 (ln ln) puis croissant, l minimum st ; conclusion g ( ) t y N ' PM + QN ym + yn PQ + ; ( PM + QN ) ( y ) M' + yn' air d M N QP : PQ ' ' 3ln +,68 ; b L air st compris ntr cs du valurs :,6 à près ln + Ercic, 5 points (non spécialists) L plan compl st rapporté à un rpèr orthonormal dirct ( O; u, v) L unité graphiqu st cm On désign par, t C ls points d affis rspctivs z 3i, z i t zc 6 i On réalisra un figur qu l on complétra au fur t à msur ds qustions Parti Calculr z z z z C En déduir la natur du triangl C Parti On considèr l application f qui, à tout point M d affi z distinct d i, associ l point M d affi z tll qu : ( + 3i ) i z z' z i Soit D l point d affi z i Détrminr l affi du point D imag du point D par f D a Montrr qu il ist un uniqu point, noté E, dont l imag par l application f st l point d affi i b Démontrr qu E st un point d la droit () M 3 Démontrr qu, pour tout point M distinct du point, OM' M Démontrr qu, pour tout point M distinct du point t du point, on a l égalité ( u; OM' ) ( ; ) π près M M + π à 5 Démontrr qu si l point M appartint à la médiatric du sgmnt [] alors l point M appartint à un crcl dont on précisra l cntr t l rayon 6 Démontrr qu si l point M appartint à l a ds imaginairs purs, privé du point, alors l point M appartint à la droit () Corrigé (Polynési, sptmbr ) Parti TS La Mrci ac lanc mars

5 z z i + 3i + i + i i i i z z 6 i + 3i + i + i i C ( C, ) arg ( i ) Parti z D' π t i L triangl C st donc rctangl t isocèl n C ( + 3 ) i ( )( + ) i i i ( i )( + i ) i i i i i 5i i 5 i z + 3i a On chrch z tl qu i i ( z i ) i( z + 3i ) z i z + 3i z + 5i z i b E a pour affi + 5i + 3i + 8i, a pour affi i + 3i + i donc E, ls points,, E sont alignés z z 3 z' i z z z z M d où n passant au modul : z' i OM' z z M En prnant l argumnt, on a : arg ( z' ) arg ( i ) + arg [ π ] ( u, OM' ) + ( M, M )[ π ] z z z z π 5 Si M st sur la médiatric d [], alors on a M M donc OM ' : M appartint au crcl d cntr O, d rayon π 6 Si l point M appartint à l a ds imaginairs purs, alors ( u, OM' ) ± [ π ] ( M, M ) ou π [ π ] : ls points,, M sont alignés, l point M appartint à la droit () 5 Ercic, 5 points (spécialists) Parti : Qustion d cours Énoncr l théorèm d ézout t l théorèm d Gauss Démontrr l théorèm d Gauss n utilisant l théorèm d ézout Parti n 3 9 Il s agit d résoudr dans Z l systèm ( S ) n 6 Démontrr qu il ist un coupl (u; v) d ntirs rlatifs tl qu : 9u + v (On n dmand pas dans ctt qustion d donnr un mpl d un tl coupl) Vérifir qu, pour un tl coupl, l nombr N 3 v + 6 9u st un solution d (S) n n a Soit n un solution d (S), vérifir qu l systèm (S) équivaut à n n n n b Démontrr qu l systèm n n ( 9 ) ( ) équivaut à n n ( 9 ) ( 9 ) ( ) 3 a Trouvr un coupl (u ; v) solution d l équation 9u + v t calculr la valur d N corrspondant b Détrminr l nsmbl ds solutions d (S) (on pourra utilisr la qustion b) Un ntir naturl n st tl qu lorsqu on l divis par l rst st 6 t lorsqu on l divis par 9 l rst st 3 On divis n par 8 9 Qul st l rst r d ctt division? TS La Mrci 5 ac lanc mars

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