Circuits Magnétiques et Inductance

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1 Chapitre 6 Circuits Magnétiques et nductance On a vu au chapitre précédent comment les champs magnétiques sont créés. Dans ce chapitre-ci, on s intéresse aux matériaux magnétiques, et leur effet de concentrer les lignes de champ magnétique. On étudie donc en premier les circuits magnétiques : ce sont des circuits composés d un noyau de matériau magnétique et un courant qui circule dans une bobine. Par la suite, on utilise ces concepts de flux pour démontrer le principe de l inductance. On verra comment calculer l inductance d un circuit, et quels paramètres ils faut considérer lors du design d une inductance. 6.1 Matériaux magnétiques Un matériau magnétique est un matériau de haute perméabilité magnétique (µ r >>). Le rôle est de canaliser efficacement les lignes de champ magnétique. Ceci permet de réduire les fuites Caractéristique B(H) d un matériau magnétique On a vu que la relation entre la densité de flux et le champ magnétique est B = µh. Dans le vide (ou l air), cette caractéristique prend la forme d une relation linéaire. Le vide est un milieu linéaire, homogène (la qualité est uniforme) et isotropique (les propriétés sont les mêmes dans toutes les directions). La relation B(H) du vide est donné dans la figure

2 B µ 0 H Figure 6.1 Relation B(H) du vide Pour un matériau magnétique, la relation B(H) est : B = µ r µ 0 H (6.1) où µ r est la perméabilité relative du matériau. Pour la plupart des matériaux, la perméabilité n est pas constante, et la relation B(H) est non-linéaire. La caractéristique de magnétisation AC d un matériau magnétique donne une courbe du type hystérésis, comme à la figure 6.2. La courbe montrée à la figure 6.2 est un peu exagérée, par contre. B max B H Figure 6.2 Courbe hystérésis typique Des valeurs typiques de B max sont : B max = 1.5T (fer) B max = 0.3T (ferrite) Gabriel Cormier 2 GELE3222

3 6.2 Force magnétomotrice On prend l exemple d une bobine enroulée autour d un matériau magnétique dans laquelle circule un courant, comme à la figure 6.3. Le champ magnétique créé se répand dans l espace libre autour de la bobine, ou de façon analogue aux courants électriques, que le champ coule dans le milieu qui entoure la bobine. La bobine crée alors une force magnétomotrice qui fait circuler un flux magnétique dans le milieu. Φ N S Figure 6.3 Enroulement autour d un noyau magnétique C est semblable au même phénomène que les circuits électriques : une force électromotrice déplace des électrons qui circulent dans le milieu. Ce n est pas une force en Newtons ; c est plutôt comme une source de flux. La force magnétomotrice produite est reliée au courant qui circule et au nombre de tours dans la bobine : F = N = Hd l (6.2) où F est la force, N est le nombre de tours, et est le courant. L unité de cette force est A t (Ampère-tour). Le flux magnétique circulant dans une surface S est défini comme : Φ = B d s (6.3) S 6.3 Circuits magnétiques Un circuit magnétique est semblable à un circuit électrique. C est un parcours fermé qui est réalisé avec un matériau magnétique de haute perméabilité (µ r ). Cependant, on va faire quelques hypothèses pour l analyse de ces circuits : Gabriel Cormier 3 GELE3222

4 On suppose que la relation B(H) est linéaire. Pas de saturation. Pas d hystérésis. Une force magnétomotrice F = N force un flux Φ à circuler dans le circuit magnétique. L intensité du champ magnétique dans le noyau est donnée par la loi d Ampère : N = H d l = Hl c (6.4) où l c est le parcours moyen du flux dans le matériau magnétique. La densité de flux dans le noyau est égale à : B = µh (6.5) Le flux magnétique circulant dans le noyau est égal à (pour un matériau magnétique linéaire) : ( ) N Φ = B d s = BA = µha = µ A = N ) (6.6) Cette relation peut être exprimée sous la forme : s l c ( lc µa Φ = F R (6.7) On appelle R la réluctance du circuit magnétique. La réluctance est une quantité qui caractérise la résistance du circuit magnétique au passage du flux. C est un peu comme la loi d Ohm pour des circuits magnétiques. La réluctance d un circuit de surface A, de longueur moyenne l c et perméabilité µ est : R = l c µa (6.8) La réluctance est exprimée en At/Wb. L équivalence entre les circuits magnétiques et les circuits électriques est montrée au tableau 6.1. Tableau 6.1 Équivalence entre les circuits magnétiques et les circuits électriques Circuit électrique Tension V Résistance R Courant Circuit magnétique Force magnétomotrice F = N Réluctance R Flux Φ Gabriel Cormier 4 GELE3222

5 Réluctance en série La réluctance en série se comporte de la même façon que des résistances en série. C est-à-dire : R eq = R 1 + R (6.9) Réluctance en parallèle La réluctance en parallèle se comporte de la même façon que des résistances en parallèle. C est-à-dire : ( 1 R eq = + 1 ) 1 + (6.10) R 1 R 2 Exemple 1 Soit le circuit magnétique suivant. Le courant est 1.2A, la perméabilité relative du matériau est µ r = 3000, le nombre de tours N est 100 et le noyau a une profondeur de 4cm. Calculer la densité de flux magnétique dans le circuit. 15cm 12cm 3cm Parcours moyen 12cm 9cm La longueur moyenne du circuit est : l = 2 (12 + 9) = 0.42m La section du circuit est : A = (3 4)cm 2 = m 2 Gabriel Cormier 5 GELE3222

6 La réluctance du circuit est : R = l µa = (4π 10 7 = At/Wb ) Le flux magnétique est : La densité de flux est : Exemple 2 Φ = N R = = Wb B = Φ A = = T Soit le circuit magnétique suivant. Le courant est 2A, la perméabilité relative du matériau est µ r = 2500, le nombre de tours N est 250 et une profondeur de 4cm. L entrefer a une épaisseur de 0.5cm (l entrefer est la section où il manque une petite partie du circuit). Calculer la densité de flux magnétique dans le circuit. 20cm 4cm 15cm Le circuit équivalent est : R Fe F = N + R Fe Gabriel Cormier 6 GELE3222

7 La longueur moyenne du circuit est : La section du circuit est : La réluctance du fer est : R Fe = La réluctance de l entrefer est : R e = Le flux magnétique est : Φ = N R eq = l = 2 ( ) = 0.54m A = (4 4)cm 2 = m 2 l µa = (4π 10 7 = At/Wb ) l e = µ 0 A e (4π 10 7 = At/Wb ) N R Fe + R e = = Wb La densité de flux est : B = Φ A = = T Remarque : On suppose que le champ magnétique est droit dans l entrefer, ce qui n est pas le cas en réalité. Ceci augmente la largeur effective de l entrefer (A enterf er > A). On nomme aussi ce phénomène l effet de frange. Simplification Réalité Figure 6.4 Effet de frange Par contre, la longueur de l entrefer est habituellement plus petite que 5% de la longueur du circuit magnétique, et on peut utiliser la simplification A entref er = A. Si on veut augmenter la précision des calculs, l équation empirique suivante donne de bons résultats : A e = (a + l e )(b + l e ) (6.11) où a et b sont les dimensions du noyau et l e est la longueur de l entrefer. Gabriel Cormier 7 GELE3222

8 6.3.1 Analyse non-linéaire On a jusqu à présent supposé que les circuits magnétiques avaient un comportement linéaire dans la relation B(H). Par contre, en réalité, les circuits magnétiques ont une relation B(H) non-linéaire, et on présente ici une technique pour en faire l analyse. On va considérer le circuit magnétique de l exemple 2. 20cm 4cm 15cm Le matériau magnétique a une caractéristique B(H) donnée par la figure suivante : B (T) ,000 1,100 1,200 H (A/m) Gabriel Cormier 8 GELE3222

9 L entrefer a une relation linéaire, par contre, puisque c est de l air. Pour le reste du circuit, on peut écrire que : F Fe = H Fe l Fe = 0.54H Fe Φ = B Fe A = B Fe Si on compare avec le circuit équivalent, on trouve que : où N = 500 At et R e = At/Wb. F Fe = N R e Φ On peut convertir l équation précédente en une relation B(H) : ce qui donne : 0.54H Fe = N R e (0.0016B Fe ) H Fe = B Fe On peut tracer cette équation sur le graphe de la courbe B(H). L intersection entre les deux courbes donne le B Fe et H Fe correspondants B (T) ,000 1,100 1,200 H (A/m) Donc B = 1.01T (selon le graphe) et H 180 A/m. Gabriel Cormier 9 GELE3222

10 6.4 nductance Soit deux contours C 1 et C 2 qui délimitent deux surfaces S 1 et S 2, respectivement, comme à la figure 6.5. Si un courant traverse la surface S 1 (au travers du contour C 1 ), un champ magnétique B 1 sera crée. S 1 S 2 C 1 C 2 Figure 6.5 Deux surfaces couplées magnétiquement Une partie du flux dû à B 1 traversera la surface S 2. On appelle ce flux mutuel Φ 12, Φ 12 = B 1 d s 2 [Wb] (6.12) S 2 À partir de la loi de Biot-Savart, on sait que B 1 est directement proportionnel à 1 ; le flux mutuel Φ 12 est donc proportionnel à 1. La constante de proportionnalité qui relie le flux mutuel Φ 12 au courant 1 est l inductance mutuelle : Φ 12 = L 12 1 (6.13) où L 12 est l inductance mutuelle entre les contours C 1 et C 2. L unité de l inductance est le Henry [H]. Si C 2 a N 2 tours, le flux total Λ 12 dû à Φ 12 est : ce qui donne : ou Λ 12 = N 2 Φ 12 (6.14) Λ 12 = L 12 1 (6.15) L 12 = Λ 12 = N 2 Φ 1 12 = N 2 B 1 1 d s 2 (6.16) 1 S 2 Cette dernière définition de l inductance s applique seulement pour des milieux linéaires. Gabriel Cormier 10 GELE3222

11 Une partie du flux produit par 1 retourne à C 1 (et pas dans C 2 ), créant ainsi l inductance propre : L 11 = Λ 11 = N 1 B 1 1 d s 1 [H] (6.17) 1 S Calcul de l inductance propre 1. Choisir le système de coordonnées approprié. 2. Supposer un courant traversant le conducteur. 3. Trouver B à partir de : ou par la loi de Biot-Savart : C B d l = µ 0 B = µ 0 d l â R 4π C R 2 4. Trouver le flux correspondant à chaque tour : Φ = B d s 5. Trouver le flux total : 6. Calculer l inductance : S Λ = NΦ L = Λ 6.5 nductance d une bobine On considère une bobine de N tours dans laquelle circule un courant. La bobine se trouve dans un milieu magnétiquement linéaire (comme l air). Le flux magnétique produit par la bobine est Φ. Le flux produit par la bobine traverse la bobine. Le flux magnétique total couplé à la bobine est Λ = NΦ. L inductance de la bobine est définie par : L = Λ = NΦ = N 2 R (6.18) Dans le cas d une inductance à air (où le milieu magnétique est de l air), la valeur de l inductance est fonction du nombre de tours et de la perméabilité du milieu. Elle est aussi Gabriel Cormier 11 GELE3222

12 indépendante de la fréquence et du courant. Par contre, la réluctance est difficile à calculer parce que le flux suit un parcours pas bien définit. Dans le cas d une bobine sur un matériau magnétique, le flux est très concentré dans le matériau magnétique. Le flux créé par la bobine circule donc en totalité dans le noyau. Le flux total couplé à la bobine est égal à : L = Λ = NΦ = N 2 R (6.19) comme dans le cas d une bobine à air. Par contre, la réluctance n est pas constante; elle dépend du courant parce que la perméabilité du matériau n est pas linéaire. Par contre, on peut approximer la valeur de l inductance en supposant que la relation B(H) est linéaire. Exemple 3 Le circuit a une profondeur de 2cm. On suppose que le matériau magnétique est linéaire. µ r = 2500 N = cm 2cm 9cm La réluctance du circuit est : R = l µa = 0.34 (2500)(4π 10 7 = At/Wb )(0.0004) L inductance est : On ajoute un entrefer de 1 mm. L = N 2 R = 1002 = 37 mh Gabriel Cormier 12 GELE3222

13 µ r = 2500 N = cm 2cm 9cm La réluctance du noyau est la somme des réluctances (celle du noyau de fer et celle de l entrefer). R = R Fe + R e On a : L inductance est : R e = L = l e µ 0 A = (4π 10 7 )(0.0004) = At/Wb N = = 4.42 mh R Fe + R e Remarque : On a supposé que tout le flux produit par la bobine demeure dans le noyau. En réalité, une petite partie du flux s échappe du noyau, qu on nomme le flux de fuite (Φ f ). Donc l inductance est : L = Λ T = N(Φ + Φ f ) = NΦ }{{} L m + NΦ f }{{} où L m est l inductance magnétisante, et L f est l inductance de fuite. L f nductance bobinée sur un circuit magnétique réel Soit une inductance bobinée sur un noyau magnétique ayant une courbe d hystérésis, comme à la figure 6.6. On sait que B = µh, où µ est une fonction du courant (µ = f (i)). L inductance de ce circuit est : L = N 2 R = N 2 Aµ l m = N 2 A f (i) = kf (i) l m Gabriel Cormier 13 GELE3222

14 N i(t) Figure 6.6 nductance bobinée sur noyau magnétique où A est la surface du noyau et l m est la longueur moyenne du parcours. Dans ce cas, l inductance est non-linéaire, puisqu elle dépend du courant. La tension dans la bobine serait : v(t) = dλ dt = dli dt = Ldi dt + i dl dt Pour enlever (ou réduire) cette non-linéarité, on ajoute un entrefer, comme à la figure 6.7. N i(t) Figure 6.7 nductance bobinée sur noyau magnétique avec entrefer Selon les équations précédentes, l inductance est constante si la réluctance est constante. Pour le circuit avec entrefer, la réluctance est : R eq = R m + R e = l m µ m A + l e µ 0 A e (6.20) où l e est la longueur de l entrefer. La perméabilité µ m est la composante non-linéaire. Gabriel Cormier 14 GELE3222

15 On considère que l inductance est linéaire si R e > 10R m (6.21) ou l e > 10l m µ 0 A e µ m A On peux réduire cette expression si on suppose que A e = A. (6.22) l e > 10l m µ r,m (6.23) Habituellement, l e < 5%l m l m l Alors la réluctance est : Donc l inductance est : Et de même, R eq R e = l e = constante (6.24) µ 0 A L = N 2 R e = N 2 µ 0 A l e = constante (6.25) v(t) = L di dt (6.26) 6.6 Dimensionnement d une bobine monophasé Lors du design d une bobine, on néglige habituellement les pertes Cuivre (r = 0) et la réactance de fuite (L f = 0). Ainsi, le dimensionnement de la bobine implique plusieurs facteurs : Un choix judicieux de la configuration du circuit magnétique, du matériau ferromagnétique et de la valeur de l induction magnétique. Calcul des dimensions du circuit magnétique incluant les entrefers. Calcul de la grandeur du fil et de son calibre. Calcul du nombre de spires (N). l faut également considérer certaines contraintes : Les pertes et l échauffement. Le volume, le poids, les dimensions. Le prix. La dimension du fil de cuivre dépend de la valeur maximale du courant qui va circuler dans le fil. Plus le courant maximal sera élevé, plus le fil de cuivre devra avoir une section élevée. Le courant maximal pour un type de cuivre est habituellement spécifié en densité de courant J, en A/mm 2. Gabriel Cormier 15 GELE3222

16 6.7 Énergie magnétique De façon similaire à l énergie électrique, on peut démontrer que l énergie magnétique est donnée par : W M = 1 B Hdv (6.27) 2 De la théorie des circuits, on sait aussi que : W M = v(t)i(t)dt = 1 2 L2 (6.28) En utilisant ces deux équations, on peut calculer l inductance : L = 2W M 2 (6.29) Dans certains cas, il est plus facile de calculer l inductance en utilisant l équation de l énergie. Si on a un volume bien défini sur lequel faire une intégrale, il est plus simple d utiliser l équation 6.29 ; sinon, on utilise plutôt l approche avec le flux. Gabriel Cormier 16 GELE3222

17 Exemple 4 Soit le circuit suivant, en acier au silicium. Calculer la force magnétomotrice (F ) nécessaire pour produire un flux (Φ) de Wb dans la section droite du circuit. Toutes les mesures sont en mètres; la section du circuit est 0.05m 0.04m, sauf pour la partie centrale, qui est 0.02m 0.04m N Φ 0.2m On commence par calculer les sections et longueurs correspondantes. a b c d e f Section b-a-d-e A 1 = = 0.002m 2 l 1 = (2)(0.01) + 2(0.14) + 2(0.025) = 0.50m Section b-e A 2 = = m 2 l 2 = = 0.15m Section b-c-f-e A 3 = = 0.002m 2 l 3 = (2)(0.01) + 2(0.14) + 2(0.025) = 0.50m Gabriel Cormier 17 GELE3222

18 Puisqu on connaît le flux dans la section b-c-f-e, on peut calculer la densité de flux : B 3 = Φ 3 = = 0.7 Wb/m2 A Si on regarde dans le graphe p.89 du livre pour l acier en silicium, on trouve que H At/m. La chute de potentiel au point b-e doit être la même que dans la section b-c-f-e : Φ 2 R 2 = Φ 3 R 3 ou plutôt (puisque la réluctance n est pas linéaire) : H 2 l 2 = H 3 l 3 On peut donc trouver le champ magnétique dans la section 2 : H 2 = H 3l 3 l 2 = At/m ce qui correspond à une densité de flux de B T. On peut maintenant trouver le flux dans la section 2, Φ 2 = B 2 A 2 = Wb Le flux dans la section 1 est la somme des flux des sections 2 et 3, La densité de flux dans la section 1 est : Φ 1 = Φ 2 + Φ 3 = Wb B 1 = Φ 1 A 1 = 1.17 T ce qui correspond à un champ magnétique de H 290 At/m. La force magnétomotrice est donc : F = H 1 l 1 + H 2 l 2 = At Gabriel Cormier 18 GELE3222

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