PROBABILITÉS STATISTIQUES

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1 PROBABILITÉS ET STATISTIQUES Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

2 Sommaire Chapitre Statistique descriptive 4 La statistique et les statistiques 4 Généralités sur les distributions statistiques 4. Population et échantillon. Variables statistiques.. Variables quantitatives.. Variables qualitatives ou catégorielles. 3 Distribution statistique d une variable 5 3. Données brutes 3. Suites ordonnées 3.3 Distribution d effectifs. 3.4 Intervalles de classe - bornes - centre de classe 3.5 Représentation des données 4 Indices de Position Indices de dispersion Indices de position (moyenne, médiane, mode) 4. Indices de dispersion (étendue, valeurs extrêmes, quantiles, variance, écart-type) 5 Somme de deux variables 0 Chapitre Principales distributions de probabilité 3 otion de variable aléatoire 3 Loi de probabilité d une variable aléatoire discrète 3. Loi Binomiale ou distribution de Bernoulli 3. Loi de Poisson : 4 3 Loi de probabilité d une variable aléatoire continue 4 3. Loi de Laplace Gauss (ou loi normale) Définition de la loi normale 3.. Courbe représentative de la densité de probabilité 3..3 Loi normale centrée réduite 3..4 Table de l écart réduit 3..5 Importance de la loi normale 3. Lois dérivées de la loi normale Loi du chi-deux 3.. Loi de Student Chapitre 3 : Probabilités conditionnelles. Indépendance entre évènements. Théorème de Bayes. 9 Généralités 9 Les éventualités résultant d une expérience: Propriétés élémentaires des probabilités Probabilités conditionnelles 9 3 Indépendance en Probabilité 0 4 Théorème de Bayes 0 Chapitre 4 Fluctuation d échantillonnage Population des Echantillons issus d une population d individu Fluctuations d échantillonnage d une moyenne 3 Fluctuations d échantillonnage d une proportion Chapitre 5 Estimation par intervalle de confiance ²5 Généralités 5 Estimation ponctuelle 5 Estimation par intervalle de confiance. 6. Variable quantitative estimation d une moyenne par intervalle de confiance. Variable qualitative estimation d une fréquence par intervalle de confiance 3 Précision d un intervalle de confiance 7 4 ombre de sujets nécessaire 7 Chapitre 6 : Comparaison d une caractéristique observée à une caractéristique théorique 9 Etapes d un test statistique - grands échantillons: 9 Risque de première, risque de deuxième espèce, puissance d un test statistique 30 Chapitre 7. Comparaison de deux variances 3 Test de Fisher 3 Table de Fisher 33 Chapitre 8 Comparaison entre deux caractéristiques observées 34 Comparaison de deux moyennes observées 34. Cas des échantillons indépendants. Cas des échantillons appariés Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

3 3 Comparaison de deux fréquences observées 38. Cas des échantillons indépendants. Cas des échantillons appariés Chapitre 9 Le test de chi-deux 39 Le chi-deux d indépendance 39 Le chi-deux d ajustement 4 3 Table de chi-deux 4 Chapitre 0 Tests non paramétriques 45 Principes des tests non paramétriques 45 Tests non paramétriques avec échantillons indépendants 45 3 Table de U - pour le test de Mann et Whitney 47 4 Tests non paramétriques avec échantillons appariés 47 Références 48 Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

4 4 Chapitre Statistique Descriptive. La statistique et les statistiques La statistique est une «méthode de raisonnement permettant d interpréter le genre de données très particulières, qu on rencontre notamment dans les sciences de la vie, dont le caractère essentiel est la variabilité «D. Schwartz». Les statistiques ensemble des données relatives à un groupe d individus ou d unités. La statistique descriptive est la phase de la statistique qui se limite à décrire ou analyser une population donnée, sans tirer de conclusion pour une population plus grande.. Généralités sur les distributions statistiques La statistique descriptive va nous permettre d étudier un certain nombre d objets par le terme de série ou ensemble statistique. Il existe grands types de séries statistiques : la population et l échantillon... Population et échantillon Population : ensemble de tous les individus qui relèvent d une définition donnée. La population est plus ou moins vaste, selon sa définition (parfois, des milliers de sujets). Echantillon = fraction de la population Pour avoir des renseignements sur la population à partir de l échantillon extrait : l échantillon doit être représentatif. L échantillon est représentatif si sa taille est suffisamment grande et si il est extrait au hasard de la population (tirage au sort).. Variables statistiques Une variable statistique est une caractéristique p La variable peut être quantitative ou catégorielle... Variables quantitatives : sont des variables mesurables : poids, taille, âge. Elles sont souvent accompagnées d une unité de mesure (ex : poids = 50 kg). On distingue sous catégories : * Variables continues qui peuvent prendre un nombre infini de valeur dans un intervalle donné (ex : taille, pression artérielle diastolique). * Variables discrètes : ne peuvent prendre qu un nombre fini de valeur : ex : nombre d enfants d une famille. On transforme souvent une variable continue en variable discrète : c est la discrétisation ou groupement par classe... Variables qualitatives ou catégorielles. Ce sont des variables non mesurables. Elles ont un certain nombre de catégories ou modalités. Une variable catégorielle à catégories est dite dichotomique ou (binaire). Ex la variable fumeurs (fumeurs-non fumeurs) est une variable catégorielle à deux catégories. En présence de plusieurs catégories, on distingue : Les variables ordinales : elles peuvent bénéficier d un classement ordonné ou d un ordre naturel. Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

5 5 Ex : l intensité de douleur : nulle, légère, intense, insupportable. La transformation d une variable catégorielle ordinale en variable catégorielle dichotomique est possible. Ex pour la douleur : pas de douleur / douleur. Les variables nominales : Il n existe pas d ordre naturel. Chaque classe désigne une catégorie (elle la nomme). Par exemple, pour la couleur des yeux : noir / marron / vert /bleu. 3 Distribution statistique d une variable 3. Données brutes : données rassemblées sans se soucier d un ordre quelconque. 3. Suites ordonnées : les données sont rangées par ordre fixe (croissant ou décroissant). Considérons la valeur x i, elle se rencontre n i fois n i est appelé effectif f i = n i /n est appelé fréquence ou pourcentage (* 00) Valeur effectif fréquence de la variable x n f x i n i f i x p n P f p n n est l effectif total de l échantillon 3.3. Distribution d effectifs. Après avoir ordonné les données, on découpe l étendue en classes (ou catégories) et on dénombre toutes les mesures qui tombent à l intérieur d une même classe. A chaque classe on associe l effectif (et la fréquence). Ex : Répartition d un dosage chez l enfant de moins de 6 ans : Valeur du dosage effectif > 0 - <0 6 > 0 - <30 6 > 30 - <40 4 > 40 - <50 6 Total Intervalles de classe - bornes - centre de classe Les classes sont d étendues égales (en général). La borne inférieure comprise, borne supérieure exclue. Considérons la classe 0-30 du tableau -Cette classe définit tous les enfants dont le dosage est compris entre 0 et 30. -La borne inférieure est 0, la borne supérieure est L intervalle de classe est fermé : > 0 - <30 ou encore [0-30[ Dans un intervalle de classe ouvert, une des bornes n existe pas. Ex valeur du dosage >50 -Le centre de classe est défini comme la moyenne des bornes de la classe : Pour la classe le centre de classe est 35. Dans une distribution en classes, lors du calcul de la moyenne ou de la variance, chaque élément d une classe a la valeur du centre de classe : on suppose donc que les 4 enfants de la classe ont une valeur du dosage égale à Représentation des données Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

6 6 Elle dépend du type de la variable étudiée. Il existe des formes de présentation différentes pour les variables quantitatives et catégorielles. Le tableau Le tableau est utilisable quelle que soit la nature des données. Il permet de présenter de façon complète et précise les données Distribution de l âge de 80 hommes suivis dans un service de Diabétologie. Age (ans) Effectif s Fréquence (%) , , , , , , , , , , , 5 0 0, , , , , , , , ,0 =80 La fréquence ou effectif relatif d une classe ou de la valeur d un caractère quantitatif est le rapport entre l effectif de cette classe et l effectif total de l ensemble des classes. En général, elle est exprimée en % Ex classe [40 45[ ans: 6 %. On peut aussi représenter cette distribution de l âge en classes. Age (ans) Effectifs Fréquence (%) Fréquence cumulée (%) [40 45[ [45 50[ [50 55[ [55 60[ La fréquence cumulée d une classe correspond à l ensemble des éléments inférieurs à la borne supérieure de cette classe. Pour la classe [45 50[la fréquence cumulée est 46% (6% + 30%). On a 00% à la borne supérieure de la dernière classe. Quelques principes : Par convention, le titre du tableau figure au dessus du tableau. Il doit être informatif. Dans un bandeau de titre, on indique la nature des informations, avec un trait plein au dessus et au dessous du bandeau. Les chiffres sont alignés par colonne et le même nombre de décimale est donné. Le graphique Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

7 7 Par convention, le titre d un graphique figure au-dessous du graphique.. Pour une variable quantitative continue, L histogramme : est un graphique où l axe des abscisses représente les valeurs de la variable, regroupées en classes, et l ordonnée représente l effectif ou la fréquence de chacune des classes. Effectif ou fréquence L aire d un rectangle est proportionnelle à l effectif ou à la fréquence de la classe Age (ans) Figure : Distribution de l âge Chez 80 hommes. Le polygone de fréquence : est la courbe obtenue en joignant les points dont les abscisses sont les centres de classes et les ordonnées les effectifs -Le choix de l échelle doit être correct -L axe des abscisses couvre toute l étendue des données présentées. Dans notre exemple, 40 à 60 ans. -Il n y a pas d espace entre la base des différents rectangles en abscisse (variable continue). Pour une variable catégorielle. Le diagramme à barres. Permet de donner la fréquence (ou le nombre) de chaque catégorie Un espace est laissé entre chaque barre. Effectifs Figure : Description de l intensité de la douleur chez 05 enfants drépanocytaires Figure : Description de la douleur chez des enfants drépanocytaires. Représentation à l aide d un diagramme en secteurs Le diagramme en secteurs dit en «camembert Donne la répartition d une variable qualitative. Il est souvent moins informatif qu un tableau. Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

8 8 4. Indices de Position Indices de dispersion. Ils permettent de présenter de manière synthétique les données observées dans l échantillon. 4.. Indices de position 4.. Moyenne arithmétique (ou moyenne) Pour une variable quantitative la moyenne permet de résumer les valeurs obtenues sur un échantillon Définition La moyenne est un paramètre de position. La moyenne est obtenue en faisant la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs (noté ici ). -Soit une série de n mesures x, x..x n d une variable quantitative X. La somme est notée n xi (somme de toutes les valeurs, de la première à la dernière) i n xi x x.. xn La moyenne est désignée par X = soit X = i n ( on remarque que xi =. X ) i Ex : Si on considère l âge en années de 7 étudiants : 0, 7, 3, 9, 6,8. On a : x = 0, x = 7, x 3 = 3, x 4 = 9. x 5 = 6, x 6 = 8 La somme = 3 ans et la moyenne = 8,83 ans. -Considérons un échantillon divisé en k classes de valeurs centrales y j : k n j y j j X = n j étant l effectif de la jième classe n j Si chaque élément de l échantillon a la même chance d être tiré : PJ = probabilité que (X = y J), on obtient l espérance mathématique X = k j Propriétés de la moyenne y jp J On peut réaliser un changement d origine et/ou d échelle pour simplifier les calculs Changement d origine : (méthode de la moyenne provisoire) Soit la variable X = X x 0 On démontre que X ' = X x 0 X = X ' + x 0 On a intérêt à choisir x 0 de manière à obtenir une simplification des calculs et donc des valeurs très petites de X. Il faut choisir de préférence le mode. Changement d échelle : Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

9 9 X = X h X X ' = h X = h X ' Changement d origine et Changement d échelle X x0 X x0 X = X ' = X = h X ' + x 0 h h Autre propriété : la somme algébrique des écarts à la moyenne est nulle. 4.. La médiane La médiane est la valeur centrale de la distribution, qui divise l échantillon en deux moitiés de taille égale (même effectif). L une à toutes les valeurs supérieures à la médiane, l autre a toutes les valeurs qui lui sont inférieures. - Si le nombre d observations est impair, la médiane est la valeur correspondant à l observation située au milieu, celle située au (n ) ème rang. (3 ème rang pour l exemple ci-dessous). Ex des étudiants de la salle IL faut d abord classer toutes les observations par ordre croissant. Pour 0, 7, 3, 9, 6, on observe après classement 6, 7, 9, 0, 3 La médiane est 9 ans - Si n est un nombre pair, on considère que la médiane est à mi-chemin entre les deux valeurs du milieu. 6, 7, 9, 0, 3, 4 médiane = (9 + 0)/ = 9, 5 ans Le Mode (ou valeur dominante) C est la valeur de la variable la plus souvent rencontrée. Dans la distribution d une variable, le mode peut ne pas exister ou ne pas être unique X = (,, 5,, 4,, 5) a pour mode X = (, 3, 5,, 4, 7) pas de mode X = (, 7, 5,, 5, 8, 9) a pour mode et 5. On parle de distribution bimodale. Sur un plan graphique, le mode est la valeur de x sur l axe des abscisses dont l ordonnée est la plus grande. Si les données sont rangées par classes, la classe modale est celle dont l effectif est le plus élevé. 4. Indices de dispersion : 4.. Valeurs extrêmes : la plus petite et la plus grande des valeurs Ex de l âge avec les valeurs suivantes : 6, 7, 9, 0, 3, 4 ans La plus petite valeur est 6 (minimum), la plus grande est 4 (maximum). L étendue est 6 4 ans = 8 ans. 4.. Etendue : L étendue d une série correspond à la différence entre les valeurs extrêmes Les quantiles : quartiles, déciles, percentiles. Les quartiles : valeurs qui partagent la série ordonnées en 4 groupes de même effectif. On détermine des quartiles pour des échantillons importants. Ces quartiles se répartissent en : Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

10 0 -Premier quartile : valeur de la série qui a 5% (n/4) de la distribution au dessous et 75% au dessus. -Deuxième quartile, correspond à la médiane qui a 50% (n/) au dessous et 50% au dessus. -Troisième quartile, valeur de la série qui a 75% (3n/4) de la distribution au dessous et 5% au dessus. Déciles : partagent la distribution en 0 parties égales Centiles: partagent la distribution en 00 parties égales 4..4 Variance Définition de la variance La variance est égale à la somme des carrés des écarts à la moyenne divisée par l effectif total. Si x = (x, x, x n ) La variance est notée var (x), σ, ou s pour l échantillon. n x X s (X) = i n x X i La variance a l unité de la variable au carré: si x est par exemple une longueur exprimée en cm, la variance est exprimée en cm Si on développe le numérateur, on obtient i n x X x i On peut écrire la formule de la variance sous la forme suivante. xi s (X) = T T / avec T = x et T i = x c est la formule la plus utile pour i i i effectuer des calculs. Propriétés de la variance Changement d origine : un changement d origine ne modifie pas la variance X = X x 0 On démontre que s ' ( X ) = s (X) s (X) = s ' ( X ) Changement d échelle : X X = s ' s ( X ) ( X ) = s (X) = h. s ' ( X ) h h Changement d origine et Changement d échelle : ' X x0 X = s ' s ( X ) ( X ) = s (X) = h. s ' ( X ) h h 4..5 L écart-type Si l on souhaite exprimer la dispersion avec une même unité que la variable elle-même, Il faut considérer l écart type = racine carré de la variance. s(x) = var X s(x) = s X 5. Somme de variables Pour la moyenne Soit Y et Z deux variables quantitatives (ou plus généralement variables aléatoires) et soit X = Y + Z On démontre que X Y Z Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

11 L espérance d une somme algébrique de variables aléatoires est la somme algébrique des espérances de ces variables. IL en résulte que : s (X) = i En développant, on trouve s (X) = y Y z y i Z Y i i i z i Z y i Y z i Z cov Y, Z s (Y + Z) = s (Y ) + s ( Z) + cov (Y, Z) La relation entre les variances se simplifie si les variables Y et Z résultent de tirages indépendants dans une population. Mais La covariance de deux variables aléatoires indépendantes est nulle. Cov (Y, Z) = 0 et donc s (Y + Z) = s (Y ) + s ( Z) Remarque si X = Y Z De la même façon : X Y Z s (Y - Z) = s (Y ) + s ( Z) - cov (Y, Z) et on retrouve si Y et Z sont indépendants s (Y - Z) = s (Y ) + s ( Z) Exercice On dose une enzyme chez 00 individus normaux avec les résultats suivants (les dosages sont exprimés en unités arbitraires :U) Classe Effectif [ 4 à 6 U [ 5 [ 6 à 8 U [ 40 [ 8 à 0 U [ 0 [0 à U[ 0 [ à 4 U[ 5 (Pour les classes : borne inférieure comprise, borne supérieure exclue). - Quelle est la classe modale de cette distribution? Donner sa définition.. On admet que X est le centre de classe. Après un changement d origine : Y = X 9, on obtient : - la somme des valeurs de Y n i y i = la somme des carrés des valeurs de Y n i y i = 680 Calculer la moyenne et la variance du taux de cette enzyme..3 Quels sont les pourcentages de sujets ayant : a) une valeur inférieure à 8 b) une valeur supérieure ou égale à 0.4 Tracer l histogramme correspondant à cette distribution Corrigé. : Classe modale 6 à 8 Sa définition : c est la classe des valeurs de cette variable la plus souvent rencontrée (ou encore ayant l effectif le plus élevé).. : Calcul de la moyenne et de l écart-type i y i Y z i Z Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

12 effectif n i Y i n i Y i 4 à 6 U 5 6 à 8 U 40 8 à 0 U 0 0 à U 0 à 4 U 5 =00 T = -40 T =680 =00, T = -40, T =680 - Y = X x 0 mx = my + x 0 niyi - my = -,4 U mx = -,4 + 9 m x = 7,6 U - s y = T T s y = 4,84 s y = s x s x= 4,84 U.3 pourcentage de sujets ayant a) une valeur inférieure à 8 = 65 /00 = 0,65 soit 65% b) une valeur supérieure ou égale à 0 = 5 /00 = 0,5 soit 5% Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

13 3 Chapitre Principales distributions de probabilité En général, on ne connaît pas les distributions des variables que l on étudie dans une population et on essaie de rattacher ces distributions à certaines lois théoriques qui constituent des modèles.. otion de variable aléatoire On peut caractériser une variable aléatoire X par la donnée complète de la distribution de probabilité. Soit E un ensemble d évènements pour lesquels on a défini une distribution de probabilité. On appelle variable aléatoire X une fonction numérique définie sur cet ensemble E Une variable aléatoire traduit une situation liée au hasard. Par convention on écrit : En majuscules la variable En minuscules la valeur déterminée que prend la variable (la réalisation de la variable) La variable peut-être discontinue (ou discrète) ou continue. La variable x est dite discontinue si elle ne peut prendre que certaines valeurs x, x, x i..x n. On parle aussi de variable discrète. On peut associer à chaque valeur de x i une probabilité p i telle que : pi= Pr (X=x i ). Les lois principales sont : - la loi binomiale - la loi de Poisson Une variable est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs sur un certain intervalle fini ou infini. La principale loi de probabilité est la loi de Laplace-Gauss dite encore loi ormale.. Loi de probabilité d une variable aléatoire discrète. Loi Binomiale ou distribution de Bernoulli Soit une variable aléatoire ayant valeurs possibles et 0 (événement et son contraire) Exemples : succès / échec Boules noires / boules blanches dans une urne. La variable prend la valeur avec une probabilité p et la valeur 0 avec la probabilité q (q = p) Elle suit la loi de Bernouilli. On parle de variable de Bernoulli de paramètre p. Sa moyenne vaut p et sa variance p ( p) = pq La variable binomiale est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes. Considérons une suite de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Appelons k le nombre de réalisations de l événement A (nombre de succès ou nombre de boules noires) au cours de n épreuves. k est une réalisation d une variable K qui peut prendre les valeurs 0,,.n (intervalle fini). La loi binomiale dépend de paramètres p et n. Formule de la loi Binomiale : Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

14 4 Pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres p et n k k n k P (X = k) : C. p. q avec C k n = nombre de combinaison de n «objets» pris k par k ; n n! C k n = k!( n k)! Rappel : Le nombre n! se lit "factorielle n". Exemple : 5! La variable binomiale a pour moyenne la somme des moyennes (n.p) et comme variance la somme des variances (n.p.q) Moyenne : E (X) = n.p Variance : Var (X) = n.p.q et écart-type (X) = n. p. q Si l on exprime les résultats en pourcentage observé p o p o p Var p o pq / n. Loi de Poisson : = k/n La loi de Poisson s applique aux évènements «rares», p est très petit. Définition : lorsqu une variable aléatoire X suit une loi de Poisson, ses valeurs possibles sont 0,,, 3 k La probabilité p k d observer la valeur k est donnée par la formule : a a k k! P (X = k) = e a étant le paramètre de la loi de Poisson Moyenne E (X) = Var (X) = a C est donc une loi discontinue qui ne dépend que d un seul paramètre a. On appelle aussi la loi de Poisson la loi des petites probabilités De nombreux phénomènes suivent une loi de Poisson. Elle permet de représenter la survenue d évènements qui se produisent au hasard dans le temps ou dans l espace. Exemple : en pharmacovigilance, la loi de Poisson permet d estimer la fréquence des évènements adverses à partir des rares cas signalés. Exemple : le nombre d éléments (bactéries, hématies etc.) d une solution très diluée observée dans le champ d un appareil appelé hématimètre. Cet appareil comporte un certain nombre de carrés et on compte le nombre d éléments par carré. Si la préparation est homogène, la distribution observée doit suivre une loi de Poisson. Dans le cas contraire, la préparation n est pas homogène. 3. Loi de probabilité d une variable aléatoire continue 3. Loi de Laplace Gauss (ou loi normale) 3.. Définition de la loi normale Soit une variable continue X pouvant prendre toutes les valeurs de à La loi normale est définie par sa densité de probabilité s écrit : ( x f (x) = ) e (formule à ne pas retenir) e est la base des logarithmes népériens. µ désigne l espérance (la moyenne) et est la variance de la variable aléatoire X Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

15 5 L écart-type = racine carrée Si X obéit à une loi normale de moyenne et d écart-type, on note en abrégé X est (, ) 3.. Courbe représentative de la densité de probabilité La courbe représentative de la densité de probabilité est souvent appelée «courbe en cloche» Elle est symétrique par rapport à l abscisse pour f(x) La moyenne est et est en même temps la médiane et le mode L écart-type est. On montre que est la distance entre l axe de la courbe et le point d inflexion de la courbe Loi normale centrée réduite Une loi normale est complètement définie par la structure de sa fonction de densité et les données de son espérance et de son écart-type. Il y a autant de variables X normales que de couples de nombres et. Cas particulier = 0 et = alors, f (x) = On a alors affaire à la loi normale réduite. ( x) Désignons la variable réduite par le symbole U (elle est parfois nommée ε). On montre qu on peut passer d une variable normale quelconque X à une variable réduite U par un changement de variable linéaire de la forme : X = + U Soit U = X Propriétés de la loi normale réduite La moyenne E(U) = 0, la variance Var (U) = U = (0,) C est la variable normale centrée réduite (encore appelée variable réduite) ; La densité de probabilité de la Loi normale centrée réduite est (u) f (u) = e La courbe de cette loi normale centrée réduite u = x e -u 0 +u Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

16 6 Règle : Pour obtenir une variable normale réduite U à partir d une variable normale X de moyenne et d écart-type, il suffit de lui retrancher sa moyenne et de la diviser par son écarttype. U = X. Toute question posée sur X sera transformée en question posée sur U. On déduit facilement la probabilité pour qu'une variable suivant une loi normale quelconque X(μ, σ) de moyenne μ et d'écart-type σ, soit comprise dans un intervalle donné [x, x ] : x Pr (x < X <x ) = Pr ( x < U < ) 3..4 Table de l écart réduit P (u) est associée à cette loi normale : elle donne pour chaque valeur de U la probabilité que U soit à l extérieur de l intervalle (-u ; +u) P (u) = Pr (U < -u ou U > u) Ou = Pr ( U > u) P (u) -u 0 +u P (u) P(u) P(u) est représenté par la zone hachurée. On en déduit que P(u) = Pr (-u U u) ou On utilisera souvent en statistique les relations suivantes avec un seuil 5 % Pr ( U >,96) = 0,05 Pr (-,96 U,96) = 0,05 = 0,95 On peut lire la table à partir de P(u) ou à partir de U : La valeur de P(u) est obtenue par addition des nombres inscrits en ligne et en colonne. A leur intersection est lue la valeur de U Ex pour α = 0,05, la valeur U est lue à l intersection de la ligne indicée par 0,00 et de la colonne indicée par 0,05 (est alors 0,00 + 0,05) U =,96. U = P(u) =0,3 P(u) = 0,68 U = 0,68 ( ) 3 P(u) =0,50 P(u) = 0,50 U = P(u) =0,3 P(u) = 0,68 U =,96 ( ) P(u) =0,05 P(u) = 0,95 Quelques probabilités : a) Pr (u) = Pr (U > u) P(u) Pr (u) = b) Pr (u) = Pr (U < u) P(u) Pr (u) = - Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

17 7 c) Pr 3 (u) = (0 < U < u) Pr 3 (u) = P(u) (ou encore 0,5 P(u) ) d) Pr 4 (u) = (U < 0) ou Pr 4 (u) = (U > 0) Pr 4 (u) = 0, Importance de la loi normale -L importance de la loi normale vient du théorème fondamental énoncé ci-dessous. La moyenne d un échantillon extrait d une population quelconque est distribuée selon une loi pratiquement normale quand la taille de l échantillon est suffisamment grande. -Autres raisons de l importance de cette loi normale : - La loi normale est la loi limite de la loi binomiale et de la loi de Poisson En pratique, l approximation est valable quand : np et n ( p) > 0 pour la loi binomiale np = a > 0 pour la loi de Poisson Remarque : la loi de Poisson qui devient normale garde sa propriété essentielle Moyenne E (X) = Var (X) - Si des variables sont gaussiennes, il en est de même de leur somme et de leur différence. - Souvent une transformation simple conduit à une distribution normale. On peut écrire X = log Y. X est alors distribuée normalement. 3.. Lois dérivées de la loi normale 3.. Loi du chi-deux Définition de la loi de chi-deux Soit U U.U V, n variables aléatoires indépendantes distribuées chacune selon une loi normale centrée réduite (c est-à-dire de moyenne 0 et d écart-type ), la somme des carrés de ces variables aléatoires définit une nouvelle variable aléatoire, notée U + U +.U V Cette nouvelle variable suit une loi de à v degré de liberté (ddl). La variable aléatoire à ddl correspond donc au carré d une loi normale centrée réduite La table de la loi de donne la valeur de telle que p = Pr ( n fonction du nombre de ddl. Pour le test de : voir chapitre Loi de Student Soit X une variable aléatoire distribuée selon une loi normale de moyenne µ et de variance σ. Soit X, X,.X n, un échantillon de taille n. Soit m et s les estimations de µ et σ. La quantité t m t suit une loi de probabilité de Student à n- ddl. s n La table de Student donne la probabilité p telle que p= Pr t > t α, pour n- ddl Pour le test de Student / : voir chapitre 6. Remarquons que quand n > 30, t suit approximativement une loi normale réduite U car m est distribué normalement et s ne s écarte pas trop de σ. Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

18 8 Exercices Exercice. Soit une variable aléatoire X distribuée selon une loi normale centrée réduite Quelle est la valeur de la limite y pour que les expressions suivantes soient vérifiées? a) Pr (x > y) = 0,70 b) Pr (x > y) = 0,40 Exercice. Dans une population, on admet que la valeur X du taux de cholestérol sanguin obéit à une loi normale de moyenne =, g/l et d écart-type = 0,5 g/l.. De quel type de variable s agit-il?. - Quelles sont les probabilités pour qu un sujet tiré au hasard ait un taux de cholestérol a) supérieur à,g/l b) compris entre,g/l et,7g/l Corrigé exercice X est une variable aléatoire distribuée selon une loi normale centrée réduite La valeur de la limite y pour que les expressions suivantes soient vérifiées a)pr (x > y) = 0,70 y < 0 - = 0,70 0, 60 y = - 0,54 b)pr (x > y) = 0,40 = 0,40 0, 80 y = 0,53 Corrigé exercice. Le taux de cholestérol sanguin est une variable quantitative. - X est (, ) avec =, g/l et = 0,5 g/l. Y = x Y est (0, ) a) Calcul de la probabilité pour que x >,g/l Pr (x >,) = Pr (Y >,, ) Pr (x >,) = Pr (Y > - ) 0,5 Y = 0, 05 La probabilité recherchée est - = 0,05 = 0,97 p = 0,97 b) Calcul de la probabilité pour que, < x <,7 g/l Pr (,7 < x < 3,) = Pr (,, < Y <,7, ) 0,5 0,5 Pr (- < Y < ) Y = 0, 05 pour Y = 0, 3 La probabilité recherchée est : - - = ,6 p = 0,8 Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

19 9 Chapitre 3 PROBABILITÉS CODITIOELLES IDÉPEDACE ETRE ÉVEEMETS - THÉORÈME DE BAYES.. Généralités On appelle évènements élémentaires, l ensemble des éventualités possibles résultant d une expérience ou d une observation. Exemple : en jetant un dé, les événements élémentaires sont constitués par l apparition de l une des 6 faces. L évènement est un sous-ensemble A d un ensemble E (constitué par toutes les éventualités possibles). Les éventualités résultant d une expérience: Evènement certain : se produit à coup sûr. Sa liste comprend tous les évènements élémentaires. Il est identique à E. Evènement impossible, ne se produit pas Evènement contraire : Si l on s intéresse à un évènement A, deux éventualités sont possibles A et son complémentaire A, A A E Si l on s intéresse à deux évènements A et B -L évènement {A ou B} se réalise si se produit un évènement élémentaire appartenant à A ou à B ou les deux : A B -L évènement {A et B} est réalisé si A et B se produisent les deux à la fois. On note A B -A et B sont incompatibles A et B ne peuvent se produire en même temps. On parle de sousensemble disjoint : A B = Propriétés élémentaires des probabilités - La probabilité de tout évènement associé à une épreuve est un nombre compris entre 0 et. - La probabilité de l évènement certain est égale à (00%). Pr (E) = Pr( ) = 0 -Si la réalisation de A entraîne celle de B on écrit A B -Si deux évènements A et B sont incompatibles (ou disjoints) l évènement {A ou B} est égale à la somme des probabilités de A et de B. Pr( A B) = Pr A Pr B -Si A et B sont deux évènements quelconques, on a Pr ( A B) Pr A Pr B Pr( A B) -Si A est le complémentaire de A., Pr( A ) Pr( A.) A B =, la probabilité de. Probabilités conditionnelles Dans un ensemble E des évènements possibles, considérons deux évènements A et B. A est le complémentaire de A B est le complémentaire de B Il est possible de calculer la probabilité de l évènement A si l évènement B s est déjà produit. Il s agit d une probabilité conditionnelle Pr( A B) Pr (A si B) ou Pr A sachant B ou Pr (A B) Pr (A B) = Pr( B) Soit le rapport de Pr ( A et B) sur Pr (B) Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

20 0 Cette formule est valide si Pr(B) > 0 : B n est pas un évènement impossible. Réversibilité de la formule (A et B) est le même évènement que (B et A) ; Ils correspondent tous les deux à l ensemble des évènements appartenant à la fois à A et à B. On peut écrire de manière équivalente Pr (A B) = Pr (A).Pr (B A) Pr (A B) = Pr (B A) Au total : Pr (A). Pr (B A) = Pr (B). Pr (A B) Pr (B A) = Pr (B). Pr (A B) 3. Indépendance en Probabilité On dit que deux évènements A et B sont indépendants si la connaissance de l un ne modifie pas la probabilité de l autre. Alors si A et B sont indépendants, Pr (A) = Pr (A B). La réalisation de B n a aucune influence sur celle de A Pr (B) = Pr (B A) La réalisation de A n a aucune influence sur celle de B. Selon la probabilité conditionnelle Pr (A B) = Pr (A). Pr (B A) Pr (A B) = Pr (A). Pr (B) 4. Théorème de Bayes On s intéresse à la modification des probabilités d évènements suite à la connaissance des faits. Il s agit d exprimer Pr (A B), probabilités de A à posteriori (connaissant B) en fonction de probabilité de A à priori. Pr( A B) Pr (A B) = Pr( B) En changeant la formulation du numérateur Pr( B A).Pr( A) Pr (A B) = Pr( B) En général, on ne connait pas B. On peut l exprimer en fonction de A Pr (B) = Pr (A B) + Pr ( A B) Les évènements (A B) et ( A B) sont incompatibles. La probabilité d avoir l un et l autre est la somme des probabilités. Pr (B) = Pr (B A). Pr (A) + Pr (B A ). Pr ( A ). Le théorème de Bayes Pr (A B) = Pr( A B) Pr( B) Pr( B A).Pr( A) Pr( B A).Pr( A) Pr( B A).Pr( A) Exercices Exercice Considérons évènements : A : tirer une face paire au jeu de dés B : tirer un multiple de 3. Donner les valeurs des proabilités suivantes : Pr(A), Pr(B) et Pr (A B) Exercice Soixante pout cent des individus atteints d une maladie (M) sont des femmes. Elles proviennent d une population ou il y a 50% de femmes et 50% d hommes. Dans cette population, la fréquence de la maladie est de %. Quelle est la fréquence de la maladie chez les femmes. Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

21 Corrigés exercice : Tirer une face paire et tirer un multiple de 3 sont deux évènements indépendants en probabilité. 3 Pr (A) = Pr (B) = 6 6 Pr (A B) = probabilité de tirer une face paire multiple de 3 (c est à la dire la face 6) = 6 On trouve un résultat identique avec le calcul de Pr (A B) = Pr (A). Pr (B) = exercice En fonction des probabilités conditionnelles, on peut écrire Pr (F). Pr (M F) = Pr (M). Pr (F M) Pr (F M)= 0,60 Pr (F) = 0,50 Pr (M) = 0,0 Pr( F M ).Pr( M ) La fréquence de la maladie chez les femmes. Pr (M F)= Pr( F) 0,60.0,0 Pr (M F)= La fréquence de la maladie chez les femmes. Pr (M F) =,4% 0,50 Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

22 Chapitre 4 Fluctuation d échantillonnage Population des Echantillons issus d une population d individu A partir d une population P, on peut extraire de multiples façons des échantillons E. Le tirage au sort d échantillons successifs E, E E I conduit le plus souvent à des valeurs différentes des quantités f (fréquence), m (moyenne), s (variance). Les caractéristiques fournies ne sont pas les caractéristiques exactes. Elles s en écartent plus ou moins selon le hasard de l échantillonnage. On dit qu elles ont des fluctuations d échantillonnage. Le calcul d un intervalle de fluctuation est donc une autre manière de représenter la dispersion d une variable.. Fluctuations d échantillonnage d une moyenne Soit X une variable quantitative de moyenne et d écart-type dans une population P. En considérant différents échantillons de même effectif tirés de P, on observe des moyennes m, m,.m n Ces moyennes subissent une fluctuation d échantillonnage (induite par le hasard). On démontre que : La moyenne de ces moyennes observées vaut La variance de ces moyennes vaut et l écart-type Intervalle de Pari d une moyenne (ou intervalle de fluctuation) au risque. La moyenne m observée dans un échantillon tiré au sort est susceptible de se trouver dans un intervalle [ + U ] avec une probabilité ( - ) Pour une moyenne observée obéissant à une loi normale, Si > 30 (condition de validité) Ou Si X est (, ) dans P, les moyennes observées dans les échantillons d effectifs tirés au hasard suivent une distribution normale (, L intervalle de pari au risque m [ + U ) ] (U valeur de l écart-réduit correspondant à ) * Grand échantillon pour variable quantitative : si > 30 3 Fluctuations d échantillonnage d une proportion Soit Y une variable qualitative Y ayant pour fréquence (ou proportion) P pour un caractère donné dans une population P Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

23 3 Considérons différents échantillons de même effectif tirés au sort. Les fréquences «observées» f subissent une fluctuation d échantillonnage (induite par le hasard ) On démontre que - la moyenne des fréquences f, moy (f) = P P.Q - La variance des fréquences var (f) = avec Q = - P Les fréquences observées dans les échantillons d effectifs tirés au hasard suivent une distribution normale (P, P ).Q Intervalle de Pari d une proportion (ou intervalle de fluctuation), au risque. On ne peut définir un intervalle de pari pour un risque qui lui est associé (risque d erreur consenti). La fréquence observée est susceptible de se trouver dans un intervalle défini par un écart autour de P. Conditions d application Si.P et Q > 5 P.Q Ip au risque : f [ P + U ] avec Q = P. ** Grand échantillon pour variable qualitative :.P et Q > 5 (ou > 0 pour certains auteurs). Dans le domaine médical, les paramètres étudiés suivent souvent (de manière approchée) une loi normale Ainsi on peut démontrer, qu une moyenne ou une fréquence observée suivent approximativement une loi normale dès que la taille de l échantillon est assez grande. Ce résultat est approché lorsque l effectif de l échantillon est «grand» est exact si la distribution de la variable X est elle même normale. Exercice Dans une population, la fréquence d un facteur est de %. On tire au hasard un échantillon de 00 sujets. Calculer l intervalle de pari à 95% et à 99% de la fréquence de ce facteur Corrigé P = 0, et n=00 Les conditions d applications sont vérifiées pour le calcul de l intervalle de pari d un pourcentage puisque : np = et q = 88 sont > 5 L intervalle de fluctuation à 95% ( = 0,05 U =,96) f 0, +,96 0, + 0,064 Ip95% [0,06 0,8] 0,* 0, L intervalle de fluctuation à 99% ( = 0,0 U =,576) 0, +,576 Ip99% [0,04 0,0] 0,* 0, , + 0,084 Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

24 4 Exercice Dans une population, le poids de naissance des nouveau-nés a une moyenne = 3300g et une variance = g. Considérons des échantillons de 400 nouveaux nés tirés au sort dans cette population. Calculer l intervalle de pari à 95% et à 99% de la moyenne du poids de naissance. > 30. Intervalle de fluctuation (pari) à 95% de la moyenne m des poids de naissance observés sur ces échantillons est , m [35 ; 3349] g. Intervalle de fluctuation (pari) à 99% , m [336 ; 3364] g Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

25 5 Chapitre 5 Estimation Intervalle de confiance Généralités : Lorsque l on étudie une caractéristique dans une population, il est souvent nécessaire d étudier cette caractéristique dans un groupe de sujets (échantillon) avant de généraliser les résultats à la population. L estimation est la théorie qui permet cette généralisation de l échantillon à la population. Ex : On souhaite évaluer la prévalence (fréquence) de l hypertension artérielle (HTA) dans un département d outre mer. La population de ce département est trop vaste On sélectionne un échantillon représentatif (tiré au sort) de cette population. On décrit sur cet échantillon la prévalence de l HTA. Puis, on cherche à estimer la prévalence de l HTA dans la population. On distingue types d estimation : l estimation ponctuelle qui fournit une valeur que l on souhaite la plus proche possible de la vraie valeur du paramètre l estimation par intervalle qui donne un intervalle, appelé intervalle de confiance, qui a une probabilité fixée à priori de contenir la vraie valeur du paramètre.. Estimation ponctuelle Définitions et notations L estimation consiste à attribuer une valeur au paramètre étudié à partir des observations faites sur l échantillon. Cette valeur numérique = estimation Il est préférable, de noter différemment la valeur vraie (valeur théorique) du paramètre dans la population, et la valeur estimée sur un échantillon. Les notations des estimations des paramètres les plus couramment utilisées : Paramètre Valeur théorique Estimation sur un échantillon Fréquence P p o ou f Moyenne m Variance s Estimateur, définition La formule ou procédure mathématique utilisée pour «estimer» s appelle l estimateur Biais d un estimateur Le biais d un estimateur est évalué par la différence entre les estimations d un paramètre obtenues sur des échantillons successifs et la vraie valeur du paramètre. Les qualités d un estimateur dépendent de la formule utilisée pour le calculer et de la façon dont a été choisi l échantillon. Les échantillons représentatifs de la population (en pratique, tirés au sort) permettent d éviter la plupart des erreurs dues au choix de l échantillon. Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

26 6 Pour qu un estimateur convienne, il faut vérifier qu il présente qualités principales : absence de biais et variance faible. Estimateur sans biais : un estimateur sans biais donne en moyenne la bonne valeur du paramètre. Une variance faible indique que les estimations sont peu dispersées et qu il y a donc peu d écarts entre les valeurs issues de échantillons distincts L absence de biais signifie que les estimations obtenues sur des échantillons successifs ne s écartent pas de la vraie valeur de manière systématique. Un estimateur est donc d autant meilleur qu il est sans biais et a une variance minimum. Estimateur de la fréquence, de la moyenne et de la variance d une variable. La moyenne des fréquences observées f sur des échantillons tirés au sort était égale à la fréquence P théorique dans la population de la variable qualitative étudiée E (f) = P f estime P La moyenne des moyennes observées m sur des échantillons tirés au sort était égale à la moyenne théorique dans la population de la variable quantitative étudiée E (m) = m estime La fréquence et la moyenne observées (sur des échantillons tirés au sort) sont des estimateurs sans biais des moyennes et fréquences théoriques. La variance Soit E un échantillon, d effectif, correctement extrait de P. On s intéresse à une variable quantitative X dans cette population. Soit la variance théorique et inconnue d une variable quantitative X dans une population P. m et s étant respectivement la moyenne et la variance de X observées dans l échantillon E. x s i m (X) = i On démontre que s est un estimateur biaisé pour. L estimateur de comprend un facteur (et non ) Estimation par intervalle de confiance. Soit P une population dans laquelle la variable quantitative X a une moyenne inconnue (ou la variable qualitative Y a une fréquence théorique p inconnue). L intervalle de confiance d un paramètre inconnu est l intervalle dans lequel le paramètre inconnu qu on cherche à estimer a une probabilité ( - α) de se trouver et α de ne pas se trouver.. Variable quantitative estimation d une moyenne par intervalle de confiance (Ic) Cas des grands échantillons ( > 30) La condition de validité ( > 30) doit être pour appliquer la formule de l intervalle de confiance. Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

27 7 La moyenne m suit une loi normale de moyenne et d écart-type m est (, m U = est (0, ) s Ic de au seuil α : + Uα ] Cas des petits échantillons ( < 30) Calcul de l intervalle de confiance dans le cas où la variable étudiée X est normale Dans ce cas m est (, ) Ic de au seuil α [ m + tα s ] tα est donné par la table de Student à ( ) degrés de liberté. ). Variable qualitative estimation d une fréquence par intervalle de confiance Cas des grands échantillons (p et q > 5) Les conditions de validité du calcul sont vérifiées à postériori aux bornes de l intervalle de confiance f est (p, p.q ) on estime p.q par f ( f ) U = f p est (0, ) f ( f ) Ic de p au seuil α [f + Cas des petits échantillons (p et q < 5) f ( f ) ] L intervalle de confiance est donné par des tables spéciales : abaques 3. Précision d un intervalle de confiance Pour un risque α donné, la précision du renseignement est donnée par l intervalle de confiance. Elle d autant plus grande que l intervalle est petit. s Uα. est la précision de l estimation de la moyenne. Uα. f ( f ) est la précision de l estimation du pourcentage. 4. ombre de sujets nécessaire En bio statistique, la question suivante est souvent posée : Combien faut-il de sujets, pour répondre à une question, dans une étude. Il est possible de déterminer le nombre minimum de sujets nécessaire pour un sondage, à condition : -de fixer i (la précision désirée) et -de connaître P. P étant inconnu, on peut utiliser une valeur approximative par ex f obtenue au préalable sur un petit échantillon. Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

28 8 Si on veut obtenir une précision fixée à l avance, c'est-à-dire un intervalle de confiance déterminé par ± i, on doit avoir, pour un risque α donné i = Uα. f ( f ) U f ( et donc n = i f ) Exercice Dans une population P, on s intéresse au taux de cholestérol sanguin (g/l). On tire au hasard un échantillon de 3 femmes. La moyenne et l écart-type du taux de cholestérol de l échantillon sont égal à, et 0,5. Calculer l intervalle de confiance à 99% pour le taux moyen de cholestérol de la population totale des femmes. Corrigé de l exercice Taux de cholestérol sanguin en g/l = variable quantitative est grand > 30 Ic à 99% = 0,0 U =,57 s 0,5 m + U, +,57 3 [,96 ;,44] g/l Ic 99%, +,57 0,09 Exercice Dans un centre anti-cancéreux, on examine après tirage au sort un échantillon de 00 femmes pour lesquelles on suspecte un cancer utérin. En fait 5% de ces femmes présentent un cancer utérin. Quel est l intervalle de confiance au risque 5 % de la fréquence du K utérin dans la population féminine suspecte reçue au centre anti-cancéreux. Corrigé de l exercice L Ic au risque 5% de la fréquence du cancer utérin dans la population féminine suspecte au centre anticancéreux. =00 f =0,5. On suppose que l échantillon est grand. Les conditions d application (npi, nqi, nps, nqs > 5 seront vérifiées à portériori). 0,5 0,75 P [0,5+ ] Ic 95% P [0,6 ; 0,34] 00 Les conditions vérifiées : npi, nqi, nps, nqs > 5 Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

29 9 Chapitre 6 Comparaison d une caractéristique observée à une caractéristique théorique. Les tests statistiques. La question posée dans le cas d une moyenne, dans le cas d une moyenne : la moyenne observée m diffère t elle de moyenne théorique (connue)? L échantillon E est-il représentatif de P? En fait, on veut savoir si la différence observée est attribuable aux fluctuations d échantillonnage ou si elle correspond à une différence réelle. Le test statistique permet de répondre à cette question. Il est basé sur l estimation de l écart-réduit.. Etapes d un test statistique - grands échantillons:. Les hypothèses nulle et alternative H 0 : hypothèse nulle : E est représentatif de P La moyenne observée ne diffère pas de la moyenne théorique La fréquence observée ne diffère pas de la fréquence théorique H : hypothèse alternative : E n est pas représentatif de P. La statistique du test statistique Après vérification des conditions de validité du test. Si l effectif de l échantillon E est grand, ce paramètre U obéit sous H 0 à une loi connue U = m est (0,) Puisque que > 30 Ou U = avec m = moyenne de x dans l échantillon = moyenne de x dans la population écart-type dans la population = taille de l échantillon ( est grand > 30) f p est (0,) p( p) Avec f = fréquence de x dans l échantillon p = fréquence de x dans la population = taille de l échantillon ( est grand p et (-p) > 5).3 Définir le seuil : seuil de signification ou risque de première espèce. Généralement on choisit = 0,05.4 Définir la zone de rejet de H 0 (zone hachurée) Au risque choisi, correspond un intervalle [-U + U ] ou le paramètre a - de chance de se trouver. La zone de rejet comprend parties ainsi, au seuil = 0,05 -,96 0 +,96 Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

30 30.5 Calculer le paramètre (valeur numérique de la statistique) On calcule le paramètre en fonction des données du problème..6 Décision - Si X tombe dans la zone de rejet, on rejette H 0 avec un risque d erreur < = risque de première espèce -Si X ne tombe pas dans la zone de rejet, je ne rejette pas H 0 si on accepte H 0, cette décision est associée à un risque de deuxième espèce. Risque de première et deuxième espèces, puissance d un test statistique a) = risque de première espèce. Risque d erreur, est le risque de rejeter l hypothèse nulle alors qu en fait elle est exacte. b) = risque de deuxième espèce ou manque de puissance, est le risque de ne pas rejeter l hypothèse nulle alors qu en fait elle est fausse. C est la probabilité de ne pas mettre en évidence une différence qui existe réellement. Les risques et, sont antagonistes. Si l on choisit un risque très petit, on ne peut le plus souvent rejeter H 0. On choisit le plus souvent un risque de 5%. Ce risque fixé est appelé seuil de signification, c) - :puissance du test. C est la probabilité de mettre en évidence une différence qui existe réellement. Synthèse Réalité Décision On ne rejette pas H 0 Rejet de H 0 H 0 vraie - H 0 fausse - Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA

31 3 Exemples Exercice On suppose que la moyenne de la taille normale des nouveaux -nés à terme est 50cm et l écart-type 3. Sur un échantillon de 50 nouveaux nés représentatifs des prématurés (enfant nés avant terme) on observe une moyenne de taille égale à 45 cm. La différence est-elle significative? C est à dire peut-on affirmer que les prématurés naissent plus petits que les nouveaux nés à terme? Corrigé de l exercice Dans la population P, 50 cm et 3 cm. Pour l échantillon m= 45 cm Il s agit de comparer une moyenne observée à une moyenne théorique.. Hypothèse nulle Ho Il n y a pas de différence significative entre la taille des prématurés et celle des nouveaux nés à terme Sous l hypothèse nulle Ho étant > 30. m U = qui est (0, ) 3 Le seuil = 0,05 (dans la table de l écart-réduit, = 0,05 U =,96. 4 La zone de rejet (hachurée) -,96 0 +,96 5) Calcul de la valeur numérique de U U cal = = = -, ) Décision U calculé tombe dans la zone de rejet. Je rejette H0 avec un risque de première espèce 0,05et même à 0-4. Il y a une différence significative entre les moyennes La taille des prématurés est significativement plus petite que celle des nouveaux nés à terme. Exercice Sur les enfants nés de 968 à 973, on a compté 5300 filles. On demande si la proportion de filles est compatible avec l hypothèse d équiprobabilité d une fille et d un garçon au risque %? Corrigé de l exercice On utilise le test de comparaison d une fréquence observée à une fréquence théorique p = 0,5 ) L hypothèse nulle : équiprobabilité des naissances d une fille ou d un garçon. ) Sous H0 f p np et n(-p) > 5 U = p et (-p) > 5) p( p) n 3) Seuil = 0,0 U =,567 4) Zone de rejet hachurée -,57 0 +,57 5) calcul de U 0,53 0,50 Ucal = = 6 0,50*0, ) je rejette H 0 avec un risque de ère espèce = 0,0 (et même < 0-8 ) Il n y a pas d équiprobabilité de naissance d une fille ou d un garçon. Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA