Concours commun 2007 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes.

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1 Concours commun 7 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nanes. L emploi d une calcularice es inerdi Pour ou R + on défini : ( f () = exp 1 ) e g() = f () Problème 1 Parie 1 (Généraliés) 1 Prouver que f e g son C sur R + e que pour ou x R +, f () = g(). Monrer que g es prolongeable par coninuié en e que le prolongemen (encore noé g) es dérivable en. 3 Faire un ableau de variaions de g sur R +, en faire un graphe sachan que e 1, 36 à 1 près. 4 Soi H la primiive sur R + de g ( 1 ), s annulan en 1 : 1. Calculer H.. En former un développemen limié à l ordre 3 au voisinage de 1. 5 Soi n 3 un enier naurel. On inrodui l équaion (E n ) : f () = n, d inconnue R En uilisan la quesion 3, monrer que (E n ) a une unique soluion dans ], 1[, que l on noera α n. On monrerai ideniquemen (mais ce n es pas à faire) que (E n ) adme une unique soluion dans ]1, + [, que l on noera β n.. Monrer que les suies (α n ) n 3 e (β n ) n 3 son monoones. 3. Es-il possible que l une des deux suies converge vers une limie l >? En déduire leurs limies. Parie (Éude d une courbe paramérée) On éudie ici, dans un repère orhonormal d origine O, la courbe paramérée définie sur R + par le poin M() de coordonnées x() = f () = exp( 1 ) y() = g() = exp( 1 ) 6 Déerminer les valeurs de pour lesquelles M() se siue sur la première bissecrice du plan d équaion carésienne y = x. 1

2 7 Éudier la limie de la pene de la droie (OM()) lorsque end vers + e +. 8 En uilisan la quesion 3, faire un ableau de variaion de x e y sur R + avec limies aux bornes + e +. 9 En uilisan les deux quesions précédenes, racer la courbe en repéran les angenes vericales ou horizonales, on pourra uiliser que 4e, 54 à 1 près. Parie 3 (Foncions définies par des inégrales) On prolonge mainenan f à R + en posan f () =. 1 Monrer que l applicaion f ainsi prolongée es de classe C 1 sur R + ; préciser f () e monrer que l égalié de la quesion 1 rese valable pour =. 11 Soi x R +, on noe : F(x) = x f () d, G(x) = x g() d 1. Jusifier l exisence de ces inégrales que l on ne cherchera surou pas à calculer puis monrer que F(x) = xe 1 x G(x).. En séparan l inégrale G(x) en deux, monrer qu il exise une consane C réelle elle que pour ou x 1, G(x) C + ln(x) 3. En déduire que G(x) es négligeable devan x au voisinage de + ainsi qu un équivalen de F(x) au voisinage de +. 1 Résoudre sur R + l équaion différenielle (E) : x y + y = x, l expression générale de la soluion fera apparaîre la foncion F. Parie 4 (Éude qualiaive d une équaion différenielle) On considère mainenan une applicaion y soluion de (E) : x y + y = x cee fois sur R +, de classe C sur R +. Nous allons, sans aucun calcul explicie de y, déerminer enièremen la suie des u n = y (n) () à parir de l équaion (E). 13 Que vau u = y()? 14 En dérivan (E), calculer u 1 = y () e u = y (). 15 Peu-on avoir y de la forme : x αx + βx + γ avec (α, β, γ) R 3?

3 16 Soi n un enier naurel. 1. On suppose ici n 3. Prouver à l aide de la formule de Leibniz que pour ou x R + : x y (n+1) (x) + (1 + nx)y (n) + n(n 1)y (n 1) (x) = En déduire une relaion de récurrence enre u n e u n+1.. Donner une expression de u n uilisan une facorielle, valable pour ou n ; en déduire les développemens limiés (don on jusifiera l exisence) de y à ou ordre au voisinage de. Problème Dans ou ce problème, on se place dans l espace usuel don on noera E l ensemble des poins, E l ensemble des veceurs e le veceur nul. E es muni d un repère orhonormal direc R = (O, ı, j, k), oues les équaions de l énoncé seron relaives aux élémens de ce repère. Si M E e OM = x ı + y j + z k on pourra noer M = (x, y, z) e OM = (x, y, z). On considère les ensembles P e Q d équaions carésiennes : P : x + z =, Q : x + y + z 3 = Parie 1 (Éude d un mouvemen dans l espace) Pour ou R, on inrodui le poin N() de E caracérisé dans R par les coordonnées a() = cos() b() = sin() c() = cos() 1 Prouver que N() apparien au plan P. Donner une équaion paramérique de la droie D inersecion de P e Q. Es-il possible que N() D? 3 Calculer a () + b () + c (). En déduire que N() apparien à un cercle de P don on précisera le cenre e le rayon. 4 Calculer la disance de N() à la droie D puis au plan Q, on pourra vérifier que leur rappor es consan. 5 Prouver que pour ou R : ( ( exp(i) + exp i + π 3 )) ( ( + exp i π 3 )) = 6 En déduire l isobarycenre des poins N(), N ( + π 3 ) ( ), N π 3. 3

4 Parie (consrucion d un polynôme) On fixe mainenan R e on s() = a() + b() + c() noe d() = a()b() + a()c() + b()c(). p() == a()b()c() 7 Simplifier s(). 8 Linéariser le produi de foncions rigonomériques p(). 9 Calculer d() de deux manières différenes on pourra uiliser un résula de la quesion 3. 1 On considère mainenan le polynôme R(X) = (X a())(x b())(x c()), don les racines son donc a(), b() e c() : 1. Dans cee quesion seulemen = π. Monrer sans calculer R(X) ni R (X) que R () =.. Exprimer mainenan R(X) en foncion de s(), d(), p(), puis en foncion des résulas des quesions précédenes. Parie 3 (Endomorphismes à noyau imposé) 11 Monrer que P défini un plan vecoriel de E. 1 Es-ce le cas pour Q? Préciser, sans preuve, la srucure algébrique de Q. 13 On inrodui les veceurs : ı = 1 ( ı k), j = j, k = 1 ( ı + k) Monrer que ( ı, j ) es une base orhonormale de P e que k en es un veceur normal. En déduire que B = ( ı, j, k ) es une base orhonormale de l espace. 14 On désigne par a b le produi scalaire de deux veceurs a e b. Soi e E. Prouver, auremen que par «c es du cours», que ses coordonnées dans la base B son données par : e = ( e ı ) ı + ( e j ) j + ( e k ) k 15 On considère ici une applicaion linéaire u : E E elle que P ker(u). 1. Prouver qu il exise z E el que u( e) = ( e k ) z pour ou e E. 4

5 . Réciproquemen, monrer qu une applicaion u donnée par la formule précédene es un endomorphisme de E el que P ker(u). 3. Donner une condiion nécessaire e suffisane sur z pour que P = ker(u). Donner dans ce cas le rang e l image de u. Parie 4 (Marices de projeceurs) On noe ici p : E E le projeceur orhogonal sur le plan P, B la base ( ı, j, k) e B = ( ı, j, k ) la base inroduie à la quesion 13. On inrodui les marices : 1 1 M = 1, I = Jusifier rès rapidemen que M es la marice de p dans la base B. 17 Donner la marice de passage P de la base B à la base B ainsi que son inverse on déaillera le raisonnemen pour cee dernière. 18 Soi M la marice de p dans la base B : 1. Jusifier sans calcul que M = M.. En déduire que pour ou n N, (M + I) n = I + ( n 1)M 3. Exprimer M en foncion de P, P 1 e M. Ensuie calculer expliciemen M. 19 On peu raier cee parie sans avoir rouvé expliciemen M. On inrodui l ensemble M des marices du ype M a,b = am + bi, où a e b son réels : 1. Monrer que l ensemble M muni des lois usuelles sur les marices a une srucure de R-espace vecoriel don on donnera une base e la dimension.. Les réels a e b éan donnés, exprimer M a,b en foncion de P, P 1, I e M. En déduire une forme facorisée du déerminan de M a,b ainsi qu une condiion nécessaire e suffisane pour qu elle soi inversible. 3. Déerminer les réels e e f els que M a,b M c,d = M e, f. 4. Lorsque M a,b es inversible, exprimer son inverse sous la forme d un élémen de M. 5