POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section i-prépa -

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1 POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section i-prépa - Attention : les chapitres initialement prévus de {Générateurs et Récepteurs} ainsi que {Bilans Energétiques} sont décalés et seront envoyés après le chapitre {Circuit RLC}

2 Chapitre 10 : Condensateur et circuit RC I. Notions de base en électricité : a) Courant électrique : débit de charges à travers une section S pendant une durée. Pour un flux constant, l intensité moyenne est : = Lorsque le courant varie (quasiment toujours le cas dans ces chapitres) : l intensité instantanée est : = Les porteurs de charges (ceux qui conduisent vraiment le courant) sont généralement (pour nous, toujours) les électrons. Le sens conventionnel du courant a été défini comme le sens inverse des porteurs de charge. I de + vers à l extérieur du générateur Pour mesurer l intensité du courant dans un circuit, il faut utiliser un ampéremètre monté en série. b) Tension électrique : différence de potentiel électrique entre deux points d un circuit. Le potentiel électrique peut être vu comme la concentration en charges en un point (beaucoup de charges + ou -, ou non ) ; la tension entre deux points est alors la tension qui règne entre deux points de charges différentes ; en fonction de la concentration de ces deux points, la tension peut être importante ou faible. Analogie avec une chute d eau (cascade) : le courant i serait la largeur du courant d eau : faible ruisseau ou large cascade ; alors que la tension U serait la hauteur du dénivelé de la chute d eau (d un petit muret ou d une haute cascade). La tension électrique peut être mesurée au moyen d un voltmètre monté en dérivation (parallèle)

3 c) Convention générateur : si I et U G de même sens, alors I et U G de même signe d) Convention récepteur : si I et U récepteur de sens contraire, alors I et U récepteur de même signe Si le récepteur est un conducteur ohmique, loi d Ohm : U R = RI Nous verrons dans ce cours deux autres récepteurs, le condensateur et la bobine II. Condensateur : Le condensateur est un composant qui emmagasine de l énergie. Le condensateur plan est constitué de deux armatures conductrices, généralement métalliques, proches l une de l autre, et séparées par un diélectrique (isolant, ex : l air) Un condensateur se caractérise par sa capacité C à emmagasiner des charges électriques sur chacune de ses armatures ; l unité de C est le Farad (F), plus souvent on rencontre le microfarad (mf = 10-6 F) En convention récepteur, la tension aux bornes d un condensateur s écrit : = + Important : l armature +q est celle où arrive la flèche de i

4 III. Charge d un condensateur à travers une résistance par un échelon de tension : a) équation différentielle de charge : Soit un condensateur initialement déchargé que l on branche en série aux bornes d une résistance et d un générateur idéal de tension. A t = 0, le générateur délivre un courant i sous une tension E (Echelon de tension : la tension aux bornes du générateur passe instantanément de 0 V à E V) Etude de l évolution de la tension aux bornes du condensateur : loi d additivité des tensions : = + = + : = = ù: = ( ) = = + Equation différentielle régissant l évolution de au cours de la charge é é () =. ( )

5 Point-Méthode : Trouver A, B, tels que () = + soit solution de l équation différentielle : = +. On précise que le condensateur est initialement déchargé. () = + Þ = () é.. = + ssi : = ( ) + + ssi : E = A + ( + ) ) ssi : = + =0 ssi : = +1=0 = ssi : = ssi : () = + condition initiale : () = 0 () = + = + ù: 0 = + Þ B = - E Ainsi : () = + ( ) =.( ) b) Allure de la courbe d évolution de au cours du temps : Phase transitoire : dans les premiers instants, les armatures initialement libres du condensateur voient un afflux de charges venir occuper les espaces libres (i = I ; u = 0) ; au fur et à mesure, ce flux (courant) diminue car les armatures sont de plus en plus remplies (i diminue, u augmente) Régime permanent : lorsque tous les espaces sont pleins, la charge est terminée (i = 0 ; = E)

6 Remarque : le générateur présente un échelon de tension, mais u ne présente pas de discontinuité. c) Constante de temps Constante de temps : durée au bout de laquelle la tension aux bornes du condensateur en charge a atteint 63% de sa valeur maximale ù: () =, () =.( ), =. Þ, = Þ = 1 0,63 = 0,37, = Þ, = Þ =. ~, ù =. ( ln ) =. ( 1) = = Méthode graphique pour déterminer τ : ü méthode de la tangente à) l origine : on projette sur l axe des temps le point d intersection de la tangente à la courbe u à l origine avec l asymptote u =E

7 ü méthode des 63% : on reporte sur l axe des temps la valeur pour laquelle u a atteint 63% de sa valeur limite (63% de u ) Reformulation de la solution : () =. ( ) Remarques : caractérise la rapidité de la charge ; plus est élevée, plus la charge est lente au bout de 5, on considère que le régime permanent est atteint ( = ) =. =. ~ 0,993 E attention le temps de demi-charge t / est la durée aubout de laquelle la charge s est effectuée à 50% ; on démontre que t / = τ. ln2

8 s il y a plusieurs résistances en série dans le circuit : =. exploitation de l équation différentielle : = + ù, à = 0, (0) = 0 à =0 = + 0 = = Le coefficient directeur de la tangente à l origine, est égal à d) concernant l évolution de l intensité lors de la charge : = ( ) = =. 1 =. =. () =. D,à = 0, (0) =. 0 = = () =.

9 i est donc également un phénomène transitoire ; mais, contrairement à, i présente une discontinuité à t = 0, puisque l intensité passe subitement de la valeur 0 A à la valeur I max A On constate également que, lorsque le condensateur a fini sa charge, il n y a plus de flux de charges ; lim = 0 lim () =0 Pour déterminer on peut également : tracer la tangente à l origine de i(t) qui coupe l axe des temps en t = calculer 37% de sur l axe des ordonnées, et reporter la valeur correspondante en abscisse : IV. Décharge du condensateur à travers une résistance : Une fois le condensateur chargé, on supprime le générateur (par exemple à l aide d un interrupteur) et on relie les bornes du condensateur aux bornes d un conducteur ohmique. a) équation différentielle de charge : On étudie à présent l évolution de la tension aux bornes du condensateur qui se décharge dans la résistance Loi d additivité : + =0, = = : = = = ( ) = = =

10 En reportant dans la loi d additivité : + =0 + = Equation différentielle régissant l évolution de é é é () =. b) Représentation graphique : ü Phase transitoire : dans les premiers instants, le condensateur chargé se vide très rapidement : u (0) = E et i(t = 0) = I Au fil du temps, le flux de charges s atténue, le condensateur se vide de moins et moins vite : u (t) diminue et i(t)diminue

11 ü Régime permanent : lorsque le condensateur est entièrement déchargé : = = Remarque : u (t) ne présente pas de discontinuité entre la charge et la décharge c) Constante de temps : Durée au bout de laquelle le condensateur s est déchargé de 63%, c est-à-dire durée au bout de laquelle il ne reste plus que 37% de la valeur initiale de u () =, () =. ù:, =. Þ, =, = Þ, = Þ =. ~, ù =. ( ln ) =. ( 1) = = Pour obtenir graphiquement : ü ü On trace la tangente à la courbe de u à l origine ; elle coupe l axe des temps en t = τ On reporte sur l axe des temps le point de la courbe correspondant en ordonnée à = %. Remarques : τ caractérise donc aussi la rapidité à laquelle s effectue la décharge : plus τ est élevée, plus la décharge est lente au bout de 5τ, ( =5)=. =. ( )~ 0,007 E ~ 0 : la décharge est considérée comme terminée attention le temps de demi-charge t / est la durée aubout de laquelle la décharge s est effectuée à 50% ; on démontre que t / = τ. ln2 reformulation la solution de l équation différentielle de décharge avec la constante de temps : () =.

12 d) branchements à l oscilloscope : Un oscilloscope bi-courbe possède deux voies permettant de visualiser deux tensions différentes. ü Pour visualiser la tension aux bornes d un dipôle, il faut brancher la masse et la sortie de voie aux bornes de ce dipôle. ü Pour visualiser l intensité, on se place toujours aux bornes de la résistance, car visualiser, c est visualiser i, au facteur R près. e) évolution de l intensité au cours de la décharge, puis au cours de charges et décharges successives : Prouvons que le condensateur «débitait» bien un courant i dans le sens inverse de celui de la charge. Le sens conventionnel du courant correspond à i positif pour q positif : = = ù: = ( ) = éh () =., donc i(t) = [. ] = ù: () = - Avec =, : () =. Donc i(t = 0) = I < 0, négatif par rapport au sens positif choisi pour le courant de charge Si nous visualisions le courant de charge et de décharge sur un oscilloscope branché aux bornes de R (sans permuter les bornes du branchement de l oscillo au cours de la bascule de l interrupteur) :

13 On constate que i subit une discontinuité à chaque début de charge et décharge Résumé : L énergie ne subit jamais de discontinuité : pas de discontinuité : discontinuité à chaque début de charge et de décharge

14 V. Energie emmagasinée dans le condensateur : Dans un condensateur chargé, l énergie emmagasinée se trouve sous forme d énergie potentielle électrique, de formule : =. =