Résumé : Produit scalaire, produit. Niveau : Bac sciences techniques

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1 République Tunisienne Ministère de l éducation Lycée secondaire : Ibn Khaldoun Année scolaire : 2016/2017 rofesseur : Benjeddou Saber Résumé : roduit scalaire, produit vectoriel et produit mixte Niveau : Bac sciences techniques éfinition : "roduit scalaire" Soit A, B et C trois points de l espace. Le produit scalaire des vecteurs AB et AC est le réel défini par : AB AC = 0 si AB = 0 ou AC = 0. AB AC = AB AC cos(ab, AC ) si AB et AC sont non nuls. AB AB = AB 2 = AB 2 où AB désigne la norme du vecteur AB. ropriétés : our tous vecteurs, v et w de l epace et tous réels α et β : v = v (v + w ) = v + w (α ) v = (αv) = α( v) (α ) (βv) = αβ( v) Théorème : eux vecteurs et v de l espace sont orthogonaux v = 0 Théorème : "Expression analytique du produit scalaire" Soit (O, i, j, k ) un RON de l espace ξ. x x our tous vecteurs ( y) et v ( y ), on a : v = xx + yy + zz z z En particulier : = x 2 + y 2 + z 2 éfinition : "Vecteurs normal à un plan" Un vecteur normal à un plan est un vecteur directeur d une droite quelconque perpendiculaire à ce plan. 1/6 1/4

2 Théorème : Soit un vecteur non nul et A un point de l espace. L ensemble des points M de l espace tels que AM = 0 est le plan passant par A et de vecteur normal. Théorème : Soit : ax + by + cz + d = 0 un plan avec (a, b, c) (0,0,0). a Le vecteur ( b) est un vecteur noarmal à. c Théorème : "istance d un point à un plan" Soit : ax + by + cz + d = 0 un plan, A(x A, y A, z A ) un point de l espace et H son projeté orthogonal sur. La distance de A à est le réel positif AH noté d(a, ) et tel que : AH = d(a, ) = ax A + by A + cz A + d a 2 + b 2 + c 2 H A Théorème : Soit et Q deux plans de vecteurs normaux respectifs et m, et deux droites de vecteurs directeurs respectifs et v. //Q et m sont // et v sont et sont colinéaires colinéaires colinéaires m v Q Q m v // m v Q 2/6 2/4

3 éfinition : "Orientation de l espace" Soit (O, i, j, k ) un repère de l espace. Soit un observateur se tenant debout, dans l'axe (O, k ), les pieds en O et regardant le point I. Si l observateur a le point J à sa gauche, le repère est dit direct. Il est dit indirect dans le cas contraire. Repère direct Repère indirect éfinition : "roduit vectoriel" Soit et v deux vecteurs de l espace. On appelle produit vrctoriel de et v, l unique vecteur noté v et défini par : Si et v sont colinéaires, alors : v = 0. Si non, alors : v est orthogonal à et à v {(, v, v) est une base directe v = v sin(, v) ropriétés : our tous vecteurs, v et w de l epace et tous réels α et β : v = 0 et v sont colinéaires v = v (v + w ) = v + w (v + w ) = v + w (α ) v = (αv) = α( v) (α ) (βv) = αβ( v) ropriété : Soit et v deux vecteurs non nuls de l espace. Si et v sont deux vecteurs directeurs d un plan, alors le vecteur v est un vecteur normal à. 3/6 3/4

4 Théorème : "Expression analytique du produit vectoriel" Soit (O, i, j, k ) un RON de l espace. x x our tous vecteurs ( y y y ) et v ( y ), on a : v = i x x x j + x z z z z z y y k z Théorème : "Cosinus et sinus de l angle de deux vecteurs" Soit et v deux vecteurs de l espace orienté. Alors : cos(, v) = v v v et sin(, v) = v Théorème : "Aire d un parallélogramme Aire d un triangle" Soit (O, i, j, k ) un RON de l espace et ABC un parallélogramme. L aire du parallélogramme ABC est égale à : AB A En particulier, l aire du triangle AB est égale à : 1 AB A 2 Théorème : "istance d un point à une droite" Soit (A, ) une droite, M un point de l espace et H son projeté orthogonal sur (A, ). La distance de M à (A, ) est le réel positif MH noté d(m, ) et tel que : A H M MH = d(m, ) = AM éfinition : "roduit mixte" Soit, v et w trois vecteurs de l epace. On appelle produit mixte des vecteurs, v et w, noté (, v, w ) le réel : ( v) w ropriétés : a a a" Soit ( b), v ( b ) et w ( b" ) trois vecteurs de l espace. c c c" a a a" 1) ( v) w = det(, v, w ) = b b b" c c c" 2), v et w sont coplanaires ( v) w = 0 4/6 4/4

5 ropriété : Soit (, v, w ) une base orthonormée. 1) (, v, w ) est directe ( v) w = 1 2) (, v, w ) est indirecte ( v) w = 1 Théorème : "Volume d un parallélépipède" L espace est muni d un RON (O, i, j, k ). Soit ABCEFGH un parallélipipède et V son volume. Alors : V = aire de la base hauteur = (AB A ) AE = det(ab, A, AE) Théorème : "Volume d un tétraèdre" L espace est muni d un RON (O, i, j, k ). Soit ABC un tétraèdre, V son volume et h la hauteur issue de A. Alors : 1) V = 1 aire de la base hauteur 3 = 1 (AB AC ) A = 1 det(ab, AC, A ) 6 6 2) h = (AB AC ) A BC B Théorème : "istance de deux droites" Soit (A, ) et (A, u ) deux droites non coplanaires, H et H les intersections de et avec leur perpendiculaire commune. La distance de (A, ) à (A, u ) est le réel positif HH noté d(, ) et tel que : H H u d(, ) = HH = ( u ) AA u éfinition : "Sphère" Soit I un point de l espace et R un réel strictement positif. On appelle sphère de centre I et de rayon R, l ensemble des I R M points M de l espace tels que IM = R. On la note : S(I, R). 4/6 5/4 5/6

6 Conséquence : "Equation cartésienne d une sphère" Soit I(a, b, c) un point de l espace et R un réel strictement positif. Une équation cartésienne de la sphère S(I, R) est : (x a) 2 + (y b) 2 + (z b) 2 = R 2 Théorème : "Section plane d une sphère" Soit S(O, R) une sphère de centre O et de rayon R. Soit un plan, H le projeté orthogonal de O sur. osons h la distance de O à (h = OH). 1) Si h > R, alors S =. onc S et sont disjoints. 2) Si h = R, alors S = {H}. onc S et sont tangents en H. I 3) Si h < R, alors S = le cercle du plan de centre H et de rayon r = R 2 h 2. I 6/6 6/4