Chapitre 8 : Nombres Complexes

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1 Chapitre 8 : Nombres Complexes 0) Introduction L'ensemble des entiers naturels N {0;1;;3;...;156;...} Cet ensemble est insuffisant pour résoudre les équations du type x+50 x 5. On complète cet ensemble en ajoutant le nombre entier 1. On obtient un ensemble plus grand qui est l'ensemble Z des entiers relatifs (positifs ou négatifs) L'ensemble des entiers relatifs Z {...:-100;...;-3;-;-1;0;1;;3;...} Cet ensemble est insuffisant pour résoudre les équations du type x3 x 3 On compléte cet ensemble par l'ensemble des fractions de deux entiers de la forme On obtient un ensemble plus grand qui est l'ensemble Q des nombres rationnels p q avec q 0 L'ensemble des nombres rationnels Q {...;-5;-1;0;1;;; 3 ; 3 ;...} Il existe des nombres qui ne s'écrivent pas sous la forme d'une fraction de deux entiers, comme, 3, π, e, ln (). Pour résoudre des équations du type x 0 x x, on a besoin d'un ensemble plus grand, qu'on appelle ensemble R des nombres réels. L'ensemble des nombres réels R {...;-5 ; 1 ; 3 ; 3 ; π ;...} Comme un nombre réel au carré est toujours positif, l'ensemble des nombres réels est insuffisant pour résoudre les équations du type x +10 x 1 On ajoute un nouveau nombre «imaginaire» i telle que i 1 x +10 x 1. Le nombre i est solutions de cette équation. On obtient un ensemble plus grand qui est l'ensemble C des nombres imaginaires ou complexes. L'ensemble des nombres complexes C : {...;-5 ; 1 ; 3 ; 3 ; π ; i ; i ; 3i ; -i ;...}

2 I) L'ensemble des nombres complexes Définition On définit un nouvel ensemble C qui contient l'ensemble des nombres réels R en ajoutant un nombre i tel que i 1 Tout nombre complexe z s'écrit sous la forme unique z x+iy, appelé forme algébrique de z. x est appelé partie réelle de z, noté Re ( z ) y est appelé partie imaginaire de z, notée Im ( z ) Exemple (Déterminer les parties réelles et imaginaire d'un nombre complexe) 1) z+3i x y3 ) z 10 i x y 10 ) z 1, 5i x 1 y, 5 3) z3 x 3 y 0 (on dit que z est un réel pur) ) z,9i x 0 y,9 (on dit que z est un imaginaire pur) 5) z1 i+5 x 5 y 1 Remarque Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire : z z' Re ( z )Re (z' ) et Im ( z )Im (z' ) Définition (conjugué d'un nombre complexe) Soit z un nombre complexe de forme algébrique z x+iy On appelle conjugué de z et on note ẕ le nombre complexe ẕ x iy Ainsi Re ( z )Re (ẕ ) et Im ( z ) Im ( ẕ ) Exemple (Déterminer le conjugué d'un nombre complexe) 1) z+3i ẕ 3i ) z 5i ẕ+5i 3) z i+5 ẕ i+5 ) z 7 i ẕ7i Proposition Soit z un nombre complexe. z est un réel pur si et seulement z ẕ. z est un imaginaire pur si et seulement si z ẕ. Démonstration z x+iy z ẕ x+iyx iy y y y0 z x z R z ẕ x+iy x+iy x x x0 ziy z ir Remarque Re ( z ) z+ẕ et Im ( z ) z ẕ i

3 Exemple (Déterminer la forme algébrique d'un complexe) Ecrire chacun des complexe sous la forme algébrique z x+iy 1) zi ( +3i ) ) z( +5i )+( i+3) 3) z( 3 11 i ) ( 8+9 i ) ) z1+i+i 5) z( 3+ i ) ( 3 i ) 6) z(+3i ) Exemple (Résoudre une équation du premier degré dans C ) Résoudre les équations suivantes dans C : 1) z+ 6i0 z +6i z +3i ) 3 z+5 i+i 3 z 3+5i z 1+ 5i 3 3) 5 z+i9 z i+3 z 6i+3 z 3 + 6i ) z+ ẕ5 ( x+iy )+(x iy )5 x5 x 5 z 5 5) z ẕ3i ( x+iy ) (x iy )3i iy3i y 3 z 3 i 6) iz+3 1+i iz + i i z i+i z i z+ i on multiplie par i des deux côtés 7) z+i ẕ +1 ( x+iy )+i( x iy )+1 on pose z x+iy x+i ( y+1) x+1 iy x et y+1 y unicité partie réelle et imaginaire x0 et 3 y 1 x0 et y 1 3 Ainsi, z 1 3 i Exemple (Les puissances de i) On a : ii, i 1, i 3 i i i, i i i 1 donc i 5 i ii, i 6 1, i 7 i, i 8 1 Ainsi, pour tout n i n 1 On peut donc calculer toutes les puissances de i : i 135 i 13 ii i 73 i 70 i 3 i 1 i i i i

4 II) Opérations dans l'ensemble des nombres complexes Proposition (somme et produit de deux nombres complexes) Soit z x+iy et z' x'+iy' deux nombres complexes. On a : 1) z+ z'( x+x' )+i ( y+ y' ) ) z z'( xx' yy' )+i ( xy'+x' y ) Ainsi, la somme et le produit de deux nombres complexes sont des nombres complexes. Proposition (identités remarquables dans C ) ( x+iy ) x y +ixy ( x iy ) x y ixy ( x+iy ) ( x iy )x + y Exemples (identités remarquables dans C ) 1) (3+5i ) i 16+30i ) ( 7i ) i 33 56i 3) ( +3 i ) ( 3i )+913 ) (5 i ) (5+i)5+16 5) (1+i ) 1 1+ii 6) (1+i ) (i ) 7) (1+i ) 8 ( ) 16 Remarque La troisième identité remarque est z ẕ( x+iy ) (x iy ) x + y. Le produit z ẕ est un nombre réel.

5 Exemple (rôle du conjugé dans le quotient de deux nombres complexes) Déterminons forme algébrique des nombres complexes suivants : 1 3i 1) 3i +3 i (+3 i ) ( 3i ) i 13 ) 1+i 5 i (1+i ) (+5i ) ( 5i ) (+5 i ) +5i+i i 1 Proposition (inverse et quotient de nombres complexes) Soit z et z' deux nombres complexes non nuls. Pour trouver la forme algébrique de 1 z 1) 1 z ẕ z z x x + y +i y x + y et de z z', on multiplie par le conjugué du dénominateur. ) z z' z z' z' z' Exemple (forme algébrique d'un quotient) Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : 1) 1+i 3 i (1+i ) (3+i ) i+3i i 5 ) 1 (1+i ) 1 3+i 3 i i 5 3) ( 1+i 1 i ) 9 ( (1+i ) (1+i ) (1 i ) (1+i )) 9 ( i ) 9 i 9 i Propriétés (opérations et conjugué) Soient z et z' deux complexes non nuls. Alors : z+ z'ẕ+ z' z z' ẕ z' ( 1 z ) 1 ẕ ( z z' ) ( ẕ ẕ' ) Exemples (opérations et conjugué) Déterminer le conjugé de z : 1) z(+5i ) (3 i ), ẕ( 5i ) (3+i ) ) z 8i 7+i, ẕ +8i 7 i

6 III) Equation du second degré dans C (à coefficients réels) Exemples (racine d'un nombre complexe) 1) z 9 z ( 1) 9 z i 3 z (3 i ) z3i ou z 3 i ) z 5 z (i 5) zi 5 ou z i 5 3) Soit a un réel. Si a 0, alors z a z a ou z a Si a<0, alors z a z ( a) z (i a) Théorème (Second degré dans C ) Soit a, b et c trois nombres réels avec a 0 et Δb ac. Les solutions de l'équation az +bz+c0 dépendent du signe de Δ : Si Δ>0, l'équation admet deux solutions réelles : b Δ a Si Δ0, l'équation admet une solution réelle : b a Si Δ<0, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : b i Δ a Démonstration Si Δ 0, la démonstration est déjà connue. Si Δ<0, alors az +bz+c0 et b+i Δ a a[( z+ b a ) Δ a ] 0 zi a ou z i a et b+ Δ a ( z+ b a ) Δ a 0 (on divise par a>0) ( z+ b a ) Δ a ( z+ b a ) ( i Δ a ) car Δi ( Δ ) z+ b a i Δ a b i Δ z a ou z+ b i Δ a a b+i Δ ou z a

7 Exemples (Equations du second degré) Résoudre les équations suivantes dans C : 1) z +z+10 Δ 3, deux solutions complexes : z 1 1 i 3 1+i et z 3 ) z + z+30 i Δ 8, z 1 8 +i et z 8 3) z z+50 Δ 16, z 1 i i et z + i ) z 3 + z +5z0 z 3 + z +5z0 z ( z + z+5)0 z0 ou z + z+50 Δ 36 z 1 6i et z +6i. Les solutions sont donc z 1, z et z 3 0 5) z +7 z +10 z +7 z +10 Z +7 Z+10 avec Zz Δ1, Z 1 et Z 3 zi ou z i ou zi 3 ou z i 3

8 Exemples (Equations de degrés 3) 1) Soit P ( z ) z 3 3 z +3 z+7 a) Calculer P ( 1) b) Déterminer les réels b et c tels que P ( z )( z+1)( z +bz+c ) c) Résoudre dans C P ( z )0 a) P ( 1)( 1) 3 3( 1) +3 ( 1)+7 0 b) Comme P ( 1)0, on peut factoriser P ( z ) par z ( 1)z+1 qui est de degré 1. Or P ( z ) est de degré 3, il faut donc mutliplier z+1 par un polynôme de degré que l'on va déterminer. (z+1) ( z +bz+c ) z 3 +b z +cz+z +bz+c z 3 +(b+1) z +(b+c ) z+c On compare les deux expressions de P ( z ) puis en identifie les coefficients : z 3 +(b+1) z +(b+c ) z+c z 3 3 z +3 z+7 b+1 3 ; b+c3 ; c7 b et c7 Ainsi, P ( z )( z+1)( z z+7) c) P ( z )0 (z+1) ( z z+7)0 z+10 ou z z+70 z 1 ou Δ 1 avec z 1 Les solutions sont : z 1, z et z 3 1 i 1 i 3 et z +i 3 ) Soit P ( z ) z 3 +( 8+i ) z +(17 8i ) z+17i0 a) Calculer P ( i ) b) Déterminer les réels b et c tels que P ( z )( z+i ) ( z +bz+c )0 c) Résoudre dans C P ( z )0 a) P ( i )( i ) 3 +( 8+i ) ( i ) +(17 8i ) ( i )+17i i+8 i 17i 8+17i 0 b) On peut factoriser P ( z ) par z ( i ) z+i (z+i ) ( z +bz+c) z 3 +b z +cz+i z +ibz+ic z 3 +(b+i ) z +(ib+c ) z+ic On compare les deux expressions de P ( z ) puis en identifie les coefficients : z 3 +(b+i ) z +(ib+c ) z+ic z 3 +( 8+i ) z +(17 8i ) z+17i0 b+i 8+i ; ib+c17 8i ; ic17 i b 8 et c17 Ainsi, P ( z )( z+i ) ( z 8 z+17) c) P ( z )0 (z+i ) ( z 8 z+17) 0 z+i0 ou z 8z i z i ou Δ et z 1 Les solutions sont donc z 1, z, z 3 i i et z +i

9 IV) Module et arguments d'un nombre complexe On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O,I,J) Tout nombre complexe z x+iy admet une partie réelle x et une partie imaginaire y Tout point M(x;y) du plan admet une abscisse x et une ordonnée y Ainsi, chaque nombre complexe z x+iy peut être vu comme un point M(x;y) du plan La partie réelle est représentée sur l'axe des abscisses et la partie imaginaire sur l'axe des ordonnées. Le plan muni d'un repère orthonormé direct (O,I,J) est aussi appelé plan complexe (O, u, v ) Définition (affixe d'un point) Soit z x+iy un nombre complexe. Le point M(x;y) est appelé image de z, notée aussi M (z) Soit M(x;y) un point. z M x+iy est appelé affixe de M ou encore affixe du vecteur OM Exemples (affixe d'un point) 1) Déterminer l'affixe des points suivants : A (;3) z A +3i B ( 1;5) C ( ; 1) z B 1+5i z C i D (0 ;5) z D 5i ) Déterminer les images des nombres complexes suivants : z A 8i A (; 8) z B +i B ( ;1) z C 3 C (3;0) z D i 7 D ( 7;1) 3) Soit A(;3). Déterminer l'affixe du symétrique de A par rapport à : l'axe des abscisses : A' (; 3) : z A' 3i z A' ẕ A l'origine : A'' ( ; 3) : z A'' 3i z A'' z A l'axe des ordonnées : A'' ' ( ;3) : z A'' ' +3i z A'' ' ẕ A Remarque Les points d'affixes z et ẕ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Les points d'affixes z et z sont symétriques par rapport à l'origine Les points d'affixes z et ẕ sont sympétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

10 Proposition (affixe d'un vecteur) Soient A et B deux points du plan complexe. L'affixe du vercteur AB est : z AB z B z A L'affixe du milieu I du segment [AB] est : z I z A +z B Exemples (affixe d'un vecteur) 1) A (;3) et B (; 7). Déterminer l'affixe de AB : z z z AB B A +7i (+3i )+ i ) u ( 3). Déterminer l'affixe de u : z u 3i 3) A (;6) et B (;10). Déterminer l'affixe du milieu I de [AB] : z I z A +z B 6+16i 3+8i Exemples (Déterminer si un quadrilatère est un parallélogramme) 1) Soient z A 1+i, z B +i, z C 5+i et z D +i. ABCD est-il un parallélogramme? Soient I milieu et [AC] et J milieu de [BD] z I 6+3i z J 6+3i. Comme z I z J, les points I et J sont identiques. Les diagonales de ABCD ont le même milieu, donc ABCD est un parallélogramme ) Soient z A + i, z B 3+5i, z C 6i. ABCD est un parallélogramme. Que vaut z D? Soient I milieu et [AC] et J milieu de [BD] z I z A +z C Or z J z B + z D i 1 i. ABCD est un parallélogramme donc z J z I 1 i z B +z D z D ( 1 i ) z B i (3+5i ) 5 3 i

11 Définition (module et arguments) Soit z un nombre complexe non nul et M son image dans le plan complexe. Le module de z, noté z, est la distance OM : z OM L'argument de z, noté arg ( z ), est la mesure en radian de l'angle orienté ( u, OM) ( π) Exemples (modules et arguments graphiquement) Déterminer le module et un argument des complexes suivants : z A i, z B 1+i, z C 1, z D 3+i On place les points images dans un graphique : z A et arg ( z A) π (π) z B 1²+1² et arg ( z B) π (π) z C 1 et arg ( z C )π (π) Propriétés Soit z x+iy un nombre complexe 1) z x + y ) z ẕ z 3) z ẕ z ) Si z est non nul, 1 z 1 z 5) Si z' est un autre complexe, z z' z z' 6) Soit n un entier naturel, ( z ) n z n 7) Soient A et B d'affixes z A et z B, AB z B z A Propriétés Soit z un nombre complexe non nul 1) arg ( z )arg ( z )+π (π) ) arg ( ẕ ) arg ( z ) (π) 3) z est un réel pur si et seulement si, arg ( z )0 ( π ) ) z est un imaginaire pur si et seulement si, arg ( z ) π ( π )

12 Exemples (calculs de modules) Déterminer le module de z : 1) z+5i z ²+5² ) z i z ( ) +( ) ) zi z ) z 1 z 1 +5i +5i 1 9 5) z( 3 i ) (5 i ) z ( 3 i ) (5 i ) 3 i 5 i ) z(3+i ) z (3+i ) ( 3+i ) 5 5 7) z(1+3 i ) 10 z (1+3i ) 10 ( 1+3 i ) 10 ( 10) Remarque Attention, en général z+z' z + z'. On a plutot l'ingéalité suivante z+z' z + z' Exemple (Déterminer la nature d'un triangle) Déterminer la nature du triangle ABC avec z A +5i, z B 1+i et z C 6+i AB z B z A 3 i 9+165, BC z C z B 5 5, AC z C z A +i Le triangle ABC est donc isocèle en B. De plus, AB 5, BC 5 et AC 0, donc le triangle n'est pas rectangle. Exemple (Montrer qu'un ensemble de points est un cercle) Déterminer l'ensemble des points d'affixe z tels que z++i 3 z++i 3 z ( i ) 3 z z A 3 avec z A i Or z z A 3 est l'ensemble des points d'affixe z qui sont à une distance égale à 3 par rapport à A. L'ensemble recherché est donc le cercle de centre A et de rayon 3 Exemple (Montrer qu'un ensemble de points est la médiatrice d'un segment) Déterminer l'ensemble des points d'affixe z tels que z +i z+ 3i z +i z+ 3i z ( i ) z ( +3i ) z z A z z B avec z A i et z B +3 i. Or z z A z z B est l'ensemble des points z qui sont à égals distance de A et de B. L'ensemble recherché est donc la médiatrice du segment [AB] Exemple (Montrer que trois points sont alignés) Soient A, B et C trois points d'affixes respectivent z A 1+i, z B 3+i et z C 9 i. A, B et C alignés AB et AC sont colinéaires il existe un réel k tel que ABk AC il existe un réel k tel que z B z A k ( z C z A ) z z B A est un réel pur. z C z A z B z A 3+i (1+ i ) i ( i ) (8+ i ) z C z A 9 i (1+i ) 8 i 6+16 réel pur. Donc les points A, B et C sont alignés. 16+8i 8i qui est un

13 V) Forme trigonométrique, notation exponentielle Soit M un point d'affixe z. zre ( z )+iim (z ) A l'aide des formules de trigonométries, on a : cos (α ) Re ( z ) z et sin (α ) Im ( z ) z Ou encore : Re ( z ) z cos ( α ) et Im ( z ) z sin (α ) Ainsi, z peut s'écrire sous la forme trigonométrique suivante : z z (cos ( α )+i sin (α )) Définition (forme trigonométrique) Soit z x+iy un nombre complexe non nul, on pose : r z et αarg ( z ) (π). Alors xrcos (α ) et yrsin (α ) On obtient une nouvelle écriture : zr (cos (α )+i sin (α ) ) appelée forme trigonométrique de z. Exemples (Déterminer la forme trigonométrique d'un complexe) 1) Déterminons la forme trigonométrique de z1+i 3 r z 1 +( 3), cos (α ) x r 1 et sin (α ) y r 3 Les seuls angles possibles sont α π 3 (π) Ainsi, la forme trigonométrique de z est : z ( cos ( π 3 ) +i sin ( π 3 )) ) Déterminons la forme trigonométrique de z 3 i r ( 3) +1, cos (α ) 3 et sin (α ) 1 donc α π 6 (π) La forme trigonométrique de z est z ( cos ( π 6 ) +i sin ( π 6 )) 3) Déterminons la forme trigonométrique de z 1+i r 1 +1, cos (α ) 1 et sin (α ) 1, donc α 3π La forme trigonométrique de z est z ( cos ( 3π ) +isin ( 3π )) (π)

14 Définition (notation exponentielle) Exemples (Déterminer l'ecriture exponentielle d'un complexe) 1) Nous avons vu que la forme trigonométrique de z1+i 3 est z ( cos ( π 3 ) +i sin ( π 3 )) On peut donc écrire ze 3 ) Nous avons vu que la forme trigonométrique de z 3 i est z ( cos ( π 6 ) +i sin ( π 6 )) On peut donc écrire ze 6 3) La forme trigonométrique de z 1+i est z ( cos ( 3 π ) +isin ( 3 π )) On peut donc écrire i3π z e ) Déterminons l'écriture exponentielle de z( 3 i ) 10 D'après le ), 3 ie 6, donc z ( e 6 ) e i10 π 6 Exemples (Déterminer la forme algébrique à partir de l'écriture exponentielle) Déterminons la forme algébrique de z : 1) z3e 3 ( cos ( π ) +isin ( π )) 3 ( +i ) 3 3 +i ) z5e 3 5 ( cos ( π 3 ) +i sin ( π 3 )) 5 ( 3 1 ) 5 3 i 5 3) ze i ) ze 1 5) i3 π ze e i 6) e 0 1

15 Propriétés Soit zr e i α et z'r' e i α' deux nombres complexes. Alors : ) ẕr e i α ) zr e i (α+π ) ) zz' r r' e i (α+α' ) z ) z' r r' ei (α α' ) ) z n r n e i n α Exemple (Calculs de modules et d'arguments) Déterminer le module et un argument de chaque complexe z : 1) z ( 3e )( e 3 ) z6 e i ( π + π 3 ) 6 e i 7 π 1 donc r6 et α 7π 1 (π) 5π 1 (π) ) z 6 e 3 6 e z3e i ( π 3 π 6 ) 3 e 6 donc r3 et α π 6 3) z e 6 ze e 6 e i ( π+ π i 6 ) 7 π e 6 donc r1 et α 7 π 6 (π) 5π 6 (π) ) z ( e ) 13 z 13 e i 13π 819 e i ( 16 π 3 π ) 819 e i 3 π donc r819 et α 3π ( π) 5) z( 3+i ) (1 i ) On a 3+i ( cos ( π 6 ) +i sin ( π 6 )) e 6 et 1 i ( cos ( 3π ) +i sin ( 3π )) ei Donc z ( e 6 )( e i 3π ) e i ( π 6 3π ) e i ( 7π 1 ) e i ( 5π Ainsi, le module de z est r et un argument de z est α 5π 1 1 ) (π) 3π

16 Remarque (formules d'addition) A partir de e ia e ib e i (a+b ), on obtient : (cos (a )+i sin (a )) (cos (b)+i sin (b )) cos (a+b)+i sin (a+b) cos (a )cos (b) sin (a )sin (b)+i (cos (a )sin (b )+cos (b )sin (a ) ) cos (a+b)+i sin (a+b) Ainsi, on retrouve les formules d'addition : cos (a+b)cos (a )cos (b) sin (a )sin (b) et sin (a+b)cos (a )sin (b )+cos (b )sin (a ) Remarque (formules de duplication) A partir de e ia (e ia ), on obtient : cos (a)+isin (a)(cos (a )+i sin (a )) cos (a)+isin (a)cos (a ) sin (a ) +i cos (a )sin (a ) Ainsi, on retrouve les formules de duplication : cos (a)cos (a) sin (a ) et sin (a)cos (a)sin (a ) Comme on connait déjà les valeurs de cos ( π ), cos ( π 3 ), cos ( π ) et cos ( π 6 ), les formules de duplications permettent Ces formules formules sont utiles car elles permettent de calculer : cos ( π 8 ), cos ( π 1 ), cos ( π 16 ), cos ( π ), etc... Exemple (Formule de Moivre) Comme (cos (α )+i sin (α ) ) n (e i α ) n e i n α cos (nα)+i sin (n α ) On a donc : (cos (α )+i sin (α ) ) n cos (nα)+i sin (nα) Exemple (Formules d'euler) A partir des deux égalités : e i α cos ( α ) +i sin ( α ) et e i α cos ( α ) +i sin ( α ) cos ( α ) i sin ( α ) On peut écrire : cos (α ) ei α +e i α et sin (α ) ei α e i α i Exemple (Linéarisation de cosinus et sinus) A partir de cos ( x ) eix +e ix cos ( x ) ( eix +e ix ), on peut retrouver cos ( x ) : ei x +e ix e ix +e i x De même on retrouve sin ( x) cos ( x )+1 ei x ++e i x cos ( x)+ cos ( x )+1

17 Exemple (Racines de l'unité) Résoudre les équations suivantes : 1) Résoudre dans C l'équation z 3 1 Comme z 3 1 z donc z 1. Ainsi z s'écrit sous la forme ze i α On a donc z 3 1 e i 3α e i π 3απ (π) α π 3 ( π 3 ) Pour obtenir toutes les valeurs possibles de α, on ajoute à chaque fois π 3 Les valeurs possibles de α sont : π 3, π et 6π 3 3 π. Les trois solutions sont donc : ze 3 ou ze 3 ou ze i π 1 jusqu'à arriver à π On peut écrire ces trois solutions ainsi : ze i k π 3 avec k allant de 1 à 3 (ou bien de 0 à ) ) Résoudre dans C l'équation z 5 1 z 5 1 e i 5 α e i π 5απ (π) α π 5 ( π 5 ) Pour obtenir toutes les valeurs possibles de α, on ajoute à chaque fois π jusqu'à arriver à π 5 Les valeurs possibles de α sont : π 5, π 5, 6 π 5, 8π 5, 10π 5 π i Les cinq solutions sont donc π i ze 5 ou π i ze 5 ou 8 π ze 5 ou ze 1 On peut écrire ces cinq solutions ainsi : ze i k π 5 avec k allant de 1 à 5 (ou bien de 0 à ) 3) Résoudre dans C l'équation z n 1 avec n entier naturel. De même les solutions sont est ze i k π n avec k allant de 1 à n (ou bien de 0 à n 1 ) ) 1+z+z +z 3 0. z est différent de 1. On sait que 1+z+z +z 3 1 z (suite géométrique) 1 z Ainsi 1+z+z +z z 0 z 1. i Les solutions sont donc k π ze avec k allant de 1 à 3 : ze i ou π i ze ou 6π ze 5) 1+z+z +z 3 +z +z 5 +z 6 0. z est forcément différent de 1. 1+z+z +z 3 +z +z 5 +z 6 1 z7 1 z. Donc 1+z+z +z 3 +z +z 5 +z z 7 0 z 7 1 Les solutions sont ze i k π 7 avec k allant de 1 à 6

18 Exemples (Sommets d'un polygone inscrit dans le cercle trigonométrique) i 1) Soit z la suite complexe définie pour tout n par zn ( π e 3 ) n. Déterminer sa représentation graphgique. On a zn e i nπ 3. Donc z 0 1, z1 e i π 3, z e 3, z3 e i 6 π3 1 z 0, z z 1, z 5 z, z 6 z 0, etc... Ainsi, pour tout n, la suite z n est réduite à trois valeurs périodiques : z 0, z 1 et z. Ces trois points forment les sommets d'un triangle équilatérale inscrit dans le cercle trigonométrique ) Représentation graphique de la suite zn ( e i π 5 ) n on obtient 5 points qui sont les sommets d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique 3) Représentation graphique de la suite zn ( e 11 ) n on obtient 11 points qui sont les sommets d'un polygone régulier à 11 côtés inscrit dans le cercle trigonométrique

19 Exemples (Spirales) 1) Soit z la suite définie pour tout n par zn ( 1,1e 13 ) n Comme z n 1, 1 n, la suite des modules va tendre vers +, donc au lieu d'obtenir un cercle, nous allons obtenir une spirale qui va s'écrater de son centre au fur et à mesure que n grandit. 1) Soit z la suite définie pour tout n par zn ( 0,9e 1 ) n Comme z n 0,9 n, la suite des modules va tendre vers 0, donc au lieu d'obtenir un cercle, nous allons obtenir une spirale qui va se rapprocher de son centre au fur et à mesure que n grandit.

20 Exemple (calcul de cos ( π 5 ) ) 1) Soit z un nombre complexe tel que z 5 1. Comme z a pour modul 1, il s'écrit sous la forme ze i α. Comme z 5 1 e i 5 α 1 5α0 (π). On peut prendre α π 5. Ainsi ze 5 π ) cos ( π 5 ) ei 5 +e i π5 z+ 1 z 3) Comme z 0 et z 5 1, on a 1+z+z +z 3 +z 1 z5 0 (somme géométrique) 1 z 3) On a 1+z+z +z 3 +z 0 1 z + 1 z +1+ z+z 0 (on divise par z ) z + 1 z +1+z+ 1 z 0 ( z+ 1 z ) + ( z+ 1 z ) 10 X +X 10 on pose X ( z+ 1 z ) Δ5, X Comme z+ 1 z cos ( π 5 ) >0, X est la seule solution. On a donc cos ( π 5 ) 1+ 5 cos ( π 5 ) 1+ 5 et X 1+ 5 D'après la formule cos ( x ) cos ( x )+1 on obtient : cos ( π cos 5 ) ( π 5 ) Comme cos ( π 5 ) >0, on a cos ( π 5 )

21 Exemples (Ecrire un complexe comme le carré d'un autre complexe) Il n'est pas immédiat d'écrire un nombre complexe comme le carré d'un autre nombre complexe. Par exemple, le nombre i est le carré de quel nombre? On cherche z C tel que i z On remarque que (1+i ) (1+i ) i donc i ( 1+i ) i On peut aussi utiliser l'écriture exponentielle : ie ( e ) ( cos ( π ) +isin ( π )) (1+i ) Nous allons donner une méthode pour écrire tout nombre complexe comme le carré d'un autre. 1) Ecrivons z'3+i comme le carré d'un nombre complexe z x+iy z' z 3+i( x+iy ) 3+i x y +ixy z' z 3 + x + y 5 x + y En comparant les modules, les parties réelles et les parties imaginaires on obtient les 3 égalités : x + y 5 x y 3 xy L 1 +L : x 8 x± L 1 L : y y±1 L 3 : xy>0 donc les solutions possibles sont x et y1, ou x et y 1 Ainsi, z+i ou z i ) Cas général : Tout nombre complexe z' s'écrit comme le carré d'un autre nombre complexe z. Soit z'a+ib et z x+iy deux nombres complexes, avec a, b, x et y sont des réels. z' z a+ib x y +ixy et z' z En comparant les modules, les parties réelles et les parties imaginaires on obtient les 3 égalités : x + y a +b x y a xyb L 1 +L nous donne x a +b +a x± a +b +a L 1 L nous donne y a +b a y± a +b a L 3 nous permet de choisir les signes possibles pour x et y en fonction du signe de b 3) Soit z '+3i. Déterminons un complexe z x+iy tel que z' z z' z +3ix y +ixy et z' z. On obtient les 3 égalités : x y x + y 13 xy3 On trouve x± + 13 z i + 13, y± + 13 ou z + 13 i Comme xy3>0, les solutions possibles sont :