Nombres réels et nombres complexes

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1 Nombres réels et nombres complexes Chapitre 1 Nombres réels et nombres complexes Présentation Si on considère une équation du second degré à coefficients complexes, on peut encore déterminer les solutions à l aide du discriminant. Cependant, il est nécessaire d en déterminer une racine carrée, éventuellement complexe : δ =Δ (a + ib) a b = Re(Δ) =Δ ab = Im(Δ) L identification des modules dans la première égalité nous permet alors d ajouter une dernière équation au système : a + b = Δ. On peut ainsi déterminer a et b puis une racine carrée δ = a + ib de Δ. On peut donc adapter le programme de résolution des équations du second degré vu en Terminale S aux nombres complexes : from math import * def trinome(a,b,c): D=b**-*a*c if D==0: return -b/*a else: if D.imag>=0: d=sqrt((abs(d)+d.real)/)+1j*sqrt((abs(d)-d.real)/) else: d=sqrt((abs(d)+d.real)/)-1j*sqrt((abs(d)-d.real)/) return (-b+d)/*a,(-b-d)/*a >>> trinome(1,-3-1j,+3j) (( 1j), (1 + j)) Le cours 8 Les exercices 13 Calcul de sommes Module et argument d un nombre complexe Résolution d équations polynomiales dans C Au concours 16

2 Nombres réels Proposition 1. Soit a, b R. Ona:ab =0 a =0ou b =0. Inégalités Définition. R est muni d une relation d ordre définie par : a b a b 0. Proposition. (Compatibilité des opérations) Soit a, b R. La relation d ordre est compatible avec les opérations sur R : (i) c, d R, a b, c d a + c b + d ; (ii) c, d R, a b 0, c d 0 ac bd 0. La multiplication par un nombre négatif inverse une inégalité. Valeur absolue Définition. Soit x R. On appelle valeur absolue de x le réel noté x et défini par : x = Proposition 3. Soit x, y R. Ona: (i) x 0 et x =0 x =0; (iii) x = x ; (ii) x =max(x, x) ; (iv) xy = x y et, pour y 0, x y = x y ; (v) x y x + y x + y (inégalité triangulaire). x si x 0 x si x 0. Nombres complexes Ecriture algébrique et représentation Définition. L ensemble des nombres complexes, noté C, est l ensemble a+ib, (a, b) R },oùi vérifie la relation i = 1. On définit la somme et le produit de deux nombres complexes par : (a + ib)+(a + ib )=(a + a )+i(b + b ) et (a + ib) (a + ib )=(aa bb )+i(ab + a b) Proposition. Soit z, z C. Ona:zz =0 z =0ou z =0. Théorème 5. (Existence et unicité de l écriture algébrique) Soit z C. Il existe un unique couple (a, b) R tel que z = a + ib. Les réels a et b sont respectivement appelés partie réelle et partie imaginaire de z. On note a = Re(z) et b = Im(z). On identifie le plan complexe au plan usuel : tout point M(a, b) désigne le point d affixe z = a + ib qu on note M(z). b = Im(z) O M(z) a = Re(z) 8 Fiche 1 : Nombres réels et nombres complexes

3 Définition. Soit z = a + ib C. On appelle conjugué de z le nombre complexe z = a ib. Proposition 6. Soit z C. Ona: (i) z = z ; (ii) z + z = z + z ; (iii) z z = z z ; (iv) si z 0, ( z z )= z z. Proposition 7. (Caractérisation des nombres réels et imaginaires purs) Soit z C.Ona: (i) Re(z) = z + z ; (ii) Im(z) = z z ; (iii) z R z = z ; (iv) z ir z = z. i Module et argument d un nombre complexe Définition. Soit z = a + ib C. On appelle module de z le nombre réel noté z et défini par : z = zz = a + b Proposition 8. Soit z C. Alors : (i) z 0 et z = 0 z = 0 (ii) Re(z) z et Im(z) z (iii) z = z (iv) zz = z z (v) si de plus z 0, z z = z z Proposition 9. (Inégalité triangulaire) Pour tous z, z C, z z z + z z + z et on a le cas d égalité : z + z = z + z z =0ou α R +,z= αz. Le cas d égalité signifie que O, M(z) et M (z ) sont alignés sur une même demi-droite d origine O. Définition. Soit z = a + ib C \0}. On appelle argument de z tout nombre réel θ vérifiant : z = z ( cos(θ)+i sin(θ) ). On note arg(z) n importe quel argument du nombre complexe z. Définition. Soit θ, θ,α R. On note θ θ [α] lorsque θ θ αz. Si on considère le point M(z) dans le plan usuel muni d un repère orthonormé (O, i, j), le module représente la distance OM et l argument donne une mesure de l angle des vecteurs ( i, OM). j O i z M(z) arg(z) Proposition 10. Soit z, z C non nuls. On a : z = z z = z et arg(z) arg(z )[π]. Fiche 1 : Nombres réels et nombres complexes 9

4 Proposition 11. Soit z, z C \0}. Ona: (i) arg(z) arg(z) [π]; (ii) arg(zz ) arg(z)+arg(z )[π]; (iii) arg( z z ) arg(z) arg(z )[π]. Proposition 1. (Caractérisation des nombres réels et imaginaires purs) Soit z C \0}.Ona: (i) z R arg(z) 0[π] ; (ii) z ir arg(z) π [π]. Définition. On pose pour tout θ R, e iθ =cos(θ)+isin(θ). Ainsi, tout nombre complexe non nul peut s écrire sous forme trigonométrique : z = re iθ avec r = z > 0 et θ arg(z) [π]. Proposition 13. Soit θ, θ R. Ona: (i) e iθ = e iθ θ θ [π] ; (ii) e iθ = e iθ ; (iii) e iθ e iθ = e i(θ+θ ) ; (iv) eiθ e iθ = e i(θ θ ). Proposition 1. (Formules d Euler et de de Moivre) Soit θ R.Ona: (i) cos(θ) = eiθ + e iθ et sin(θ) = eiθ e iθ ; i (ii) pour tout n Z, (e iθ ) n = e inθ qui s écrit encore : (cos(θ)+isin(θ)) n =cos(nθ)+isin(nθ). Définition. On définit l exponentielle complexe pour tout z = a + ib C par : e z = e a e ib = e a( cos(b)+i sin(b) ) Proposition 15. Soit z, z C. Ona: (i) e z = e Re(z) 0; (ii) ez = e z z ; (iii) e z+z = e z e z ; (iv) e e z = e z z Proposition 16. Soit z, z C. Ona:e z = e z z z iπz. Nombres complexes de module 1 Définition. On appelle cercle trigonométrique l ensemble des nombres complexes de module 1 noté U qu on peut paramétrer de plusieurs façons : U = M ( cos(θ ), sin(θ) ),θ R } = M(e iθ ),θ R} Théorème 17. (Relation fondamentale) Soit θ R.Ona:cos (θ)+sin (θ) =1. Formules géométriques. Soit x R. Ona: x + π π x (i) cos( x) =cos(x), sin( x) = sin(x) ; (ii) cos(x + π) = cos(x), sin(x + π) = sin(x) ; (iii) cos( π + x) = sin(x), sin( π + x) =cos(x) ; (iv) cos( π x) =sin(x), sin( π x) =cos(x) ; (v) cos(π x) = cos(x), sin(π x) =sin(x). π x x + π cos x cos x x x sin x sin x 10 Fiche 1 : Nombres réels et nombres complexes

5 Proposition 18. (Formules d addition, soustraction, duplication et linéarisation) Soit a, b, x R. (i) cos(a ± b) =cosacos b sin a sin b (ii) sin(a ± b) =sinacos b ± sin b cos a (iii) cos(x) =cos x 1 (iv) sin(x) =sinxcos x (v) cos a cos b = 1 [cos(a + b)+cos(a b)] (vi) sin a sin b = 1 [cos(a + b) cos(a b)] (vii) sin a cos b = 1 [sin(a + b)+sin(a b)] Proposition 19. (Formules du demi-angle) Soit a, b R. On a les factorisations : e ia + e ib =cos ( ) a b e i a+b et e ia e ib =i sin ( a b ) e i a+b. Ces formules permettent de trouver les factorisations de cos a +cosb et de sin a +sinb. Proposition 0. Soit α, β R. On pose A = α + iβ et ϕ = arg(α + iβ). On a, pour tout x R : Équations dans C Racines de l unité α cos x + β sin x = A cos(x ϕ). Théorème 1. (Racines n-ièmes de l unité) Soit n N.Ona: z n =1 k 0,n 1, Cette équation possède donc n solutions qui forment les sommets d un polygone régulier (comme le montre le dessin pour n =5). z = e ikπ n. e iπ/5 e 6iπ/5 e iπ/5 1 e 8iπ/5 Corollaire. (Racines n-ièmes d un complexe) Soit n N et z 0 C.Ona: z n = z 0 k 0,n 1, z = z 0 n 1 arg(z) ikπ e n e n. Équation e z = z 0 Théorème 3. Soit z 0 C \0}. Ona: e z = z 0 Re(z) =ln z 0 et Im(z) arg(z 0)[π]. Équation du second degré dans C Proposition. (Équation du second degré) On considère l équation az +bz+c =0avec a, b, c C tels que a 0. On note Δ le discriminant associé défini par Δ=b ac et on considère δ C tel que δ =Δ. (i) Si Δ=0, l équation admet une solution double : z 0 = b. a (ii) Si Δ 0, l équation admet deux solutions distinctes : z 1 = b δ et z a = b+δ. a Fiche 1 : Nombres réels et nombres complexes 11

6 Proposition 5. (Relation coefficients-racines) Soit s, p C.Ona: z 1,z sont les solutions de l équation z sz + p =0 z 1 + z = s z 1z = p. Utilisation des nombres complexes en géométrie Le plan est muni d un repère orthonormé (O, i, j) Définition. Si A(a),B(b) sont deux points d affixes a, b C, on définit l affixe du vecteur AB par b a. Proposition 6. Soit A(a),B(b),C(c) des points distincts d affixes a, b, c C.Ona: b c a c = CB et ( CA, b c CB) arg( CA a c )[π] Corollaire 7. (Configuration à trois points) Avec les notations de la proposition précédente : 1. A, B, C sont alignés si et seulement si b c R ; a c. CA et CB sont orthogonaux si et seulement si b c ir ; a c Définition. On appelle transformation du plan complexe toute fonction f : z C f(z) C. Proposition 8. (Transformations de base) 1. Si b C, z z + b est la translation de vecteur u d affixe b.. Si z z est la symétrie par rapport à l axe des abscisses. 3. Si θ R, z e iθ z est la rotation de centre O et d angle θ.. Si k R, z kz est l homothétie de rapport k. La fin du chapitre est réservée aux MPSI Théorème 9. (Similitudes directes) On considère f : z C az + b b 1 a. avec a, b C, a/ 0, 1} et on pose z 0 = f est la composée commutative de la rotation de centre z 0 et d angle arg(a), et de l homothétie de centre z 0 et de rapport a et est appelée similitude directe de rapport a et d angle arg(a). 1 Fiche 1 : Nombres réels et nombres complexes

7 Exercices Exercice 1. Calcul de sommes. Calculer, pour x R et n N, les sommes : S 1(x) = cos(kx), S (x) = 1. Soit x R et n N, ona: S 1 = cos(kx) = sin(kx), S 3(x) = Re(e ikx )=Re ( n (e ix ) k). cos (kx) On reconnaît alors la somme des termes consécutifs d une suite géométrique de raison e ix. si e ix =1 x 0[π], alors n (eix ) k = n 1=n +1. sinon, il vient : (e ix ) k = 1 (eix ) n+1 = 1 ei(n+1)x ( ) 1 e ix 1 e ix En factorisant par l exponentielle de la demi-somme, on en déduit : ( ) = ei (n+1) x e i x. e i (n+1) x e i (n+1) x e i x e i x D où pour tout x 0[π], n (eix ) k = e i nx = e i nx. ( i)sin( (n+1)x ) ( i)sin( x ) sin( (n+1)x ). sin( x ) Ainsi, en prenant la partie réelle dans chacun des cas, on obtient : n +1 si x 0[π] S 1(x) = cos( nx (n+1)x sin( ) ). sinon De la même façon, de sorte que : S (x) = sin(kx) = sin( x ) Im(e ikx )=Im( (e ix ) k ) 0 si x 0[π] S (x) = sin( nx (n+1)x sin( ) ). sinon sin( x ) Pour les dernières sommes, il suffit de se ramener à la formule de duplication : x R, cos (x) = 1 (1 + cos(x)) On pourra citer la formule de Moivre. Ne pas oublier le cas q =1. Ainsi, S 3(x) = 1 ( n ) n +1 si x 0[π] 1+ cos(k.x) = n+1 +cos(nx). sin((n+1)x) sinon sin(x) }} S 1 (x) De même, on pourrait calculer S = n sin (kx). Exercices 1 : Nombres réels et nombres complexes 13

8 Exercice. Module et argument d un nombre complexe. Soit n N. Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : 1. ( 1 i 3 ) n 1+e i 5π 6. (1 + i) n +(1 i) n On factorise par le module avant de reconnaître des valeurs usuelles. Ne pas oublier de vérifier que le module est strictement positif. 1. Notons pour tout n N, z n ce nombre complexe. On a d une part : 1 i 3=( 1 3 i )=(cos(π 3 ) i sin( π 3 )) = π e i 3 D autre part, la factorisation par l exponentielle de la demi-somme nous donne : 1+e i 5π 6 = e i 5π 1.(e i 5π 1 + e i 5π 1 )=e i 5π 5π 1.cos( 1 ) ( ) e i π n 3 1 3nπ et ainsi pour tout n N, z n = e i 5π 1.cos( 5π ) = cos n ( 5π 1 ).e i. 1 En particulier, pour tout n N, cos n ( 5π ) > 0 et finalement, 1 zn 1 = cos n ( 5π 1 ) arg(z n) 3nπ [π]. Notons encore pour tout n N, z n ce nombre complexe. On rappelle que : 1+i = e i π et 1 i = e i π Dans ce cas, pour tout n N, z n = ) n. (e i nπ + e i nπ = n.cos( nπ ) On discute les huit valeurs possibles sur un tour du cercle trigo : on dit qu on travaille modulo 8. On en déduit que z n R. Discutons alors le signe de cos( nπ ) en fonction des valeurs prises par n N : π si n =8q ou 8q +1ou 8q +7où q Z, alors cos( nπ ) > 0 donc z n = n.cos( nπ ) arg(z n) 0[π] si n =8q +ou 8q +6où q Z, alors cos( nπ )=0donc zn =0. si n =8q +3ou 8q +ou 8q +5où q Z, alors cos( nπ ) < 0 donc z n = n.cos( nπ )eiπ de sorte que : z n = n.cos( nπ ) arg(z n) π [π] 1 Exercices 1 : Nombres réels et nombres complexes

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