Arithmétique des corps finis dans la bibliothèque LinBox

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Salomé Pothier
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1 Arithmétique des corps finis dans la bibliothèque LinBox Pascal Giorgi & Gilles Villard Équipe Arénaire Laboratoire de l informa tique du parallélisme ENS lyon - CNRS - INRIA

2 Introduction Il existe déjà plusieurs bibliothéques d algèbre linéaire (ALP, Givaro,...). LinBox est une bibliothèque d algèbre linéaire utilisant ces bibliothèques. Utilisation générique d objets exogènes (Corps Finis, Grandes Matrices...). LinBox fournit une interfaces uniques pour chaque types d objets. Facilité de comparaison des bibliothèques utilisées. CORPS FINIS. Pascal Giorgi 2

Utilisation générique d objets exogènes (Corps Finis, Grandes Matrices...).

3 Plan I) Généricité des corps finis dans LinBox. II) Différentes arithmétiques de corps finis. III) Efficacité de ces arithmétiques et surcoût de LinBox. Pascal Giorgi 3

4 LinBox et les corps finis Deux Types de corps finis : Z/pZ et GF(p k ). Définition de Domaine de corps finis pour chaque bibliothèques. Exemples : Bib zpz = {Z/pZ / p IN et p premier} Bib gfq = {GF(p k ) / p, k IN et p premier} Bib représente le nom de la bibliothèque. Intégration des domaines par des s Pascal Giorgi 4

Exemples : Bib zpz = {Z/pZ / p IN et p premier} Bib gfq = {GF(p k ) / p, k IN

5 Les différents wrappers possèdent tous les mêmes méthodes (noms, paramètres et actions). Bibliothéques externes LinBox ALP Z/pZ NTL Z/pZ GIVARO Z/pZ, GF(p^k) LIDIA GF(p^k) Pascal Giorgi 5

6 Exemple de code LinBox template<class Domain > void Fct(Domain& field) { typedef typename Domain::element elt; elt a,b,r; // Déclaration de a,b,r comme éléments de Domaine field.init(a); field.init(b); field.init(r); // Initialisation de a,b,r sur le corps fini field field.read(cin,a); field.read(cin,b); field.mul(r,a,b); // r a b dans le corps fini field } field.write(cout,r); Pascal Giorgi 6

init(a); field.init(b); field.init(r); // Initialisation de a,b,r sur le corps fini field field.

7 void main() { // Declaration of a Z/pZ field over Givaro library with p=53. givaro zpz<std16> K(53); // Declaration of a GF(p k ) field over Lidia library with p=53 and k= 5. lidia gfq Q(53,5); cout " Z/pZ of Library Givaro \n"; Fct(K); cout " GF(p k ) of Library Lidia \n"; Fct(Q); } Pascal Giorgi 7

$lidia gfq Q(53,5); cout " Z/pZ of Library Givaro \n"; Fct(K); cout " GF(p$

8 s LinBox Avantages : Généricité des différents corps finis de LinBox. Facilité d utilisation grâce à des fonctions templates. Inconvénients : Utilisation de plusieurs objets. Taille du code compilé important. Pascal Giorgi 8

9 Interface standard Définition d un corps finis virtuel : L Archetype. L Archetype définit l interface. L Archetype est un objet à part entière. Il définit l ensemble de tous les domaines de corps finis possibles. Pascal Giorgi 9

10 Les différents wrappers possèdent tous les mêmes méthodes (noms, paramètres et actions). Bibliothéques externes LinBox ALP Z/pZ NTL Z/pZ GIVARO Z/pZ, GF(p^k) LIDIA GF(p^k) Pascal Giorgi 10

11 L archetype impose les méthodes des wrappers (noms, paramètres et actions). Bibliothéques externes LinBox ALP Z/pZ Méthodes NTL Z/pZ GIVARO Z/pZ, GF(p^k) Méthodes Méthodes Archetype Méthodes LIDIA GF(p^k) Méthodes Pascal Giorgi 11

12 Exemple de code LinBox avec l Archetype template<class Domain > void Fct(Domain& field) { typedef typename Domain::element elt; elt a,b,r; // Déclaration de a,b,r comme éléments de Domaine field.init(a); field.init(b); field.init(r); // Initialisation de a,b,r sur le corps fini field field.read(cin,a); field.read(cin,b); field.mul(r,a,b); // r a b dans le corps fini field } field.write(cout,r); Pascal Giorgi 12

13 void main() { // Declaration of a Z/pZ field over Givaro library with p=53. givaro zpz<std16> K(53); // Declaration of a GF(p k ) field over Lidia library with p=53 and k= 5. lidia gfq Q(53,5); Field archetype Q arch(& Q); Field archetype K arch(& K); // Construction des archetypes des corps finis. Fct(Q arch); Fct(K arch); } Pascal Giorgi 13

14 Archetype LinBox Avantages : Manipulation d un seul type d objet grâce à l interface. Validation de code sans connaître les wrappers. Inconvénients : Temps d exécution plus important. Pascal Giorgi 14

15 II) Arithmétique des différents corps finis utilisés Pascal Giorgi 15

16 Arithmétiques des corps finis Z/pZ vs GF(p k ) : Difficultés d implémentation différentes. Représentation des éléments - Entiers machines ou grandes précisions, Flottants. - Générateurs, Polynômes. Opérateurs de bases Niveau éléments : - Modulo sur des entiers machines, modulo paresseux. - Utilisation des flottants, conversion avec entiers. - Lecture table (représentation logarithmique). Niveau BLAS 1 : Conversion (q adic), Test d overflow. Niveau Z/2Z : Mots machine, opérateurs logiques. Pascal Giorgi 16

Opérateurs de bases Niveau éléments : - Modulo sur des entiers machines, modulo paresseux.

17 Stratégies des bibliothèques utilisées ALP : - Z/pZ, Entiers machine (32 bits), modulo machines. NTL : - Z/pZ, Entiers longs, utilisation flottant, modulo paresseux. Givaro : - Z/pZ, Entiers machine (16,32 bits), modulo machines + modulo paresseux. - GF(p k ), Générateurs, Entiers (machine,longs) ou flottants, Modulo paresseux + Lectures tables. Lidia : - GF(p k ), Polynômes, Opérations sur polynômes. Pascal Giorgi 17

Givaro : - Z/pZ, Entiers machine (16,32 bits), modulo machines + modulo paresseux.

18 III) Efficacité de ces arithmétiques et surcoût de LinBox. Pascal Giorgi 18

19 Coût moyen d une opération dans Z/pZ Test sur un produit scalaire de vecteurs (avec un p de 32 bits): 4e 07 NTL --- GIV --- 3e 07 ALP --- NTL Tps en s 2e 07 Givaro 1e 07 ALP Taille des vecteurs Pascal Giorgi 19

GIV --- 3e 07 ALP --- NTL Tps en s 2e 07 Givaro 1e 07 ALP 0

20 L efficacité d une bibliothèque dépend de l architecture processeur: 1.2e 07 GIV_ e 07 GIV_ e 07 8e 08 GIV_tab GIV_ e 07 GIV_tab GIV_ Givaro 16 bits Tps en s 6e 08 Tps en s 2e 07 Givaro Log 4e 08 1e 07 Givaro 32 bits 2e Taille des vecteurs Taille des vecteurs Intel Sparc Pascal Giorgi 20

--- Givaro 16 bits Tps en s 6e 08 Tps en s 2e 07 Givaro Log 4e 08 1e 07 Givaro 32 bits 2e 08 0

21 Surcoût de LinBox 6e 07 Archetype --- 4e 07 Archetype --- 5e 07 4e Without --- 3e Without --- Archetype Tps en s 3e 07 Tps en s 2e 07 2e 07 1e 07 Directement 1e Taille des vecteurs Taille des vecteurs ALP Givaro Pascal Giorgi 21

22 Conclusion Généricité des objets LinBox: Taille du code vs Efficacité. Arithmétiques des corps finis non optimisées BLAS 1 (en général). Vision de l arithmétique des corps finis pour BLAS 1,2,3. Étude de nouvelle représentation (courbe elliptique). Pascal Giorgi 22

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