CONFIGURATIONS DU PLAN

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1 onfiguations du plan - Théorème de Pythagore ONFGURTONS DU PLN Théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle, alors le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés du triangle. Réciproque du théorème de Pythagore Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. ontraposée du théorème de Pythagore Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté n?est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle n?est pas rectangle. - Théorème de Thalès Théorème de Thalès Si les triangles et MN sont tels que M () et N () et si les droites () et (MN) sont parallèles, alors ces triangles ont leurs côtés proportionnels et on a : M = N = MN. Réciproque du théorème de Thalès Soient (d) et (d ) deux droites sécantes en. Soient et M deux points de (d) distincts de. Soient et N deux points de (d ) distincts de. Si les points,, M et les points,, N sont alignés dans le même ordre et si M = N alors les droites (MN) et () sont parallèles. - Droite des milieux Propriété de la droite des milieux Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. 1

2 onfiguations du plan Si est le milieu de [] et J le milieu de [], alors (J) est parallèle à (). Propriété : milieu et parallèle Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d un côté et qui est parallèle à un second côté, coupe le troisième côté en son milieu. Si est le milieu de [] et si (J) est parallèle à (), alors J est le milieu de []. V- ercle circonscrit à un triangle rectangle Théorème direct Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. Si le triangle est rectangle en, alors le cercle de diamètre [] passe par. Théorème réciproque Si l un des côtés d un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle (le diamètre du cercle circonscrit est alors son hypoténuse). Si est un point du cercle de diamètre [], alors le triangle est rectangle en. V- Tangente à un cercle D O Théorème Soit D une droite passant par un point d?un cercle de centre O. 2

3 onfiguations du plan Si D est tangente au cercle alors D est perpendiculaire au rayon [O]. Si D est perpendiculaire au rayon [O] alors D est tangente au cercle. V- Droites remarquables d un triangle 1. Médianes et centre de gravité Définition Une médiane d un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé. G Propriété 1 Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle. Propriété 2 Le centre de gravité est situé aux 3 3 de la médiane en partant du sommet. G = 2 3, G = 2 3 et G = Hauteurs et orthocentre Définition Une hauteur d un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Propriété Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle. 3. Médiatrices et centre du cercle circonscrit Définition La médiatrice d un segment est la droite passant par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire. Propriété 1 La médiatrice d un segment est l ensemble des points équidistants de ses extrémités. Propriété 2 Les médiatrices des trois côtés d un triangle sont concourantes, leur point d intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle. V- Triangles particuliers (a) Triangle isocèle Définition Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. Propriété 1 Un triangle isocèle est un triangle qui a deux angles de même mesure. Propriété 2 Dans un triangle isocèle, la médiane et la hauteur issues du sommet principal sont confondues, c est également la médiatrice du côté opposé. 3

4 onfiguations du plan (b) Triangle équilatéral Définition Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur. Propriété 1 Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois angles de même mesure. Propriété 2 Dans un triangle rectangle les médianes, les hauteurs et les médiatrices sont confondues. (c) Triangle rectangle Définition Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. V- Quadrilatères (a) Trapèze Définition Un trapèze est un quadrilatème qui a deux côtés parallèles. es côtés sont appelés bases du trapèze. (b) Parallélogramme Définition Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux. Propriété Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu. (c) Rectangles - Losanges - arrés Définition 1 Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. Propriété 1 Un parallélogrammes est un rectangle si et seulement si il a un angle droit. Propriété 2 Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales sont de même longueur. Définition 2 Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur. Propriété 3 Un parallélogramme est un losange si et seulement si il a deux côtés consécutifs de même longueur. Propriété 4 Un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires. Définition 3 Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et ses quatre côtés de même longueur. est à la fois un losange et un rectangle. X- alcul d aires (a) ire d un carré L aire d un carré de côté c est c 2. (b) ire d un rectangle L aire d un rectangle de longueur L et de largeur l est L l. 4

5 onfiguations du plan (c) ire d un triangle L aire d un triangle de base b et de hauteur h est 1 2 b h. (d) ire d un trapèze L aire du trapèze de bases et b et de hauteur h est 1 ( + b) h. 2 5

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