TRAVAUX DIRIGÉS DE EC 5

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1 TD E 5 orrection PSI TRAVAUX DIRIGÉS DE E 5 Exercice : Utilisation des omplexes On pose x (t) =. cos(ωt + π 3 ) et x (t) = 3. cos(ωt π 4 ). En utilisant la méthode des complexes, déterminer l amplitude X m et la phase à l origine ϕ de. x(t) = x (t) + x (t).. x(t) = x (t).x (t). 3. x(t) = ẋ (t) x (t)dt en choisissant ici ω = rad. En passant à la notation complexe, on peut écrire les complexes associés au grandeurs sinusoïdales synchrones : x (t) =. cos(ωt+ π 3 ) x (t) =. exp[j(ωt+ π 3 )] = X. exp(jωt) soit une amplitude complexe X =.e j π 3 = (cos π 3 + j sin π 3 ) = + 3j x (t) = 3. cos(ωt π) x 4 (t) = 3. exp[j(ωt π)] = X 4. exp(jωt) soit une amplitude complexe X = 3.e j π 4 = 3[cos( π) + j sin( π)] = 3 3 j. 4 4 On procède de la même façon avec les expressions proposées :. x(t) = x (t) + x (t) x(t) = x (t) + x (t) X. exp(jωt) = X. exp(jωt) + X. exp(jωt) et après simplification par exp(jωt), on en déduit l amplitude complexe X = X + X = ( + 3 ) + ( 3 3 )j 3, 0,39j On en déduit ensuite l amplitude et la phase à l origine de x(t) X m = X 3, + 0,39 3,4 et ϕ = arg X arctan( 0,39 ) 0, rad 3,. De la même manière, si x(t) = x (t).x (t), on a cette fois X m = X X = X X = ( 3 ) + ( )j 3,4 + 5,97j 3,4 + 5,97 6,80 et ϕ = arg X π + arctan 5,97 3,4,07 rad 3. Une dérivation par rapport au temps revient à multiplier par jω, une intégration à diviser par jω = j ici d où si x(t) = ẋ (t) x (t)dt, une amplitude complexe X = jωx X jω = j(+ 3j)+j( 3 3 j) = (3 3)+( 3 +)j,34+4,j X m =,34 + 4, 4,33 et ϕ = π + arctan 4,,88 rad,34 Exercice : ondensateur réel Déterminer l intensité du courant qui traverse un condensateur réel de résistance de fuite R f = MΩ et capacité = 0, µf quand on lui applique, en convention récepteur, une tension sinusoïdale u(t) de valeur efficace U eff = 0V de fréquence f = 50 Hz. On prendra la phase à l origine de u(t) comme origine des phases. omme l étude se fait en régime sinusoïdal forcé nous allons utiliser la méthode des complexes.

2 TD E 5 orrection PSI onnaissant les caractéristiques de u(t) donc U eff sa valeur efficace complexe, on utilisera la loi d Ohm généralisée pour déterminer I eff puis I eff et ϕ (sa valeur efficace et la phase à l origine de i(t)) : U eff = Z équ.i eff I eff = Y équ.u eff On commence par déterminer l impédance complexe du dipôle. R f R f Z équ Ici, on a associé le résistor R f et le condensateur en parallèle d où Z Puis I eff = I eff = R f Y équ = ( R f + jω) I eff = ( R f + jω).u eff + jω. U eff = R f + (πf).u eff 6,7 ma et ϕ arg(i eff ) = arg( R f + jω) + arg(u eff ) = arctan(πr f ) On a maintenant toutes les données qui apparaissent dans l expression i(t) = I eff cos(πft + ϕ). Exercice 3 : Utilisation de la décomposition de Fourier Soit la tension exprimée en volts : u(t) = + 4. cos ωt + sin 3ωt où ω = 00 rad.s.. Écrire u(t) sous la forme u(t) = U n cos(nωt + ϕ n ) avec n entier puis u(t) = U n.e jnωt n=0 n=0 On donnera l expression de U n, ϕ n et U n pour n entier positif ou nul. Représenter le spectre de u(t).. On applique cette tension aux bornes d un condensateur de capacité = µf. intensité du courant qui le traverse est alors i(t) en convention récepteur. Déterminez i(t) = n=0 I n.e jnωt la représentation complexe de i(t) : on donnera l expression de I n. En déduire l expression de i(t) et son spectre. 3. Vérifier l expression de i(t) par application de la relation constitutive des condensateurs.. On donne u(t) = +4. cos ωt+sin 3ωt =. cos(0.ωt+0)+4. cos(ωt+0)+0. cos(ωt+0)+. cos(3ωt π) et par identification avec u(t) = n=0 U n cos(nωt + ϕ n ) U n (V) on en déduit les amplitudes U m et phases à l origine 4 ϕ n pour chaque valeur de n entier positif : tableau cidessous. 3 n 0 3 n 4 U n (V) ϕ (rad) π 0 U n.e j.0 = 4 0.e j π = j On peut également compléter le tableau en écrivant l amplitude complexe U n = U m.e jϕn pour chaque n. e spectre de u(t) est un diagramme "bâtons" où on représente l amplitude de chaque harmonique d où la figure ci-contre. n

3 TD E 5 orrection PSI On considère à présent le branchement suivant : u(t) i(t) et pour chaque n U n n I Z,n Principe : si on imagine qu au lieu d appliquer directement u(t) au condensateur, on applique successivement ses différentes composantes harmoniques (U 0 puis U. cos(ωt + ϕ )... U n cos(nω t + ϕ n )), on se ramène à une étude en régime sinusoïdale forcé. On peut alors utiliser la loi d Ohm généralisée pour chaque harmonique de u(t) et en déduire l harmonique de i(t) correspondante. omme le condensateur est un composant linéaire, on en déduira i(t) par superposition des harmoniques obtenues. Mise en œuvre : par application de la loi d Ohm généralisée, pour chaque valeur de n, U n = Z,n.I n I n = Y,n.U n avec Y,n = j(nω) = jnω I n = jnω.u n n 0 3 n 4 U n 4 0 j 0 Y,n = jnω 0 jω jω 3jω jnω I n = Y,n.U n 0 4jω 0 3ω 0 I n = I n 0 4ω = 0,4 ma 0 3ω = 0,3 ma 0 π ϕ i,n = arg(i n ) (rad) Après avoir déterminé chaque I n, on en déduit l amplitude I n = I n et la phase à l origine ϕ i,n = arg(i n ) de chaque composante de i(t). En notation complexe, i(t) = 4ω.e j(ωt+ π ) + 3ω.e j(3ωt+0) et i(t) = R(i(t)) = n=0 I m. cos(nωt + ϕ i,n ). i(t) = 4ω cos(ωt + π ) + 3ω cos 3ωt = 4ω sin ωt + 3ω cos ωt Remarque : le condensateur a "filtré la composante continue" de u(t) (passage du mode D au mode A d un oscilloscope). On en déduit l allure du spectre. I n (ma) 3. On pouvait également appliquer directement la relation constitutive i(t) =. du(t) = d + 4. cos ωt + sin 3ωt i(t) = 0 4ω sin ωt + 3ω cos ωt dt dt n Exercice 4 : Association R parallèle. On place en parallèle une résistance R = 40 Ω et une bobine d inductance = 0,6 H. Entre leurs bornes communes, on applique la tension u du secteur (valeur efficace U = 0 V; 50 Hz).. alculer les valeurs efficaces I R et I des courants traversant R et ainsi que leur phase à l origine ϕ R et ϕ si on prend la phase à l origine de u comme origine des phases.. alculer, par deux méthodes, l intensité efficace totale I et son déphasage ϕ par rapport à la tension. 3

4 TD E 5 orrection PSI association R parallèles est soumise à la tension u = U. cos ωt si on prend la phase à l origine de u(t) pour origine des phases.. On représente le circuit puis son équivalent en notations complexes en remplaçant les grandeurs sinusoïdales par leurs représentations complexes. On peut également représenter seulement les valeurs efficaces complexes (comme si on avait divisé les grandeurs précédentes par.e jωt ). i(t) u(t) i R (t) R i (t) i(t) u(t) i R (t) R i (t) Z U I I R R I Z On se retrouve alors avec un circuit sur lequel on peut directement appliquer des lois d Ohm généralisées : Aux bornes de R : U = R.I R I R = I R = U R 5,50 A et ϕ R = arg I R = arg U arg R = 0. Aux bornes de : U = Z.I avec Z = jω où ω = πf I = I = U = U 4,38 ω πf A et ϕ = arg I = arg U arg Z = 0 arg Z = π (i(t) en quadrature retard sur u(t)).. À tout instant, i(t) = i R (t) + i (t) soit, en notation complexe, i(t) = i R (t) + i (t) I = I R + I = U R + U [ jω = R j ] U ω Remarque : on retrouve I = Y équ.u avec Y équ = Y R + Y. On en déduit ensuite I = I = j U = + U 7,03 A et ϕ = arg I = R ω R ω arg [ ] [ j R ω + arg U = arg ] j R ω. omme R(I) > 0 et I(I) < 0, on a π ϕ 0 d où ici ϕ = arctan R 38,5 ω On peut retrouver ces résultats en utilisant la méthode de Fresnel : I R i(t) = i R (t) + i (t) I = I R + I et en prenant la phase à l origine ϕ U = 0 ϕ de u(t) pour référence des phases, on trace la figure ci contre : I R est un vecteur de norme I R = 5,5 A et qui forme l angle ϕ R = 0 I avec l axe de référence. I est un vecteur de norme I = 4,4 A et qui forme l angle ϕ = π avec l axe de référence. I = I R + I On mesure ensuite (échelle : V cm) I 7,0 A et ϕ = 38,5. Exercice 5 : omplexes et méthode de Fresnel On travaille dans cet exercice avec des tensions et intensités sinusoïdales de pulsation ω.. (a) Déterminer l impédance complexe Z (forme algébrique et forme exponentielle) d un dipôle AB formé d une résistance R en série avec une bobine d inductance. A.N : R = 00 Ω, = 0, H et ω = 000 rad.s. (b) e dipôle est traversé par un courant sinusoïdal de valeur efficace I = 0 ma : i(t) = I cos ωt. Dessiner le diagramme de Fresnel correspondant et en déduire la tension u (t) aux bornes de AB. (c) Reprendre la question précédente mais avec i(t) = I sin ωt. 4

5 TD E 5 orrection PSI (a) Déterminer l impédance complexe Z (forme algébrique et forme exponentielle) d un dipôle BD formé d une résistance R = 00 Ω en série avec un condensateur de capacité = 0 µf. (b) e dipôle est traversé par un courant sinusoïdal de valeur efficace I = 0 ma. Par utilisation de la méthode des complexes, déterminer u (t) la tension aux bornes de BD si i(t) = I cos ωt. 3. e dipôle AB est placé en série avec le dipôle BD. e dipôle AD ainsi constitué est traversé par un courant sinusoïdal de valeur efficace I = 0 ma. alculer la valeur efficace U de la tension aux bornes de AD. omparer avec U + U où U est la valeur efficace de la tension aux bornes de AB et U est la valeur efficace de la tension aux bornes de BD.. Dipôle. (a) Représentons le dipôle et son équivalent en notation complexe d impédance Z. u (t) u R (t) u (t) A B R i (t) U U R U A I B Association série Z = R + Z = R + jω = j = 4e j π 4. (b) le dipôle d impédance Z est traversé par i(t) = I. cos ωt. À tout instant, u (t) = u R (t) + u (t) = R.i(t) +. di(t) ce qui se traduit sur le diagramme dt de Fresnel par U = U R + U (vecteurs tensions efficaces) avec U R de norme de U R = RI = V et de même sens que I et U de norme de U R = ωi = V et faisant un angle + π avec I c est à dire avec l axe de référence des phases. On représente les vecteurs U R et U sur la figure ci-dessous à gauche. R Z U U = U R + U ϕ U ϕ ϕ I = 0 U R U R U ϕ I = π = U R + U On en déduit ensuite U = U R + U et on lit directement U = UR + U =,4 V et ϕ = π rad d où u 4 (t) = cos(000t + π). 4 (c) Si on prend i(t) = I sin ωt = I cos(ωt π ) et le diagramme prend alors la forme représentée ci-dessus à droite (tous les vecteurs sont déphasés de π par rapport au diagramme précédent. On en déduit directement u (t) = cos(000t π). 4. Dipôle. (a) On représente ce nouveau dipôle et son équivalent complexe d impédance Z. u (t) A u R (t) u (t) B R i (t) Association série Z = R + Z = 00 00j = 4e j π 4 5 U A U R I U B R Z

6 TD E 5 orrection PSI (b) Par application de la loi d Ohm généralisée, on a directement U = Z.I = Z.I car I = I.e jϕ i = I.e j.0 = I. On en déduit U = U = Z.I = R +.I = 0 ω =,4 V et ϕ = arg U = arg Z + arg I = arctan = π rad on en déduit ensuite Rω 4 u = U cos(ωt + ϕ ) = cos(000t π ) 4 3. Dés que le nombre de composants augmente, on a tout intérêt à utiliser la méthode des complexes. On a maintenant affaire à un dipôle d impédance équivalente Z = Z + Z = R + j(ω ) parcouru par un U ω A U B U courant de valeur efficace complexe I = I. D a loi d Ohm généralisée s écrit I Z Z U = ZI = [ R + j(ω ω )].I On en déduit alors U = U = 4R + (ω ω ).I = V et ϕ = arg(u) = arg(r + j(ω )) + ω arg I = arctan ω ω = 0 rad. R D où u = U cos(ωt + ϕ) =,8 cos 000t soit U = V U + U =. Exercice 6 : Impédances équivalentes Deux dipôles sont équivalents s ils ont la même impédance quelle que soit la fréquence de la source d alimentation. Montrer que l on peut choisir et en fonction de 0 et 0 pour que les deux dipôles ci-contre soient équivalents. A 0 0 B A B 0 intérêt principal de cet exercice est d apprendre à manipuler les complexes, y compris dans des calculs qui peuvent devenir vite fastidieux... On commence par calculer l impédance équivalente du dipôle en considérant les deux représentations. A 0 0 B A Z 0 0 Z 0 Z 0 B A B A Z e dipôle représenté à gauche a pour impédance équivalente Z 0 = Z 0 + Z [ 0.Z 0 Z = Z Z 0 + Z = Z 0 + Z 0 /Z 0 + Z ] 0/Z Z 0 /Z 0 avec Z 0 = jω 0 et Z 0 = j 0 ω Y 0 = Z 0 = j 0 ω. d où Z 0 Z 0 = 0 0 ω = Z 0.Y 0 et Z 0 = [ 0 0 ω ] = j 0 ω 0 0 ω 0 0 ω j 0 ω( 0 0 ω ) Z B e second dipôle possède une admittance [ ] [ ] [ ] Y Y = Y + = Y Z + Z + ω = Y + Z.Y + = jω + = jω + Z.Y ω ω 6 Z

7 TD E 5 orrection PSI es deux modélisations du dipôle sont équivalentes si on a Z 0 = Z Z 0 Z = Z 0.Y = 0 0 ω [ ] ω j 0 ω( 0 0 ω ) jω = ( ω 0 0 ω )( ω ) = ( 0 0 0ω )( ω ) 0 + ( )ω + ( )ω4 = 0 On obtient ainsi un polynôme en ω. égalité sera vérifiée pour tout ω si et seulement si les cœfficient du polynômes sont nuls. On en déduit un système de 3 équations à deux inconnues : 0 = 0 0 =, = 0 = 4 0. a troisième équation permettant de vérifier les valeurs précédentes : = 0. Exercice 7 : Méthode des complexes, méthode de Fresnel Soit le circuit représenté ci-contre pour lequel u(t) = U m cos ωt. On considère la bobine réelle (r,) comme une résistance r en série avec une inductance parfaite.. i est en phase avec u. En déduire en fonction de ω, et r. i i R 3 r u i. i et i 3 ont de plus la même valeur efficace. En vous servant de la représentation de Fresnel des intensités, déterminer le déphasage entre i (t) et u(t). En déduire, par utilisation de la loi d Ohm généralisée, la réactances ω de la bobine puis celle ω du condensateur en fonction de r. En régime sinusoïdal forcé u(t) = U m cos ωt est représenté par le complexe u(t) = U m.e jωt.. On peut également représenter le circuit en notation complexe en faisant apparaître les impédances équivalentes. i i R 3 r u i u i i R i 3 r u Z Z u i R i u Z i (t) et u(t) sont en phase si Z éq = R + Z est réel c est à dire si Z est réel, ou encore, pour simplifier les calculs si Y = Z est réel. Y = jω + jω + r = ω + jrω jω + r R arg(y ) = arg( ω + jrω) arg(r + jω) = 0 rω ω = ω r = ω + r u u 7

8 TD E 5 orrection PSI On suppose (f énoncé) que I = I 3, les valeurs efficaces. On représente les tensions efficaces sur le diagramme de Fresnel, en prenant la phase à l origine de u(t) pour référence des phases. D après la question précédente, i (t) est en phase avec u(t). De même, comme l impédance Z est réelle, la tension u (t) de valeur efficace complexe U = Z.U (pont diviseur de tension) est elle même en phase avec Z+Z u(t). D après la relation constitutive du condensateur, i 3 (t) =. du (t) dt (i.e I 3 = Y.U = jωu ) donc I 3 fait l angle π avec la référence des phases. omme on sait aussi que I 3 = I, on en déduit le vecteur I = I I 3 et on constate qu il fait l angle π avec la référence des 4 phases. Or d après la loi d Ohm généralisée, I 3 I = I I 3 π 4 I I = I I 3 ϕ I = 0 ϕ U = 0 U = (r + jω)i I = U r + jω arg(i ) = arg U arg(r + jω) = 0 arctan ω r = π 4 si et seulement si ω = r et en remplaçant dans l expression obtenue au. : = r + ω ω = r 8