MATHÉMATIQUES II. d argument --. Si z IC, on note Mz () l image de z dans ε. Si K est un souscorps

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1 MATHÉMATIQUES II Dans ou le problème, ε désigne le plan affine euclidien IR 2 rapporé à son repère orhonormé canonique ( OI ;, J) On noe i le complexe de module 1 e π d argumen -- Si z IC, on noe Mz () l image de z dans ε Si K es un souscorps de IC, on noe M n ( K) l espace vecoriel sur K des marices de aille ( n, n) à 2 coefficiens dans K e S n ( K) le sous-espace vecoriel des marices symériques On noe IC 2 le IC - espace vecoriel des veceurs colonnes complexes de aille (,) 21 Enfin, si M = m i, j es une marice carrée à coefficiens complexes de 1 i n 1 j n aille ( nn, ), on noe r( M) la race, c es-à-dire m ii, i = 1 Le plus souven, il sera possible, si nécessaire, d admere les résulas d une quesion pour raier les suivanes Parie I - Triples harmoniques IA - IA1) Déerminer la dimension de S 2 ( IC ) ; on prouvera soigneusemen le résula annoncé Soi M e N inversibles e dans S 2 ( IC ), on di que M es harmonique relaivemen à N s il exise une base ( X, X ) de IC 2 elle que XMX = X MX = 0 e XNX = 0 IA2) Soi M e N deux marices inversibles de S 2 ( IC ) e P une marice inversible de M 2 ( IC ) Monrer que PMP e PNP son deux marices inversibles de S 2 ( IC ) Si, de plus, M es harmonique relaivemen à N, monrer que PMP es harmonique relaivemen à PNP On suppose dans les deux quesions qui suiven que M e N son inversibles e dans S 2 ( IC ), avec N αβ = βγ n Concours Cenrale-Supélec /6

2 IB - IB1) On suppose que M es de la forme 0 b Monrer que b 0 ; on pose I X IC 2 = { XMX = 0} bc Monrer que I es la réunion de deux sous-espaces vecoriels du IC -espace vecoriel IC 2, puis décrire les bases ( XX, ) de IC 2 elles que X e X soien dans I En déduire que M es harmonique relaivemen à N si e seulemen si αc = 2bβ IB2) On suppose que M es de la forme ab, avec a 0 bc On noe d une racine carrée de b 2 ac En uilisan les scalaires a, b, c, d déerminer { X IC 2 XMX = 0} En s inspiran du IB1, monrer que M es harmonique relaivemen à N si e seulemen si αc + γa = 2βb IB3) En conclure que M es harmonique relaivemen à N si e seulemen si N es harmonique relaivemen à M IC - Monrer que M es harmonique relaivemen à N si e seulemen si r( N 1 M) = 0 Vu la symérie de la propriéé, si M es harmonique relaivemen à N, nous dirons jusqu à la fin de cee parie que M e N son conjuguées harmoniques ID - Pour N S 2 ( IC ) donnée, avec N inversible, on pose H M S 2 ( IC ) rn 1 = ( M) = 0 Monrer que H es un sous-espace vecoriel de S 2 ( IC ) ; en déerminer la dimension ; déerminer H Vec( N) ; donner un supplémenaire de H dans S 2 ( IC ) IE - Soi k IN e M 1, M 2,, M k dans S 2 ( IC ), inversibles, elles que M i e M j soien conjuguées harmoniques chaque fois que 1 i k, 1 j k, i j Une elle famille sera die harmonique Concours Cenrale-Supélec /6

3 IE1) Dans une famille harmonique, monrer qu aucune marice n es combinaison linéaire des aures IE2) En conclure que k es inférieur ou égal à 3 e que ou riple harmonique, c es-à-dire oue famille harmonique à rois élémens, es une base de S 2 ( IC ) La fin de cee parie consise en la déerminaion de l ensemble des riples ( A, B, harmoniques IF - On suppose dans cee quesion que A es de la forme λ 0, avec λ 0 e µ 0 0 µ Monrer que, pour que ( A, B, soi harmonique, il es nécessaire que B e C soien respecivemen de la forme αλ β e α λ β β αµ β α µ Inversemen, A, B, C éan de cee forme, déerminer une CNS sur α, α, β, β pour que le riple ( A, B, soi harmonique Si A es de la forme ci-dessus, en déduire ous les couples ( BC, ) els que ( A, B, soi harmonique Dans le cas pariculier où les marices A, B, C son à coefficiens réels, déerminer le signe de de B de C (on disinguera les cas de A > 0 e de A < 0 ) IG - Soi ( A 0, B 0, C 0 ) un riple harmonique e P M 2 ( IC ), avec P inversible Monrer que le riple ( P A 0 P, PB 0 P, PC 0 P) es harmonique En déduire une descripion de l ensemble de ous les riples harmoniques (on uilisera sans démonsraion le résula suivan : si A S 2 ( IC ), il exise P inversible de M 2 ( IC ) elle que P AP soi diagonale) Dans le cas où A S 2 ( IR), dire pourquoi on peu prendre P M 2 ( IR) e P AP = D diagonale réelle Dans le cas pariculier où les marices A, B, C son à coefficiens réels, monrer que A, B, C ne peuven avoir oues rois un déerminan < 0 IH - Déerminer { M M 2 ( IC ) S S 2 ( IC ), r( SM) = 0} Soi alors ( A, B, un riple harmonique quelconque ; monrer qu on peu le compléer en une base ( A, B, C, D) de M 2 ( IC ), où D es inversible e vérifie r ( A 1 D) = r ( B 1 D) = r ( C 1 D) = 0 Concours Cenrale-Supélec /6

4 Parie II - Propriéés géomériques IIA - On se limie dans les quesions qui suiven au cas pariculier du riple harmonique ( A, B, suivan : A 1 0 =, B 1 b =, C b 1 =, où b IC \IR 0 1 b 1 1 b On considère les deux équaions suivanes : z 2 + 2bz + 1 = 0 bz 2 + 2z+ b = 0 (1) (2) IIA1) Monrer que ni (1) ni (2) n on 1 ou 1 comme soluion ; monrer que (1) e (2) n on pas de soluion commune On noe d une racine carrée de b 2 1, e on pose 1 + id 1 id z 1 = b + d, z 1 = b d, z 2 = , z b 2 = b (ce son les soluions respecives de (1) e (2)) IIA2) Monrer que : i {,} 12, z i 1 = z i + 1 z i + 1 Exprimer ( z 2 z 1 )( z 2 z 1 ) + ( z 2 z 1 )( z 2 z 1 ) à l aide de p 1 = z 1 z 1, p 2 = z 2 z 2, s 1 = z 1 + z 1, e s 2 = z 2 + z 2 z En conclure que : 2 z 1 z 2 z = z 2 z 1 z 2 z 1 z i IIA3) On défini ϕ : IC \{ i} IC par ϕ( z) = zi Déerminer ϕϕz ( ()) quand cee expression a un sens IIA4) Simplifier l expression b( ϕ() z ) 2 + 2ϕ() z + b pour z i En conclure que z i es soluion de (1) si e seulemen si ϕ() z es soluion de (2) IIB - On noe respecivemen P, P, Q, Q, R, R les images des complexes 1, 1, z 1, z 1, z 2, z 2 dans ε IIB1) Monrer qu un cercle ( de ε passe par P e P si e seulemen s il a une équaion de la forme Fx (, y) = zz z z 1 = 2i x 2 + y 2 y 1 = 0 où IR e où on a posé z = x+ iy Concours Cenrale-Supélec /6

5 1 Si x+ iy IC, on pose X + iy = Donner une relaion simple enre Fx (, y) x+ iy e FX (, Y) En conclure que pour z 0 Mz () C si e seulemen si M( 1 -- ) C z IIB2) Monrer que P, P e Q ne son pas alignés En choisissan pour C le cercle circonscri au riangle PP Q monrer que P, P, Q, Q son sur un même cercle C 1, e de même monrer que P, P, R, R son sur un même cercle C 2 z 1 IIB3) On défini ψ : IC \{ 1 } IC par ψ( z) = z + 1 Déerminer le polynôme uniaire de degré 2, noé q 1, don les zéros son ψ( z 1 ) e ψ( z 1 ) e celui, noé q 2, don les zéros son ψ( z 2 ) e ψ( z 2 ) (chacun de ces polynômes es de la forme z 2 + w i = 0, où le coefficien w i es foncion de b seul) En déduire que les images de ces quare complexes son les sommes d un carré Γ de cenre O Monrer que, les quare poins M( ψ( z i )) e M( ψ( z i )), i { 12, } son siués sur un même cercle don une équaion es zz e 2 = 0 pour un cerain réel e En déduire que, sauf dans un cas pariculier que l on mera en évidence, les quare poins Q, Q, R, R son siués sur un même cercle IIB4) On pose ω = z 1 + z z 1 z 1 e T = M( ω) Déerminer un réel λ el que TQ = λtq En déduire le poin d inersecion des droies ( PP ) e ( QQ ) Monrer que les droies ( PP ), ( QQ ) e ( RR ) son concouranes (on pourra regarder ce que devien ω lorsque l on remplace z 1 par ϕ( z 1 ), e remarquer que ϕ( z 1 ) { z 2, z 2 }) Parie III - Cas des marices (3,3) On noe S 3 ( IR) l ensemble des marices inversibles de S 3 ( IR) Désormais, on ne considérera plus que des élémens de S 3 ( IR) On dira que A e B son conjuguées harmoniques si r ( A 1 B) = r ( B 1 A) = 0 On cherche à discuer l exisence, pour A S 3 ( IR) donnée, d une marice B S 3 ( IR) elle que A e B soien conjuguées harmoniques IIIA - On donne pour les quesions IIIA1, IIIA2, IIIA3, seulemen, u 0 0 A = 0 v 0, avec u, v, w réels non nuls, e on cherche B, elle que A 00w Concours Cenrale-Supélec /6

6 au b c e B soien conjuguées harmoniques,sous la forme b dv e c e fw IIIA1) Écrire r ( A 1 B) à l aide des coefficiens de A e B Écrire, de même, r ( B 1 A) à l aide des coefficiens de A e B Monrer alors que r ( A 1 B) = r ( B 1 A) = 0 si e seulemen si : a+ d = f b 2 c 2 e 2 ad = f 2 uv uw vw (3) Les coefficiens réels u, v, w, b, c, e, f éan donnés, monrer que l exisence d une soluion de (3) équivau à b 2 c 2 e f 2 0 uv uw vw 4 IIIA2) Conclure quan à l exisence de B lorsque les valeurs propres de A son de même signe IIIA3) Lorsque uv < 0, monrer qu on peu choisir B vérifian les propriéés imposées, avec de plus c = e = 0 On n oubliera pas de vérifier l inversibilié de B IIIA4) A éan un élémen donné de S 3 ( IR), conclure quan à l exisence de B S 3 ( IR) elle que A e B soien conjuguées harmoniques IIIB - Exemple : on choisi les marices A e B sous la forme β A = 01 0 e B = α 2 β 0 γ 2 où α > 0 es un réel donné, les réels β e γ > 0 éan à déerminer IIIB1) Déerminer ous les couples ( βγ, ) els que r ( A 1 B) = r ( B 1 A) = 0 IIIB2) On choisi ( βγ, ) = ( α 3, α 2) e on pose C = A 1 B Monrer qu il exise U inversible e D diagonale dans M 3 ( IC ) elles que C = UDU 1 Peu-on choisir U e D réelles? FIN Concours Cenrale-Supélec /6