Chapitre 9. Nombres complexes

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1 Chapitre 9 Nombres complexes

2 1. Ecriture algébrique Situations : L'équation (A) : 3x = 5 n'a pas de solution entière (dans ) mais cette équation a une solution dans : 5 3 ( ) L'équation (B) : x 2 = 3 n'a pas de solution rationnelle (dans ) mais elle a deux solutions dans : 3 et - 3 ( ) L'équation (C) : x 2 = -1 n'a pas de solution réelle (dans ) nous allons compléter par le nombre imaginaire noté i. i est solution de l'équation (C) c'est-à-dire i 2 = -1

3 1. Ecriture algébrique Déf1 : on appelle ensemble des nombres complexes noté l'ensemble de tous les nombres obtenus à partir de complété par le nombre i, en utilisant les opérations de base. (c'est-à-dire l'addition et la multiplication). Th1 : tout nombre complexe z s'écrit : z = a + bi (ou a + ib), avec a et b deux réels et i 2 = -1.

4 1. Ecriture algébrique Expl1 : soit z = 2 4i et z' = i ; z + z' = 2 4i + (-3 + 5i) = -1 + i z z' = 2 4i (-3 + 5i) = 5 9i z.z' = (2 4i) (-3 + 5i) = i + 12i 20i 2 = i (-20) = i z 2 = (2 4i) 2 = i + (4i) 2 = 4 8i 16 = -12 8i

5 1. Ecriture algébrique Déf2 : a + bi est l'écriture algébrique du nombre complexe z. a est la partie réelle de z notée : a = Re(z) b est la partie imaginaire de z notée : b = Im(z) Expl2 : z = 2 4i ; Re(z) = 2 et Im(z) = -4 z' = i ; Re(z') = -3 et Im(z') = 5 Rem1 : si b = 0 alors z = a est un nombre réel. (donc ) si a = 0 alors z = bi est un imaginaire pur.

6 1. Ecriture algébrique Déf3 : si z = a + bi le conjugué de z est z = a bi Th2 : z + z = 2a et z. z = a 2 + b 2 sont des réels. Th3 : le conjugué de la somme de deux complexes est égal à la somme de leurs conjugués : z + z' = z + z' de même : z z' = z z' et z.z ' = z. z' Cette règle est aussi valable pour l'inverse et pour le quotient.

7 1. Ecriture algébrique Application du conjugué : écriture d'un inverse. Expl3 : z = 2 + 3i ; trouver l'écriture algébrique de 1 z on utilise le Th2 : z. z = a 2 + b 2 = 13 donc 1 z = z 13 = i

8 1. Ecriture algébrique Application du conjugué : écriture d'un quotient. Expl4 : quelle est l'écriture algébrique de z = 7 4i 2 + 3i? On utilise le conjugué du dénominateur : 2 3i. z = 7 4i 2 + 3i 2 3i 2 3i = (7 4i)(2 3i) (2 + 3i)(2 3i) = 14 21i 8i + 12i = 2 29i 13 = i

9 1. Ecriture algébrique Application des complexes à l'équation du second degré. Expl5 : Résoudre l'équation : x = 0 : pas de solution réelle. Mais x = (x i)(x + i) donc les solutions sont i et i. Résoudre l'équation : x 2 2x + 5 = 0 = (-2) = -16 ; < 0 donc pas de solution réelle. Mais on peut écrire = (4i) 2 donc x 1 = 2 4i 2 = 1 2i et x 2 = 2 + 4i 2 = 1 + 2i.

10 2. Représentation géométrique Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; u ; v ). On associe le point M de coordonnées (a ; b) au nombre complexe z = a + bi Déf4 : le point M(a ; b) est l'image du complexe z = a + bi le nombre complexe z = a + bi est l'affixe du point M(a ; b) de même : Le vecteur OM est l'image vectorielle du complexe z = a + bi Le nombre complexe z = a + bi est l'affixe du vecteur OM.

11 2. Représentation géométrique Déf5 : le plan ainsi défini est le plan complexe. La droite (O; u ) est la droite des réels (image des nombres réels) La droite (O; v ) est la droite des imaginaires purs. Th4 : les images de complexes conjugués z = a + bi et z= a bi sont des points symétriques par rapport à la droite des réels.

12 2. Représentation géométrique Th5 : l'addition des complexes z 1 et z 2 correspond à l'addition de leurs images vectorielles. soit z 1 = a 1 + b 1 i et z 2 = a 2 + b 2 i ; M 1 (a 1 ; b 1 ) et M 2 (a 2 ; b 2 ) ; M 1 est l'image de z 1, M 2 de z 2. OM 1 = V 1 et OM 2 = V 2 ; V 1 est l'image vectorielle de z 1. alors V 1 + V 2 est l'image vectorielle de z 1 + z 2

13 2. Représentation géométrique Th5 : l'addition des complexes z 1 et z 2 correspond à l'addition de leurs images vectorielles.

14 2. Représentation géométrique Th6 : la multiplication d'un complexe par un réel k correspond à la multiplication de son image vectorielle par k. soit z = a + bi et M(a ; b) l'image de z OM = V est l'image vectorielle de z alors le vecteur k. V est l'image vectorielle de k.z

15 2. Représentation géométrique Th6 : la multiplication d'un complexe par un réel k correspond à la multiplication de son image vectorielle par k

16 3. Ecriture trigonométrique Dans le plan (O; u ; v ) un point peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes M(a ; b). Son affixe est z = a + bi. Ce point peut aussi être repéré par ses coordonnées polaires. Ce sont : la longueur r = OM et l'angle = ( u ; OM). Th7 : Soit M(a ; b) alors r = a 2 + b 2, a = r.cos( ) cos( ) = a a 2 + b 2 ; sin( ) = b a 2 + b 2 b = r.sin( )

17 3. Ecriture trigonométrique

18 3. Ecriture trigonométrique Déf6 : Soit M(a ; b) dans le RON (O; u ; v ) et z = a + bi son affixe Le module de z est z = r = OM = a 2 + b 2 L'argument de z est arg(z) = tel que : a cos( ) = a 2 + b 2 ; sin( ) = b a 2 + b 2 L'écriture trigonométrique de z est : z = r[cos( ) + i.sin( )]

19 3. Ecriture trigonométrique Méthode pratique. Passage d'une écriture à l'autre par les formules : z = r[cos( ) + i.sin( )] r = a 2 + b 2, cos( ) = a r, sin( ) = b r z = a + bi a = r.cos( ) b = r.sin( )

20 3. Ecriture trigonométrique Applications. Th7 : Distance : soit M 1 et M 2 deux points d'affixes z 1 et z 2 alors M 1 M 2 = z 2 z 1 Th8 : Conjugués : z = z et arg( z) = -arg(z)

21 FIN