Rappels sur les suites.

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1 UFR SFA, Licence 2 e année, MATH326 Rappels sur les suies. Dans oue la suie, K désigne R ou C. 1. Généraliés sur les suies. Définiion. Une suie à valeurs dans K es une applicaion u de N, privé évenuellemen d un nombre fini d élémens, dans K. Pour ou enier n, le nombre u(n) es noé u n ; la suie u se noe (u n ). On parle de suie réelle lorsque K = R, de suie complexe lorsque K = C. Lorsqu une suie es définie seulemen pour n p par exemple (1/n 2 ) es définie pour n 1 on peu écrire pour êre précis (u n ) n p. Une suie peu êre définie de différenes manières : 1. expliciemen en foncion de n : la suie de erme général u n = ln(n + 1) + e n ; 2. à l aide d une relaion de récurrence : par exemple u 0 = 0, n 0, u n+1 = 2 + u n. (1) Il fau dans ce cas s assurer que la suie es bien définie (ici u n 0 pour ou n). Les relaions de récurrence peuven faire inervenir plus de ermes de la suie que dans l exemple précéden : u 0 = 0, u 1 = 1 e, pour ou enier n, u n+2 = 2u n+1 + 3u n. Remarque. L ensemble des suies à valeurs dans K es un K espace vecoriel. Définiion. Une suie (u n ) à valeurs dans K es bornée s il exise un réel posiif K el que n N, u n K. Définiion. Une suie réelle (u n ) es majorée (respecivemen minorée) s il exise un réel M (respecivemen m) el que n N, u n M (respecivemen m u n ). Remarque. Une suie réelle (u n ) es bornée si e seulemen si elle es majorée e minorée. Exemple. La suie définie par la relaion (1) es minorée par 0 e donc minorée par 2 à parir de n = 1. Monrons par récurrence qu elle es majorée par 2. u 0 = 0 2 ; si u n 2, u n+1 = 2 + u n = 2. Par conséquen cee suie es bornée. La suie de erme général v n = ( 1) n n n es pas bornée puisque v n = n. Définiion. Une suie réelle (u n ) es croissane (respecivemen décroissane) si, pour ou enier n, u n+1 u n (respecivemen u n+1 u n ). Elle es sricemen croissane (respecivemen sricemen décroissane) si, pour ou enier n, u n+1 > u n (respecivemen u n+1 < u n ). 1 Ph. Briand, 2011/2012

2 Revenons à l exemple (1) e monrons que cee suie es croissane. On a, pour ou enier n 1, u n+1 u n = 2 + u n u n = u n u n un u n 1. Par conséquen, le signe de u n+1 u n es le même que celui de u n u n 1 ; ceci éan valable pour ou n 1, le signe de u n+1 u n es celui de u 1 u 0 = 2 > 0 : la suie es croissane. On monre facilemen que cee suie es sricemen croissane. 2. Suies e limies. Définiion. Soien (u n ) une suie à valeurs dans K e l K. La suie (u n ) converge vers l si pour ou ε > 0 il exise un enier p el que n N, n p = u n l < ε. On noe dans ce cas lim n + u n = l ou lim u n = l. (u n ) es convergene lorsqu il exise l K el que lim u n = l. Dans le cas conraire, la suie (u n ) es divergene. Exemple. La suie de erme général 1/n 2 converge vers 0. En effe, fixons ε > 0 ; choisissons un enier p el que p > 1/ε de sore que p 2 > 1/ε. Si n p, n 2 p 2 > 1/ε e u n = u n < ε. Remarque. 1. Si une suie es convergene alors la limie es unique. 2. Toue suie convergene es bornée. 3. lim u n = l lim(u n l) = 0 lim u n l = 0. Proposiion. Soien (u n ) e (v n ) deux suies convergenes de limies respecives l e l. Pour ou λ K, (u n + λv n ) converge vers l + λl, (u n v n ) converge vers ll e, si l 0, (u n /v n ) converge vers l/l. Remarque. 1. L ensemble des suies à valeurs dans K qui son convergenes es un sous-espace vecoriel des suies à valeurs dans K. 2. Si (u n ) converge vers 0 e si (v n ) es bornée alors (u n v n ) converge vers Une suie complexe (u n ) converge vers l si e seulemen si (Re(u n )) converge vers Re(l) e (Im(u n )) converge vers Im(l) Définiion. La suie réelle (u n ) end vers + (respecivemen ) on noe alors lim u n = + (respecivemen lim u n = ) si, pour ou A > 0, il exise p N el que, pour ou n p, u n > A (respecivemen u n < A). Exemple. Les suies n 2, ln n, e n enden vers +. La suie de erme général u n = ( 1) n es bornée ; elle ne end ni vers + ni vers. Pouran cee suie es divergene. 2

3 3. Exisence de limie pour les suies réelles. Dans ce paragraphe, oues les suies qui inerviennen son des suies réelles. Théorème. On suppose que, pour ou n p, u n v n w n. 1. Si les suies (u n ) e (w n ) son convergenes de même limie l, alors la suie (v n ) es convergene de limie l. 2. Si lim u n = +, alors lim v n = Si lim w n =, alors lim v n =. 4. Si lim u n = l e lim v n = l alors l l. Exemple. La suie de erme général u n = cos n/n converge vers 0. En effe, pour ou n 1, 1 cos n 1 donc 1/n u n 1/n. Plus élégan, 0 u n 1/n. u n = n + n cos n end vers + puisque u n n n = n(1 1/ n). Proposiion. Soi (u n ) une suie croissane. Si (u n ) es majorée alors elle es convergene ; si (u n ) n es pas majorée, lim u n = +. Soi (u n ) une suie décroissane. Si (u n ) es minorée alors elle es convergene ; si (u n ) n es pas minorée, lim u n =. Exemple. La suie définie par la relaion (1) es convergene puisque croissane e majorée par 2. Théorème (Suies adjacenes). Soien (u n ) une suie croissane e (v n ) une suie décroissane. Si lim(v n u n ) = 0 alors les suies (u n ) e (v n ) son convergenes vers la même limie. Exercice. Monrer que la suie de erme général u n = n! es convergene. On pourra considérer la suie v n = u n + 1/(n n!). Définiion (Suie de Cauchy). Une suie (u n ) n 0 es une suie de Cauchy si pour ou réel ε sricemen posiif, il exise un enier p el que n p, m p = u n u m < ε. Théorème (K es comple). Soi (u n ) n 0 une suie de K. (u n ) n 0 es convergene si e seulemen si (u n ) n 0 es une suie de Cauchy. 4. Suies récurrenes Suies arihméiques. (u n ) es arihméique de raison r si elle vérifie la relaion de récurrence : pour ou n N, u n+1 = u n + r. On a alors, u n = u 0 + nr e u n = u k + (n k)r. On peu calculer facilemen la somme des ermes d une suie arihméique puisque (k, n) N 2, u k u k+n = (n + 1)(u k + u k+n )/2 = (n + 1)(2u k + nr)/2. En pariculier, n = n(n + 1)/2. 3

4 4.2. Suies géomériques. (u n ) es géomérique de raison q si elle vérifie la relaion de récurrence : pour ou enier n, u n+1 = q u n. On a alors u n = q n u 0 e u n = q n k u k. L éude de la convergence se ramène à celle de la suie (q n ) : 1. q < 1 : lim q n = 0 ; 2. q > 1 : (q n ) n es pas bornée car lim q n = + ; 3. q = 1 : (q n ) es bornée mais (q n ) es divergene sauf si q = 1. On peu égalemen calculer la somme des ermes d une suie géomérique : si q 1, on a (k, n) N 2, u k u k+n = u k 1 q n+1 1 q ; en pariculier, pour ou z C el que z < 1, 1 + z z n = 1 zn+1 1 z 1, si n +. 1 z Exercice. Soi (u n ) une suie à ermes sricemen posiifs elle que lim(u n+1 /u n ) = a < 1. Monrer que lim u n = 0 puis que la suie de erme général S n = u u n es convergene Suies arihmo-géomériques. On éudie la suie définie par u 0 e u n+1 = au n + b. Si a = 1, c es une suie arihméique, si b = 0 c es une suie géomérique. Si a 1. Soi x la soluion de l équaion x = ax + b : x = b/(1 a). Posons v n = u n x. On a alors, pour ou n 1, v n+1 = av n : (v n ) es une suie géomérique. On en dédui que u n = x + a n (u 0 x). Calcul de la mensualié d un emprun. On emprune un capial de C euros au aux mensuel sur N mensualiés consanes. Noons m cee mensualié e d n la dee de l empruneur après n mensualiés. Bien évidemmen, d 0 = C e si on veu rembourser le prê en N mensualiés, on doi avoir d N = 0. D aure par, pour ou n, d n+1 = (1 + ) d n m. Le poin fixe es soluion de x = (1 + )x m soi x = m/. La suie x n = d n m/ es une suie géomérique de raison (1 + ). Par conséquen, Puisque d N = 0, on obien n 0, d n m ( = (1 + )n d 0 m ) ( = (1 + ) n C m ). m + (1 + )N ( C m ) = 0, soi m = C(1 + )N (1 + ) N 1. 4

5 4.4. D aures exemples. On cherche à éudier une suie réelle définie par u 0 e la relaion de récurrence u n+1 = f(u n ) pour n 0 où f es une foncion réelle. Proposiion. Si (u n ) converge vers l e si f es coninue au poin l, alors l = f(l). Si f es croissane, (u n ) es monoone : (u n ) es croissane si u 1 u 0 0, décroissane si u 1 u 0 0. Si f es décroissane, les suies (u 2n ) e (u 2n+1 ) son monoones de sens conraire. Exemple. u n+1 = 2 + u n, u 0 = 0. Nous avons vu que cee suie éai croissane, posiive e majorée par 2 : elle converge donc vers 0 l 2. Comme x 2 + x es coninue sur [0, 2], on a l = lim u n+1 = lim 2 + u n = 2 + l, soi l 2 = 2 + l. On a donc l = 2 ou l = 1. Comme l 0, l = 2. Proposiion. Soi f dérivable sur [a, b] avec f([a, b]) [a, b]. On suppose qu il exise un réel k el que 0 k < 1 e x [a, b], f (x) k. Alors f possède un unique poin fixe l dans [a, b] e la suie (u n ) définie par u 0 = α [a, b], u n+1 = f(u n ), pour ou n N, converge vers l. Exemple. u 0 = 0, u n+1 = 2 + u n. L inervalle [0, 2] es sable pour la foncion f définie par f(x) = 2 + x ; f es dérivable sur ce inervalle e, pour ou x [0, 2], f 1 (x) = x. Pour ou x [0, 2], 0 f (x) 1 2 < 1. La suie (u 2 n) converge vers l unique poin fixe de f sur [0, 2] qui es 2. 5