Université Paul Sabatier Fascicule de Travaux Dirigés de Physique 1 Semestre 1, L1, Portail SFA. Année

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1 Université Paul Sabatier Fascicule de Travaux Dirigés de Physique 1 Semestre 1, L1, Portail SFA Année

2 4 Thème 4 Oscillations forcées, résonance, impédances (durée 6 heures) 4.1 Circuit RL série excité par une tension sinusoïdale A R S L B i(t) v(t) FIGURE 4 Circuit RL série alimenté par une source de tension sinusoïdale Considérons le circuit électrique représenté sur la figure 4 composé d une résistance R = 1 Ω et d une inductance L = 1 mh associées en série. Soit v(t) = 5cos(ωt + ϕ v ) la différence de potentiel imposée par un générateur de tension entre les points A et B. Le générateur de tension imposant une différence de potentiel sinusoïdale, il est naturel de noter i(t) = I m cos(ωt + ϕ i ) l intensité du courant dans le circuit Equation différentielle A l aide de la loi d additivité des tensions, établir l équation différentielle reliant v(t) à i(t). Dans la suite, nous étudierons uniquement le régime forcé, c est à dire le régime observé une fois le régime transitoire achevé Régime forcé. Détermination de I m et ϕ i 1. En utilisant la notation complexe, donner les expressions de v(t) et de i(t). On introduira les amplitudes complexes V m et I m. 2. Écrire l équation différentielle complexe associée à l équation différentielle établie à la question Exprimer l amplitude complexe I m, son module I m et son argument ϕ i (on introduira ϕ = ϕ i ϕ v ). 4. Étudier les variations du module et de l argument de I m en fonction de la pulsation ω. 4.2 Pendule élastique amorti Considérons le système mécanique représenté sur la figure 5. Une sphère de laiton A de masse m = 2 kg plongée dans de l huile est accrochée à un ressort. Ce dernier s allonge de l = 2,5 cm lorsque la sphère A y est suspendue. La position de la sphère peut être repérée à chaque instant sur un axe vertical Ox dirigé vers le bas. L extrémité supérieure du ressort repérée par le point S de coordonnée x S, est animée d un mouvement oscillatoire harmonique d amplitude égale à 2 mm imposé par un moteur. L huile exerce sur la sphère une force de frottement visqueux s opposant au mouvement et proportionnelle à la vitesse v du mobile : F f = αv où α = 0,723 kg.s 1. La longueur à vide du ressort au repos est notée l 0, sa raideur est notée K. L accélération de la pesanteur est notée g et son module vaut g = 9,8 m.s 2. On négligera la poussée d Archimède exercée par l huile sur la sphère. 21

3 FIGURE 5 Pendule élastique amorti Equation différentielle du mouvement de A 1. En écrivant la loi fondamentale de la dynamique appliquée au mobile A et en projetant cette loi sur l axe Ox, montrer que le mouvement du mobile est régi par une équation différentielle du deuxième ordre. 2. Pour simplifier l écriture de cette équation différentielle, on introduira la grandeur l 1 = l 0 + mg/k et on effectuera le changement de variable X = x l 1. À l aide d une analyse aux dimensions, vérifier la validité de ces choix. Écrire l équation différentielle sous la forme : d 2 X dt τ e dx dt + ω2 0X = F m m cos(ωt + ϕ e) (6) et donner les expressions et les valeurs numériques de τ e, ω 0 et Fm Détermination de la solution générale de l équation homogène associée. Régime transitoire 1. Établir l équation caractéristique associée à l équation différentielle (6). Donner l expression de ses racines r 1 et r 2. Ces racines seront écrites sous la forme a + jb (j 2 = 1) et on donnera les valeurs numériques de a et b. 2. Quelle est l expression générale de la fonction X(t) solution de l équation homogène associée à l équation (6)? Tracer l allure de la courbe représentant X(t). 3. Que devient l expression de X(t) lorsque t = 10τ e? Lorsque t? Détermination d une solution particulière de l équation différentielle complète. Régime forcé, Résonance Une fois le régime transitoire totalement amorti, le mobile A va osciller entre deux positions extrêmes X m et X m. Sa position sera donc repérée par X(t) = X m cos(ωt+ϕ x ). Pour déterminer complètement X(t), nous allons utiliser la méthode complexe qui consiste à associer à l équation différentielle (6) l équation différentielle suivante : d 2 X dt dx τ e dt + ω2 0 X = F m m exp[j(ωt + ϕ e)] = F m exp(jωt) (7) m dont la grandeur complexe X(t) = X(t) + jy (t) est solution. La solution que nous cherchons est alors la partie réelle de X(t). 1. Cette solution particulière de l équation totale est appelée régime permanent ou régime forcé. Justifier cette appellation. Quand on revient à la solution générale de l équation différentielle, le début de l évolution (pendant quelques τ e ) est appelée régime transitoire. Justifier cette appellation. 22

4 2. Donner l expression de X(t) ainsi que son amplitude complexe. 3. Calculer dx dt et d2 X dt 2. Commentaires? 4. Résolution numérique de l équation : (a) Quelle condition doit vérifier l amplitude complexe pour être solution de l équation différentielle (7)? En déduire l expression de son module et de son argument. (b) Pour quelle valeur de la fréquence l amplitude X m est maximale? Calculer X m à cette pulsation. Conclusion? (c) Que se passerait-il s il n y avait pas d amortissement? 4.3 Circuit RLC série excité par une tension sinusoïdale On considère le circuit de la figure 6. Le générateur délivre une tension sinusoïdale v(t) = V m cos(ωt + ϕ v ), V m = 5 V. La bobine a une inductance L = 1 mh, le condensateur une capacité C = 10 µf. On prendra R = 1 Ω. A R L C B i(t) v(t) FIGURE 6 Circuit RLC série excité par une tension sinusoïdale Equation différentielle. À l aide de la loi d additivité des tensions, établir l équation différentielle reliant v(t) à i(t). En déduire l équation différentielle reliant v(t) à q(t). Commentaires? Dans la suite, nous étudierons uniquement le régime forcé, c est à dire le régime observé une fois le régime transitoire achevé Régime forcé. Détermination de I m 1. En utilisant la notation complexe, donner les expressions de v(t) et de i(t). On introduira les amplitudes complexes V m et I m. 2. Que devient l équation différentielle établie à la question 3.1? 3. Exprimer l amplitude complexe I m, son module I m et son argument (on introduira ϕ = ϕ i ϕ v ) Utilisation des impédances 1. Écrire les impédances Z R de la résistance, Z L de la bobine et Z C du condensateur. 2. En utilisant les lois des circuits, retrouver l amplitude complexe I m. 23

5 FIGURE 7 Oscillogramme. Trait plein : tension v(t) observée sur la voie 1. Trait pointillé : courant i(t) observé sur la voie 2. Sensibilités des 2 voies : 1 V/division. Base de temps : 0,1 ms/division Régime forcé. Étude de I m (ω). Résonance. 1. Calculer I m pour f = 100 Hz et f = 1,5 khz. Commentaires? 2. Etudier les variations du module I m en fonction de la pulsation ω Régime forcé. Étude de ϕ(ω). Résonance. Donner les expressions de cos ϕ et de sinϕ. Étudier les variations de ϕ en fonction de ω. Commentaires? Étude expérimentale 1. On souhaite visualiser simultanément à l oscilloscope la différence de potentiel v(t) aux bornes du circuit RLC et l intensité i(t) qui le traverse. Indiquer sur la figure 6 les branchements à effectuer. 2. L oscillogramme obtenu est représenté sur la figure 7. Mesurer sur l oscillogramme la fréquence du signal excitateur v(t) et sa pulsation. Mesurer V m, I m et ϕ. Le courant est-il en avance ou en retard par rapport à la tension? 24