Gestion Actif Passif et Solvabilité

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1 Gesion Acif Passif e Solvabilié Charles Descure & Crisiano Borean Generali France 7/9 Boulevard Haussmann 759 Paris Tel. : Fax. : cdescure@generali.fr cborean@generali.fr Résumé L un des principaux enjeux pour les assureurs du passage aux nouvelles normes compables (IFRS) e réglemenaires (Solvabilié II) es la valorisaion économique des Passifs, c'es-à-dire le calcul de la «Fair Value» des engagemens. L une des soluions possibles consise à uiliser un modèle Acif / Passif sochasique pour projeer les flux fuurs générés par l acivié puis à les valoriser grâce à une foncion d acualisaion elle-même sochasique : le déflaeur. Par consrucion (il s appuie sur le passage à la mesure de probabilié risque-neure) le déflaeur cape l aversion au risque impliciemen conenue dans la valeur de marché des acifs risqués. Il perme d obenir une valorisaion «Marke Consisen» des flux projeés, c'es-à-dire de rerouver la valeur de marché iniiale des acifs risqués. En appliquan cee echnique aux flux probabilisés du passif, on obien la valeur du porefeuille d acifs de marché qui couvre le mieux le risque conenu dans ces flux, e, donc, une Fair Value du passif. Nous proposons dans ce aricle une formulaion générale du déflaeur e explicions son applicaion pour quelques modèles financiers simples. Mos Clés Capial Économique, Solvabilié II, Déflaeurs, Fair Value, Marke Consisen Value, modélisaion sochasique, Risque-Neure.

2 Sommaire. Inroducion page 3. Méhodologie page 4.. Principes.. Technique de valorisaion.3. Indicaeurs.4. Applicaion e résulas 3. Discussion page Modèles discres 3... Modèles mono-périodique discre à deux éas 3.. ;. Les déflaeurs d éa Modèles muli-périodiques e passage en emps coninu 3.. Formule générale des déflaeurs pour les modèles en emps coninu_ page Définiion des déflaeurs 3... Caracérisiques de l économie sous-jacene Uilisaion de la mesure risque-neure e prix de marché du risque Consrucion du déflaeur pour une économie avec une courbe des aux sochasique e un acif risqué Quelques propriéés des déflaeurs 3.3. Modèle de Black & Scholes page Modèle de Vasicek pour la courbe des aux page Modèle de Cox, Ingersoll e Ross (CIR) page 5 4. Résulas page Généraeur de scénarios macro-économique e des déflaeurs associés. 4.. Applicaion : besoin en capial e créaion de valeur 4.3. Résulas 5. Conclusion page 8 Bibliographie page Annexes page

3 . Inroducion Déerminer la valeur à long erme d une sociéé n es pas un suje facile. Il suffi d observer les flucuaions considérables de la plupar des acions coées pour consaer que les invesisseurs on beaucoup de difficulé à déerminer la valeur des enreprises e donc le prix qu il es juse de payer en échange des ires de ces sociéés. Les récens pics de volailié aeins sur les marchés financiers corresponden, pour une acion sur rois, à une variaion de cours de plus d un quar (à la hausse ou à la baisse) sur une période de douze mois. Pour luer conre ce phénomène qui menace leur capacié de financemen, les enreprises d assurance éayen leur communicaion financière par des analyses faisan apparaîre, enre aures, une valeur à long erme. Cee dernière es esimée selon une méhode sandardisée pour l ensemble du marché : l «Embedded Value». Cee norme de valorisaion évolue acuellemen vers l «European Embedded Value», noammen pour que la valeur de cerains élémens du bilan comme les Insrumens Financiers à Terme (explicie à l acif du bilan ou implicies dans les passifs d assurance), se rapproche de leur valeur observable sur les marchés financiers. D aure par, le conexe réglemenaire évolue, là encore avec l objecif de rendre plus ransparenes e plus «économiques» les communicaions des enreprises d assurance vers l exérieur. Les normes compables IAS / IFRS e le proje de norme réglemenaire européen Solvabilié II enren dans ce cadre. Elles envisagen noammen l inroducion d un concep clé pour la valorisaion des sociéés, celui de «Fair Value» des compes e des éas financiers. Enfin, les dirigeans des enreprises d assurance s appuien de plus en plus sur des indicaeurs inernes qui, pour el ou el élémen de la sraégie, esimen quaniaivemen le poeniel de créaion de richesse économique e la prise de risque associée. Les indicaeurs de ype «Capial Économique» e «Reour sur Capial Économique» en fon parie. Ils son le plus souven uilisés pour, dans un premier emps, éclairer les prises de décision sraégiques puis à des fins de managemen pour explicier aux principaux pôles de décisions opéraionnelles des objecifs clairs e cohérens avec la sraégie globale. Le proje Solvabilié II prévoi jusemen d auoriser l uilisaion d indicaeurs inernes de risque, comme le Capial Économique, pour jusifier le caracère suffisan de la capialisaion des assureurs, voire le niveau de prudence dans leurs réserves. Les condiions seraien d une par que les modèles soien reconnus perinens du poin de vue de l Acif / Passif e du besoin en capial, e d aure par qu'ils soien effecivemen uilisés par le managemen pour éclairer des décisions opéraionnelles. Nous nous aacherons dans ce aricle à explicier une méhode de valorisaion de l enreprise d assurance qui soi en ligne avec ces nouvelles exigences de communicaion exerne e de piloage. Plus spécifiquemen, nous nous efforcerons de déboucher sur des indicaeurs de créaion de valeur e de risque (Fair Value e Capial Économique) qui soien cohérens enre eux. Enfin, nous donnerons pour des exemples simples les enjeux du passage de l Embedded Value à l European Embedded Value puis à la Fair Value pour les indicaeurs de valeur, e du passage de la norme de Solvabilié acuelle à Solvabilié II, via une analyse fondée sur le Capial Économique. 3

4 . Méhodologie.. Principes La méhode de valorisaion sera fondée sur les principes suivans, qui nous semblen êre compaibles avec la version acuelle des projes IFRS phase II e Solvabilié II, qui imposen de valoriser oues les coningences fuures (noammen les opions implicies conenues dans les passifs d assurance) : Projecion des cash flows fuurs grâce à un modèle Acif / Passif : La valorisaion repose sur une modélisaion Acif / Passif de la sociéé, c'es-à-dire sur une projecion sochasique des cash flows fuurs prenan en compe les ineracions enre les deux coés du bilan. Ces ineracions comprennen l impac du comporemen des acifs invesis sur les provisions echniques (ex. : la paricipaion aux bénéfices ou le déclenchemen des garanies de aux de rendemen minimum), sur le comporemen des assurés (ex. : les rachas conjoncurels) ou encore sur les décisions managériales (ex. : la réalisaion de plus-values laenes). Valorisaion des cash flows par une méhode «Marke Consisen» La valeur d un acif ou d un passif, calculée sur la base des cash flows fuurs de l élémen considéré, doi êre cohérene avec la valorisaion que les marchés financiers donnen au même jeu de cash flows fuurs. Pour les acifs coés, la valeur doi êre égale à la valeur observable sur les marchés. Pour les passifs d assurance don les cash flows son répliquables par un porefeuille d acifs invesis (une garanie de rendemen minimum sur un fonds d épargne en acions peu, par exemple, êre répliquée par une série de Pus), la Marke Consisen Value doi êre égale à celle, observable là encore, de ce porefeuille répliquan. Noe : Plus le modèle es sophisiqué plus il perme d aller loin dans ce principe de «Marke Consisency». Les modèles les plus sophisiqués permeen non seulemen de rerouver la valeur de marché de la plupar des acifs coés classiques mais aussi celle de bon nombre d Insrumens Financiers à Terme, noammen la valeur des Pus, Calls, Floors e Caps, pour plusieurs échéances... Technique de valorisaion Nore problème consise donc à valoriser un échéancier de cash flows fuurs générés par un modèle sochasique de projecions financières. La echnique de valorisaion que nous uiliserons repose sur une foncion mahémaique, le «déflaeur» qui perme d associer à un flux économique aléaoire (ici, les résulas fuurs que l enreprise disribuera à l acionnaire), une valeur. Ce déflaeur es plus précisémen une foncion d acualisaion sochasique qui présene la paricularié d inégrer à la fois une composane risque e une composane emps. Il dépend du modèle financier uilisé pour caracériser les acifs échangés sur les marchés e oue la difficulé es d explicier le déflaeur qui correspond au modèle financier choisi. 4

5 .3. Indicaeurs En appliquan cee echnique de valorisaion aux flux projeés par le modèle Acif / Passif, nous pourrons calculer une Fair Value de la sociéé à l insan iniial. Nous calculerons égalemen pour des exemples relaivemen simples (cf. chapire Applicaions e résulas) l Embedded Value e l European Embedded Value, afin d idenifier les enjeux de l évoluion des indicaeurs de valeur. Oure la Fair Value à l insan iniial, le déflaeur perme égalemen de produire la disribuion de cee Fair Value au bou d un an. C es sur la base de cee disribuion que nous explicierons le Capial Économique requis pour garanir la solvabilié de la sociéé. Nous définirons cee quanié comme l écar enre la Fair Value médiane e la Fair Value dans un quanile de risque élevé (99.75%), à horizon un an..4. Applicaion e résulas Pour illusrer l uilisaion des modèles de projecion des flux économiques fuurs, la echnique de valorisaion via les déflaeurs e l uilisaion des indicaeurs Fair Value e Capial Économique, nous erminerons cee éude par l applicaion à un produi d assurance Vie relaivemen simple. Nous nous efforcerons de monrer la sensibilié des indicaeurs de risque e de valeur à différens élémens de la sraégie de l enreprise, comme le niveau des garanies données au passif ou le niveau de risque pris via l allocaion d acifs. 5

6 3. Discussion Cee roisième secion explicie une echnique de valorisaion des cash flows fuurs : le déflaeur. Cee echnique s appuie sur deux principales hypohèses, la compléude des marchés financiers e l Absence d Opporunié d Arbirage, e perme de produire une «Fair Value». 3.. Modèles discres 3... Modèle mono périodique discre à deux éas Pour inroduire le concep de déflaeur, nous commencerons par décrire les modèles discres e le concep d acif d éa. Définiion des Acifs d Éa Un modèle basé sur le principe d'aoa peu êre consrui à parir des acifs d'arrow-debreu ou Acifs d Éa. Ces acifs procuren le versemen d une unié de la devise considérée si un éa précis de la naure se produi à un insan fuur, rien sinon. L exemple du modèle mono périodique discre à deux éas Deux acifs risqués son disponibles. Leur valeur de marché e leur cash flows fuurs pour les deux éas de la naure envisageables, A e B, son expliciés ci-dessous. Le principe es exacemen le même pour un modèle avec N éas de la naure. Acif risqué Acif risqué Valeur de marché iniiale Valeur fuure pour l'éa de la naure A 5 3 pour l'éa de la naure B Chaque acif es complèemen caracérisé par sa valeur iniiale e ses cash flows fuurs dans les différens éas de la naure possibles. Les acifs d éa son caracérisés par : Acif d'éa A Acif d'éa B Valeur fuure pour l'éa de la naure A pour l'éa de la naure B Nous pouvons uiliser le principe d'absence d'opporunié d'arbirage pour valoriser les acifs d éa en répliquan leur cash flows avec les acifs risqués exisan sur le marché. Il suffi pour cela de résoudre un simple sysème d'équaion. Les valeurs de marché se déduisen alors auomaiquemen de la composiion du porefeuille répliquan : 6

7 Porefeuille répliquan l'acif d'éa A Porefeuille répliquan l'acif d'éa B Acif risqué - 3 Acif risqué -5 Valeur fuure pour l'éa de la naure A pour l'éa de la naure B Valeur de marché iniiale.4.55 La valeur de marché des porefeuilles répliquans donne ainsi la valeur des acifs d'éa qu il es mainenan possible d uiliser pour valoriser un nouvel acif risqué e l'acif sans risque, en foncion de leurs cash flows fuurs : Nouvel Acif risqué Acif sans risque Valeur fuure pour l'éa de la naure A pour l'éa de la naure B - Valeur de marché iniiale La généralisaion de ce exemple à un modèle mono périodique discre avec N éas de la naure possibles es immédiae. La formule de valorisaion d'un acif basée sur les N acifs d'éas du modèle es alors donnée par : P = N i= E( i). CF( i) Où : P es le prix de l'acif considéré, CF(i) ses cash flows dans chacun des N éas E(i) le prix de l'acif d'éa associé à l éa i Pour que le modèle soi cohéren e effecivemen sans opporunié d'arbirage, il es imporan d'imposer quelques conraines quan à la valeur de marché iniiale des acifs d'éas, les E(i) : - Tous les E(i) doiven êre sricemen posiifs; si el n éai pas le cas, l acha du ou des acif(s) d éa de valeur négaive ou nulle en consiue une opporunié d arbirage. - Un modèle mono périodique ne présene pas d opporunié d arbirage si e seulemen si les E(i) exisen (e son sricemen posiifs). En effe, nous avons vu que, dans ce cas, le prix d un acif s exprimai de façon unique en foncion de ses cash flows fuurs e du prix des acifs d éa. Propriéé impliquée par l exisence de l acif sans risque : L acif sans risque es celui don le rendemen fuur es indépendan des différens éas du monde pouvan se produire. Soi r le rendemen de l acif sans risque. Comme il rembourse en fin de période, sa valeur en es (+r) -. Le remboursemen es assuré quel que soi l éa de la naure e la valeur de l acif sans risque peu donc égalemen êre exprimée par la somme des valeurs des acifs éas. D où la propriéé suivane : N E( i) = + i= r 7

8 3... Les déflaeurs d éa Nous allons mainenan inroduire le concep de déflaeur d'éa. Pour ce faire, reprenons le modèle mono périodique à deux éas uilisé précédemmen e supposons que la probabilié d'occurrence de l'éa de la naure A es p e celle de l'éa B (-p). Posons le déflaeur d'éa D(e) = E(e) / p(e) Avec p(e) la probabilié supposée pour l'éa e : P(A) = p e P(B) = -p. Ainsi, en reprenan l'exemple précéden avec une probabilié d'occurrence de l'éa de la naure A de deux iers e de l'éa B de un iers, nous pouvons calculer les déflaeurs à parir Valeur de l'acif d'éa Probabilié d'occurrence Déflaeur Valeur fuure pour l'éa de la naure A pour l'éa de la naure B du prix des acifs d'éa : On généralise facilemen ce exemple à un univers avec N éas de la naure possibles pour monrer que la valeur P d un acif produisan le cash flows CF(e) pour chacun des N éas de la naure s exprime par : N P = E( e) CF( e) = p( e) D( e) CF( e) = E[ D. CF] e= N e= Modèles muli périodiques e passage en emps coninu Modèles muli périodiques Pour généraliser les exemples précédens de modèles mono périodiques à N éas, nous allons considérer un modèle à N éas e H périodes. Les prix des acifs d éas son noés E(, e), avec [,,, H] e e [,,, N]. Les probabiliés associées à chaque éa de la naure pour un insan donné son noées p (, e), avec [,,, H] e e [,,, N]. Comme pour le modèle mono périodique, les déflaeurs son définis par : D (, e) = E(, e) / p(, e) Soi CF(, e) un jeu de cash flows don nous cherchons la valeur P. Comme précédemmen, on raisonne par absence d opporunié d arbirage sur un porefeuille répliquan exacemen les cash flows, puis on inrodui les déflaeurs d éa pour parvenir à la formule suivane : H N P = p(, e) D(, e) CF(, e) = = e= = H E[ D( CF( ] 8

9 Selon le même principe, il es égalemen possible de valoriser un cash flows fuur à un insan fuur. Soien deux insans e, avec <, la valeur en d un cash flows omban en es donnée par : [ D( ) CF( )] E D( ) Considérons mainenan l évoluion possible du prix d un acif P( sur une période allan de à, pendan laquelle l acif ne verse pas de dividende ou de coupon. En uilisan la formule précédene sur l ensemble des cash flows procurés par l acif considéré, on dédui : P( ) = E [ D( D( ) P( ) )] Ce qui nous perme de mere en évidence l une des caracérisiques les plus imporanes des déflaeurs grâce à la formule suivane : D ) P( ) = E [ D( ) P( )]. ( Auremen di, le processus D.P es une maringale, c es à dire que son espérance à un insan fuur es égale à sa valeur présene (ou plus généralemen que son espérance à un insan fuur condiionnée par l informaion disponible à un insan es égale à sa valeur en ). Cee propriéé nous permera en pariculier de vérifier que le modèle ne présene pas d opporunié d arbirage. Passage en emps coninu Pour calculer la valeur des Acifs d Éa, il es nécessaire de disposer d un cerain nombre d acifs risqués e de connaîre leur valeur iniiale ainsi que les flux qu ils génèren dans les différens éas de la naure. En praique il es plus facile de consaer la valeur d un nombre limié d acifs de marché pour lesquels on aura idenifié e paraméré des processus de diffusion coninus à parir desquels on dérive le processus de diffusion des déflaeurs. C es ce mécanisme que nous nous sommes aachés à explicier dans ce chapire. D aure par, noons que pour êre vraimen uiles dans la valorisaion de porefeuilles complexes, les déflaeurs doiven êre produis par un modèle de valorisaion suffisammen sophisiqué pour pouvoir inégrer cee complexié. Les modèles discres à plusieurs éas que nous avons décris au chapire précéden pour rendre nore propos plus facilemen accessible doiven êre remplacés par des modèles coninus. 3.. Formule générale des déflaeurs pour les modèles en emps coninu Nous commencerons par donner la forme générale des déflaeurs, pour une économie consiuée d une srucure par erme des aux sans risque e d un acif risqué. Puis, sur cee base, nous explicierons les déflaeurs de quelques modèles financiers classiques. 9

10 3...Définiion des déflaeurs Pour une économie donnée, le prix déflaé d un acif de marché es une maringale sous la mesure de probabilié hisorique. Mahémaiquemen, si C( es le processus sochasique définissan la diffusion dans le emps du prix d un acif de marché, R la mesure de probabilié hisorique e F la ribu des évènemens en, C(s).D(s) =ER [D(.C( / F s ]. 3..Caracérisiques de l économie sous-jacene Hypohèse : Le marché es comple e il vérifie l Absence d Opporunié d Arbirage, ce qui assure l exisence du déflaeur pour cee économie donnée (Duffie ). Hypohèse : Le prix S de l'acif risqué sui un mouvemen brownien géomérique el que : ds=µsd + σs, où µ e σ son des consanes. Hypohèse : Les aux sans risque son caracérisés par un modèle sochasique à un faceur (processus d Iô), coninu e de carré inégrable : () dr = α (, d + β (, Hypohèse : La dynamique d une obligaion zéro coupon d échéance T, don la valeur en es noée P = P(, T ), peu êre modélisée par un processus d Iô : dp () = ~ µ (, d + ~ (, P σ où P ( T, T ) = où ~ µ e ~ σ son des foncions coninues, de carré inégrable. Hypohèse : Le prix d un zéro coupon ne dépend que de la dynamique des aux, P = P(,. Posons : P = P P = r P = r ; Pr ; P rr. En uilisan le calcul d Iô (cf. Annexe ) e l équaion () on obien : (3) dp = ( Pr α (, + P + Prr ( β (, ) ) d + Pr β (, En idenifian dans les équaions () e (3) pour les ermes en d e en, on obien : (4) ~ ( ( ), ) ( ( ), Pσ r = Pr β r ) ; P ~ µ (, = P (, P P ( (, )) rα + + rr β 3..3 Uilisaion de la mesure risque-neure e prix de marché du risque Q es une mesure de probabilié risque-neure si : - les prix acualisés au aux sans risque son des Q-maringales - le passage de la mesure hisorique R à la mesure risque neure Q exise e es déerminé par dq un processus sricemen posiif que l on appelle la dérivé de Radon-Nikodym : dr

11 dq - la dérivé de Radon-Nikodym a une variance finie dr On peu démonrer (Duffie ) que s il exise un déflaeur D en définissan la quanié ξ ( ) = exp[ s) ds] D( o pour <T la mesure de probabilié risque neure Q es obenue par dq ξ (T ) =. d R dq dq dq Posons : (5) ξ ( = Ε ( ) Ε' [ ξ ( ] = Ε' [ Ε ( )] = Ε ( ) = ξ ( ξ ( es une dr dr dr maringale sous la mesure hisoriquer (R -maringale). De plus le processus es sricemen posiif ( ξ ( ) = ). Enfin, le héorème de représenaion des maringales browniennes implique l exisence d un T R processus λ (,, à la condiion que la quanié Ε exp( ( λ ( s), s) ds) soi finie, qui assure que la dérive de ξ (le erme en d es nulle : (5bis) dξ = λ(, ξ Cee formulaion (5)bis assure que le processus es sricemen posiif. En uilisan le héorème de Girsanov le processus : (6) Q = + λ(, d Z Q ( = ) = es un mouvemen brownien sous la mesure Q. Le prix acualisé au aux sans risque d un zéro coupon es : ~ ~ (7) P = P(, = P(, exp( s) ds) ou bien sous forme différenielle grâce au calcul d Iô ~ dp r r d ~ ~ = [ ~ µ ( ( ), ) ( )] + σ (, P Si Q = + λ(, d on a : ~ dp (8) r r ~ r r d ~ ~ = [ ~ µ ( ( ), ) ( ) σ ( ( ), ) λ( ( ), )] + σ (, P Le prix acualisé au aux sans risque d un zéro coupon es une Q-maringale = ~ µ (, σ~ (, λ(, (9) ~ µ (, = + ~ σ (, λ(, ) On appelle le processus λ (, prix de marché du risque. Q

12 En reporan (9) dans les équaions () e (4) on a : () P[ + ~ σ (, λ(, ] = Pr α(, + P + Prr ( β (, ) e dp () = ( + λ (, ~ σ (, ) d + ~ σ (, où ~ P σ (, = r β (, ) P P C es cee formulaion de la srucure par erme des aux que nous uiliserons dans la suie des calculs Consrucion du déflaeur pour une économie avec une courbe des aux sochasique e un acif risqué L économie considérée compore un acif risqué, par exemple un indice acions, don le cours sui un mouvemen brownien géomérique e une courbe des aux suivan un processus de diffusion sochasique à un faceur (processus d Iô) : ds () = µ d + k dr = α (, d + β (, S Les deux mouvemens browniens qui décriven l aléa de l économie considérée, son corrélés. Soi Z un mouvemen brownien el que. Auremen di, nous. = prenons une base orhogonale où es indépendan de Z. On a ensuie : Z (3). = ρd. d i i = Z Z = ρ Z + ρ Le rois acifs de l économie son le ire risqué S, le compe d épargne cour erme B e un zéro coupon P d échéance T. Leurs dynamiques deviennen : (4) ds S db = µ d + kρ + k ρ (5) = d B dp (6) = ( + λ (, ~ σ (, ) d + ~ σ (, P où λ (, es le prix de marché du risque de aux dépendan des hypohèses du modèle e ~ P σ (, = r β (, ) où P es une soluion de l équaion différenielle (). P Comme le déflaeur es un processus d Iô, on peu décrire sa dynamique selon l équaion différenielle sochasique suivane : (7) dd = Ω( D,, d + Ξ( D,, + Ψ( D,,

13 Pour rouver Ω = Ω( D,,, Ξ = Ξ( D,,, Ψ = Ψ( D,, nous allons uiliser l argumen suivan : les processus de prix déflaés de rois acifs de marché, SD, BD, PD son des R -maringales e le héorème de représenaion des maringales assure que leur dérive (erme en d es nulle. On obien ainsi pour SD : (8) d ( SD) = DdS + SdD + dsdd de (), (3) e (7) on obien d( SD) = µ SD + ΩS + SkρΞ + Sk ρ Ψ d + K + K (9) ( ) en annulan le erme en d on a : () µ D + Ω + kρξ + k ρ Ψ = De même pour BD : () d ( BD) = DdB + BdD + dbdd de (), (3), (5) e (7) on obien () d ( BD) = ( DB + BΩ) d + en annulan le erme en d on a : (3) Dr ( + Ω = Ω = D K La roisième équaion es obenue pour PD : + K (4) d ( PD) = PdD + DdP + dpdd de (3), (6) e (7) on obien (5) d ( PD) = ( PΩ + DP[ + λ(, ~ σ (, ] + PΞ ~ σ (, )d + K K En reporan (3) dans (5) e en annulan le erme en d on a: (6) Dλ (, ~ σ (, + Ξ ~ σ (, = Ξ = Dλ(, En reporan (3) e (6) dans () on a : µ + λ(, kρ (7) Ψ = D k ρ On peu écrire l équaion différenielle sochasique suivie par D : + (8) dd D = d λ (, K(, µ + λ(, kρ K (, = k ρ dy d y dd Soi y = ln D dy = dd + dddd dy = dddd dd dy D D dd dy = ( D ( λ (, ) + D ( K(, ) )d D D 3

14 En uilisan (8) on obien : ( λ(, ) ( K(, ) dy [ ] d λ(, K(, = en inégran sur (, on obien : (9) λ( s), s) D( = D().exp[ s) ds ds ( K( s), s)) ds ( s), s) ( s) K( s), s) λ ( s)] Cee équaion donne la formule générale du déflaeur pour une économie consiuée d une srucure par erme des aux à un faceur e d un acif risqué. λ correspond à la prime de risque associée à la volailié de la courbe des aux e K à la prime de risque associée à la volailié des acions. Une économie avec un plus grand nombre de sources de risques (inflaion, marché immobilier, ec) verrai ainsi sa forme complexifiée pour inégrer oues les sources de risque Quelques propriéés des déflaeurs Nous avons vu que le déflaeur exise s il y a Absence d Opporunié d Arbirage sur les marchés financiers e qu il es unique si les marchés son comples. La forme générale (9) garanie bien que le déflaeur es sricemen posiif. L espérance vue de l insan du déflaeur à un insan fuur es égal à la valeur du zérocoupon P(,. En effe, en appliquan la propriéé de maringale au prix des zéro-coupons déflaés, don le cash flow cerain en es égal à, il vien : E [ D( ] = E[ D(.] =. P(, Noons, en conséquence, que l on peu encore simplifier l expression générale du déflaeur (9) en remarquan que la valeur en = du déflaeur es (P(,)) Modèle de Black & Scholes Dans ce modèle, l acif risqué sui bien un mouvemen brownien géomérique, comme nous l avons supposé au 3.3.., e l acif sans risque donne un rendemen consan r. En appliquan la formule (9) à cee économie, il vien immédiaemen : λ =, la courbe des aux éan plae e saique, la prime de risque associée es nulle. µ r K =, la prime de risque associée au risque du processus acion S. σ En remplaçan ces primes de risque dans la formule générale (9), e sachan que D() =, il vien : ( ) r µ r µ D + = exp r +. X σ σ 4

15 3.4. Modèle de Vasicek pour la courbe des aux Vasicek a proposé en 977 le processus de diffusion suivan pour le aux cour (processus d Ornsein-Uhlenbeck) : dr = a( b r) d + σ. a,b,σ son consans. a correspond à la viesse de reour à la moyenne, b à la valeur de la moyenne e σ es la volailié du aux cour. Noons que dans ce modèle peu devenir négaif. λ (, es le prix de marché du risque de aux. Il es consan dans ce modèle ( λ ( r (, = λ ). λ doi êre dérivé d un modèle d équilibre pour assurer l absence d opporunié d arbirage (AOA). Les aux cours négaifs son cerainemen conraires à l AOA. Le modèle de Vasicek es cohéren avec un modèle d équilibre si les agens ne peuven pas invesir dans le compe d épargne cour erme. Bien que cee hypohèse ne soi pas réalise, elle es donc nécessaire pour avoir l AOA. La dynamique d un zéro coupon es déerminée par l équaion () : dp P = ( + λ (, ~ σ (, ) d + ~ σ (, Le modèle de Vasicek es un modèle affine de la courbe des aux. En effe, les aux nominaux son des foncions affines du. Duffie (994) a monré que la srucure des aux es affine si e seulemen si le coefficiens des processus son affines. En résolvan l équaion () pour ce modèle on a (cf. Annexe ): ~ a( T ) σ (, = σ ( e a ) L équaion différenielle sochasique suivie par le déflaeur D pour l économie où la courbe des aux sui le modèle de Vasicek e l acif risqué S un mouvemen brownien géomerique : dd D = d K(, λ où µ + λkρ K (, = e k ρ λ D( = exp[ s) ds ( K( s), s)) ds Z( K( s), s) λ 3.5. Modèle de Cox, Ingersoll e Ross (CIR) Cox, Ingersoll e Ross on proposé en 985 le processus de diffusion suivan pour le aux cour : ( s)] dr = a( b r) d + σ 5

16 a,b,σ son consans. a correspond à la viesse de reour à la moyenne, b à la valeur de la moyenne e σ es la volailié sochasique du aux cour. Dans ce modèle ne peu pas êre négaif. λ (,, le prix de marché du risque de aux, es dans ce modèle: λ λ( r (, = ; où λ es consan σ λ (, es dérivé d un modèle d équilibre pour assurer l absence d opporunié d arbirage (AOA). Le modèle CIR es cohéren avec un modèle d équilibre où les agens on une foncion d uilié logarihmique. La dynamique d un zéro coupon es déerminée par l équaion () : dp P = ( + λ (, ~ σ (, ) d + ~ σ (, Le modèle CIR es un modèle affine de la courbe des aux car les aux nominaux son des foncions affines de. Duffie (994) a monré que la srucure des aux es affine si e seulemen si le coefficiens des processus son affines. En résolvan l équaion () pour ce modèle on a (cf. Annexe ): ~ ~ σ (, = b ( T σ ) ; γ = a + ( + λ) σ ~ (exp( γ ( T ) ) b ( T = ; ( γ + a + λ)(exp( γ ( T ) ) + γ L équaion différenielle sochasique suivie par le déflaeur D devien pour l économie avec cee courbe de aux e l acif risqué S : dd D λ = d K(, σ où λ µ + kρ K (, = σ k ρ e λ λ D( = exp[ ( + ) s) ds ( K( s), s)) ds s) ( s) K( s), s) ( s)] σ σ 6

17 4. Résulas 4.. Généraeur de scénarios macro-économique e des déflaeurs associés. Pour facilier l inerpréaion des résulas e permere aux leceurs qui le souhaieraien de rerouver facilemen les calculs, nous uiliserons la version la plus simple des déflaeurs : celle du modèle de Black & Scholes (cf. secion 3.3.). La courbe des aux es donc plae e consane dans le emps ; dans l exemple que nous analyserons dans la secion suivane, le risque de courbe des aux es de oue façon complèemen couver par l adéquaion Acif / Passif. Simulaions Avec un généraeur d aléas classique, nous générons des simulaions sochasiques de l indice acion e du déflaeur associé. Sur les bases des résulas brus,5 Déflaeurs,5,5 Year: Year: Year: Year: 3 Year: 4 Year: 5 Année nous pouvons explicier quelques saisiques qui permeen de mieux voir commen foncionne le déflaeur : La moyenne des déflaeurs, pour chaque année de projecion, es égale à la valeur iniiale du zéro-coupon de maurié correspondane (i.e. la moyenne du déflaeur la roisième année de projecion es égale au zéro-coupon P(,3) ). Comme le déflaeur cape l aversion au risque, les scénarios défavorables pour les invesisseurs (ceux où l indice acion baisse) son affecés d un poids supérieur aux aures dans la valorisaion ; e inversemen pour les scénarios favorables. On le consae sur les quaniles 95% (scénarios rès défavorables, correspondan à un indice acion ayan perdu près de 3% pendan l année) e 5% (scénarios rès favorables où l indice acion a progressé d environ 5%). Cf. graphique page suivane. 7

18 Déflaeurs,8,6,4,,8,6,4, Année Year: Year: Year: Year: 3 Year: 4 Year: 5 Quanile 95% Moyenne Quanile 5% 4.. Applicaion : besoin en capial e créaion de valeur Comme applicaion, nous allons comparer le besoin en capial donné par la norme européenne acuelle e celui donné par le capial économique. Nous allons égalemen considérer la créaion de valeur pour l acionnaire selon rois indicaeurs : l Embedded Value, l European Embedded Value e la Fair Value Indicaeurs Calcul de la Fair Value La Fair Value de la sociéé sera donné par la valeur acualisée en, grâce aux déflaeurs, des cash flows fuurs (CF) apparenan à l acionnaire e générés par le modèle : Fair Value = E[ D i CF i ] T i= Calcul de l European Embedded Value L European Embedded Value sera donnée en acualisan, chaque année, la moyenne des CF à un aux arbiraire, répué caper le risque non valorisé par la méhode (e que nous préciserons à chaque fois dans les résulas). On dédui ensuie de cee valeur un coû du capial correspondan à l écar enre le rendemen consaé de l acif e le rendemen aendu par l acionnaire sur le monan de capiaux immobilisés pour des raisons réglemenaires. Calcul de l Embedded Value L Embedded Value sera donnée en ne faisan qu une seule projecion déerminise des CF annuels pour laquelle la source d aléas (le rendemen des acions) es fixée égale à son espérance (7% par exemple). Les cash flows apparenan à l acionnaire son ensuie acualisés avec un aux arbiraire répué caper le risque non valorisé par la méhode (e que nous prendrons égal à l espérance du rendemen acion). On dédui ensuie de cee valeur un coû du capial correspondan à l écar enre le rendemen consaé de l acif e le rendemen 8

19 aendu par l acionnaire (ici le aux d acualisaion) sur le monan de capiaux immobilisé pour des raisons réglemenaires. Calcul du Capial Économique Nous définirons le Capial Économique comme le capial nécessaire pour proéger avec une probabilié élevée (ex. : 99.75%) les assurés e les crédieurs «senior» conre le risque d insolvabilié économique à horizon un an. Il y a insolvabilié économique lorsque la valeur de marché des acifs es inférieure à la Fair Value des passifs d assurance e des dees senior. Pour évier d avoir à faire un grand nombre d iéraion pour rouver le niveau de capial iniial qui perme d évier l insolvabilié économique avec la probabilié voulue, nous ferons l approximaion suivane : Capial Économique = Fair Value médiane dans an Fair Value du quanile.5% dans an. La disribuion de Fair Value dans un an es obenue selon le processus suivan : ) une première simulaion sochasique sur la première période d un an condui à N siuaions (par exemple 5). ) pour chacune de ces N siuaions, on projee les flux fuurs jusqu à l horizon, avec les déflaeurs associés. 3) les N jeux cash flows acualisés grâce aux déflaeurs donnen une disribuion de Fair Value à un an Cas modélisé Considérons une sociéé d assurance ulra simplifiée pour laquelle les passifs echniques ne son consiués que d un seul produi d assurance Vie, conenan des dérivés financiers implicies. Les acifs son invesis en acions de marché e en obligaions d éa (considérées comme des acifs sans risque). Nous allons nous appuyer sur un modèle Acif / Passif de projecion des cash flows fuurs e appliquer à ces cash flows la echnique de valorisaion expliciée précédemmen. Passif echnique Le passif echnique es consiué d un conra à prime unique de, d échéance 8 ans. On suppose qu il n y a ni racha, ni décès pendan la durée du conra e que le conra n es pas prorogeable après 8 ans. Le conra comprend une moiié invesie en Uniés de Compe e une aure moiié libellée en Euros. Pour la par UC, l assuré suppore le risque d invesissemen e conserve l inégralié du rendemen du fonds ne de chargemens. Les prélèvemens sociaux son déduis au erme. La par Euros comprend une garanie de rendemen minimum («Taux Minimum Garani», que nous ferons varier de % à %) e une paricipaion aux bénéfices (que nous ferons varier de 9% à % des revenus financiers nes de chargemens). Les prélèvemens sociaux son déduis chaque année. 9

20 Chargemens Son prélevés sur les en-cours d acifs ou les revenus financiers les chargemens e coisaions suivanes : - Prélèvemens sociaux (CSG, CRDS) : % des revenus financiers - Frais de gesion annuels brus :.8% de l en-cours pour la par Euros,,65% pour la par UC.5% de ces frais son reversés au réseau de disribuion - Frais d acquisiion brus :,5% Ces frais son inégralemen reversés au réseau de disribuion. Coûs de foncionnemen Les coûs de foncionnemen supporés par l assureur son modélisés comme un pro raa du volume d acifs invesis (,%). Acifs invesis Les passifs echniques son scindés en UC e Euros, chaque canon éan adossé à un fonds sur lequel son prélevés les chargemens. Les acifs son invesis en acions (acif risqué) e en obligaions d éa 8 ans (acif sans risque), dans les mêmes proporions pour chacun des deux fonds ; cee allocaion globale es précisée pour chaque simulaion. Nous n avons pas modélisé d impô sur les flux apparenan à l acionnaire Résulas Nous avons modélisé le cas décri précédemmen, sous Excel, avec le paramérage suivan : Sur la base de ce paramérage, nous calculons les rois différens indicaeurs de valeur, avec le monan en e le raio de ce monan divisé par % de la prime unique (un raio classique d analyse de la valeur crée par unié de prime récurrene, appelé «NBM» ou New

21 Business Margin), ainsi que les deux indicaeurs de besoin en capial, le Capial Economique e l exigence réglemenaire acuelle «Solvabilié I» (4% de l engagemen e % de l engagemen UC) : Sensibilié à la par acions : Avec 7% d acions (au lieu de %) Avec 3% d acions Sensibilié au Taux Minimum Garani : Avec % de TMG (au lieu de %)

22 Avec % de TMG Sensibilié aux prélèvemens Avec,5% de prélèvemens annuels supplémenaires Avec,% de prélèvemens annuels supplémenaires 4.4. Analyse des résulas L Embedded Value, qui d une par ne cape pas l opionnalié du produi e, d aure par, ne resiue pas de valeur «Marke Consisen», es insensible au niveau du Taux Minimum Garani (an que celui-ci rese inférieur au rendemen moyen espéré du porefeuille d acif, ne de chargemens, c es àdire an que l opion correspondan rese «hors de la monnaie»). D aure par le choix du aux d acualisaion éan arbiraire e indépendan du risque réellemen pris, l augmenaion de la prise de risque acion n es pas prise en compe e condui à une augmenaion de l indicaeur de valeur! L European Embedded Value, elle, cape l opionnalié mais ne valorise pas de façon «Marke Consisen». Le choix du aux d acualisaion es moins arbiraire mais rese rop grossier pour réellemen caper le risque encouru. Ce indicaeur présene comme principal

23 avanage de fournir une valeur enan compe des opions du bilan ou en resan rès simple (acualisaion des cash flows moyens avec un aux simple). La Fair Value cape l opionnalié e la valorise de façon «Marke Consisen», ce qui, on le voi, correspond à une valeur des opions plus imporane que ne le fai apparaîre l EEV. Ceci ien au fai que les déflaeurs, capan l aversion au risque des aceurs du marché financiers, donnen un poids plus imporan aux scénarios défavorables que ne le fai l EEV en prenan simplemen la moyenne sur ous les scénarios. La sensibilié à la par acion monre que l EV y es quasimen insensible : elle ne cape pas du ou le risque associé seul l en-cours sur lesquels son pris les chargemens évolue, influan rès légèremen sur l indicaeur. L EEV y es plus sensible, e de façon asymérique, mais pas suffisammen pour caper complèemen la valeur des opions. La Fair Value monre que dans nore exemple la par acion devrai êre inférieure à %, oues choses égales par ailleurs, pour que la NBM de ce produi soi saisfaisane. Le Capial Economique délivre le même message, si on considère que le niveau acuel d exigence doi êre un maximum. La sensibilié au TMG confirme que l EV y es bien oalemen insensible. L EEV, en revanche, cape bien ce ype d opion mais y affece une valeur inférieure à la «Marke Consisen» value donnée par la Fair Value. Avec le peramérage de l exemple, donner des TMG de % recèle beaucoup rop de danger pour l acionnaire e la valeur de ses flux s en rouve largemen ampuée. Cee opion doi se siuer enre % e % pour que le produi soi renable. Le Capial Economique délivre le même message. La sensibilié aux chargemens a simplemen éé effecuée pour donner un ordre de grandeur de l équivalen en aux de chargemen des impacs d une augmenaion de la par acion ou du TMG. 3

24 5. Conclusion L uilisaion de echniques financières, comme le passage sous la mesure de probabilié risque-neure puis l uilisaion de déflaeurs pour valoriser des cash flows fuurs probabilisés, perme de faire face à l une des principales difficulés echniques du passage aux nouvelles normes compables e réglemenaires : le calcul d une «Fair Value» des passifs d assurance. La valeur des passifs ainsi calculée es rès sensible à quelques hypohèses clés comme la volailié supposée pour le marché acions, la corrélaion enre le risque acions e les aures risques ainsi que la volailié de la courbe des aux. De même, ceraines caracérisiques de l acivié, comme la par d acifs invesis en acions e le niveau des Taux Minimum Garanis on une influence dominane sur la sensibilié des indicaeurs de risque e de valeur. Pour uiliser ces echniques e mere en place des indicaeurs de piloage de l acivié fondés sur la Fair Value (comme le poeniel de créaion de Fair Value e le Capial Économique), il nous semble qu une première éape imporane es la définiion d un cadre clair e d ouils simples pour produire un premier jeu d indicaeurs cohérens enre eux e capan de façon globale les principales sources de risque. Cee première éape perme de familiariser les différens inervenans aux conceps, aux aspecs echniques imporans e aux principaux leviers liés à l acivié. Elle perme surou d organiser un large échange auour des mécanismes de créaion de valeur e de gesion des risques pour permere à l organisaion de mieux appréhender son processus de prise de décision e les impacs financiers possibles. Cee phase perme ainsi d idenifier ce que les indicaeurs doiven vériablemen caper, commen ils foncionnen e la façon don ils seron uilisés. Après cee première phase, on pourra définir un cadre plus précis pour l uilisaion e la producion des indicaeurs, en foncion des objecifs sraégiques de l enreprise, des cahiers des charges déaillés pour les ouils e, finalemen abouir à des indicaeurs plus précis e mieux adapés aux spécificiés de l acivié. Le proje Solvabilié II favorise la producion de els indicaeurs quaniaifs de risque e de valeur. Il perme, noammen, aux enreprises d uiliser des modèles inernes de ype Capial Économique pour jusifier le caracère suffisan de la capialisaion des assureurs. Les condiions pour que l auorié accepe el ou el ouil de projecion des flux fuurs associé à elle ou elle méhode de valorisaion seraien, d une par, que les modèles soien reconnus perinens du poin de vue de l Acif / Passif e du besoin en capial, e d aure par qu'ils soien effecivemen uilisés par le managemen pour éclairer des décisions opéraionnelles. Ainsi, les ouils de calcul e de gesion de la valeur consiuen un moyen de maîriser l allocaion de capial e, cerainemen à cour erme, de pouvoir la jusifier aux auoriés de conrôle. 4

25 Bibliographie Principes de Finance Moderne, Rober Goffin (Ediions Economica) Marchés des Capiaux e Théorie Financière, François Quiard-Pinon (Ediions Economica) An Ineremporal General Equilibrium Model of Asse Prices, Cox, Ingersoll, Ross (Economerica) A heory of he Term Srucure of Ineres Raes. Cox, Ingersoll, Ross (Economerica) Dynamic Asse Pricing Theory Duffie (Princeon Universiy Press) Sochasic Calculus Alain Bain ( Noes disponibles sur inerne. From Embedded Value o Share Price, V. Arabeyre & S. Hardwick Geing o grips wih Fair Value, M. Abbink & M. Saker Modern Valuaion Techniques, S. Jarvis, F. Souhall & E. Varnell 5

26 Annexes Annexe Lemme d Iô Soi d un processus sochasique général de la forme: i) dr = α (, d + β (, Soi Soi : P = P(, P = P une quelconque foncion différeniable de. P = r P = r ; Pr ; P rr Alors l équaion différenielle sochasique pour P es: ii) dp = Pr d + P d + Prr ( β (, ) d + Ο( dd, d,...) avec ( = d en reporan i) en ii) on a : ii-bis) dp = ( Pr α (, + P + Prr ( β (, ) ) d + Pr β (, Annexe Modèles affines de la courbe des aux Soi d un processus sochasique général de la forme: iii) dr = α (, d + β (, où Z es un mouvemen brownien sur la mesure hisorique R. En inroduisan la mesure risque neure Q e λ (,, le prix de marché du risque. En uilisan le héorème de Girsanov on a : iv) Q = + λ(, d Z Q ( = ) = es un mouvemen brownien sur la mesure Q. Si nous écrivons l équaion iii) dans l univers risque neure en uilisan iv) on a : Q v) dr = ˆ α (, d + β (, où ˆ α(, = α(, β (, λ(, Si ˆ α (, = ˆ( α ) e β (, = β ( ), on appelle le processus sochasique suivi par homogène dans le emps. 6

27 En reporan ˆ α(, dans l équaion () : P[ + ~ σ (, λ(, ] = Pr α(, + P + Prr ( β (, ) e ~ P σ (, = r β (, ) P on a vi) P ˆ rα (, + P + Prr ( β (, ) P = Pour un zéro coupon d échéance T, don la valeur in es noée P = P(, ; T ), on peu monrer que si le processus es homogène dans le emps, il es de la forme P = P(, T Un modèle s appelle affine si : vii) ˆ α(, = ˆ( α ) = ˆ ϕ ˆ κ e β (, = β ( ) = δ + η où ϕˆ,κˆ,δ e η son consans. Duffie (994) a monré que un modèle pour le aux cour es affine si e seulemen si la soluion de l équaion différenielle vi) a la forme : ~ viii) P = P(, ; T ) = exp[ a~ ( T b ( T ] où, avec τ = T e T, ~ ~ a ( τ ) e b ( τ ) son les soluions des équaions suivanes : ~ ~ ~ η( b ( τ )) + ˆ κb ( τ ) + b ( τ )' = ix) ~ ~ ~ ( a τ )' ˆ ϕb ( τ ) + δ ( b ( τ )) = Ces équaions différenielles ix), dies de Riccai on des soluions connues. Modèle de Vasicek dr = a( b r) d + σ. où a,b,σ son consans. Si Q = + λ(, d, avec Z Q ( = ) = es un mouvemen brownien sur la mesure Q, où λ ( r (, = λ es consane, on peu écrire l équaion de diffusion dans le monde risque neure comme : Q x) dr = a( bˆ r) d + σ. où b ˆ λσ = b a. Le modèle de Vasicek es affine avec les paramères suivans pour l équaion vii) : ˆ κ = a + λ, ˆ ϕ = ab, η = σ, δ = Les équaions de Riccai deviennen ( τ = T ): ~ ~ ~ xi) a b ( τ ) + b ( τ )' = avec b () = = a~ ( ) don la soluion es: 7

28 ~ τ a xii) b ( τ ) = ( e ) a ~ τ τ ˆ ~ ~ λσ σ ~ σ ~ a ( τ ) = ab b ( u) du σ ( b ( u)) du [ b ][ τ b ( τ )] ( b ( )) = + a 4 a a τ ~ Éan affine, la forme de P = P(, ; T ) = exp[ a~ ( T b ( T ] condui à : xiii) ~ ~ P r = b ( τ ) P e Prr b = ( ( τ )) P En reporan xiii) en ii-bis) on a : xiv) dp P ~ ~ = ( λσ. b ( T ) d σ. b ( T Modèle CIR dr = a( b r) d + σ où a,b,σ son consans. Si Q = + λ(, d Z Q ( = ) = λ es un mouvemen brownien sur la mesure Q, où λ( r (, =, avec λ une consane, σ on peu écrire l équaion de diffusion dans le monde risque neure comme : Q xv) dr = [ ab ( a + λ ) r] d + σ en uilisan l équaion v). Le modèle CIR es affine avec les paramères suivans pour l équaion vii) : ˆ κ = a, ˆ ϕ = abˆ, δ = σ, η = Les équaions de Riccai deviennen ( τ = T ): xvi) ~ ~ ~ ~ σ ( b ( τ )) + ( a + λ) b ( τ ) + b ( τ )' = avec b () = = a~ () don la soluion es: ~ (exp( γτ ) ) xvii) b ( τ ) = ( γ + a + λ)(exp( γτ ) ) + γ τ ~ ~ ab a ( τ ) = ab b ( u) du = [ln(γ ) + ( a + λ + γ ) τ ln(( γ + a + λ)(exp( γτ ) ) + γ )] σ γ = ( a + λ) + σ ~ Éan affine, la forme de P = P(, ; T ) = exp[ a~ ( T b ( T ] condui à : xviii) ~ ~ P r = b ( τ ) P e Prr b = ( ( τ )) P En reporan xviii) en ii-bis) on obien : xix) dp P = [ ( λ b ~ ( T )] d σ. b ~ ( T 8