Variables aléatoires à densité

Transcription

1 Ercics : Variabls aléatoirs à dnsité Rappls sur ls variabls discrèts Ercic 55 pag :. Ls valurs possibls d X sont,,,5 t,. La loi d X put s résumr dans l tablau suivant : valurs d X,,5, probabilités 6 = =. m = E(X) =, 3 +,5 6 +(,) =, 3. Entrr dans ls lits d la calculatric : dans la list ls valurs d X, dans la list ls probabilités. Puis mnu STAT, puis CALC utilisr la fonction -VAR Stats avc n argumnt ls lists L t L. On trouv σ, Ercic 59 pag :. a) fau : X suit la loi binomial d paramètrs 5 t,78. b) vrai c) vrai. a) P(X = 8),369 b) P(X ),678 c) P(X > ) = P(X ),38 d) P(8 X ) = P(X ) P(X 7),56 3. E(X) = 5,78 t V(X) = 5,78, = 4,9 Variabls aléatoirs à dnsité Ercic 9 pag 4 :. Fau : la fonction f st mal défini car il st impossibl d calculr f() alors qu l on nous dit qu f st défini sur [ 6;6].. Rgardons si ls trois points d la définition sont vérifiés : (i) On sait qu donc (on a divisé tout l ncadrmnt par ), donc (on a multiplié tout l ncadrmnt par qui st un nombr négatif donc on a changé l ordr) t ainsi (on a ajouté à tous ls mmbr d l ncadrmnt). vérifié qu g(). (ii) g st un fonction afin donc g st continu sur [;]. g() d Un primitiv d g sur [;] st la fonction G défini par G() = = 4. g() d = G() G() = 4 4 = En conclusion g st bin un fonction d dnsité sur [;]. TES-TL Pag Ercics : Variabls aléatoirs à dnsité

2 3. Rgardons si ls trois points d la définition sont vérifiés : (i) On sait qu pour tout [;4], > donc h() >. (ii) Grâc au fonction usulls on put dir qu h st continu sur [;4]. 4 h() d Un primitiv d h sur [;4] st la fonction H défini par H() =. 4 h() d = H(4) H() = = En conclusion h st bin un fonction d dnsité sur [;4]. Ercic pag 4 : Pour vérifir d façon graphiqu ls trois points d la définition il faut vérifir ls trois choss suivants : la courb st au dssus d l a ds abscisss (fonction positiv), la courb s trac sans lvr l crayon (fonction continu), t l air sous la courb st égal à un unité d air (intégral égal à ). Donc sul la courb rprésnté n d. rprésnt un fonction d dnsité. Ercic 3 pag 4 :. a) y b) On rprnd ici ls mêms argumnts qu dans l rcic t on voit qu f n st pas un fonction d dnsité car l air sous la courb d f st égal à 4 4 = 8.. On chrch k tl qu la fonction g satisfass ls trois points d la définition du cours. (Cla n st pas précisé dans l énoncé mais il st sous ntndu qu k.) (i) Comm [;k], on a bin k donc g(). (ii) g st un fonction affin donc g st continu sur [;k]. k g() d. Un primitiv d la fonction g sur [;k] st la fonction G défini par G() = k. k Donc pour avoir g() d = G(k) G() = k k = k. k g() d = on voit qu la sul valur positiv d k possibl st k =. g st un dnsité d probabilité si t sulmnt si k =. TES-TL Pag Ercics : Variabls aléatoirs à dnsité

3 Ercic pag 4 : { si [;]. a) On a ici f() =. Vérifions ls trois points d la définition d un fonction d si ];] dnsité. (i) Si [;], on a donc f(). Si ];] on a donc t donc f(). En résumé pour tout [;], f() (ii) Traçons la courb rprésntativ d f pour voir si f st continu : y Ainsi on voit qu f st bin continu sur [;]. f() d. Comm f st défini n du morcau nous utilisons la rlation d Chasls : f() d = f() d+ f() d Un primitiv d f sur [;] st la fonction F défini par F() =. f() d = F() F() = Un primitiv d f sur [;] st la fonction F défini par F() =. f() d = F() F() = 4 4 ( ) = Pour finir f() d = = = En conclusion f st un fonction d dnsité. b) P( X ) = f() d = (on a déjà fait c calcul dans la qustion précédnt. si [;]. On a ici f() = 3 4. si ];3] 4 a) Vérifions ls trois points d la définition d un fonction d dnsité. (i) Si [;], on a donc f(). Si ];3] on a 3 donc 4 3 4, donc 3 4 t donc f(). 4 En résumé pour tout [;3], f() (ii) Traçons la courb rprésntativ d f pour voir si f st continu : TES-TL Pag 3 Ercics : Variabls aléatoirs à dnsité

4 y Ainsi on voit qu f st bin continu sur [;3]. f() d. Comm f st défini n du morcau nous utilisons la rlation d Chasls : f() d = f() d+ f() d Un primitiv d f sur [;] st la fonction F défini par F() =. f() d = F() F() = Un primitiv d f sur [;3] st la fonction F défini par F() = f() d = F(3) F() = ( ) = 8 Pour finir f() d = = = En conclusion f st un fonction d dnsité. b) P( X ) = f() d Un primitiv d f sur [;3] st la fonction F défini par F() = f() d = F() F() = ( ) = Ainsi P( X ) = 3 8. Ercic 5 pag 4 :. (i) Pour tout [;], n t n > donc f(). (ii) f st un fonction polynômial donc f st continu sur [;]. f() d. Un primitiv d f sur [;] st la fonction F défini par F() = n. f() d = F() F() =. Ainsi f st un fonction d dnsité sur [;].. a) P(A) = P(,5 X ) =,5 f() d = F() F(,5) = (,5) n TES-TL Pag 4 Ercics : Variabls aléatoirs à dnsité

5 b) On chrch l plus ptit ntir n tl qu P(A),9 :,5 n,9,5,,5 n, ln(,5 n ) ln(,) nln(,5) ln(,) n ln(,) ln(, 5) car l fonction ln st croissant car ln(,5) < Or ln(,) ln(,5) 3,3. L plus ptit ntir n vérifiant l inégalité dmandé st n = 4. Ercic 7 pag 4 : a) F st dérivabl sur [; 3 ] t st d la form u v w. On aura donc F () = u ()v()+u()v () w () avc : u() = u () = v() = ln() v () = w() = w () = Donc F () = ln()+ = ln()+ = ln() = f() Ainsi F st un primitiv d f. b) (i) Pour tout [; 3 ], on a ln() donc f() t donc il faut choisir k pour qu kf() soit positif. (ii) La fonction ln étant continu sur [; 3 ], k f st continu sur [; 3 ]. 3 kf() d. On a trouvé quand la qustion précédnt un primitiv d f. 3 Ainsi pour avoir kf() d = k ( F( 3 ) F() ) = k ( 3 ln( 3 ) 3 (ln() ) ) = k 3 3 kf() d = il faut choisir k = 3. Pour k = 3, la fonction k f st un fonction d dnsité sur [;3 ]. c) P( X ) = kf() d = k ( F( ) F() ) = 3 = TES-TL Pag 5 Ercics : Variabls aléatoirs à dnsité

6 Ercic 4 pag 4 :. Un primitiv d la fonction f sur [;] st la fonction F défini par F() =.. (i) On sait qu pour tout, > donc si k, on aura bin g(). (ii) La fonction ponntill étant continu sur R, on put dir qu g st continu sur [;]. g() d. Comm on a trouvé un primitiv d f, F, t qu k st un constant, on put dir qu kf st un primitiv d g. Pour avoir g() d = kf() kf() = k k ( ) = k( ). g() d = on voit qu il faut choisir k = Pour k =, la fonction g st un fonction d dnsité sur [;]. 3. P(X,5) = g() d = kf() kf(,5) = k +k,5 =,5,5 Ercic 6 pag 4 : a) (i) L polynôm + admt un discriminant ( ) négatif donc il st d sign constant t positif car l cofficint d st positif. Donc, si k, pour tout [;], f(). (ii) f st un fonction polynômial donc continu sur [; ]. f() d. Un primitiv d f sur [;] st la fonction F défini par F() = k ( f() d = k 3 ) + = k 5 6 Ainsi pour avoir f() d = il faut choisir k = 6 5. Pour k = 6, f st un fonction d dnsité sur [;]. 5,5 b) P(A) = f() d = F(,5) F() = 6 ( ) = P([ X,5] [,4 X,6] P A (X [,4;,6]) =. P(A) Or P([ X,5] [,4 X,6] = P(,4 X,5) = 6 ( 5 3,43 ),4 +,4 =,94 Ainsi P A (X [,4;,6]) =,94 =,88,5 c) E(X) = f() d.,5,4 ( 3 3 ) +. f() d = F(,5) F(,4) = Or f() = 6 5 (3 + ) donc un primitiv d f() st la fonction G défini par G() = ( ) Ainsi E(X) = G() G() = 6 ( ) = TES-TL Pag 6 Ercics : Variabls aléatoirs à dnsité

7 Ercic 3 pag 5 :. X suit la loi uniform sur [8;] car l énoncé nous dit qu Ziva arriv à la gar ntr 8h t h.. Comm un TGV part touts ls du hurs à partir d 5h, l sul TGV qu Ziva put avoir st clui qui part à 9h. Pour qu ll attnd moins d un dmi-hur il faut donc qu ll arriv à la gar ntr 8h3 t 9h. On chrch donc P(8,5 X 9). Comm X suit un loi uniform on a : P(8,5 X 9) = 9 8,5 8 =,5 = 4 Ercic 8 pag 5 :. P(X ) = P( X ) = = = 6.. P rprésnt la probabilité d l événmnt [C X D] lorsqu X suit la loi uniform sur [A;B]. E rprésnt l spéranc d X lorsqu X suit la loi uniform [A;B]. Ercic 9 pag 5 : Notons X la variabl aléatoir égal au nombr choisi au hasard. Comm on ffctu un choi au hasard, on put dir qu X suit la loi uniform sur [;]. On nous dmand dans l énoncé d calculr P [ X,5] (X,3). On a : Ercic 35 pag 5 : a) P(X ) b) P( X ) c) P(X ) Ercic 4 pag 7 : P([ X,5] [X,3]) P [ X,5] (X,3) = P( X,5) P(,3 X,5) = P( X,5),5,3 = =,,5,5 = 5. Mêm spéranc car cntré autour du mêm absciss mais pas l mêm écart-typ car pas la mêm hautur.. Pas la mêm spéranc, mêm écart-typ. 3. Pas la mêm spéranc t pas l mêm écart-typ. Ercic 49 pag 9 :. a. P(X 6) = P(3 X 6) = = 4 b. E(X) = 3+5 = 8 = 9. L tmps moyn d séchag st d 9 minuts.. a. P(X 6),6 b. P(3 X 6),4 TES-TL Pag 7 Ercics : Variabls aléatoirs à dnsité