Concours de l Association Mathématique du Québec Niveau Collégial

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1 Concours de l Associaion Mahémaique du Québec Niveau Collégial Le vendredi, 9 février 007, de 9h à 1h aux candidaes, aux candidas Ceci n es pas un examen, mais bien un concours ; il es donc ou naurel que vous rouviez ceraines quesions difficiles e que vous ne puissiez répondre qu à quelques-unes. La correcion, sricemen confidenielle, prendra en compe divers élémens, don la précision, la claré, la rigueur e l originalié, de même que les esquisses de réponses, dans le cas d une soluion non compléée. Nous vous remercions e vous félicions de vore inérê pour les mahémaiques. Bonne chance. Noe : L usage de oue forme de calcularice es inerdi. QUESTION 1 E Hop! sans calcularice! En paran du fai que 3, 305 < log < 3, 306, déerminer le premier chiffre à gauche dans l écriure décimale de Soi a = Alors log 10 a = 1000 log Ainsi 330, 5 < log 10 a < 330, 6. Donc ,5 < a < ,6. C es-à-dire, 10 0, < a < 10 0, Mais 3 < 10 0,5 = 10 e 10 0,6 = < 4 car 10 3 < 4 5. On en dédui que < a < Le premier chiffre, à gauche, de es donc le chiffre 3. QUESTION Toujours irréducible! Monrer que la fracion 35n + 7 es irréducible, quel que soi l enier n. En d aures ermes, 1n n + 7 e 1n + 4 n on pas de diviseur commun d > 1. 1

2 Si d divise 35n+7 e 1n+4, alors d divise (35n+7) (1n+4) = 14n+3. Comme d divise (1n+4) e (14n+3), il divise ainsi (1n+4) (14n+3) = 7n+1. Il divise aussi (14n+3) (7n+1) = 7n+. Finalemen, d divise 7n + e 7n + 1 e donc d divise (7n + ) (7n + 1) = 1. Le seul diviseur commun d 1 de 35n + 7 e 1n + 4 es donc d = 1. QUESTION 3 Le vilebrequin e la boule de bois À l aide d un vilebrequin, un menuisier perce un rou qui raverse une boule de bois le long d un diamère de sore que le poids de la boule soi rédui de moiié. Sachan que le rayon de la boule es de 1 décimère, déerminer le rayon du rou. (, 1 ) rayon du cylindre = 1 En plaçan l axe du rou le long de l axe des x, on obien sucessivemen : Volume du cylindre = π( 1 ) = π(1 ). Volume des caloes = π = π 1 1 ( 1 x ) dx [ ( 1 (1 x )dx = π x [( = π 1 1 ) ( 13 )] [ 3 3 = π ] 3 3. [ Volume du rou = π(1 ) + π ( 3 3 = π 3 ) 3 3 = 4π 3 (1 3 ). ] 3 x3 )] 1

3 Volume de la boule = 4 3 π 13 = 4 3 π. Il fau donc 4 3 π(1 3 ) = π. Ainsi = 1 3. QUESTION 4 Les plaeformes océaniques Un groupe de chercheurs en océanographie possède rois plaeformes A, B, e C, sur l océan Pacifique, conenan chacune un laboraoire. Leurs recherches son limiées à la porion de l océan comprise dans le riangle sphérique ABC. Sachan que A = 90, B = 45, C = 60, déerminer l aire oale du riangle sphérique ABC. Noe : Conrairemen au cas des riangles plans, dans un riangle sphérique, la somme des angles n es pas égale à 180 degrés. Elle peu varier en éan oujours plus grande que 180 degrés, comme l illusre la figure suivane où les rois angles son de 90 degrés chacun e leur somme es de 70 degrés > 180 degrés. L aire d un croissan enre deux demi grands cercles es proporionnelle à l angle enre les deux demi grands cercles. Lorsque l angle es de 90 degrés = 360/4 degrés, l aire vau 1/4 de l aire de la Terre. Lorsque l angle es de 45 degrés = 360/8 degrés, l aire vau 1/8 de l aire de la Terre. Lorsque l angle es de 60 degrés = 360/6 degrés, l aire vau 1/6 de l aire de la Terre. En faisan la somme des 6 croissans déerminés par les poins A, B, e C, on rouve que (aire croissan en A) + (aire croissan en B) + (aire croissan en C) = aire de la Terre + 4 (aire du riangle ABC). On en dédui que (aire de la Terre)/4 + (aire de la Terre)/8 + (aire de la Terre)/6 = aire de la Terre + 4 (aire du riangle ABC). Ainsi, aire du riangle ABC = (1/4) [(1/ + 1/4 + 1/3) 1] (aire de la Terre) = (1/48) (aire de la Terre). 3

4 QUESTION 5 Le nécessaire zéro Soien a, b, c rois nombres réels. Monrer que si les hypohèses suivanes son saisfaies alors on a nécessairemen On a sucessivemen, a b + c + b c + a + a 3 + b 3 + c 3 + abc = 0, a + b 0, b + c 0, c + a 0, c a + b a b + c + b c + a + c a + b = 0. = a (c + a)(a + b) + b (b + c)(a + b) + c (b + c)(c + a) = (a4 + a 3 b + a 3 c + a bc) + (b 4 + b 3 a + b 3 c + b ac) + (c 4 + c 3 a + c 3 b + c ab) = (a4 + ab 3 + ac 3 + a bc) + (b 4 + ba 3 + bc 3 + b ac) + (c 4 + ca 3 + cb 3 + c ab) = a(a3 + b 3 + c 3 + abc) + b(b 3 + a 3 + c 3 + bac) + c(c 3 + a 3 + b 3 + cab) a 0 + b 0 + c 0 = = 0. QUESTION 6 La pièce de monnaie lancée sur la able Un jeu consise à lancer une pièce de monnaie circulaire de cm de rayon, sur une able carrée. La surface de cee able conien 5 carrés noirs ayan 10 cm de côé chacun e qui son séparés les uns des aures (e du bord de la able) par des bandes blanches ayan 4 cm de largeur (voir figure). Un lancer es di «légal» si la pièce de monnaie ombe à pla sur la able sans déborder de la able. Un lancer es di «gagnan» si la pièce de monnaie aerri sur un carré noir sans déborder de ce carré. Quelle es la probabilié qu un lancer légal soi un lancer gagnan? Noe : On suppose que les lancers légaux son équiprobables. 4

5 La able es un carré de = 74 cm de côé. Soi C le cenre de la pièce de monnaie. Un lancer es légal si C ombe dans le carré poinillé L de 74 = 70 cm de côé. Un lancer es gagnan si C ombe dans la région M formée des 5 peis sous-carrés blancs N ayan 10 = 6 cm de côé chacun. La probabilié cherchée es donc égale à L N 70 cm Aire de M Aire de L 5 6 = 70 = = 3 7 = 9 0,