Chapitre 10. Géométrie dans l espace Terminale PARTIE.

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1 Chapitre 10. Géométrie dans l espace Terminale PRTIE. I. EXERCICES D INTRODUCTION : Exercices sur le chapitre 10, du déclic T S. Enoncé. 1 ) ctivité n 4 page 59. Sur la figure ci-contre BCDEFG est un pavé droit tel que : B = 3, D = 4 et E = On pose i = B = I ; j = D = J et k = E = K, donc le repère ( ; i, j, k ) est un repère orthonormé 3 4 de l espace. Comme B = 3i + 4 j + k, on dit que le point G a pour coordonnées ( 3;4; ). 1 ) Lire les coordonnées des sommets de ce pavé droit. ) Lire les coordonnées du point M dans le cas où M appartient à : a) La face EFG. b) La face DE. 3 ) Lire les coordonnées du point N dans le cas où N appartient à : a) La face BCGF. b) La face BCD. 4 ) Lire les coordonnées du point P dans le cas où P appartient à : a) La face DE. b) La droite (IJ). Vérifier en comparant les coordonnées des vecteurs IJ et IP 1 = ;3; et S = 3; ;. 5 ) Reproduire la figure, et placer les points suivants : R ( ) ) N 81 page 81 = 1+ t D : y = 1 + t avec t R. = + 3t 1 ) Parmi les points suivants, dire lesquels appartiennent à cette droite : 3;0;5 0; 1,5;0,5 C = 1;0;. Soit la droite ( D ) dont la représentation paramétrique est ( ) = ( ) ; B = ( ) ; ( ) ) Déterminer une représentation paramétrique de la parallèle à la droite ( D ) et passant par le point D = ( 3;1; 1

2 3 ) N 84 page 81 Soient les droites ( D et ( ) = 1+ t D1 : y = 1 t avec t = 3 + 4t ( ) 1 ) Justifier que les droites ( ) 1 D de représentations paramétriques : R et ( ) D et ( ) D ne sont pas parallèles. ) On a effectuée la recherche suivante à l aide du logiciel de calcul formel Xcas : = 3 u D : y = 4 + u avec u R = 9 u a) En admettant ce résultat, peut-on affirmer que les droites ( D et ( ) point? D sont sécantes? Si oui, en quel b) Démontrer le résultat obtenu par le logiciel, et déterminer la position relative des deux droites ( ( D ). 4 ) N 86 page 81 Etudier la position relatives des deux droites ( D et ( ) 1 ) ( ) ) ( ) 3 ) ( ) = 5 + t D1 : y = 1 t avec t = 3 + t = 1 t D1 : y = + 3 t avec t = t = 1+ t D1 : y = 4 t avec t = 3 + t 5 ) N 74 page 313. R et ( ) R et ( ) R et ( ) Dans l espace rapporté au repère orthonormé ( O; i, j, k ) C = ( 1;5; ). 1 ) a) Démontrer que le triangle BC est équilatéral. b) Déterminer une équation du plan (BC). ) Soit la droite (D) dont la représentation paramétrique est ( ) D dans chacun des cas suivants : = 3+ u D : y = + u avec u R = 6 + 5u = u D : y = 5 6 u avec u R = 1 u = 3 u D : y = 1 + u avec u R = 5 + u D et, on donne les points = ( 1; 1;4 ) ; ( 7; 1; ) B = et = t D : y = t avec t R = t 3 a) Montrer que la droite (D) est perpendiculaire au plan (BC). G = 3;1;0 centre de gravité du b) Montrer que (D) coupe le plan (BC) en un point G de coordonnées ( ) triangle BC 3 )Soit (S) la sphère de centre G passant par le point. Déterminer les coordonnées des points communs à la sphère (S) et à la droite (D).

3 1 ) ctivité n 4 page 59. Exercices sur le chapitre 10, du déclic T S. CORRECTIONS. Sur la figure ci-contre BCDEFG est un pavé droit tel que : B = 3, D = 4 et E = On pose i = B = I ; j = D = J et k = E = K, 3 4 ; i, j, k est un repère orthonormé de donc le repère ( ) l espace. Comme B = 3i + 4 j + k, on dit que le point G a pour coordonnées ( 3;4; ). 1 ) Les coordonnées des sommets de ce pavé droit. 0;0;0 3;0;0 3;4;0 = ( ) ; B = ( ) ; C = ( ) ; D = ( 0;4;0 ) ; E = ( 0;0; ) ; F = ( 3;0; ) ; ( 3;4; ) = ( 0;4;) ) Lire les coordonnées du point M dans le cas où M appartient à : M = 1;;. a) M Est sur la face EFG donc ( ) b) M Est sur la face DE donc 3 3 M = 0; ;. 3 ) Lire les coordonnées du point N dans le cas où N appartient à : N = 3;;1. a) N est sur la face BCGF donc ( ) b) N est sur la face BCD donc N = ( 1;1;0 ) G = et 4 ) Lire les coordonnées du point P dans le cas où P appartient à : P = 0;4;1 a) P est sur la face DE donc ( ) b) P est sur la droite (IJ) donc P = ( ;3;0 ) vec les coordonnées des vecteurs IJ = ( 1;1;0 ) et IP ( 3;3;0 ) = 5 ) On reproduit cette figure, et on place les points suivants : R ( ) IP = 3IJ 1 = ;3; et S = 3; ; 3

4 ) N 81 page 81 = 1+ t D : y = 1 + t avec t R. = + 3t 3 = 1+ t t = 1 D : 0 = 1 + t t = 1 5 = + 3t t = 1 1 En procédant de même, on en déduit que B = ( 0; 1, 5;0,5 ) ( D) (donne t = ) et le point C = 1;0; D (car on a d'abord t = 0 puis t =. Soit la droite ( D ) dont la représentation paramétrique est ( ) 1 ) = ( 3;0;5 ) ( D) car on a ( ) ( ) ( ) ) Une représentation paramétrique de la parallèle à la droite ( D ) et passant par le point ( 3;1; = 3+ t ' D ' : y = 1 + t ' avec t ' R = t ' ( ) 3 ) N 84 page 81 Soient les droites ( D et ( ) = 1+ t D1 : y = 1 t avec t = 3 + 4t ( ) D de représentations paramétriques : R et ( ) 1 ) Les droites ( D et ( D ) ne sont pas parallèles car si on prend ( ) droite et v = ( 1;; D = est : = 3 u D : y = 4 + u avec u R = 9 u u = ; 1;4 un vecteur directeur de la première un vecteur directeur de la deuxième droite, on constate que ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. ) On a effectuée la recherche suivante à l aide du logiciel de calcul formel Xcas : a) En utilisant le résultat de ce logiciel, on peut en deduire que ces deux droites sont sécantes, au point de t 1 sur D u sur D 1;0;7. parametres = ( ) et = ( ), ce qui donne le point d inetsection ( ) 1 b) Sin on résoud el système constitué par les équations de ces deux droites, on trouve : 1+ t = 3 u u = 4 t u = 4 t 1 t = 4 + u 1 t = t 3t = 3 3 4t 9 u 3 4t 9 u ( 3 + = + = ) 3+ 4t = 9 u ( 3) u = 4 1 u = t = 1 t = 1 3 4t 9 u ( 3 + = ) = 9 7 = 7 ce qui est vrai. Donc les deux droites ( D et ( D ) sont ccoplanaires et sécantes au point de coordonnées ( ) 1;0;7. 4

5 4 ) N 86 page 81 Etudier la position relatives des deux droites ( D et ( ) 1 ) ( ) = 5 + t D1 : y = 1 t avec t = 3 + t Les droites ( ) 1 R et ( ) D dans chacun des cas suivants : = 3+ u D : y = + u avec u R = 6 + 5u u = 1; 1;1 v = ;1;5 qui ne sont pas D et ( D ) sont dirigés respectivement par les vecteurs ( ) et ( ) colinéaires, donc ces deux droites ne sont pas parallèles et en résolvant le système constitué par ces deux droites 4 1 on trouve (comme pour l exercice précédent ) t = et u =, donc ces deux droites ( D et ( D ) sont sécantes au point de coordonnées ; ; = 1 t = u ) ( D1 ) : y = + 3 t avec t R et ( D ) : y = 5 6 u avec u R = t = 1 u Les droites ( D et ( D ) sont dirigés respectivement par les vecteurs u = ( 1;3;1 ) et v = ( ; 6; ) qui sont colinéaires car v = u donc ces deux droites sont parallèles et coplanaires de plus le point de coordonnées D, en prenant 1 ( 0;5;1 ) appartient à ( D ) et aussi à ( ) sont confondues. 1 t =, on en déduit donc que ces deux droites ( D ) et ( D ) 1 3 ) ( ) = 1+ t D1 : y = 4 t avec t = 3 + t Les droites ( ) 1 R et ( ) = 3 u D : y = 1 + u avec u R = 5 + u u = ; 1;1 D et ( D ) sont dirigés respectivement par les vecteurs ( ) et v = ( 1;; ) qui ne sont pas colinéaires, donc ces deux droites ne sont pas parallèles et comme le système constitué par les équations de ces D sont non coplanaires. deux droites n admet pas de solutions, on en déduit que les deux droites ( ) 1 D et ( ) 5

6 5 ) N 74 page 313. Dans l espace rapporté au repère orthonormé ( O; i, j, k ) C = ( 1;5; ). 1 ) a) B = ( 6;0; 6), C = ( 0;6; 6) BC est équilatéral. b) On trouve P ( BC ) : x y z =., on donne les points = ( 1; 1;4 ) ; ( 7; 1; ) et BC = ( 6;6;0) ) Soit la droite (D) dont la représentation paramétrique est ( ) a) La droite (D) a pour vecteur directeur v = ( ; ; ) B = et, donc B = C = BC = 6 donc le triangle = t D : y = t avec t R = t 3 qui est aussi un vecteur normal au plan (BC), donc la droite (D) est perpendiculaire au plan (BC). 3 b) Soit G un point du plan (BC) et de la droite (D), obtenu donc avec t =, et ce point d intersection du plan et de la droite a pour coordonnées G = ( 3;1;0 ) et qui est le centre de gravité du triangle BC, car il vérifie l égalité vectorielle 1 OG = ( O + OB + OC). 3 3 ) La sphère (S) a pour équation : ( ) ( ) x 3 + y 1 + z = 4 et les points d intersections de cette sphère (S) avec la droite (D) sont définis par le paramètres vérifiant : ( ) ( ) ( ) ou 3 t + t + t = t = t =, donc la droite (D) coupe la sphère (S) en deux points. 6

7 La distance d'un point à un plan, les équations de sphères, les positions relatives d'un plan et d'une sphère, les barycentres ne sont plus au programme de Terminale S. La notion de plan médiateur d'un segment est à la limite du programme de terminale S. II. DROITES ET PLNS DNS L ESPCE : Représentations paramétriques d une droite de l espace : Dans l espace muni d un repère ( O ; i ; j ; k ), soit un point de coordonnées ( x ; y ; z ), u un vecteur de coordonnées ( a ; b ; c ) et ( d ) la droite passant par et de vecteur directeur u. On a M ( d ) il existe un réel t tel que : M = t u. Cette égalité se traduit analytiquement par le système : x = t a = x + t a y y = t b qui s écrit encore : y = y + t b. Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite ( d ). z = t c = z + t c Exemples : Donner une représentation paramétrique de la droite (B) si a pour coordonnées ( -1 ; ; 3 ) et B ( -3 ; 0 ; 4 ). ) Déterminer les coordonnées d un point et les coordonnées d un vecteur directeur u de la droite ayant pour = 3+ 3 t représentation paramétrique : y = 4 t t R. Le point B de coordonnées ( -9 ; 10 ; 8 ) appartient-il à cette = 5 t droite? Vecteur normal à un plan de l espace : On appelle vecteur normal n à un plan ( P ) de l espace un vecteur non nul et orthogonal à tout vecteur de ( P ). Pour qu il en soit ainsi, il suffit que ce vecteur soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires u et v de ( P ). sont colinéaires. normal, un vecteur n non Propriétés : Si deux vecteurs sont normaux à un plan ( P ) alors ils ) Il existe un seul plan passant par un point donné et de vecteur nul donné. Equations cartésiennes d un plan de l espace : Soit ( O ; i ; j ; k ) un repère orthonormé de l espace. * Si ( P ) est un plan de l espace qui admet pour vecteur normal, le vecteur n de coordonnées ( a ; b ; c ) alors il existe un unique réel d tel que : M ( x ; y ; z ) ( P ) a x + b y + c z + d = 0. Cette équation est appelée équation cartésienne du plan ( P ). * Réciproquement si a, b, c et d sont quatre réels tels que l un au moins des réels a, b et c n est pas nul, l ensemble des points M ( x ; y ; z ) de l espace tels que : a x + b y + c z + d = 0 est un plan de l espace de vecteur normal n de coordonnées ( a ; b ; c ). 7

8 Preuves : ( ) Supposons que ( P ) passe par le point ( x ; y ; z ). On a : M ( x ; y ; z ) ( P ) M n M. n = 0. Or M. n = ( x x ) a + ( y y ) b + ( z z ) c = a x + b y + c z a x b y c z. Posons d = a x b y c z. On a bien : M ( x ; y ; z ) ( P ) a x + b y + c z + d = 0. ( ) Notons ( E ) l ensemble des points dont les coordonnées ( x ; y ; z ) vérifient l équation : a x + b y + c z + d = 0 et n le vecteur de coordonnées ( a ; b ; c ). Comme l un au moins des réels a, b et c n est pas nul, on peut par exemple supposer que a 0 et considérer le point de coordonnées ( d a ; 0 ; 0 ) qui appartient à ( E ). On note alors que pour tout point M de ( E ) de coordonnées ( x ; y ; z ), on a : M. n = ( x + d a) a + y b + z c = a x + b y + c z + d = 0. ( E ) est donc le plan passant par et de vecteur normal le vecteur n de coordonnées ( a ; b ; c ). Exemples : Déterminer une équation cartésienne du plan ( P ) passant par le point ( -1 ; 1 ; ) et de vecteur normal le vecteur n ( ; -1 ; 3 ). ) Déterminer une équation cartésienne du plan (P ) passant par le point ( ; -1 ; 0 ) et parallèle au plan ( P ) d équation : x y 3 = 0. 3) Déterminer une équation cartésienne du plan ( P ) passant par les points ( 1 ; ; -1 ), B ( 3 ; ; 1 ) et C ( -1 ; 1 ; 3 ). Remarque : Dans le repère ( O ; i ; j ; k ), le plan ( x O y ) a pour équation : z = 0, le plan ( x O z ) : y = 0 et le plan ( y O z ) : x = 0. Distance d un point à un plan de l espace : (ors programme depuis 01 ) Soit P un plan de l espace. On appelle projection orthogonale du point sur P le point intersection du plan P et de la droite perpendiculaire à P passant par le point. L espace étant muni d un repère orthonormé, si P a pour équation : a x + b y + c z + d = 0 et a pour coordonnées ( x ; y ; z ) dans ce repère, la distance du point au plan P qui est par définition égale à la distance est donnée par : d ( ; P ) = = a x + b y + c z + d a + b + c. Preuve : On sait que le vecteur n de coordonnées ( a ; b ; c ) est un vecteur normal de P, il existe donc un réel k tel que : = k n. Notons ( x ; y ; z ) les coordonnées du point. a alors pour coordonnées ( x - x ; y - y ; z z ) et l égalité : = k n donne alors : x - x = k a, y - y = k b et z - z = k c puis x = x + k a, y = y + k b et z = z + k c. Or appartient à P, on a donc : a ( x + k a ) + b ( y + k b ) + c ( z + k c ) + d = 0, d où l on tire : a x k ( b y c z d a + b + c ) = a x b y c z d puis : k =. a + b + c On a donc = k n a x b y c z d a x + b y + c z + d = a + b + c, d où finalement : =. a + b + c a + b + c Exemple : OBC est un tétraèdre rectangle en O tel que O = 3, OB = 4 et OC = 3. On veut déterminer la distance du point O au plan ( BC ). Pour cela, considérons le repère orthonormé ( O ; i ; j ; k ) où i = (1 3) O, j = (1 4) OB et k = (1 3) OC. Dans ce repère a pour coordonnées ( 3 ; 0 ; 0 ), B ( 0 ; 4 ; 0 ) et C ( 0 ; 0 ; 3 ). Déterminer une équation cartésienne du plan (BC). ) En déduire la distance du point O au plan (BC). 3) Déterminer les coordonnées du point projeté orthogonal du point O sur le plan (BC). 8

9 Régionnement de l espace : L espace étant muni d un repère orthonormé. Le plan ( P ) d équation : a x + b y + c z + d = 0 partage l espace en deux demi-espaces ouverts de frontière ( P ). L un est l ensemble des points M dont les coordonnées ( x ; y ; z ) vérifient l inéquation : a x + b y + c z + d < 0 et l autre est l ensemble des points M dont les coordonnées ( x ; y ; z ) vérifient l inéquation : a x + b y + c z + d > 0. Exemple : L ensemble ( E ) des points M dont les coordonnées ( x ; y ; z ) vérifient l inéquation 3x + y + z + 4 < 0 est l un des demi-espaces de frontière le plan ( P ) d équation : 3x + y + z + 4 = 0. Pour le point O ( 0 ; 0 ; 0 ) on a : = 4 > 0. ( E ) est donc le demi-espace de frontière ( P ) ne contenant pas le point O. Position relative de deux plans de l espace : Soit ( P ) et ( P ) deux plans de l espace d équations respectives a x + b y + c z + d = 0 et a ' x + b ' y + c ' z + d ' = 0 dans un repère orthonormé de l espace. On sait que le vecteur n de coordonnées ( a ; b ; c ) est un vecteur normal de ( P ) et que le vecteur n ' de coordonnées ( a ; b ; c ) est un vecteur normal de ( P ). Notons alors que : * ( P ) et ( P ) sont parallèles si et seulement si n et n ' sont colinéaires. Dans ce cas, il existe un réel k tel que : a = k a, b = k b et c = k c et de façon plus précise : Si d = k d alors ( P ) et ( P ) sont confondus. Si d k d alors ( P ) et (P ) sont strictement parallèles. * ( P ) et ( P ) sont sécants suivant une droite (d) si et seulement si les vecteurs n et n ' ne sont pas colinéaires. Dans ce cas un vecteur directeur u de ( d ) est un vecteur à la fois orthogonal à n et à n '. En pratique, pour déterminer une représentation paramétrique de ( d ), on peut poser x = t dans les équations de ( P ) et ( P ) et tirer y et z en fonction de t ( si x = t ne permet pas de tirer y et z en fonction de t, on peut poser y = t ou z = t ). Exemples : Etudier la position relative des plans ( P ) et ( P ) dans les cas ci-dessous. Dans le cas où ( P ) et ( P ) sont sécants selon une droite ( d ), donner une représentation paramétrique de ( d ). (P) : 3x y + z + 4 = 0 et ( P ) : 6x + 4y z + 5 = 0 ) ( P ) : x 3y + z 4 = 0 et ( P ) : 3x + y z + 5 = 0 9

10 Position relative d une droite et d un plan de l espace : Soit ( P ) un plan d équation : a x + b y + c z + d = 0, de vecteur normal n de coordonnées ( a ; b ; c ) et ( d ) la droite passant par le point de coordonnées ( x ; y ; z ) et de vecteur directeur u de coordonnées ( α ; β ; γ ) dans un repère orthonormé de l espace. Notons alors que : * ( d ) et ( P ) sont parallèles si et seulement si u et n sont orthogonaux. Dans ce cas : Si ( P ) c'est-à-dire si a x + b y + c z + d = 0 alors ( d ) est contenue dans ( P ). Si ( P ) c'est-à-dire si a x + b y + c z + d 0 alors ( d ) et ( P ) sont strictement parallèles. * ( d ) et ( P ) sont sécants en un point I si et seulement si u et n ne sont pas orthogonaux. Pour déterminer les coordonnées ( x ; y ; z ) du point I, il faut résoudre le système : = x + α t y = y + β t d inconnues x, y, z et t. z = z + γ t a x + b y + c z + d = 0 Exemples : Etudier la position relative de la droite ( d ) et du plan ( P ) dans les cas ci-dessous. Dans le cas où ( d ) et ( P ) sont sécants en un point I, donner les coordonnées du point I. ( P ) : x + y z 4 = 0 et ( d ) passant par le point ( 1 ; -3 ; 0 ) et de vecteur directeur u de coordonnées ( 0 ; 1 ; ). ) ( P ) : x + y z 4 = 0 et ( d ) passant par le point ( 1 ; -3 ; 0 ) et de vecteur directeur v de coordonnées ( -1 ; 0 ; ). Intersection de trois plans de l espace : Déterminer l intersection de trois plans ( P 1 ), ( P ) et ( P 3 ) d équations respectives : a x + b y + c z + d =, ax + b y + c z + d = 0 et a3 x + b3 y + c3z + d3 = 0, dans l espace muni d un repère orthonormé revient à résoudre le système (S) : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 ax + b y + c z + d = 0 a3x + b3 y + c3z + d3 = 0 d inconnues x, y et z. Distinguons les différents cas possibles en étudiant la position relative des plans ( P 1 ) et ( P ). 1 er cas : Les plans ( P 1 ) et ( P ) sont confondus. * Si ( P 3 ) est confondu avec ( P 1 ) les trois plans ( P 1 ), ( P ) et ( P 3 ) sont confondus, le système (S) admet tout un plan solution. * Si ( P 3 ) et ( P 1 ) sont strictement parallèles, les trois plans ( P 1 ), ( P ) et ( P 3 ) n ont pas de point en commun. Le système (S) n a pas de solution. 10

11 * Si ( P 3 ) et ( P 1 ) sont sécants selon une droite ( d ) les trois plans ( P 1 ), ( P ) et ( P 3 ) sont sécants selon la droite ( d ). Le système (S) admet la droite ( d ) pour solution. ième cas : Les plans ( P 1 ) et ( P ) sont strictement parallèles : Dans ce cas, quel que soit la position du plan ( P 3 ) les trois plans n ont pas de point en commun. Le système (S) n admet pas de solution 3 ième cas : Les plans ( P 1 ) et ( P ) sont sécants selon une droite ( d ). * Si ( d ) est incluse dans ( P 3 ) alors les trois plans ( P 1 ), ( P ) et ( P 3 ) sont sécants selon la droite ( d ). Le système (S) admet la droite ( d ) pour solution. * Si ( d ) est strictement parallèle à ( P 3 ) alors les trois plans ( P 1 ), ( P ) et ( P 3 ) n ont pas de point en commun. Le système (S) n admet pas de solution. ( situation du toit ) * Si ( d ) est sécante avec ( P 3 ) en un point, alors les trois plans ( P 1 ), ( P ) et ( P 3 ) Sont sécants en. le système (S) admet un triplet solution unique. 11

12 III. REGLES D INCIDENCE : Dans chaque plan de l espace, on peut appliquer tous les théorèmes de géométrie plane (Pythagore, Thalès,..) ) Par deux points distincts de l espace, il passe une unique droite. 3) Par trois points non alignés, B et C de l espace, il passe un unique plan, noté (BC). 4) Si deux points distincts et B de l espace appartiennent à un plan P, alors la droite (B) est contenue dans le plan P. IV. POSITIONS RELTIVES DE DROITES ET DE PLNS : Positions relatives de deux droites : Deux droites de l espace sont soit coplanaires (dans un même plan), soit non coplanaires. droites coplanaires droites non coplanaires d et d sont sécantes en d et d sont strictement parallèles d et d sont confondues d et d n ont pas d intersection et ne sont pas parallèles ) Positions relatives d une droite et d un plan : Une droite et un plan de l espace sont soit sécants, soit parallèles. Droite et plan sécants Droite et plan parallèles d et P sont sécants en d et P sont confondus d et P sont strictement parallèles 1

13 3) Positions relatives de deux plans : Deux plans de l espace sont soit sécants selon une droite, soit parallèles. Plans sécants Plans parallèles P et P sont sécants selon la droite d P et P sont confondus P et P sont strictement parallèles V. PRLLELISME DNS L ESPCE : Parallélisme entre droites ( propriétés ) : a) Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles. b) Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l une, coupe l autre. ) Parallélisme entre plans ( propriétés ) : a) Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre eux. b) Si deux droites sécantes d et d un plan P sont parallèles respectivement à deux droites sécantes d et d un plan P, alors P et P sont parallèles. c) Si deux plans P et P sont parallèles, alors tout plan qui coupe P, coupe aussi P et les droites d intersection d et d sont parallèles. 13

14 3) Parallélisme entre droite et plan ( propriétés ) : a) Si une droite est parallèle à une droite d du plan P, alors est parallèle au plan P. b) Si P et P sont deux plans sécants selon une droite et si d est une droite parallèle à P et à P alors d et sont parallèles. c) Si d et d sont deux droites parallèles, si P est un plan qui contient d, si P est un plan qui contient d et si P et P sont sécants selon une droite, alors : est parallèle à d et à d ( théorème «du toit»). 14