Modèles en temps continu pour la Finance

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David Michaud
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1 Modèles en temps continu pour la Finance ENSTA ParisTech/Laboratoire de Mathématiques Appliquées 23 avril 2014

2 Evaluation et couverture pour les options européennes de la forme H = h(s 1 T ) Proposition : Considérons une option régulière H H telle que : H = h(st 1 ), où h est une fonction borélienne à valeurs positives. Alors il existe une fonction v : [0, T ] R + R telle que le prix de non-arbitrage (ou prix d arbitrage), π t (H), 0 t T, de l option H vérifie : [ ] t [0, T ], π t (H) = E Q e r(t t) h(st 1 ) Ft. Preuve : Pour tout t [0, T ], on a : St 1 = S0 1 σ2 e(r 2 )t+σwt, où (W t ) 0 t T est un mouvement Brownien réel sur (Ω, F, Q), Q est la mesure martingale équivalente et quel que soit t [0, T ], F t = Ft B = Ft W. On en déduit que : t [0, T ], ST 1 = S t 1 σ2 (r e 2 )(T t)+σ(w T W t).

Alors il existe une fonction v : [0, T ] R + R telle que le prix de non-arbitrage (ou prix d arbitrage), π t (H), 0 t T, de l option H vérifie : [ ] t [0, T ], π t (H) = E

3 Cas des options européennes de la forme H = h(s 1 T ) Preuve : (suite) Par ailleurs, la formule d évaluation risque-neutre donne : t [0, T ], π t (H) = E Q [ e r(t t) h(s 1 T ) Ft ] [ = E Q e r(t t) h(st 1 σ2 (r e 2 )(T t)+σ(w T W t) ) ] F t. Lemme : (Rappel) Etant données X et Y deux variables aléatoires définies sur un espace de probabilité (Ω, F, Q) et à valeurs réelles. Soit G une sous-tribu de F et Φ une application mesurable à valeurs positives ou bornée. Alors, si X est G - mesurable et Y est indépendante de G, on a : [ ] E Q Φ(X, Y ) G = φ(x ), avec φ(x) = E Q [Φ(x, Y )], pour tout x R.

Lemme : (Rappel) Etant données X et Y deux variables aléatoires définies sur un espace de probabilité (Ω, F, Q) et à valeurs réelles.

4 Cas des options européennes de la forme H = h(s 1 T ) Preuve : (suite) Nous utilisons le lemme précédent avec G = F t, X = St 1 qui est F t - mesurable et Y = W T W t qui est bien indépendante de F t. On en déduit qu il existe une fonction v : [0, T ] R + R telle que le prix de non-arbitrage, π t (H), 0 t T, de l option H vérifie : t [0, T ], π t (H) = v(t, St 1 ), avec la fonction v définie par : [ ] t [0, T ] R +, v(t, x) = E Q e r(t t) σ2 (r h(x e 2 )(T t)+σ(w T W t) ).

On en déduit qu il existe une fonction v : [0, T ] R + R telle que le prix de non-arbitrage, π t (H), 0 t T, de l

5 Cas des options européennes de la forme H = h(s 1 T ) Proposition : Si l on suppose que v C 1,2 ([0, T ] R +), alors il existe une stratégie Q - admissible (φ t ) 0 t T = ((φ 0 t, φ 1 t )) 0 t T qui duplique l option européenne H = h(st 1 ) telle que, pour tout t [0, T ], V t (φ) = v(t, St 1 ) et : φ 1 t = v x (t, S 1 t ), φ 0 t = e r t v(t, S 1 t ) φ 1 t S 1 t. De plus, le prix de non-arbitrage, π t (H), 0 t T, de l option H est solution de l équation aux dérivées partielles suivantes : 1 2 σ2 x 2 2 v v (t, x) + r x x 2 x v (t, x) + (t, x) r v(t, x) = 0, t (t, x) [0, T [ R + v(t, x) = h(x), x R +.

et : φ 1 t = v x (t, S 1 t ), φ 0 t = e r t v(t, S 1 t ) φ 1 t S 1 t.

6 Cas des options européennes de la forme H = h(s 1 T ) Proposition : (suite) Réciproquement, si l équation aux dérivées partielles précédente admet une solution v (dont la dérivée partielle v x (t, x), (t, x) [0, T ] R + est bornée), alors v (t, S 1 t ), 0 t T, est le prix de non-arbitrage à l instant t [0, T ] de l option de flux terminal h(s 1 T ). Preuve : La preuve repose sur le résultat suivant vu dans le cours MA207 : Si (X t ) 0 t T est une martingale sur (Ω, F, (F t ) 0 t T, Q) et dont la décomposition en processus d Itô s écrit : t t X t = X 0 + K s ds + H s dw s, 0 t T, Q p.s., 0 0 alors, nécessairement, K t = 0, 0 t T, Q p.s..

7 Formules de Black et Scholes Proposition : Formules de Black et Scholes Le prix de non-arbitrage à la date t [0, T [, noté C(S 1 t, T t, K), d un call de prix d exercice K et d échéance T est donné par : C(S 1 t, T t, K) = S 1 t N (d 1 (S 1 t, T t, K, σ)) K e r(t t) N (d 2 (S 1 t, T t, K, σ)), où N désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et d 1 (x, τ, K, σ) et d 2 (x, τ, K, σ) sont définis comme suit : log ( ) ) x K + (r + σ2 2 τ d 1 (x, τ, K, σ) = σ τ et : d 2 (x, τ, K, σ) = d 1 (x, τ, K, σ) σ τ

t) N (d 2 (S 1 t, T t, K, σ)), où N désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et d 1 (x, τ, K, σ) et d 2

8 Formules de Black et Scholes Proposition : Formules de Black et Scholes (suite) La formule de parité call-put s écrit : C(S 1 t, T t, K) P(S 1 t, T t, K) = S 1 t K e r(t t), t [0, T [ Le prix de non-arbitrage à l instant t [0, T [, noté P(S 1 t, T t, K), d un put de strike K et de maturité T, est donné par : P(S 1 t, T t, K) = K e r(t t) N ( d 2 (S 1 t, T t, K, σ)) S 1 t N ( d 1 (S 1 t, T t, K, σ)).

non-arbitrage à l instant t [0, T [, noté P(S 1 t, T t, K), d un put de strike K et de maturité T,

9 Sensibilités Les sensibilités du prix d une option par rapport à ses différents paramètres sont appelées les Grecques Delta : Le Delta, noté, est la sensibilité du prix par rapport à la valeur actuelle du sous-jacent. Dans le cas d un call, = v x (t, S 1 t ) = N (d 1 ). Le Delta s interprète comme la quantité d actif risqué du portefeuille de couverture de l option. Le portefeuille de couverture est théoriquement ajusté à chaque instant et correspond alors à des transactions faites en continu et sans frais, adjonction ni retrait d argent. En réalité, les transactions sont discrètes et les coûts de transaction limitent le nombre d ajustement appelés hedges. Le vendeur prend donc concrètement un risque. Plus il fait de hedges, plus son portefeuille de couverture est proche de l option, mais plus il paye de coûts de transation.

Le portefeuille de couverture est théoriquement ajusté à chaque instant et correspond alors à des transactions faites en continu et sans frais, adjonction ni retrait d argent.

10 Sensibilités Gamma : Le Gamma, noté Γ, est la sensibilité du Delta par rapport à la valeur actuelle du sous-jacent. Dans le cas d un call, Γ = 2 v (t, S 1 1 x 2 t ) = St 1σ T t N (d 1 ). Le Gamma indique au vendeur de l option la fréquence à laquelle la position de couverture doit être modifiée. Si le Gamma est faible, le Delta varie peu et la couverture en Delta n a pas besoin d être ajustée. Par contre, si le Gamma est élevé, il faut souvent et significativement reconsidérer le nombre d actifs risqués du portefeuille de couverture.

Le Gamma indique au vendeur de l option la fréquence à laquelle la position de couverture doit être modifiée.

11 Sensibilités Theta : Le Theta, noté θ, est la sensibilité du prix par rapport au temps écoulé t [0, T ]. Le Theta mesure donc la diminution du prix de l option au cours du temps. Dans le cas d un call, Θ = v t (t, S t 1 ) = σs1 t 2 T t N (d 1 ) K r e r (T t) N (d 2 ).

Le Theta mesure donc la diminution du prix de l option au cours du

12 Sensibilités Vega : Le Vega, noté Vega, est la sensibilité du prix par rapport à la volatilité. Le Vega est important car il donne la dépendance du prix en la volatilité du sous-jacent qui est le paramètre difficile et primordial à calculer. Plus le Vega est important, plus le risque d erreur de calibration est grand. Dans le cas d un call, Vega = v σ (t, S 1 t ) = S 1 t T t N (d 1 ). Rho : Le Rho, noté ρ, est la sensibilité du prix par rapport au taux d intérêt r. Dans le cas d un call, ρ = v r (t, S 1 t ) = (T t) K e r(t t) (N (d 2 ) 1).

calculer. Plus le Vega est important, plus le risque d erreur de calibration est grand.

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