Chapitre VII : La fonction exponentielle

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1 Chapitr VII : La fonction ponntill I. La fonction ponntill. Etud d l équation f = f Théorèm Il ist un uniqu fonction dérivabl sur IR tll qu f =f t f(0)= Un tll fonction n s annul pas sur IR Pruv : Montrons d abord qu un tll fonction st non null sur IR Soit h un fonction dérivabl sur IR, tll qu h() = f() f( ). h ()= f () f( ) f() f ( ) = f() f( ) f() f( ) = 0. La fonction h st donc la fonction constant. Or h(0) = f(0) f(0) = t la fonction h st donc la fonction constant h =. Pour tout, on a donc : f() f( )= S il istait un rél a tl qu f(a) = 0 alors, par définition d h, on aurait aussi h(0) = 0 c qui st impossibl puisqu pour tout rél, h() =. En conclusion, la fonction f n s annul jamais sur IR. On admt l istnc d un tll fonction. Unicité : Soit g un fonction dérivabl sur IR t tll qu g = g t g(0) = Soit la fonction défini t dérivabl sur IR tll qu g( ) ( ) ( nous avons vu qu f n s annulait jamais) f ( ) g' f gf' gf fg On a ' 0 t st la fonction null. f ² f ² Donc st un fonction constant sur IR. Or (0) = t donc () = pour tout rél. Il s nsuit donc qu f = g. Définition On appll fonction ponntill, l uniqu fonction f dérivabl sur IR, tll qu f = f t f(0) =. Ctt fonction st noté p Chapitr VII : La fonction ponntill Trminal S

2 Rmarqus : On déduit d la définition d la fonction ponntill : p st dérivabl sur IR ( donc p st continu sur IR) Pour tout rél, p ()=p(). Rlation fonctionnll Théorèm Pour tous réls t y, p( + y) =p() p(y) Pruv : y st un rél fié. p( y ) On définit sur IR tll qu ( ) p D après ls théorèms d dérivation d un fonction composé t d un quotint on a dérivabl sur IR t p' ( y )p( ) p' ( )p( y ) ' ( ) [p ]² p( y )p( ) p( )p( y ) [p ]² 0 st donc un fonction constant sur IR. p( y ) Or ( 0 ) p y p 0 p( y ) Donc pour tout rél, () = p(y). Et p( y ) p Finalmnt : p( + y) =p() p(y) pour tous, y réls. II. Propriétés d la fonction ponntill. Sign d la fonction ponntill Propriété Pour tout rél, p() > 0 Pruv : Pour tout nombr rél, on a p( ) p p p p 0 Chapitr VII : La fonction ponntill Trminal S

3 . Propriétés algébriqus d la fonction ponntill Propriétés i. Pour tout rél, p( ) p( ) ii. Pour tout rél, p( ) p( ) p( ) iii. Pour tous, y réls ; p( y ) p( y ) Pruv : i. Voir pruv ci dssus ii. Pour tous, y réls on a p( + y ) = p() p(y), n particulir pour y =. On a alors p(0) = p() p( ) t par suit : p( ) p( ) iii. Pour tous réls, y, on a p( y) = p ( + ( y)) = p() p( y) = p( ) p( y ) Propriétés i. Pour tous réls,,..., n, on a p(... ) p( )... n p( ii. Pour tout rél t n un ntir rlatif, on a n n ) p( n ) p( ) Pruv :... n n i. Soit P(n) : «...» On va montrr qu la propriété P(n) st vrai pour tout n par récurrnc Initialisation : On a t donc P() st vrai D mêm t donc P() st vrai Hérédité : On suppos qu la proposition st vrai pour un ntir (hypothès d récurrnc), c'st-à-dir qu pour réls,,...,, l égalité st vrai Soint,,...,, (+) réls, on a alors... avc car P() st vrai d après HR Finalmnt la propriété st vrai au rang (+) En conclusion : la propriété P(n) st vrai pour tout n 3 Chapitr VII : La fonction ponntill Trminal S

4 ii. Si n > 0, on obtint l égalité grâc au i. t au cas particulir... n Si n = 0, c st évidnt p( n ) p( )( n ) t - n > 0. Si n < 0, p( ) n On a alors : n p( n ) p( ) n p( ) 3. La notation Définition L nombr st l imag d par la fonction ponntill ; p() =,788.. D après ls propriétés précédnts, on put écrir : n p( n ) p( n ) p( ) n Notation : On not pour tout rél, p( ) Résumé ds propriétés avc la notation Pour tous réls, y t n un ntir rlatif. 0 ; 0 ' ; ; y ; y n n ; D plus, pour tout rél, ' y. y III. Etud d la fonction ponntill. Sns d variation d la fonction ponntill Propriété La fonction ponntill st strictmnt croissant sur IR Pruv : La fonction ponntill st dérivabl sur IR. D plus pour tout, ( ) = > 0. Il s nsuit qu la fonction st strictmnt croissant 4 Chapitr VII : La fonction ponntill Trminal S

5 Conséquncs i. Pour tous réls a t b ; a < b équivaut à a < b ii. Pour tous réls a t b ; a > b équivaut à a > b iii. Pour tous réls a t b ; a = b équivaut à a = b Pruv : i. Evidnt grâc à la strict croissanc d la fonction ponntill ii. Evidnt grâc à la strict croissanc d la fonction ponntill iii. Soint a, b, du réls tls qu a = b. On suppos a différnt d b, par mpl a < b. Or si a < b alors a < b, c qui st contrair à l hypothès d départ. Finalmnt a =b. 5 Empls : Résoudr t t 0 L équation admt du solutions 3 t. Cs du solutions sont non nulls donc l équation 5 Résoudr 3 a du solutions : 3 t ² 4 3 ² 4 3 ² 4 3 ² L nsmbl d solutions d l inéquation l nsmbl S = [-4 ;] ² 4 3 st donc 5 Chapitr VII : La fonction ponntill Trminal S

6 . Limits d la fonction ponntill Propriétés i. lim ii. lim 0 Pruv : i. On pos f() =, la fonction défini t dérivabl sur IR + Pour tout rél, f () =, or pour tout 0, Il s nsuit qu f st strictmnt croissant sur IR +. D plus f(0) =, t pour tout 0, f() 0, Finalmnt, pour tout d IR +. Or lim t d après ls théorèms d comparaisons lim. ii. Pour tout rél, on pos = On a alors lim lim lim lim Or lim t donc lim 0 Finalmnt, lim 0. 6 Chapitr VII : La fonction ponntill Trminal S

7 3. Tablau d variation t rprésntation graphiqu d la fonction ponntill La fonction ponntill st dérivabl sur IR, donc continu sur IR. D plus ctt fonction st strictmnt croissant sur IR, on a donc : Pour tracr la courb C, on rgard ls tangnts à C n 0 t Au point d absciss = 0, un équation d D la tangnt à C st : y = + Au point d absciss =, un équation d T la tangnt à C st : y = D plus la courb C admt l a ds abscisss pour asymptot n puisqu lim 0 On obtint alors la rprésntation graphiqu ci contr : + p () + p + 0 IV. Autrs limits construits à partir d la fonction ponntill. Lin avc un nombr dérivé Propriété lim 0 Pruv : L tau d variation d la fonction ponntill ntr 0 t 0 + st : Or la fonction ponntill st dérivabl n 0 t l nombr dérivé d la fonction ponntill n 0 st donc : lim Chapitr VII : La fonction ponntill Trminal S

8 . Croissanc comparé Propriétés i. lim ii. lim 0 Pruv : i. On définit sur IR + par ( ) ². st dérivabl sur IR + t pour tout positif ou nul, on a : V. Fonctions d la form u ' ( ). D plus ' st égalmnt dérivabl sur IR + t pour tout positif ou nul : '' ( ). Or pour 0, on a '' ( ) 0 t ' croissant sur IR +. D plus ' (0 ) 0 t ' strictmnt positiv sur IR +. On n conclut qu st croissant sur IR + t comm ( 0 ) 0, on a positiv sir IR +. Il s nsuit qu pour tout positif ou nul, ² t finalmnt. Grâc au théorèm d comparaison d fonctions sur ls limits, on trouv bin l résultat souhaité. ii. On pos = (donc = ) On a alors lim t D plus, lim lim lim 0. Dérivé t sns d variation ds fonctions u() Propriété u st un fonction dérivabl sur I. Alors la fonction f défini par u( ) f ( ) st dérivabl sur I t pour tout rél on a u( ) f '( ) u'( ). Pruv : Admis Rmarqu : u( ) L prssion f '( ) u'( ) a l mêm sign qu u () sur I. Ls fonction f t u ont donc ls mêms variations sur l nsmbl I 8 Chapitr VII : La fonction ponntill Trminal S

9 . Empls Ls fonctions f () = - avc > 0 - Pour tout > 0, t pour tout rél, f () > 0 - Pour tout > 0, ls fonctions f sont dérivabls sur IR, t pour tout rél, on a : f ' ( ) 0, donc pour tout > 0, ls fonctions f sont strictmnt décroissants sur IR - En On pos = On a alors lim En + On pos = On a alors lim lim lim. En conclusion lim f lim - On obtint donc l tablau d variation suivant : + f ' ( ) + f - Rprésntations graphiqus ds fonctions f : lim 0. En conclusion lim f 0 0 C.5 C C Ls fonctions g () = -² avc > 0 9 Chapitr VII : La fonction ponntill Trminal S

10 - Pour tout > 0, t pour tout rél, g () > 0 - Pour tout > 0, ls fonctions g sont dérivabls sur IR, t pour tout rél, on a : g '( ) ², ² Pour 0, g' ( ) 0 donc pour tout > 0, ls fonctions g sont décroissants sur IR + ² Pour < 0, g' ( ) 0 donc pour tout > 0, ls fonctions g sont strictmnt croissants sur IR * - En On pos = ² On a alors lim lim ² lim 0. En conclusion lim g 0 En + On pos = ² On a alors lim lim - On obtint donc l tablau d variation suivant : ² 0 + g ' ( ) + 0 g Rprésntations graphiqus ds fonctions g : lim 0. En conclusion lim g 0 C C C.5 0 Chapitr VII : La fonction ponntill Trminal S

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