Terminale S Pondichéry, Avril 2009 Sujets de Bac

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4 Podichéry, Bac Avril Corrigé Ercic Aa O a f ( ) = = Or, lim = + t d après ls résultats d croissacs comparés, o sait qu + X lim Aisi, par compositio lim X + X + D plus, comm la foctio ivrs td vrs 0 l ifii, o a par produit lim f ( ) Ab Drssos l tablau d variatios d la foctio dérivabl f (produit d foctios dérivabls) sur so domai [0; + [ O a '( ) ( ) ( )( ) f = = = + + Comm u potill st toujours positiv, f st du sig du triôm = t = (hors du domai) O obtit alors 0 f () f () ր + ց 0 -² d racis f admt bi pour maimum A Comm la foctio st cotiu t positiv sur [0 ;a], l air du domai chrché st doé par a a a F( a) = f ( ) d = d = = Aisi, B Posos u u u ' a ua lim F( a) = a + + = f ( ) d Ba D après la parti A, f décroit sur [; + [ [ ; + [ doc par défiitio + f ( + ) f ( ) f ( ) E passat ct cadrmt à l itégral, o obtit b puisqu pour tout rél k idépdat d, o a : = ( ) + + f ( + ) d u f ( ) d f ( + ) u f ( ) idp d kd k b a a idp d Bb D après l calcul précédt, f ( + ) u+ f ( + ) doc f ( + ) u+ f ( + ) u f ( ) : la suit st doc décroissat Bc Comm u st l itégral d u foctio positiv sur [ ; + ], ll st positiv (mioré par 0) Comm plus ll st décroissat, ll covrg vrs u rél L positif O sait qu 0 u f ( ) : comm lim f ( ), d après l théorèm ds gdarms, la suit td vrs D PINEL, Sit Mathmitc : Trmial S Podichéry, Avril 009 Sujts d Bac

5 Atttio : l argumt lim = lim + doc ) Ba O a chasls u = u + u + + u = f + f + f = f + + lim f ( ) d f ( ) d 0 + = = st fau (cotr mpl avc f() = + k 0 0 t o rcoaît bi F() 0 k Bb E A, o a trouvé qu lim F( a) = : c tablau l cofirm t il smbl qu F() soit proch (atttio a + au précisios du tablur) d sa limit dès supériur à 5 Ercic (o spé) Soit A(-i), B(-i) t C(--i) b O a, avc ls otatios habitulls : c b Par coséqut ( BA BC ) isocèl B c b + i + i = = = i a b + i i( i) π c b BC arg =, = arg( i) = t = = i = : l triagl ABC st doc rctagl a b a b AB c O a OA = i t OB = i doc A t B appartit au crcl d ctr O t d rayo 0 π i a La rotatio d ctr M(m) t d agl a pour écritur compl z ' m = ( z m ) cad z ' m i ( z m) b Comm N() st l imag d A(a-i), o a ( ) = m + i i m = + i + m im Soit Q(q) l miliu d [AN] : o a ( ) π ( ) ( ) = + za + z i m N 4 + i i m q = = i + + i + m im = + = + + i 4a Supposos qu M Γ cad qu OM Comm OM st l modul d m, par défiitio d l écritur potill, otat θ so argumt o obtit m iθ ( ) i m 4b O a vu qu q = + + i doc i 0 i q i = θ = 5 ( i) m ( i) 0 i q i = = θ t par coséqut o trouv Lorsqu M décrit Γ, Q décrira l crcl d ctr D(+i) t d rayo 5 Ercic (spé) Das la smai si si!! 4 Ercic Soit A( ; ;0), B( ;0 ;), C(0 ;- ;5) t D( ;-5 ;5) Propositio : FAUX L smbl ds poits M( ;y ;z) tls qu -y+4 st u pla, pas u droit Propositio : FAUX Par défiitio du baryctr, pour tout poit M du pla o a MA + MB + MC = 4MG 5 D PINEL, Sit Mathmitc : Trmial S Podichéry, Avril 009 Sujts d Bac

6 Aisi, M st défii par MM ' = 4MG : o vit doc d défiir u homothéti E fft, d après la rlatio d Chasls, o a MG + GM ' = 4 MG GM ' = GM : homothéti d ctr G t d rapport - Propositio : FAUX Cs poits sot coplaairs s ils appartit tous à u mêm pla d équatio a + by + cz + d doc s ils istt a, b c t d o tous uls tls qu : a + b + 0c + d a + b + d a + b + d a 0b c d = a + c + d L L : b + c d 0a b + 5c + d b + 5c + d b + 5c + d a 5b + 5c + d a 5b + 5c + d L4 L : 6b + 5c a + b + d a + b + d a b + c d b c d 0 + = b L + L : 8c c c L4 L : 4c + d d d Propositio 4 : VRAI Détrmios la distac d Ω au pla P : + y + z + : rayo d la sphèr d = = = 5, Ercic 4 a La répétitio d épruvs idtiqus t idépdats do u schéma d Broulli Comm X compt l ombr d apparitios d la fac 6 (succès), X suit u loi B, (dé bi équilibré) 6 b D après l cours, E(X) = 5 6 c Toujours d après l cours, o a p ( X ) 5 5 = = = a 5 p D A = p D p A = p X = = 6 > D après l calcul précédt, o a ( ) ( ) D ( ) ( ) > Si Y désig la va qui compt l ombr d 6, sur lacés, avc l dé truqué, Y suit u loi biomial B, doc p ( Y ) 6 9 = = = = = = = = D 9 Par coséqut, p ( D A) p ( D) p ( A) p ( Y ) b D t D format u partitio d l uivrs, d après la formul ds probabilités totals o a 5 7 p ( A) = p ( A D) + p ( A D) = + = = c O chrch ctt fois ci pa ( D) ( A) p D / = = = = p A 7 / 48 6 ( ) a L évèmt B cosist à fair aucu 6 : avc l dé équilibré, jts la probabilité st d truqué ll st d 6 D PINEL, Sit Mathmitc : ; avc l Trmial S Podichéry, Avril 009 Sujts d Bac

7 Au total, l choi ds dés état équiprobabl, la probabilité d B st totals) Par coséqut p 5 = + 6 (formul ds probabilités b Rapplos qu si -<q<, o a lim q Par coséqut, lim p = 0 =! O st doc sûr, faisat + suffisammt d lacés, d obtir au mois u 6 avc u dé + 7 D PINEL, Sit Mathmitc : Trmial S Podichéry, Avril 009 Sujts d Bac