3.7 Somme, Somme directe, Sous-Espaces Supplémentaires... 27

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1 Table des matières 1 Calcul matriciel 3 11 Dénitions et propriétés 3 12 Opérations sur les matrices Addition Multiplication par un scalaire Multiplication des matrices 5 13 Matrices élémentaires Opérations élémentaires sur une matrice Application pour déterminer l'inverse d'une matrice carrée 8 2 Déterminants Déterminant d'ordre Déterminant d'ordre Déterminant d'ordre n Applications Calcul de l'inverse d'une matrice carrée d'ordre n Résolution de systèmes linéaires ( Méthode de Cramer ) 16 3 Espaces Vectoriels Espaces vectoriels Sous-Espaces vectoriels Famille Génératrice Dépendance et Indépendance Linéaires - Bases Existence de Bases ( en dimension nie ) Les Théorèmes Fondamentaux sur la Dimension 24 1

2 2 37 Somme, Somme directe, Sous-Espaces Supplémentaires 27 4 Les Applications Linéaires Applications Linéaires Image et Noyau Matrices Associées aux Applications Linéaires Matrice d'un Vecteur Calcul de l'image d'un Vecteur Matrice de l'inverse d'une Application Changement de Bases Rang d'une Matrice Matrices Remarquables Application des Déterminants à la Théorie du Rang Caractérisation des Bases Comment reconnaître si une famille de vecteurs est libre Comment reconnaître si un vecteur appartient à l'espace engendré par d'autres vecteurs Détermination du rang 48 5 Valeurs Propres et Vecteurs Propres Valeurs Propres et vecteurs propres Propriétés des vecteurs propres et valeurs propres Propriétés du polynôme caractéristique Diagonalisation 55

3 Chapitre 1 Calcul matriciel Dans tout ce qui suit, K désigne R ou C 11 Dénitions et propriétés Un tableau rectangulaire, de nombres ( K ), de la forme a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n (11) a m1 a m2 a mn est appelé matrice Les nombres a ij sont appelés coecients de la matrice Les lignes horizontales sont appelées rangées ou vecteurs rangées, et les lignes verticales sont appelées colonnes ou vecteurs colonnes de la matrice Une matrice à m rangées et n colonnes est appelée matrice de type (m, n) On note la matrice ( 11) par (a ij ) Exemple 111 : ) La matrice nulle O a tous ses coecients nuls ) Une matrice (a 1,, a n ) ayant une seule rangée est appelée matrice uniligne 3

4 4 Chapitre thechapter : Calcul matriciel 3) Une matrice b 1 b 2 ayant une seule colonne est appelée matrice uni- colonne b m 1) Une matrice ayant le même nombre de rangées et de colonnes est appelées matrice carrée, et le nombre de rangées est appelé son ordre 2) La matrice carrée (a ij ) telle que a ij 0 si i j et a ii 1 i est appelée matrice unité, notée par I, elle vérie AI IA A, A matrice carrée du même ordre que I 3) Deux matrices (a ij ) et (b ij ) sont égales si et seulement si elles ont même nombre de rangées et le même nombre de colonnes et les éléments correspondants sont égaux ; c'est à dire a ij b ij i, j 12 Opérations sur les matrices 121 Addition La somme de deux matrices de type (m, n) (a ij ) et (b ij ) est la matrice (c ij ) de type (m, n) ayant pour éléments c ij a ij + b ij pour i 1,, m et j 1,, n ( ) ( ) Exemple 121 : Si A et B, alors A ( ) B L'addition des matrices satisfait les propriétés suivantes : Pour A, B et C des matrices de type (m, n) on a : 1) A + B B + A 2) (A + B) + C A + (B + C) 3) A + O O + A A où O est la matrice nulle 4) A + ( A) O où A ( a ij )

5 Chapitre1 : Calcul matriciel Multiplication par un scalaire Soit A (a ij ) et λ K, on dénit λa 11 λa 12 λa 1n λa λa 21 λa 22 λa 2n (λa ij) λa m1 λa m2 λa mn Exemple 122 : Si A (2 7 8), alors 3A ( ) Cette multiplication vérie : Pour A, B des matrices de type (m, n) 1) λ(a + B) λa + λb 2) (λ + µ)a λa + µa 3) λ(µa) (λµ)a 4) 1A A 123 Multiplication des matrices Soit A (a ij ) une matrice de type (m, n) et B (b kl ) une matrice de type (r, p), alors le produit AB ( dans cet ordre ) n'est déni que si n r, jn et est la matrice C (c il ) de type (m, p) dont les éléments c il a ij b jl Exemple 123 : ( ) A et B 5 3 1, alors AB ( 3(1) + 2(5) + ( 1)(6) 3(0) + 2(3) + ( 1)(4) 3(2) + 2(1) + ( 1)(2) 0(1) + 4(5) + 6(6) 0(0) + 4(3) + 6(4) 0(2) + 4(1) + 6(2) ( ) Le produit matriciel vérie les propriétés suivantes : 1) λ(ab) (λa)b, λ K 2) A(BC) (AB)C 3) (A + B)C AC + BC j1 )

6 6 Chapitre thechapter : Calcul matriciel 4) C(A + B) CA + CB Pour vu que les produits qui gurent dans les expressions soient dénis Remarque 121 : 1) La multiplication matricielle n'est pas en général commutative, càd AB BA 2) La simplication n'est pas vraie en général, càd AB O n'entraîne pas, nécessairement A O ou B O 3) Une matrice carrée A est inversible s'il existe B telle que AB BA I Exemple ( 124 :) ( ) ( ) ) A, B, alors AB et ( ) 0 0 BA 1 0 ( ) ( ) ) A O, B O et pourtant ( ) 0 0 AB O 0 0 a ) Une matrice du type 0 a c'est à dire a ij 0 pour 0 0 a nn i j est appelée matrice diagonale a nn a 11 2) Une matrice du type 0 a 22 ou 0 0 a nn a a 22 0 est appelée matrice triangulaire La première vérie a ij 0 pour i > j et la seconde a ij 0 pour i < j

7 Chapitre1 : Calcul matriciel 7 3) Au lieu de AA on écrit tout simplement A 2, de même A 3 A 2 A 4) Si les lignes et les colonnes d'une matrice sont échangées, la matrice obtenue est appelée transposée de la matrice d'origine ; la transposée de A est notée t A 5) Si A (a ij ), alors t A (b ij ) avec b ij a ji, on a t ( t A) A Exemple 125 : 1 4 ( Si A 2 5 ; alors t A ) 13 Matrices élémentaires 131 Opérations élémentaires sur une matrice Soit A une matrice, on appelle opération élémentaire sur A l'une des transformations suivantes : 1) Ajouter à une ligne ( resp à une colonne ) de A une autre ligne ( resp colonne ) multipliée par un scalaire (R j R j + kr i ) 2) Multiplier une ligne ( resp une colonne ) de A par un scalaire non nul (R i kr i ) 3) Permuter les lignes ( resp les colonnes ) de A (R i R j ) Soit e une opération élémentaire sur les lignes et e(a) désigne les résultats obtenus après l'application de l'opération e sur une matrice A Soit E la matrice obtenue après l'application de e sur la matrice unité I, c'est à dire E e(i) E est alors appelée la matrice élémentaire correspondant à l'opération élémentaire e Exemple 131 : Considérons la matrice unité d'ordre 3 1) Permuter les lignes L 2 et L 3 2) Remplacer ligne L 2 par 6L 2 3) Remplacer ligne L 3 par 4L 1 + L E , E et E sont les

8 8 Chapitre thechapter : Calcul matriciel matrices élémentaires correspondantes Théorème 131 : Soit e une opération élémentaire sur les lignes et E la matrice élémentaire correspondante d'ordre m, alors e(a) EA pour toute matrice A de type (m, n) Les opérations élémentaires ont des opérations inverses du même type 1) Permuter R i et R j est son propre inverse 2) Remplacer R i par kr i et remplacer R i par 1 k R i sont inverses 3) Remplacer R j par kr i +R j et remplacer R j par kr i +R j sont inverses Supposons que e est l'inverse d'une opération élémentaire sur les lignes e, et soit E et E les matrices correspondantes Alors E est inversible et son inverse est E En particulier un produit de matrices élémentaires est inversible Théorème 132 : Soit A une matrice carrée, alors A est inversible si et seulement si A est un produit de matrices élémentaires 132 Application pour déterminer l'inverse d'une matrice carrée Exemple 132 : Trouver l'inverse de la matrice A si elle existe Pour ce faire nous écrivons la matrice unité à la droite de A et nous appliquons les mêmes opérations à cette matrice que celles eectuées sur A L 3 +L L 2 2L 1 L 3 4L L 1 +2L 3 L 2 L

9 Chapitre1 : Calcul matriciel d'où A L 2 L Ecrivons cette inverse sous forme de produit de matrices élémentaires : A 1 BC avec B et C

10 Chapitre 2 Déterminants 21 Déterminant d'ordre 2 a 11 a 12 Le symbole est appelé déterminant d'ordre 2 de la matrice A a 21 a 22 ( ) a 11 a 12 a 11 a 12 et est déni par deta a 21 a 22 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21 Exemple 211 : , , On constate alors que : 1) Si deux rangées ( ou deux colonnes ) d'un déterminant sont permutées la valeur d'un déterminant est multipliée par 1 ( ) ( ) 1 3 2) Si on pose A, t 1 2 A On constate que deta det t A, d'où la valeur d'un déterminant est conservée lorsque l'on échange les colonnes et les lignes ( dans le même ordre ) 22 Déterminant d'ordre 3 Soit A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, on dénit 10

11 Chapitre 2 : Déterminants 11 a 11 a 12 a 13 deta a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 22 a 23 a 12 a 13 a 12 a 13 a 11 a a 32 a a a 32 a a 22 a 23 } {{ } } {{ } } {{ } mineur de a 11 mineur de a 21 mineur de a 31 Exemple 221 : deta Le cofacteur de l'élément de deta de la ième ligne et la kème colonne est égal à ( 1) i+k fois le mineur de cet élément ( c à d le déterminant d'ordre 2 obtenu en supprimant la ième ligne et la kème colonne ) Remarque 221 : Le cofacteur de a 22 est ( 1) 2+2 a 11 a 13 a 31 a 33 Les signes ( 1) i+j forment la table suivante On remarque que l'on peut écrire (1) sous la forme : deta a 11 C 11 + a 21 C 21 + a 31 C 31 où C i1 est le cofacteur de a i1 dans deta 3) Le déterminant de A, deta, peut être developpé suivant n'importe quelle ligne ou colonne, c'est à dire, qu'il peut être écrit sous la forme d'une somme de trois éléments de n'importe quelle ligne ( ou colonne ), chacun multiplié par son cofacteur Exemple 222 : a 12 a 13 deta a 21 a 32 a 33 + a a 11 a a 31 a 33 a a 11 a a 31 a 32 4) Si tous les éléments d'une ligne ( ou d'une colonne ) d'un déterminant sont multipliés par une constante k, la valeur du nouveau déterminant est k

12 12 Chapitre 2 : Déterminants fois la valeur du déterminant initial Cette propriété peut être utilisée pour simplier un déterminant Exemple 223 : (1) 2(3) 2(2) (1) (1) 2 1 3(0) 2 5) Si tous les éléments d'une ligne ( ou colonne ) d'un déterminant sont nuls, la valeur du déterminant est nulle 6) Si chaque élément d'une ligne ( ou colonne ) d'un déterminant est exprimé sous la forme d'un binôme, le déterminant peut être écrit comme somme de deux déterminants Exemple 224 : a 1 + d 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 d 1 b 1 c 1 a 2 + d 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 + d 2 b 2 c 2 a 3 + d 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c 3 d 3 b 3 c 3 7) Si deux lignes ( ou colonnes ) d'un déterminant sont proportionnelles, la valeur du déterminant est nulle Exemple 225 : ) La valeur d'un déterminant est conservée si l'on ajoute à une ligne ( ou à une colonne ) une combinaison des autres lignes ( ou colonnes ) Exemple 226 : C 1 +C

13 Chapitre 2 : Déterminants 13 C 1 +C 3 signie que l'on a ajouté la colonne C3 à la colonne C 1 Cette dernière propriété permet de simplier énormément les calculs, elle permet de réduire le calcul d'un déterminant d'ordre 3 au calcul d'un seul déterminant d'ordre 2 Exemple 227 : Calculer C 1 +C 2 C ( 4 + 4) Remarque 222 : La ligne ( ou colonne ) dans laquelle seront eectués les calculs ne doit pas être multipliée par des scalaires La multiplication par un scalaire λ reviendrait à multiplier le déterminant par λ Exemple 228 : 1 2 2L 1 L , alors que Déterminant d'ordre n a 11 a 12 a 1n Le symbole a 21 a 22 a 2n est appelé déterminant d'ordre n a n1 a n2 a nn Pour n 1, ça signie a 11 Pour n 2, ça signie la somme des produits des éléments de n'importe quelle ligne ou colonne par leurs cofacteurs respectifs c'est à dire

14 14 Chapitre 2 : Déterminants a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in ( i 1, 2, ou n ) a n1 a n2 a nn ou a 1k C 1k + a 2k C 2k + + a nk C nk ( k 1, 2, ou n ) Le déterminant d'ordre n est alors déni en fonction de n déterminants d'ordre (n 1), chacun est à son tour, déni en fonction de (n 1) déterminants d'ordre (n 2) et ainsi de suite, nalement on aboutit aux déterminants d'ordre 2 Remarque 231 : Les propriétés 1) jusqu'à 8) restent valables pour un déterminant d'ordre n Pour calculer la valeur d'un déterminant, on développera suivant la ligne ou colonne où il y a le plus de zéros Exemple 231 : sin 2 α sin 2 β sin 2 γ cos 2 α cos 2 β cos 2 γ C 1 +C 2 +C 3 +C 4 L 1 +L cos 2 α cos 2 β cos 2 γ Remarque 232 : 1) det(a + B) deta + detb en général 2) det(ab) (deta)(detb) 3) det(a 1 ) (deta) 1 où A 1 désigne l'inverse de A

15 Chapitre 2 : Déterminants Applications 241 Calcul de l'inverse d'une matrice carrée d'ordre n On rappelle qu'une matrice carrée d'ordre n A est inversible s'il existe B d'ordre n telle que AB BA I où I est la matrice unité d'ordre n, c'est à dire la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont tous égaux à 1 Critère : A est inversible si deta 0 Une fois assuré que A est inversible, on calcule son inverse à l'aide de la formule suivante : A 1 1 deta (adja) où (adja) désigne l'adjoint classique de A c'est à dire la matrice t [C ij ] où C ij désigne la matrice des cofacteurs de A Exemple 241 : A deta donc A est inversible L 1 2L 3 Déterminons les 9 cofacteurs de A 4 2 C , C C , C C , C C , C C A ,

16 16 Chapitre 2 : Déterminants 242 Résolution de systèmes linéaires ( Méthode de Cramer ) Un système d'équations, AX b, où A est une matrice carrée d'ordre n, peut être résolu à l'aide des déterminants, lorsque deta 0 Si on pose X x 1 x n et b b 1 b n, alors x i 1 deta [C 1ib 1 + C 2i b C ni b n ] 1 deta detb i où B i est la matrice obtenue en remplaçant la ième colonne de A par b Exemple 242 : Utiliser la méthode de Cramer pour résoudre le système : x 1 + 3x x 1 + 2x 2 + 2x 3 3 A x 2 + 4x L 2 +L deta x [ ( )] x x Remarque 241 : La méthode de Gauss pour les systèmes et celle des matrices élémentaires pour le calcul de l'inverse demeurent les plus ecaces

17 Chapitre 3 Espaces Vectoriels Dans ce chapitre, K désignera R, ou C 31 Espaces vectoriels Dénition 311 : On appelle espace vectoriel sur K ( ou K-espace vectoriel ) un ensemble non videe muni d'une loi notée + et d'une autre loi notée, noté ( E, +, ), telles que : 1) Pour tout x, y E, x + y E 2) Pour tout x, y E, x + y y + x 3) Pour tout x E, x + 0 E x 4) Pour tout x E, x E 5) Pour tout x, y, z E, (x + y) + z x + (y + z) 6) Pour tout λ K, x E, λx E 7) λ(µx) (λµ)x λ, µ K et x E 8) (λ + µ)x λx + µx λ, µ K et x E 9) λ(x + y) λx + λy λ K et x, y E 10) 1x x x E Les éléments de K sont dits scalaires et ceux de E vecteurs Exemple 311 : 1) K est un espace vectoriel sur lui même 2) C est un espace vectoriel sur R 3) R n'est pas un espace vectoriel sur C 4) R[X] est un espace vectoriel sur R muni des lois : 17

18 18 Chapitre 3 : Espaces Vectoriels (a 0 +a 1 X ++a n X n )+(b 0 +b 1 X ++b n X n ) (a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )X + + (a n + b n )X n et λ(a 0 + a 1 X + + a n X n ) λa 0 + λa 1 X + + λa n X n 5) Soit E un espace vectoriel sur K, A un ensemble quelconque non vide, et S { applications f : A E} On peut dénir sur S une structure d'espace vectoriel sur K par les lois : Si f, g S et λ K, alors f + g : A E a f(a) + g(a) λf : A E a λf(a) 6) Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels sur K On dénit une structure d'espace vectoriel sur E1 E2 par : (x 1, y 1 )+(x 2, y 2 ) (x 1 +x 2, y 1 +y 2 ) et λ(x 1, y 1 ) (λx 1, λy 1 ) avec λ K D'une manière analogue, E1 En est un espace vectoriel sur K si E1,,En le sont Proposition 311 : Pour tout λ K et pour tout x E, on a : 1) λ0 0 et 0x 0 2) λx 0 λ 0 ou x 0 3) ( λ)x λ( x) λx Preuve : 1) λ(0 + 0) λ0 + λ0 λ0 λ0 0 et (0 + 0)x 0x + 0x 0x 0x 0 2) λx 0, si λ 0 alors λ 1 λx 0 x 0 3) (λ + ( λ))x λx + ( λ)x 0 ( λx) (λx) Dans la suite ( λ)x sera noté λx et x + ( y) sera noté x y 32 Sous-Espaces vectoriels Dénition 321 : Soit E un espace vectoriel et F une partie non vide de E On dit que F est un sous-espace vectoriel de E, si la restriction des lois de E à F fait de F un espace vectoriel Proposition 321 : Soit E un espace vectoriel et F E Alors F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si :

19 Chapitre 3 : Espaces Vectoriels 19 1) F 2) a) x, y F x + y F b) x F, λ K λx F Preuve : ) trivial ) λ 1 et y F y F d'après b) ; x F x y F d'après a) ; d'où F est un sous-groupe de E Les autres axiomes sont vériés pour tous les éléments de E et donc à fortiori pour les éléments de F Proposition 322 équivalente : F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si : 1) F 2) x, y F ; µ, λ K λx + µy F Preuve : Exercice Exemple 321 : 1) Droite vectorielle : Soit E un espace vectoriel et soit v E ; v 0, alors F {y E/ λ K; y λv} est un sous-espace vectoriel de E dit droite vectorielle engendrée par v v 2) Soient x 1, x 2 E et F {y E/ λ 1, λ 2 K; y λ 1 x 1 + λ 2 x 2 }, F est un sous-espace vectoriel de E dit plan vectoriel engendré par x 1 et x 2 x 2 x 1 x λ 1 x 1 + λ 2 x 2

20 20 Chapitre 3 : Espaces Vectoriels 3) R n [X] { polynômes P R[X]; degp n} est un sous-espace vectoriel de R[X] 4) Soit F {(x, y, z) R 3 /2x + y + 3z 0} est un sous-espace vectoriel de R 3 Proposition 323 : Soient F et G deus sous-espaces vectoriels de E 1) F G est un sous-espace vectoriel de E 2) F G n'est pas en général un sous-espace vectoriel de E 3) Le complément (E F) d'un sous-espace vectoriel F n'est pas un sousespace vectoriel de E Preuve : 1) F G car 0 F G x, y F G et λ, µ K (x, y F, λ, µ K) et (x, y G, λ, µ K) λx + µy F G 2) On prend F G et G F, il existe donc x F ; x / G et y G ; y / F ; on a donc x, y F G Si F G est un sous-espace vectoriel alors x + y F G ; càd x + y F ou x + y G Si x + y F, alors (x + y) x F y F ; contradiction Si x + y G, alors (x + y) y G x G ; contradiction 3) Le complément (E F) ne contient pas 0, donc n'est pas un sous-espace vectoriel 33 Famille Génératrice Dénition 331 : Une famille de vecteurs {v 1, v p } d'un espace vectoriel E est dite génératrice si : x E, λ 1,, λ p K tel que x λ 1 v 1 ++λ p v p, on dit que tout x E est combinaison linéaire des vecteurs v i Remarque 331 : Une telle famille ( nie ) n'existe pas toujours Considérons R[X] et {P 1,, P p } une famille nie de polynômes, elle ne peut pas être génératrice, car par combinaisons linéaires, on n'obtiendra que des polynômes de degré Sup(deg P i ) Par contre pour R n [X], la famille {1, X,, X n } est une famille génératrice

21 Chapitre 3 : Espaces Vectoriels 21 Exemple 331 : 1) Dans R 2, {(1, 0); (0, 1)} est une famille génératrice 2) Dans R 2, {(1, 0); (0, 1); (1, 2)} est une famille génératrice 3) Dans R 2, {(1, 1); (1, 1)} est une famille génératrice 4) Dans R n, {(1, 0,, 0); ; (0,, 0, 1)} est une famille génératrice Dénition 332 : Un espace vectoriel est dit de dimension nie, s'il existe une famille génératrice nie, dans le cas contraire, on dit qu'il est de dimension innie Exemple 332 : 1) R n et R n [X] sont de dimension nie 2) R[X] est de dimension innie 3) L'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs v 1,, v p noté {v 1,, v p } ou v 1,, v p est un sous-espace vectoriel de E de dimension nie 34 Dépendance et Indépendance Linéaires - Bases Dénition 341 : Soit v 1,, v p une famille nie d'éléments de E On dit qu'elle est libre si : λ 1 v λ p v p 0 λ 1 λ p 0 On dit aussi que les vecteurs v 1,, v p sont linéairement indépendants Une famille qui n'est pas libre, est dite liée ( on dit aussi que ses vecteurs sont liés ou linéairement dépendants ) Exemple 341 : 1) Dans R 3, les vecteurs v 1 (1, 2, 1) ; v 2 ( 1, 3, 1) et v 3 ( 1, 13, 5) sont liés car 2v 1 + 3v 2 v 3 0 2) Dans R 3, les vecteurs v 1 (1, 1, 1) ; v 2 (0, 2, 1) et v 3 (0, 0, 5) sont linéairement indépendants Proposition 341 : Une famille {v 1,, v p } est liée si et seulement si l'un au moins des vecteurs v i s'écrit comme combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille Preuve : ) λ 1,, λ p non tous nuls tels que λ 1 v λ p v p 0, si λ i 0, alors v i λ 1 λ i v λ i 1 λ i v i 1 + λ i+1 λ i v i+1 + λ p λ i v p

22 22 Chapitre 3 : Espaces Vectoriels ) v i tel que v i α 1 v α i 1 v i 1 + α i+1 v i α p v p càd α 1 v α i 1 v i 1 v i + α i+1 v i α p v p 0 Proposition 342 : Soit {v 1,, v p } une famille libre et x un vecteur quelconque de l'espace engendré par les v i ( càd x est combinaison linéaire des v i ), alors la décomposition de x sur les v i est unique Preuve : x α 1 v α p v p λ 1 v λ p v p (α 1 λ 1 )v (α p λ p )v p 0 λ i α i i 1,, p Dénition 342 : On appelle base une famille à la fois libre et génératrice Proposition 343 : Soit {v 1,, v n } une base de E Tout x E se décompose d'une façon unique sur les v i, càd x E!(λ 1,, λ n ) K n tel que n x λ i v i Preuve : Proposition précédente Proposition 344 : Soit B {v 1,, v n } une base de E Il existe alors une bijection : ϕ B : E K n n x x i v i (x 1,, x n ) Les scalaires x i sont dits composantes de x dans la base B {v 1,, v n } Exemple 342 : 1) Base canonique de K n, {e k (0,, kème rang 1, 00)/k 1,, n} 2) Base canonique de R n [X], {1, X,, X n } 3) Soit F {(x, y, z) R 3 /2x + y + 3z 0} F est un sous-espace vectoriel de R 3 On a v (x, y, z) F y 2x 3z donc v F v (x, 2x 3z, z) x(1, 2, 0) + z(0, 3, 1), donc (1, 2, 0) et (0, 3, 1) engendrent F On vérie qu'ils forment une famille libre, donc c'est une base de F Proposition 345 : 1) {x} est une famille libre x 0 2) Toute famille contenant une famille génératrice est une famille génératrice

23 Chapitre 3 : Espaces Vectoriels 23 3) Toute sous-famille d'une famille libre est libre 4) Toute famille contenant une famille liée est liée 5) Toute famille {v 1,, v n } dont l'un des vecteur v i est nul, est liée Preuve : 1) ) Si x 0 alors λx 0 pour tout λ d'où {x} est liée ) λx 0 λ 0 car x 0 2) Soit {v 1,, v p } une famille génératrice et {v 1,, v p, w 1,, w q } une ip ip sur-famille Alors x E, x λ i v i λ i v i + 0w w q 3) Soit F {v 1,, v p } une famille libre et F une sous-famille de F, quitte à changer la numérotation F {v 1,, v k } avec k p Si F est liée, l'un des v i serait combinaison linéaire des autres 4) Soit F {v 1,, v p } et G {v 1,, v p, w 1,, w q }, l'un des vecteurs v i est combinaison linéaires des autres vecteurs de F, d'où de G, d'où G est liée 5) {0} étant liée, toute sur-famille est liée 35 Existence de Bases ( en dimension nie ) Théorème 351 : Dans un espace vectoriel E {0} de dimension nie, il existe toujours des bases Preuve : Soit G {v 1,, v p } une famille génératrice Pour tout x E, il existe α 1,, α p K tels que x α 1 v α p v p a) Si tous les v i étaient nuls E {0} ce qui est exclu Quitte à changer de numérotation on peut supposer v 1 0 b) L 1 {v 1 } est une famille libre, si elle était génératrice, stop c) Supposons L 1 non génératrice Montrons qu'il existe v {v 2,, v p } tel que {v 1, v } soit libre Supposons le contraire ; càd v 1 est lié à chacun des v i, i 2,, p, d'où λ 2,, λ p ; v 2 λ 2 v 1, v 3 λ 3 v 1,, v p λ p v 1, alors

24 24 Chapitre 3 : Espaces Vectoriels x ip α i v i ip α 1 v 1 + α i λ i v 1 i2 ip (α 1 + α i λ i )v 1 i2 ce qui entraîne {v 1 } génératrice de E, faux La famille L 2 {v 1, v } est donc libre, en changeant éventuellement de notation, on peut supposer v v 2 d) Si L 2 {v 1, v 2 } est génératrice, stop Supposons le contraire En répétant le même raisonnement que précedemment, on voit qu'il existe v {v 3,, v p } tel que la famille L 3 {v 1, v 2, v } est libre On construit ainsi une suite : L 1 L 2 L 3 G de famille libres et le processus peut être continué tant que L k n'est pas génératrice Mais G est une famille nie et par conséquent le processus doit s'arrêter, éventuellement pour L k G Il existe donc une famille L k libre et génératrice Cette démonstration nous permet d'obtenir une autre version du théorème précédent Théorème 352 : Soit E {0} un espace vectoriel de dimension nie, alors : 1) De toute famille génératrice on peut extraire une base 2) ( Théorème de la base incomplète ) Toute famille libre peut être complétée de manière à former une base 36 Les Théorèmes Fondamentaux sur la Dimension Théorème 361 : Dans un espace vectoriel engendré par n éléments, toute famille de plus de n éléments est liée Preuve : Soit F {v 1,, v n } une famille génératrice et F {w 1,, w m } une famille de vecteurs ( m > n ) Montrons que F est liée

25 Chapitre 3 : Espaces Vectoriels 25 1) Si l'un des w i 0, F est liée Stop 2) Supposons tous les w i non nuls, w 1 α 1 v α n v n, w 1 0 α i 0, quitte à changer la numérotation, supposons α 1 0 d'où v 1 1 α 1 w 1 ( α 2 α 1 v α n α 1 v n ) Pour x E, x λ 1 v 1 ++λ n v n, en remplaçant v 1 par son expression, on constate que x est combinaison linéaire de w 1, v 2,,v n, d'où {w 1, v 2,, v n } est génératrice Considérons w 2, w 2 β 1 w 1 + β 2 v β n v n Si β 2 β 3 β n 0, alors w 2 β 1 w 1 D'où F liée Stop Supposons que l'un des β i 0, pour xer les idées disons β 2, on aura v 2 1 β 2 w 2 1 β 2 (β 1 w 1 + β 3 v β n v n ) En raisonnant comme ci-dessus, on voit que {w 1, w 2, v 3,, v n } est génératrice Ainsi de proche en proche, on arrive à remplacer v 1,,v n par w 1,,w n et {w 1, w 2,, w n } serait génératrice En particulier, w n+1 serait combinaison linéaire de w 1,,w n et donc F serait liée Théorème 362 : Dans un espace vectoriel E sur K de dimension nie, toutes les bases ont même nombre d'éléments, ce nombre entier est appelé dimension de E sur K et est noté dim K E Preuve : Soient B et B deux bases Si B avait plus d'éléments que B elle ne serait pas libre car B est génératrice Corollaire 361 : Dans un espace vectoriel de dimension nie n, toute famille de plus de n éléments est liée, et une famille de moins de n éléments ne peut être génératrice Preuve : Pour le 2ème point, si la famille était génératrice, on pourrait en extraire d'après un théorème du paragraphe 5, une base qui aurait moins de n éléments Exemple 361 : 1) Si E {0}, on pose dim K E 0, et E {0} dim K E 0 2) dim K K n n 3) dim R R n [X] n + 1

26 26 Chapitre 3 : Espaces Vectoriels 5) La dimension d'un espace vectoriel dépend non seulement de E mais aussi de K, dim R C 2 et dim C C 1 Proposition 361 : Soient E1,, Ep des espaces vectoriels de dimension nie sur le même corps K, alors dim K (E1 Ep) dim K E1++dim K Ep Preuve : Soient {a 1,, a n1 }, {b 1,, b n2 },, {l 1,, l np } des bases de E 1,, E p respectivement La famille {(a i, 0,, 0),,n1, (0, b i, 0,, 0),,n2,, (0, 0,, 0, l i ),,np } est une base de E 1 E p Exemple 362 : dim R C n 2n et dim C C n n Théorème 363 : Soit E un espace vectoriel de dimension nie n Alors 1) Toute famille génératrice de n éléments est une base 2) Toute famille libre de n éléments est une base Preuve : 1) De cette famille, on peut extraire une base, elle doit avoir n éléments, donc c'est elle même 2) Cette famille peut être complétée pour former une base qui doit avoir n éléments, donc c'est elle même Théorème 364 : Soit E un espace vectoriel de dimension nie et F un sous-espace vectoriel de E Alors 1) dim K F dim K E 2) dim K F dim K E E F Preuve : On pose dimke n 1) a) Si dimkf 0 on a dimkf n b) Si dimkf 0, alors F {0} et donc F admet une base, B, qui est une partie libre de F donc de E cardinalb n d'après Corollaire 361 2) ) Trivial ) Il existe une base B de F ayant n éléments, elle est donc libre dans F et par suite dans E, elle est donc base de E ; théorème 263, donc famille génératrice de E, donc E F

27 Chapitre 3 : Espaces Vectoriels Somme, Somme directe, Sous-Espaces Supplémentaires Dénition 371 : Soient E1, E2 deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E On appelle somme de E1 et E2 le sous-espace de E déni par : E1 + E2 {x E/ x 1 E1, x 2 E2; x x 1 + x 2 } E 1 + E 2 est un sous-espace vectoriel de E, en eet E 1, E 2 E 1 + E 2 donc E 1 + E 2 α, β K et x, y E 1 + E 2 x 1 E 1, x 2 E 2 et y 1 E 1, y 2 E 2 ; x x 1 +x 2 et y y 1 +y 2 d'où αx+βy αx 1 + βy } {{ } 1 + αx 2 + βy 2 E } {{ } 1 +E 2 E 1 E 2 Proposition 371 : Soient E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de E et G E1+ E2 La décomposition de tout élément de G en somme d'un élément de E1 et d'un élément de E2 est unique si et seulement si E1 E2 {0} On écrit alors G E1 E2, et on dit que G est somme directe de E1 et E2 Preuve : ) Soit x E 1 E 2 x x x d'où la non unicité ) Supposons x x 1 + x 2 y 1 + y 2 x 1 y 1 y 2 x 2 E 1 E 2 x 1 y 1 et x 2 y 2 Dénition 372 : Soit E un espace vectoriel et E1, E2 deux sous-espaces vectoriels de E On dit que E1 et E2 sont supplémentaires ( ou que E2 est un supplémentaire de E1 ) si E E1 E2, càd E E1+E2 et E1 E2 {0} Proposition 372 : Soit E un espace vectoriel de dimension nie Alors E E1 E2 si et seulement si pour toute base B 1 de E1 et toute base B 2 de E2, B 1 B 2 est une base de E Preuve : ) Soit B 1 {v 1,, v p }, B 2 {v p+1,, v q } des bases de E 1 et E 2, respectivement Alors tout x E s'écrit de manière unique sous la forme x α 1 v α p v p + λ 1 v p λ q p v q B 1 B 2 est une base de E ) x p q p α i v i + λ j v p+j E 1 + E 2 } {{ } E 1 j1 } {{ } E 2

28 28 Chapitre 3 : Espaces Vectoriels la décomposition étant unique suivant les bases de E 1 et E 2 E 1 E 2 {0} Corollaire 371 : Soit E un espace vectoriel Pour tout sous-espace vectoriel E1, il existe toujours un supplémentaire ; le supplémentaire de E1 n'est pas unique, mais si E est de dimension nie, tous les supplémentaires de E1 ont même dimension Preuve : On expose la démonstration en dimension nie Soit {v 1,, v p } une base de E 1 et soit n dimke, d'après le théorème de la base incomplète, il existe w p+1,, w n tels que {v 1,, v p, w p+1,, w n } soit une base de E En posant E 2 {w p+1,, w n }, le sous-espace de E engendré par {w p+1,, w n }, on obtient un supplémentaire de E 1 dans E Puisque le choix des w i n'est pas unique, le supplémentaire de E 1 n'est pas unique ; cependant tous les supplémentaires de E 1 ont une dimension égale à n p, p étant la dimension de E 1 Théorème 371 : Soit E un espace vectoriel de dimension nie Alors E2 si et seulement si : E E1 1)E1 E2 {0} 2) dim K E dim K E1 + dim K E2 Preuve : ) D'après la proposition 272 ) Soit {v 1,, v p } une base de E 1 et {w p+1,, w n } une base de E 2, n étant la dimension de E Montrons que l'union des bases est libre : λ 1 v λ p v p + α p+1 w p α n w n 0 λ 1 v λ p v } {{ } p E 1 (α p+1 w p α n w n ) λ } {{ } 1 v 1 ++λ p v p 0 et α p+1 w p+1 ++α n w n E 2 0 α p+j λ i 0 i 1,, p et j 1,, n p, d'après la proposition précedente E E 1 E2 Exemple 371 : 1) Dans R 2, E1 {v} et E2 {w} où v et w sont deux vecteurs indépendants

29 Chapitre 3 : Espaces Vectoriels 29 E 2 E 1 x x 1 2 v ω x 2) Dans R 3, soit Π un plan vectoriel et v Π On a R 3 Π {v} car si {e 1, e 2 } est une base de Π, alors {e 1, e 2, v} est une base de R 3 x Π {v} x 2 v x 1 3) E R n [X], E1 R, E2 {XP (X)/P R n 1 [X]}, E1 E2 {0} et E E1 + E2 d'où E E1 E2 Proposition 373 : Soit E un espace vectoriel de dimension nie et E1, E2 deux sous-espaces vectoriels de E On a dim(e1 + E2) dime1 + dime2 dim(e1 E2) En particulier dim(e1 E2) dime1 + dime2 Preuve : Posons dime 1 p, dime 2 q et dim(e 1 E 2 ) r (r p, q) Considérons {a 1,, a r } une base de E 1 E 2 qu'on complète pour obtenir {a 1,, a r, b r+1,, b p } une base de E 1, {a 1,, a r, e r+1,, e q } une base de E 2 Tout vecteur de E 1 + E 2 s'écrit en fonction des a i, b j et e k, 1 i r, r + 1 j p et r + 1 k q, qui forment alors une famille génératrice de E 1 + E 2 Elle est aussi libre car : (α 1 a α r a r ) + (β } {{ } r+1 b r β p b p ) + (γ } {{ } r+1 e r γ q e q ) 0 } {{ } x E 1 E 2 y E 1 z E 2

30 30 Chapitre 3 : Espaces Vectoriels On a x + y + z 0 }{{} z (x + y) z E } {{ } 1 E 2 z s'exprime en fonction des a i d'où γ r+1 e r γ q e q δ 1 a δ r a r E 2 E 1 mais {a 1,, a r, e r+1,, e q } est une base de E 2 d'où γ r+1 γ q 0 δ 1 δ r et on a alors z 0 x y, on en déduit aussi que β r+1 β p 0 α 1 α r, d'où la famille est libre, d'où base de E 1 + E 2 On en déduit dim(e 1 + E 2 ) r + (p r) + (q r) p + q r dime 1 + dime 2 dim(e 1 E 2 )

31 Chapitre 4 Les Applications Linéaires 41 Applications Linéaires Dénition 411 : Soient E et E' deux espaces vectoriels surk et f une application de E dans E' On dit que f est linéaire, si : 1) f(u + v) f(u) + f(v) u, v E 2) f(λv) λf(v) v E, λ K L'ensemble des applications linéaires de E dans E' est noté L(E, E ) Remarque 411 : f(0) 0 car (homomorphisme de groupes) Dénition 412 : Une application linéaire de E dans E est appelée endomorphisme Exemple 411 : 1) Θ : E E est linéaire dite application nulle v 0 2) id E : E E est linéaire dite application identique de E v v 3) u E : E E est linéaire dite homothétie de rapport α α K v αv 4) D : R[X] R[X] est linéaire dite dérivation P DP P 5) Soit E E1 E2 P r1 : E E1 est linéaire dite projection x x 1 + x 2 x 1 sur E1 parallélement à E2 31

32 32 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires 6) Soit v 0 0 un vecteur de E τ : E E application non linéaire car τ(0) v 0 0, v v + v 0 dite translation 42 Image et Noyau Proposition 421 : Soit f L(E, E ) et F un sous-espace vectoriel de E Alors f(f) est un sous-espace vectoriel de E' En particulier f(e) est un sous-espace vectoriel de E' appelé image de f et noté Imf Sa dimension est appelée rang de f Preuve : On sait que f(f) est un sous-groupe de E', il sut donc de vérier la stabilité pour l'opération externe Soit λ K et f(v) f(f), λf(v) f(λv) f(f) Proposition 422 : Soit f L(E, E ), Kerf {x E/f(x) 0} est un sous-espace vectoriel de E, appelé noyau de f Preuve : Il sut de vérier la stabilité pour l'opération externe Soit λ K et x Kerf, f(λx) λf(x) λ0 0 λx Kerf Proposition 423 : f est injective Kerf {0} Exemple 421 : 1) Soit E E1 E2, ImP r1 E1, KerP r2 E2 2) D : R[X] R[X] P DP P KerD R, ImD R[X] 3) f : R 3 R 2 (x, y, z) (2x + y, y z) Kerf {(x, y, z)/y 2x et z y} {(x, 2x, 2x)/x R} droite vectorielle engendrée par (1, 2, 2) Imf {(x, y )/ x, y, z; x 2x + y et y y z} { (x, y )/y y + z et x 1 2 (x y z) } Posons z 0 donc y y et x 1 2 (x y ) D'où (x, y ) R 2 ( 1 2 (x y ), y, 0) R 3 ; f(( 1 2 (x y ), y, 0)) (x, y ) donc f est surjective, et par suite Imf R 2

33 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires 33 Proposition 424 : Soit f L(E, E ) et {v i } 1 i n une famille de vecteurs de E 1) Si f est injective et la famille {v i } 1 i n est libre dans E, alors la famille {f(v i )} 1 i n est libre dans E' 2) Si f est surjective et la famille {v i } 1 i n est génératrice de E, alors la famille {f(v i )} 1 i n est génératrice de E' E' En particulier si f est bijective, l'image d'une base de E est une base de Preuve : 1) Comme f est une application linéaire injective, alors on a : in λ i f(v i ) 0 in f( in λ i v i 0 λ i v i ) 0 ( f application linéaire ) λ i 0 i 1,, n {v i } 1 i n libre in 2) x E, λ i K ; x λ i v i in in Soit y E, x E ; y f(x) f( λ i v i ) ( surj ) d'où y λ i f(v i ) Théorème 421 : Deux espaces vectoriels de dimension nie sont isomorphes, si et seulement si, ils ont même dimension Preuve : ) f : E E isomorphisme, d'après la proposition précédente l'image d'une base de E est une base de E', donc E et E' ont même dimension ) Supposons dime dime, soit {e 1,, e n } une base de E et {e 1,, e n} une base de E' Considérons l'application f : E E e k e k in in Pour x λ i e i, on pose f(x) f( λ i e i ) f est linéaire bijective in λ i e i, on vérie que Corollaire 421 : E espace vectoriel de dimension nie sur K

34 34 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires E est isomorphe à K n dim K E n Théorème 422 ( Théorème de la dimension ) : Soient E et E' deux espaces vectoriels de dimension nie et f L(E, E ), alors dime dim(kerf)+ dim(imf) Preuve : Supposons dime n, dim(kerf) r et montrons que dim(imf) n r Soit {w 1,, w r } une base de Kerf, complétons la pour obtenir une base de E en l'occurrence {w 1,, w r, v 1,, v n r } Montrons que B {f(v 1 ),, f(v n r )} est une base de Imf 1) B engendre Imf, en eet : r n r n r f(x) f( α i w i + λ i v i ) λ i f(v i ) b) B est libre : n r λ i f(v i ) 0 n r n r f( λ i v i ) 0 λ i v i Kerf n r λ i v i n r λ i v i r α i w i r α i w i 0 (f application linéaire) λ i 0, i 1,, n r; α i 0, i 0,, r Corollaire 422 : Soit f L(E, E ), E et E' étant deux espaces vectoriels de même dimension nie, alors les propriétés suivantes sont équivalentes : 2) 1) f est injective 2) f est surjective 3) f est bijective Preuve : dime dim(kerf) + dim(imf) Il sut de montrer 1)

35 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires 35 f injective Kerf {0} dime dim(imf) dime dim(imf) E Imf f est surjective Remarque 421 : 1) Ce résultat est faux en dimension innie En eet : D : R[X] R[X] est surjective, non injective P DP P 2) Une application linéaire f est parfaitement dénie si on connaît l'image n des vecteurs d'une base, car d'après la linéarité de f on a f(x) f( x i e i ) n x i f(e i ), donc si on connaît f(e 1 ),, f(e n ), f est connue en tout x 43 Matrices Associées aux Applications Linéaires Soient E et E' deux espaces vectoriels sur K, de dimension nie n et p respectivement, et f : E E une application linéaire Choisissons {e 1,, e n } une base de E { et e 1,, e p} une base de E' Les images par f des vecteurs {e 1,, e n } { se décomposent sur la base e 1,, e p} : f(e 1 ) a 11 e 1 + a 21 e a p1 e p f(e 2 ) a 12 e 1 + a 22 e a p2 e p f(e n ) a 1n e 1 + a 2n e a pn e p Dénition 431 : On appelle matrice de f dans les bases {e 1,, e n } et { } e 1,, e p, la matrice notée par M(f)ei,e appartenant à M j p,n (K) dont les colonnes sont les composantes des vecteurs f(e 1 ),, f(e n ) dans la base { } e 1,, e p : f(e 1 ) f(e 2 ) f(e n )

36 36 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires M(f) ei,e j E' a 11 a 12 a 1n a p1 a p2 a pn Il est clair que la matrice associée à f dépend du choix des bases de E et Exemple 431 : e 1 e 2 e p 1 1) Soit E un espace vectoriel de dimension n et id E : E E 0 x x On considère une base {e i } de E M(id E ) ei I n matrice unité de M n (K) ) Soit E R 2 et P r 1 : R 2 R 2 (x, y) (x, 0) Considérons la base canonique {e 1, e 2 } de R 2 on a P r 1 (e 1 ) e 1, P r 1 (e 2 ) ( ) 1 0 M(P r 1 ) ei 0 0 3) Soit {e 1, e 2, e 3 } la base canonique de R 3 et {e 1, e 2} la base canonique de R 2 Considérons l'application linéaire : f : R 3 R 2 (x, y, z) (x y, z y) ( ) M(f) ei,e j ) On considère la forme linéaire sur R n f : R n R (x 1,, x n ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n e p

37 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires 37 En munissant R n et( R de leurs bases) canoniques respectives {e i } et {1} on obtient M(f) ei,1 a 1 a 2 a n 5) D : R 4 [X] R 3 [X] P DP P M(D) par rapport aux bases canoniques de R 4[X] et R 3 [X] Proposition 431 : Soient E et E' deux espaces vectoriels sur K de dimension n et p respectivement, {e i } et {e j } des bases de E et E' Alors l'application : M : L(E, E ) M p,n (K) f M(f) ei,e j est un isomorphisme d'espaces vectoriels c'est à dire : M(f + g) M(f) + M(g), M(λf) λm(f) et M est bijective, en particulier diml(e, E ) np Preuve : M(f + g) ei,e j (f + g)(e 1 ) (f + g)(e n ) f(e 1 ) f(e n ) g(e 1 ) g(e n ) + De même M(f) ei,e j + M(g) e i,e j

38 38 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires (λf)(e 1 ) (λf)(e n ) M(λf) ei,e j λm(f) ei,e j donc M est linéaire Soit f KerM M(f) ei,e 0 f(e j 1) f(e 2 ) f(e n ) 0, in in donc si x E x λ i e i, f(x) λ i f(e i ) 0, d'où f 0, donc M est injective Elle est aussi surjective, car si a 11 a 12 a 1n a 21 a 2n A M p,n (K) a p1 a pn On considère f en posant : f(e 1 ) a 11 e a p1 e p f(e n ) a 1n e a pn e p Pour x E ; x λ 1 e 1 ++λ n e n, on pose f(x) λ 1 f(e 1 )++λ n f(e n ) On vérie que f est linéaire et M(f) ei,e j A 44 Matrice d'un Vecteur Calcul de l'image d'un Vecteur Dénition 441 : Soit E un espace vectoriel de dimension n, {e 1, e 2,, e n } in une base de E et x x i e i un vecteur de E On appelle matrice de x dans la base {e i } : M(x) ei x 1 x n

39 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires 39 Proposition 441 : Soit f L(E, E ), {e 1, e 2,, e n } et { } e 1, e 2,, e p deux bases de E et E' respectivement, pour tout x E, on a : M(f(x)) e j M(f) ei,e j M(x) e i a 11 a 12 a 1n a Preuve : Soit M(f) ei,e 21 a 2n j d'où f(e j ) On a p a kj e k k1 a p1 a pn jn jn jn f(x) f( x j e j ) x j f(e j ) donc M(f(x)) e j j1 p ( k1 y 1 j1 n x j a kj ) e k j1 } {{ } y k p y k e k k1 j1 x j p a kj e k k1 D'autre part a 11 a 12 a 1n a M(f) ei,e M(x) 21 a 2n j e i a p1 a pn d'où le résultat y p x 1 x n n a 1j x j j1 n a pj x j j1 Exemple 441 : Soit le plan rapporté à sa base canonique Déterminer l'image du vecteur x (3, 2) par rotation de centre O et d'angle Π 6 On a

40 40 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires M(f(x)) ( M(f)M(x) ) ( cos Π 6 sin Π 6 ( sin Π 6 cos Π ) ( 6 ) ) 2 ( ) Matrice de l'inverse d'une Application Proposition 451 : Soient E, E', E trois espaces vectoriels sur K, {e 1,, e n }, { } { e 1,, e p, e 1,, e q} des bases de E, E' et E respectivement Si g L(E, E ) et f L(E, E ), on a M(fog) ei,e M(f) k e M(g) j,e k e i,e j Preuve : Soit x E arbitraire En utilisant la proposition du paragraphe 2, on a : M(fog)M(x) M(f(g(x))) M(f)M(g(x)) M(f)M(g)M(x) Puisque x est arbitraire, M(fog) M(f)M(g) Proposition 452 : f L(E, E ) est bijective si et seulement si M(f) ei,e j est inversible De plus M(f 1 ) e i,e j M(f) 1 e i,e j Preuve : f 1 of ide, d'où M(f 1 of) ei,e i M(idE) I M(f 1 )M(f) I M(f 1 ) M(f) 1 46 Changement de Bases Dénition 461 : On appelle matrice de passage de la base {e i } à la base {e i } du même espace vectoriel E, la matrice P e i e i dont les colonnes sont les composantes des vecteurs e i dans la base {e i} : p 11 p 1n P ei e M(id i E ) e i,e i p n1 p nn

41 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires 41 Remarque 461 : Une matrice de passage est toujours inversible et on a (P ei e i ) 1 P e i e i Proposition 461 : Soient x E, {e i } et {e i } deux bases de E, P P e i e i et X M(x) ei, X M(x) e i, on a X P 1 X Preuve : P X M(idE) e i,e i M(x) e i M(idE(x)) ei M(x) ei X Exemple 461 : Soit R 2 muni de deux bases, la base canonique {e 1, e 2 } et la base {e 1, e 2} dénie par : ( e 1 2e 1 + e 2, e 2 3e 1 + 2e 2 Soit x ( 2e 1 + ) 3e 2, calculons ( les composantes ) de ( x dans la base ) ({e 1, ) e 2} 2 3 P, P 1 2 3, X ) 5 4 x 5e 1 + 4e 2 Proposition 462 : Soient f L(E, E ), {e 1,, e n }, {ε 1,, ε n } deux bases de E et { e 1,, e p}, { ε 1,, ε p} deux bases de E' Notons A M(f) ei,e j, A M(f) ɛi,ε j, P P e i ε i, Q P e j ε j On a alors A Q 1 AP Preuve : f E (ei ) E (e j ) ide ide f E (εi ) E (ε j ) On a foide ide'of d'où M(foidE) M(idE'of), c'est à dire M(f) εi,ε j M(id E) ei,ε i M(idE') e j,ε j M(f) e i,e j, c'est à dire A P 1 Q 1 A donc A Q 1 AP Corollaire 461 : Soient f L(E) et {e 1,, e n }, {e 1,, e n} deux bases de E Notons A M(f) ei, A M(f) e i et P P ei e i On a alors A P 1 AP

42 42 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires Dénition 462 : Deux matrices A, A M n (K) sont dites semblables s'il existe une matrice P M n (K) inversible telle que : A P 1 AP Exemple 462 : Soit f un endomorphisme de R 2 qui dans ( la base ) canonique {e i } est représenté par la matrice : A M(f) ei Déterminons la matrice A qui représente f dans la base e 1 (0, 1) et e 2 (1, 1) A P ( 1 AP ) ( ) ( ( 1 0 ) ( 0 2 ) On a ( 3 1 ) ) Rang d'une Matrice Dénition 471 : Soit {v 1,, v n } une famille de vecteurs, on appelle rang de la famille, la dimension de l'espace engendré par les vecteurs v i Soit A M p,n (K), A (c 1,, c n ) où l'on a noté c i les vecteurs colonnes de A (c i K p ) On appelle rang de A le rang de la famille des vecteurs colonnes de A Proposition 471 : Soit f L(E, E') Soient {e 1,, e n } et { } e 1,, e p deux bases quelconques de E et E' respectivement et A M(f) ei,e (a j ij) On a alors rangf ranga Ainsi deux matrices qui représentent la même application linéaire dans des bases diérentes ont même rang ; en particulier deux matrices semblables ont même rang Preuve : On considère le diagramme suivant :

43 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires 43 K n u E (ei ) h f K p v h v 1 ofou E' (e j ) u et v sont dénis en associant à chaque vecteur de la base canonique de K n ( resp K p ) ε i ( resp ε j ) le vecteur e i ( resp e j ), alors l'application h a précisément A comme matrice dans les deux bases canoniques car h(ε i ) v 1 ofou(ε i ) v 1 of(e i ) v 1 ( a ij e j) a ji ε j Donc ranga rangh et d'après le j lemme suivant, on déduit que ranga rangf Lemme 471 : Soient f L(E, F) et g L(G, E), alors 1) Si g est surjective, alors rangf rang(fog) 2) Si f est injective, alors rangg rang(fog) Preuve : 1) rangf dimf(e) dimf(g(g)) dim(fog)(e) rang(fog) 2) Soit {v i } avec v i g(w i ) une base de Img, alors f(v i ) (fog)(w i ) Comme f est injective {f(v i )} est libre et engendre Im(fog) car y Im(fog) x ; y f(g(x) ) f( α i v i ) α i f(v i ) donc {f(v i )} est une base de }{{} Img Im(fog), d'où rangg rang(fog) On en déduit qu'en composant à gauche ou à droite par une application linéaire bijective, le rang ne change pas 48 Matrices Remarquables a) Matrice Diagonale (a ij ) M n (K) ; a ij 0 pour i j b) Matrice Triangulaire Supérieure (a ij ) M n (K) ; a ij 0 pour i > j c) Transposée d'une Matrice A (a ij ) M n,m (K) ; c'est t A (a ji ) M m,n (K) Elle vérie t ( t A) A, t (A + B) t A + t B, t (λa) λ t A A, B M m,n (K) et λ K ; c'est à dire que l'application : Ψ : M m,n (K) M n,m (K) est un isomorphisme A t A d'espaces vectoriels On a aussi t (AB) t B t A A M n,p (K) et B M p,n (K)

44 44 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires Dénition 481 : A, B M n,p (K) sont équivalentes s'il existe P Gl p (K) et Q Gl n (K) telles que B Q 1 AP C'est en fait une relation d'équivalence sur M n,p (K), notée Théorème 481 : A, B M n,p (K) sont équivalentes si et seulement si ranga rangb Démontrons d'abord le lemme suivant : Lemme 481 : A M n,p (K) ; M r,r (K) ranga r A Cette dernière est notée J r Preuve : ) trivial ) A M n,p (K) dénit une application linéaire Φ : K p (e i ) K n (e j ) On munit Kp et K n des bases canoniques (e i ) et (e j ) respectivement Soit r le nombre de vecteurs linéairement indépendants parmi les images des vecteurs de la base (e i ) ; càd Ae 1,,Ae p, qu'on peut supposer être Ae 1,,Ae r, les autres vecteurs Ae r+1,,ae p peuvent s'exprimer en fonction de ces derniers : r Ae k c kj Ae j pour k r + 1,, p j1 On dénit une nouvelle base f 1,, f p dans K p ; comme suit e k, pour k1,,r ; f k r e k c kj e j, pour kr+1,,p j1 On a alors Af k 0 pour k r + 1,, p Posons alors Af j t j pour j 1,, r Les t j sont par hypothèse linéairement indépendants Complétons les pour obtenir une base de K n, disons t r+1,, t n Considérons alors la matrice de l'application linéaire Φ dans les nouvelles bases f 1,, f p et t 1,, t n, on a alors :

45 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires 45 M(Φ) fi,t j A et M(Φ) fi,t j équivalentes J r représentent la même application linéaire, et sont donc Preuve du théorème : ) trivial ) ranga rangb r entraînent A J r, B J r, d'où A B Théorème 482 : Soit A M n,p (K), alors ranga rang t A c'est à dire que le rang d'une matrice ; est aussi le rang de la famille des vecteurs lignes Preuve : ranga r A J r P Gl p (K) et Q Gl n (K), A Q 1 J r P t A t P t J r t Q 1 ( t P 1 ) 1 t J r ( t Q 1 ) t (P 1 ) 1 J r ( t Q 1 ) car t J r J r d'où t A J r rang t A r ranga Exemple 481 : Déterminer le rang de la matrice On utilise les opérations élémentaires sur les lignes L rg rg L 2 L 1 L 2 2L L L 3 3L L 1 rg L 2 2L L 3 + L 1 2L 2 Car les deux vecteurs lignes sont linéairement indépendants 49 Application des Déterminants à la Théorie du Rang 491 Caractérisation des Bases Théorème 491 : Soit E un espace vectoriel de dimension n Les vecteurs (ei v 1,, v n de E forment une base de E si et seulement si det v 1,, v n )

46 46 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires (ei 0 où v 1,, v n désigne la matrice dont les colonnes sont les composantes des vecteurs v 1,, v n dans la base (e i ) de ) E Preuve : Il sut de montrer que {v 1,, v n } est libre si et seulement si (ei det v 1,, v n 0 ) in kn ) α i v i 0, posons v i a ki e k, alors on a kn in α i ( a ki e k ) 0 d'où, k1 n α i a ni 0 k1 n α i a ki e k 0 n n α i a 1i 0, α i a 2i 0, i,k a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn α 1 α 2 α n d'où α i 0 i 1,, n (ei ) Si det v 1,, v n 0 le système homogène ) ( 41) admet une innité de solutions, d'où {v 1,, v n } est liée (41) 492 Comment reconnaître si une famille de vecteurs est libre On appelle mineur d'une matrice A, tout déterminant d'une matrice carrée extraite de A Théorème 492 : Soient {v 1,, v r } r vecteurs d'un espace vectoriel E de, dimension n ( r n ) et A v 1,, v r ( A M n,r (K) ) La famille {v 1,, v r } est libre si et seulement si on peut extraire de A un mineur d'ordre r non nul Preuve : Similaire à celle du théorème précédent, en complétant les vecteurs an de former une base de E

47 ChapitreChapitre 4 : Les Applications Linéaires Comment reconnaître si un vecteur appartient à l'espace engendré par d'autres vecteurs Soit A une matrice et δ un mineur d'ordre r extrait de A On appelle bordant de δ tout mineur d'ordre r+1 extrait de A, dont δ est un déterminant extrait Si A M p,n (K) et δ un mineur d'ordre r, il ya exactement (p r)(n r) bordants de δ dans A Théorème 493 : Soient {v 1,, v r } r vecteurs linéairement indépendants et δ un mineur d'ordre r non nul extrait de A, où A v 1,, v r Pour qu'un vecteur w v 1,, v r il faut et il sut que tous les bordants de δ dans la matrice B v 1,, v r, w soient nuls Preuve : ) Si l'un des bordants est non nul, la famille {v 1,, v r, w} serait libre a 11 a 1r b 1 a r1 a rr b r ) On considère la matrice B a r+1,1 a r+1,r b r+1 a n1 a nr b n Quitte a changer l'ordre des lignes et des colonnes, on peut supposer que le mineur δ non nul est le mineur encadré Les r premiers vecteurs lignes de B sont indépendants, et chacun des autres est lié à ces derniers Ainsi rangb r, donc les vecteurs colonnes de B {v 1,, v r, w} forment une famille de rang r et comme {v 1,, v r } est libre, w v 1,, v r α Exemple 491 : Pour quelles valeurs de α, β R le vecteur w 2 1 β 1 appartient-il au sous-espace de R 4 engendré par les vecteurs v et 0