DIVISIBILITÉ DANS Z. La mathématique est la reine des sciences et l arithmétique est la reine des mathématiques.
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- Alain Marin
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1 DIVISIBILITÉ DANS Z La mathématique est la reine des sciences et l arithmétique est la reine des mathématiques. Soit E un ensemble. La notation (a ; b) E 2 signifie que a E et que b E. Carl Friedrich Gauss Dans ce qui suit, on se placera (sauf mention explicite du contraire) dans Z, l ensemble des nombres entiers relatifs : Z = {... ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;...}. Pourquoi Z et non pas N? Tout d'abord, Z et N sont stables par addition et multiplication. C'est à dire que la somme et le produit de deux éléments d'un de ces ensembles appartient aussi à cet ensemble : si (a ; b) N 2, alors a + b N et a b N, si (a ; b) Z 2, alors a + b Z et a b Z, Mais Z possède l avantage que chaque entier relatif possède un élément symétrique par rapport à l addition : si a Z, l élément symétrique de a par rapport à l addition est un élément b tel que a + b = 0, 0 étant l élément neutre de l addition. Vous savez bien que cet élément symétrique s appelle l opposé de a et est noté a. Ceci n est pas vrai dans N, et c est pourquoi on utilise Z. I. Divisibilité dans Z : 1 ) Multiples et diviseurs : Soient (a ; b) Z 2. On dit que a est un multiple de b s il existe k Z tel que a = kb. On dit aussi que b divise a ou que b est un diviseur de a. Si b divise a, on note b a. 6 divise 42 car 42 = est un multiple de 5 car 75 = Pour tout n Z, n 1 divise n² 1 car n² 1 = (n 1)(n + 1) et n + 1 Z. Remarques : 0 est un multiple de n importe quel entier... mais non pas un diviseur. Tout nombre entier relatif non nul b admet un nombre fini de diviseurs. En effet, un diviseur de b étant forcément inférieur ou égal à b, b admet au maximum 2 b diviseurs : b ; b 1 ;... ; 1 ; 1 ; ; b 1 ; b On note az l ensemble des multiples de a. 2Z est l'ensemble des nombres pairs. 2 ) Propriété de la divisibilité : Propositions : La divisibilité est réflexive : a a. La divisibilité est transitive : si a b et b c alors a c.
2 Preuve : a = 1 a donc a a. a b, il existe donc k Z tel que b = ka. De plus b c, il existe donc k' tel que c = k'b. On a donc c = k'b = c = k' ka = Ka avec K = k'k Z. a divise donc c. Le symbole signifie quel que soit. Proposition (Combinaison linéaire) : Si c divise a et b, alors c divise toute combinaison linéaire de a et b à coefficients entiers : c ma + nb, m, n Z. Preuve : c a, il existe donc k Z tel que a = kc. De plus c b, il existe donc k' tel que b = k'c. On a donc ma + nb = mkc + nk'c = (mk + nk') c = Kc avec K = mk + nk' Z. c divise donc ma + nb. En particulier, si c divise a et b, alors c divise a + b et a b. Soit n Z et a Z tel que a divise n + 2 et 3n + 1. D'après la propriété précédente, n divise aussi 3(n + 2) (3n + 1) = 5. On en déduit que a divise 5, donc a { 5 ; 1 ; 1 ; 5}. II. Division euclidienne : Théorème : 1 ) division euclidienne : Soient a Z et b N *. Alors, il existe un unique couple (q ; r) Z² tels que a = bq + r avec 0 r < b. Existence : Si a est un multiple de b, alors il existe q Z tel que a = q b + 0. Si a n'est pas un multiple de b, considérons les multiples de b : ; kb ; ; 3b ; 2b ; b ; 0 ; b ; 2b ; 3b ; ; kb ; k N. a étant fini, il existe un nombre q tel que qb a < (q + 1)b. Ce nombre q est le quotient cherché, et r = a qb. Unicité : Supposons qu'il existe deux couples (q ; r) et (q' ; r') tels que a = bq + r et a = bq' + r' avec 0 r < b et 0 r' < b. Par soustraction, on obtient bq + r bq' r' = 0 r r' = b(q' q). Donc r r' est un multiple de b. 0 r' < b b < r' 0 r b < r r' r. Or b b + r car r 0 donc b b + r < r r' r < b donc b < r r' < b donc r r' = 0 donc r = r'. On en déduit que b(q' q) = 0 donc q' = q. D'où l'unicité. L écriture a = bq + r s appelle la division euclidienne de a par b. a est le dividende, b le diviseur, q le quotient, et r le reste. La division euclidienne de 25 par 7 donne 25 = ( 7) ( 3) + 4. division de 8 par 3 : 8 = quotient : 2 ; reste 2. division de 8 par 3 : 8 = 3 ( 3) + 1 quotient : 3 ; reste 1.
3 2 ) conséquence : Les restes possibles de la division euclidienne de a par b sont des entiers naturels strictement inférieurs à b. Il s'agit donc d'un nombre de la liste suivante : 0 ; 1 ; 2 ; ; b 2 ; b 1. Tout entier a peut donc s'écrire sous la forme bk ; bk + 1 ; bk + 2 ; bk + 3 ; ; bk + b 2 ; bk + b 1, avec k Z. Tout entier peut s'écrire soit 2k (les nombres pairs) soit 2k + 1 (les nombres impairs) avec k Z. Tout entier peut s'écrire soit 3k, soit 3k + 1, soit 3k + 2 avec k Z. III. Congruences dans Z : L'idée de la congruence est de relier entre eux tous les nombres ayant le même reste dans la division euclidienne par un certain nombre, par exemple tous les nombres ayant pour reste 1 dans la division euclidienne pas 3. Ce lien est exactement le même que celui qui lie tous les nombres réels ayant le même point image sur le cercle trigonométrique, comme, 3 et 233 par exemple. 1 ) Définition et premières propriétés : Soit c un entier naturel supérieur ou égal à deux. On dit que a est congru à b modulo c si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par c, et on écrit a b (mod c) ou a b (c) ou encore a b [c]. On dit aussi que a et b sont congrus modulo c (3) car le reste de la division euclidienne de 14 par 3 est (5) car 7 et 22 ont tous les deux 2 comme reste dans la division euclidienne par 5. On peut aussi dire que 3 et 233 sont congrus modulo 2, mais nous nous contenterons de parler de nombres entiers dans ce chapitre. Conséquence immédiate : La congruence est réflexive : a a (n) symétrique : si a b (n) alors b a (n) et transitive : si a b (n) et b c (n) alors si a c (n). Les trois assertions sont évidentes si on pense à traduire la congruence comme le fait d'avoir le même reste dans la division euclidienne par n. Propriété : 2 ) Propriété fondamentale : a b (c) si et seulement si a b est un multiple de c. Effectuons les divisions euclidiennes de a et b par c : a = q c + r et b = q c + r avec 0 r < c et 0 r < c Supposons que a b (mod c). Les restes sont alors les mêmes (r = r ) et a b = (q c) (q c) = (q q )c. Inversement, a b = c(q q ) + r r. Si a b = k c alors c (a b). Mais comme c divise c(q q ), il divise aussi r r. Or, d après les conditions sur les restes, c < r r < c. Le seul multiple de c qui convient est 0 : donc r = r. Il faut comprendre la proposition précédente comme : a b (c) si et seulement si a = b + c k.
4 n 2 (5) signifie qu'il existe un entier relatif k tel que n = 5k + 2. n 5 n + 9 (7) car (n + 9) (n 5) = 14, et 14 est un multiple de 7. 3 ) Compatibilité avec les opérations : Proposition : Si a b (mod c) et a b (mod c) alors : (i) λ Z, λa λb (mod c) ; (ii) a + a b + b (mod c) ; (iii) a a b b (mod c) ; (iv) a a b b (mod c) ; (v) n N, a n b n (mod c). Supposons que a b = kc et a b = k c. (i) λa λb = λ(a b) est un multiple de c. (ii) (a + a ) (b + b ) = a b + a b = kc + k c = (k + k )c. (iii) (a a ) (b b ) = a b (a b ) = kc k c = (k k )c. (iv) Attention au tour de passe-passe! aa bb = aa ab + ab bb = a(a b ) + (a b)b = ak'c + b'kc = c(ak + b k). (v) On rappelle que, pour tous a, b R (donc aussi entiers...), on a : a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ) d où la conclusion. On aurait aussi pu faire un récurrence à partir de la proposition (iv). IV. PGCD de deux nombres entiers : 1 ) Diviseurs communs : Soit (a, b) Z 2. d Z est un diviseur commun à a et b si d divise à la fois a et b. On note D(a ; b) l ensemble des diviseurs communs à a et b. Proposition : D(a ; b) = D(a b ; b) = D(a kb ; b), k Z. Si d divise a et b, on a a = d et b = d. avec ( ; ) Z 2. Par suite a b = d( ). Les diviseurs communs à a et b sont donc les mêmes que ceux de a b et b. Corollaire : Preuve : (i) D(a ; b) = D(r ; b) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. (Ceci est le lemme d'euclide) (ii) Si b a, D(a ; b) = D(b). (i) a = qb + r. où q et r sont les quotient et reste de la division euclidienne de a par b. De plus, D(a ; b) = D(a kb ; b) k Z, en particulier D(a ; b) = D(a qb ; b) = D(r ; b) (ii) Si b a, a = kb = (k 1)b + b, donc a (k 1)b = b. Or D(a ; b) = D(a (k 1)b ; b) = D(b ; b) = D(b).
5 2 ) PGCD et algorithme d'euclide : Soient (a ; b) Z 2. On appelle PGCD de a et b le plus grand des diviseurs communs à a et b. L ensemble D(a ; b) n est pas vide, il est majoré par a et minoré par a : il s'agit donc d'un ensemble fini et possède donc un plus grand élément (d'après l'axiome du choix). En arithmétique, on utilise parfois la notation a b = PGCD(a ; b). Proposition (algorithme d'euclide) : En supposant que 0 < b a, on effectue la division euclidienne de a par b ; si r = 0, PGCD(a ; b) = b, sinon, on remplace a par b, b par r, et on continue jusqu à obtenir un reste nul. Le PGCD est le dernier reste non nul obtenu. Déterminons le PGCD de 147 et 741 : On a 741 = donc D(741 ; 147) = D(147 ; 6) 147 = donc D(147 ; 6) = D(6 ; 3) 6 = donc D(6 ; 3) = D(3) Le PGCD de 147 et 741 est donc 3. Soit a = bq 0 + r 0, avec 0 r 0 < b. Si r 0 0, b = r 0 q 1 + r 1, avec 0 r 1 < r 0. Si r 1 0, r 0 = r 1 q 2 + r 2, avec 0 r 2 < r 1. Si r 2 = 0, r 1 = r 2 q 3 + r 3, avec 0 r 3 < r 2. On construit ainsi une suite r 0 > r 1 > r 2 > 0 strictement décroissante d'entiers naturels, minorée par 0. Il existe donc un rang k tel que r k 0 et r k+1 = 0. Ce r k est le PGCD cherché. Proposition : 3 ) Propriétés du PGCD : (i) Les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs du PGCD de a et b. (ii) Pour tout N *, PGCD( a ; b) = PGCD( a ; b). Soit = PGCD(a ; b) (i) Il s agit de montrer que D(δ) = D(a ; b). D après l algorithme d Euclide, D(a ; b) = D(r 0 ; b) = D(r 1 ; r 0 ) = = D(r k ) = D(δ). (ii) Comme δ a et δ b, alors δ a et δ tel que λ δ = PGCD( a ; b). Corollaire : b. Donc δ PGCD( a, b). Il existe donc λ entier naturel non nul λ δ est donc un diviseur commun à a et à b. C est donc dire que λδ divise a et b. D où λδ δ, soit λ = 1. Si k N est un diviseur commun à a et b, alors PGCD ( a k ; b k ) = 1 k PGCD (a; b).
6 4 ) Nombres premiers entre eux : On dit que a et b sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun positif est 1. Autrement dit, a b = 1. Propriété : Soient a et b deux entiers. δ = PGCD(a ; b) a = δa et b = δb où a et b sont premiers entre eux. Résulte du fait que : PGCD(a ; b) = PGCD(δa ; δb ) = δpgcd(a ; b ) Si δ = PGCD(a ; b), alors δ a et δ b. Il existe donc des entiers a et b tels que a = δa et b = δb. La relation ( ) prouve alors que a et b sont premiers entre eux. Inversement, si a = δa et b = δb où a b = 1, la même relation prouve cette fois que δ est le PGCD de a et b. ( ).
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