Session de Juin 2014 Section : Sciences de l informatique Épreuve : Mathématiques

Transcription

1 Eamn du baccalauréat Sssion d Juin 04 Sction : Scincs d l informatiqu Épruv : Mathématiqus Sssion principal Ercic ) Vrai Soit (, y) un solution dans d l équation 5 6y 6. On a : 5 6y y D où 6 divis ( y). 6 divis 5 t 6 t 5 sont prmirs ntr u, d après l théorèm d Gauss 6 divis. ) Fau. Supposons qu (, y) un solution dans d l équation 3 6y y 8 3( y) 8 3 divis 8 C qui st absurd. 3) Vrai On a : ( ) ( ) ( ) D où l rst d la division uclidinn d 4) Vrai n n 0, d'où divis n. n 3 n 0 3, d'où 3 divis n. t 3 divisnt n, d où 6 divis n. Ercic f() ( ln) ; 0, par 5 st 4. Par conséqunt n 06 t par suit (C) la courb rprésntativ f d dans un rpèr orthonormé (O,i, j). n 6. )a) lim f() lim( ln) ; car lim ln

2 lim f() lim ( ln) ; car lim ln. f() ( ln ) ln ln ln ln lim lim lim lim 0. b) lim ln 0 courb (C)., d où la droit d équation 0 st un asymptot vrtical pour la f() lim ln t lim 0, d où la courb (C) d f admt un branch paraboliqu d dirction l a ds abscisss. )a) f() ( ln) ; 0,. La fonction f st dérivabl sur 0, t on a : f '() ( ln)' ( ln) ( ln) ( ln). b) f '() 0 ( ln) 0 ln 0 ln L tablau d variations d f : c) Voir figur. 3) A l air d la parti du plan limité par la courb (C), l a ds abscisss t ls droits d équation t. a) F() (5 ln 4ln ) ; 0,. 5 ln 4ln ln 4 F'() 5 ln 4ln ( ln 4 ) ; 0,. ln ln ( ln ) f() D où F st un primitiv d f sur 0,.

3 b) A f() d F() F() F() 5 unité d'air. 4) g la rstriction d f à l intrvall 0,. a) f st continu t strictmnt décroissant sur 0,, d où g st continu t strictmnt décroissant sur 0,. Par conséqunt g st un bijction d 0, sur l intrvall J g0, 0,. b) c) Soint 0, t y 0,. y g() y ( ln ) y ln ln y y. D où g () ; pour tout 0,.

4 5) On s propos d calculr l intégral I 0 d. a) Ls courbs d g t g sont symétriqus par rapport à la prmièr bissctric. b) Par symétri, ls du partis du plan suivants ont la mêm air (voir figur): i. La parti du plan limité par la courb (C), l a ds abscisss t ls droits d équation t. ii. La parti du plan limité par la courb (C ), l a ds ordonnés t ls droits d équation y t y. A étant l air d la prmièr parti (calculé précédmmnt). On not A l air d la duièm parti. A st aussi l air d la parti du plan limité par la courb (C ), l a ds abscisss t ls droits d équations 0 t, moins l air du carré d côté. D où A A' ( d). 0 A ( d) (. d) (. d).i A.I, d autr part on a A 5. 5 I I 4 Ercic 3 )a) 4 I. ( 5i) 5i (5i) 0i 5 4 0i. b) On a dans C l équation : z (3 i)z 8 i 0. Calculons l discriminant : (3 i) 4(8 i) 9 6i 3 4i 4 0i ( 5i). D où 5i st un racin carré d. D où ls racins d l équation sont : (3 i) ( 5i) (3 i) ( 5i) z 3i ; z' i. Ainsi S 3i ; i. ) A, B t C ls points d affi rspctivs za 3i, zb i t zc 4 i. a) Voir la figur. b) Montrons qu l triangl ABC st isocèl rctangl. AB zb za i ( 3i) 5i 5 6.

5 AC zc za 4 i ( 3i) 6 4i 6 ( 4) 5. BC zc zb 4 i ( i) 5 i 5 6. On a AB BC, d où l triangl ABC st isocèl d sommt principal B. AB 6 ; AC 5 t BC 6. D'où AC AB BC. L triangl ABC st alors rctangl n B. Ainsi ABC st un triangl isocèl rctangl n B. c) Soit I l miliu du sgmnt Soit D l point pour lqul ABCD st un carré. za zc 3i 4 i i AC. On a zi i. D st l symétriqu d B par rapport au point I, d où I st l miliu du sgmntbd. zb zd i zd zi i zd zi z z i ( i) i 3 4i D où zd 3 4i. 3) () l nsmbl ds points M d affi z tls qu z i 3. D I a) M(,y) ( ) z i 3 z ( i) 3 z z 3 IM 3 I M appartint au crcl d cntr I t d rayon 3. D où ( ) st l crcl d cntr I t d rayon 3. b) On a IA IB IC ID puisqu I st l cntr du carré. IA za zi 3i ( i) 3 i ( 3) 3. Ainsi IA IB IC ID 3. D où l crcl () pass par ls somms du carré ABCD. () st l crcl circonscrit du carré.

6 Ercic 4 L tablau suivant donn (n milliards) l nombr d abonnmnts au téléphon mobil dans l mond. )a) Anné Rang (i) Effctif (yi),75 3,37 4,03 4,65 5,3 5,96 6,4 6,84

7 b) La form allongé du nuag ds points prmt d nvisagr un ajustmnt affin. )a) On calcul à l aid d la calculatric l cofficint d corrélation r 0, b) On détrmin ls cofficints a t b à l aid d la calculatric : a 0, ,6 ; b,4, L équation d la droit d régrssion d y n st : y 0,6,. 3) On suppos qu ctt tndanc s maintint. a) L rang d l anné 04 st 9. Un stimation (n milliards) du nombr d abonnmnts n 04 st : y 0,6 9, 7,6. b) L anné pour laqull l nombr d abonnmnts attindra 0 milliards pour la prmièr fois : 0,6,0 0,6 0, 0,6 7,78 7,78, ,6 3 st l rang d l anné st l anné pour laqull l nombr d abonnmnts attindra 0 milliards pour la prmièr fois.