( ) ( ) ( ) ( ) 4 ème Niv Corrigé N 7 Intégrales définies - Problèmes P.1/6 Réponses : = = = = 3. ( ) 9 x dx 9x = = = = 4.

Transcription

1 Eercices de Mahémaiques ème Niv. Corrigé N 7 Inégrales définies - Problèmes P./6 Réponses :. ( ) 6 I = d= = =. I = d= = = ( ) = = = ( ) = = = = = 6 9 d ( ) 6 = = = = 7 = = = =. ( ) I d. ( ). I d I = ( ) 6. ( ) ( ) = = = I d 7. ( ) I d. I ( ) d ( ) ( ) ( ) = = = = ( ) 7 I = + d= + = + + = 6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I = + sin d= cos( ) = cos( ) cos() = + I = cos d= sin( ) = sin sin =. ( ). ( ) I = sin d= cos( ) = cos cos( ) = Soluions :. sin ( ) d= cos( ) ( cos( ) cos( ) ) ( ) = = =.. ` d d = ( ) = ( ) = ( ) ( + ) = { } = sin cos d= cos( ) sin( ) = ( ( ) ( )) ` cos( ) sin( ) cos sin ( ) = =

2 Eercices de Mahémaiques ème Niv. Corrigé N 7 Inégrales définies - Problèmes P./6. ( + + ) = 6. ( ) ( ) d = = = = ( ) ( ) ( ) d= = = + = 6 = ` 6. cos( ) sin ( ) d sin ( ) sin ( ) sin {[ ] [ ] } = = = = 7. d ( ) d ( ) ( ) ( ) 7 = + = + = + + == + 7. ( ) d ( ) ( ) ( ) ` ` { } [ ] [ ] = 7 = = { 6 6 } = { } [ ] [ ] 9. ( )( ) d ( ) ( ) ( ).. = = = { } = ` d= d = = = = = + = 6 d = (,,) d,,,7, [,7 ] = = + =, 7, =9, 7 sin cos = cos = cos cos = ( ) =,. ( ) ( ) d ( ) ( ) { } / `. e d = e = e e = ( e e) ` = = = = = ln(). d d d ln { ln() ln() } ` 9. e d e { e e } e e = = = ` 6. d { } ` ln( ) ln() ln(7) ln ln = ln + = = = = Réponses au choi! ` `

3 Eercices de Mahémaiques ème Niv. Corrigé N 7 Inégrales définies - Problèmes P./ ( ) ( d = ) d = ln( + + ) = + + { ( ) ( ) } ln 6+ + ln + + = 7 { ln(7) ln() } = ln + = + = e = = ` + +. e d ( ) e d + e { e e } k ( ) ( ) k + d = + = k + k + = + + = 6 + = k = ou k = 6 k k ( k )( k ). La résoluion : d = d = = = = es fausse, car la foncion y = s'annule en =. Elle n'es donc pas coninue e le héorème fondamenal ne s'applique pas. Cee inégrale n'es pas définie!. La résoluion : d = ( ) =... ( ) es fausse, car la foncion à inégrer s'annule en = qui se rouve dans l'inervalle [ ; ]. Elle n'es donc pas coninue e le héorème fondamenal ne s'applique pas. Cee inégrale n'es pas définie!. La foncion à inégrer end vers l'infini lorsque end vers, e elle n'es pas coninue en. Malgré cela, l'inégraion sans réfléchir donne un résula qui a un sens. d = = = 6 es un résula correc.. Malgré que la borne supérieure ne soi pas un nombre, cee inégrale peu se faire sans difficulés pariculières : d = = =. L'inerpréaion géomérique es jolie : le périmère de la surface es infinie, mais l'aire de la surface es finie e d'aire égale à!. 6. d = = =. Cee fois-ci, l'aire es infinie sin( ) d Cee inégrale n'a pas une valeur définie, car la foncion sinus oscille périodiquemen. L'aire "sous la courbe" oscille aussi en foncion de la borne supérieure de l'inégrale.

4 Eercices de Mahémaiques ème Niv. Corrigé N 7 Inégrales définies - Problèmes P./6 Problèmes.a Non, les débis son oujours des foncions posiives f( ) e g ( ) pour ou..b La quanié d'eau enrée dans le lac enre les emps e égale.c La quanié d'eau sorie dans le lac enre les emps e égale.d La variaion d'eau dans le lac enre les emps e f () d. g () d. f g d. égale ( () ()).e La variaion oale d'eau dans le lac enre les emps = jours e = jours égale ( f () g() ) d = sin ( ) d = cos ( ) 7 + =. Après heures, la consommaion oale de carburan sera de : + ln( + ) = + ln() ( + ln()),97 lires. d = +.a On connaî la dérivée de la foncion cherchée T(), donc T() es une primiive de () T' 7 e T = e d = e + C où C es la consane d'inégraion. =. () 7 7 On sai que T() = 9 C e que ( ) T = 7 e + C = 7+ C, donc 9 = 7 + C. On en dédui que C = C e donc que T() = 7 e + C. b) La empéraure après minues es de ( ) La empéraure après minues es de ( ) T = 7 e + C 9, 7 C. méga lires. T = 7 e + C C. La empéraure de la chambre es de C, c'es celle vers laquelle la empéraure de la asse end. c) On cherche el que : T() = 7 e + C = C. Il fau donc résoudre l'équaion : 7 e =. Donc e =, = ln 7 7. Le emps cherché vau donc : = ln, minues. 7.a On connaî la dérivée de la foncion cherchée N(), donc N() es une primiive de, N' () = e,,. () N = e d = e + C où C es la consane d'inégraion., On sai que N() = 7 e que N( ) e C C, 7 = + C. On en dédui que C = e donc que ( ) = + = +, donc b) La populaion après années es de N( ), e La populaion après années es de N( ) e N = e +. = +, mille. = + 97,7 mille. La populaion end à se sabiliser vers mille habians.

5 Eercices de Mahémaiques ème Niv. Corrigé N 7 Inégrales définies - Problèmes P./6.c On cherche el que : (), N = e + =.,, = ln., Il fau donc résoudre l'équaion : e =. Donc e =, Le emps cherché vau donc : = ln, années.,.d Lorsque devien grand, N() se rapproche de mille e ne dépasse jamais cee valeur. Donc le demi million d'habians ne sera jamais aein, selon ce modèle.. année semaines. a) Bénéfice de la sociéé sur semaines = revenu sur semaines dépenses sur semaines = ', cos 9' d ' ' cos d 6 = 6 6' = ' sin = '' CHF 6 b) Pour les calculs des avoirs noons : D() = " Argen en milliers de CHF disponible à l insan ". D ( ) = cos d 6 = '6 '6 D ( ) = sin = sin 6 6 D D' c) Cee somme Des ( ) maimale lorsque D ( ) = : D'( ) = cos 6. D'( ) = cos = cos =, = cos (, ) + k ( k Ù) ±,7 [ rad] + k ( ±,7 [ rad] + k) 6 ±, + k ( k Ù) 6 Le maimum es obenu pour, +,66. Cela se confirme sur le graphique. La résorerie es maimale duran le ème semaine.

6 Eercices de Mahémaiques ème Niv. Corrigé N 7 Inégrales définies - Problèmes P.6/6 6. a) La posiion du paque es définie par : T T DT ( ) = sin cos 6 d= + 6 = T T DT ( ) = T + cos + cos() T+, 7 cos, b) Après heures, la posiion es : D() +, 7 cos, 7 =,9 milles. 6 Les douaniers doiven rechercher le paque à environ,6 milles en amon de l'esuaire. Ils doiven donc remoner la rivière de,6 milles relaivemen à l'endroi de la fouille du baeau. viesses [milles / heures] 6 y = sin( / 6) y = - - emps [heures] y = sin( / 6) Posiion du paque en foncion du emps. Posiion du paque en milles marin Temps en heures