Couverture et calcul de Malliavin

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1 Couverture et calcul de Malliavin L. Decreusefond TPT L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 1 / 1

2 Modèle binomial L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 2 / 1

3 Modèle binomial Actif sûr X 0 (1 + r) X 0 L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 2 / 1

4 Modèle binomial Actif sûr Actif risqué X 0 (1 + r) p S u = S 0 u X 0 S 0 1 p S d = S 0 d L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 2 / 1

5 Modèle binomial Actif sûr Actif risqué X 0 (1 + r) p S u = S 0 u X 0 S 0 1 p S d = S 0 d Valeur du contrat : { V u si S 1 = S u V d si S 1 = S d. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 2 / 1

6 Call européen V u = (S 0 u K) + et V d = (S 0 d K) +. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 3 / 1

7 Call européen V u = (S 0 u K) + et V d = (S 0 d K) +. C est la valeur d une option d achat (call) sur l actif. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 3 / 1

8 Call européen V u = (S 0 u K) + et V d = (S 0 d K) +. C est la valeur d une option d achat (call) sur l actif. Une option d achat de prix d exercice K est le droit d acheter l actif sous-jacent au prix K à l instant T. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 3 / 1

9 Call européen V u = (S 0 u K) + et V d = (S 0 d K) +. C est la valeur d une option d achat (call) sur l actif. Une option d achat de prix d exercice K est le droit d acheter l actif sous-jacent au prix K à l instant T. Si le prix réel S 0 u est supérieur à K, le détenteur du call exerce son droit d achat et revend aussitôt. Il gagne donc S 0 u K. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 3 / 1

10 Call européen V u = (S 0 u K) + et V d = (S 0 d K) +. C est la valeur d une option d achat (call) sur l actif. Une option d achat de prix d exercice K est le droit d acheter l actif sous-jacent au prix K à l instant T. Si le prix réel S 0 u est supérieur à K, le détenteur du call exerce son droit d achat et revend aussitôt. Il gagne donc S 0 u K. Sinon, le détenteur du call ne fait rien et donc ne gagne, ni ne perd. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 3 / 1

11 Call européen V u = (S 0 u K) + et V d = (S 0 d K) +. C est la valeur d une option d achat (call) sur l actif. Une option d achat de prix d exercice K est le droit d acheter l actif sous-jacent au prix K à l instant T. Si le prix réel S 0 u est supérieur à K, le détenteur du call exerce son droit d achat et revend aussitôt. Il gagne donc S 0 u K. Sinon, le détenteur du call ne fait rien et donc ne gagne, ni ne perd. Call américain : on peut exercer ce droit n importe quand avant T. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 3 / 1

12 Call européen V u = (S 0 u K) + et V d = (S 0 d K) +. C est la valeur d une option d achat (call) sur l actif. Une option d achat de prix d exercice K est le droit d acheter l actif sous-jacent au prix K à l instant T. Si le prix réel S 0 u est supérieur à K, le détenteur du call exerce son droit d achat et revend aussitôt. Il gagne donc S 0 u K. Sinon, le détenteur du call ne fait rien et donc ne gagne, ni ne perd. Call américain : on peut exercer ce droit n importe quand avant T. Put : droit de vente. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 3 / 1

13 Question 3 paramètres L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 4 / 1

14 Question 3 paramètres S 0 prix initial L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 4 / 1

15 Question 3 paramètres S 0 prix initial K prix d exercice L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 4 / 1

16 Question 3 paramètres S 0 prix initial K prix d exercice T maturité L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 4 / 1

17 Question 3 paramètres S 0 prix initial K prix d exercice T maturité 2 questions L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 4 / 1

18 Question 3 paramètres S 0 prix initial K prix d exercice T maturité 2 questions Prix du contrat L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 4 / 1

19 Question 3 paramètres S 0 prix initial K prix d exercice T maturité 2 questions Prix du contrat Stratégie de couverture L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 4 / 1

20 Arbitrage Définition Il y a arbitrage lorsque L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 5 / 1

21 Arbitrage Définition Il y a arbitrage lorsque 1 On est certain de ne pas perdre d argent, L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 5 / 1

22 Arbitrage Définition Il y a arbitrage lorsque 1 On est certain de ne pas perdre d argent, 2 la probabilité de gagner de l argent est strictement positive. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 5 / 1

23 Opportunité d arbitrage Si la condition n est pas respectée, il y a opportunité d arbitrage. d 1 + r u (1) L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 6 / 1

24 Opportunité d arbitrage Si la condition n est pas respectée, il y a opportunité d arbitrage. d 1 + r u (1) 1 + r d u On emprunte S 0 au taux r et on investit tout dans l actif. Fortune finale X 1 X 1 S 0 d S 0 (1 + r) 0. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 6 / 1

25 Opportunité d arbitrage Si la condition n est pas respectée, il y a opportunité d arbitrage. d 1 + r u (1) 1 + r d u On emprunte S 0 au taux r et on investit tout dans l actif. Fortune finale X 1 X 1 S 0 d S 0 (1 + r) 0. d u 1 + r On vend à crédit l actif, ce qui rapporte S 0. On place le tout à r%. X 1 S 0 (1 + r) S 0 u 0. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 6 / 1

26 Non arbitrage et rentabilité Si absence d opportunité d arbitrage, alors il existe une unique probabilité P p telle que E p [S 1 ] = S 0 (1 + r). L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 7 / 1

27 Non arbitrage et rentabilité Si absence d opportunité d arbitrage, alors il existe une unique probabilité P p telle que E p [S 1 ] = S 0 (1 + r). E p [S 1 ] = ps 0 u + (1 p)s 0 d donc pu + (1 p)d = 1 + r p = 1 + r d u d (2) opportunite martingale L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 7 / 1

28 Risque neutre On veut vendre, à l instant 0, un contrat basé sur l actif S qui sera réalisé à l instant 1. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 8 / 1

29 Risque neutre On veut vendre, à l instant 0, un contrat basé sur l actif S qui sera réalisé à l instant 1. Il faut déterminer le prix de ce contrat L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 8 / 1

30 Risque neutre On veut vendre, à l instant 0, un contrat basé sur l actif S qui sera réalisé à l instant 1. Il faut déterminer le prix de ce contrat et le moyen de l honorer. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 8 / 1

31 Risque neutre On veut vendre, à l instant 0, un contrat basé sur l actif S qui sera réalisé à l instant 1. Il faut déterminer le prix de ce contrat et le moyen de l honorer. On peut L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 8 / 1

32 Risque neutre On veut vendre, à l instant 0, un contrat basé sur l actif S qui sera réalisé à l instant 1. Il faut déterminer le prix de ce contrat et le moyen de l honorer. On peut s endetter L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 8 / 1

33 Risque neutre On veut vendre, à l instant 0, un contrat basé sur l actif S qui sera réalisé à l instant 1. Il faut déterminer le prix de ce contrat et le moyen de l honorer. On peut s endetter investir à r %, L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 8 / 1

34 Risque neutre On veut vendre, à l instant 0, un contrat basé sur l actif S qui sera réalisé à l instant 1. Il faut déterminer le prix de ce contrat et le moyen de l honorer. On peut s endetter investir à r %, acheter ou vendre des parts fractionnaires de S. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 8 / 1

35 Risque neutre On veut vendre, à l instant 0, un contrat basé sur l actif S qui sera réalisé à l instant 1. Il faut déterminer le prix de ce contrat et le moyen de l honorer. On peut s endetter investir à r %, acheter ou vendre des parts fractionnaires de S. On doit L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 8 / 1

36 Risque neutre On veut vendre, à l instant 0, un contrat basé sur l actif S qui sera réalisé à l instant 1. Il faut déterminer le prix de ce contrat et le moyen de l honorer. On peut s endetter investir à r %, acheter ou vendre des parts fractionnaires de S. On doit ne pas courir de risque, L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 8 / 1

37 Risque neutre On veut vendre, à l instant 0, un contrat basé sur l actif S qui sera réalisé à l instant 1. Il faut déterminer le prix de ce contrat et le moyen de l honorer. On peut s endetter investir à r %, acheter ou vendre des parts fractionnaires de S. On doit ne pas courir de risque, ne pas en faire courir à l acheteur. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 8 / 1

38 Principe X 0 : prix de vente du contrat L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 9 / 1

39 Principe X 0 : prix de vente du contrat α 0 : nombre de parts de l actif S achetées à l instant 0. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 9 / 1

40 Principe X 0 : prix de vente du contrat α 0 : nombre de parts de l actif S achetées à l instant 0. Fortune finale X 1 = α 0 S 1 + (1 + r)(x 0 α 0 S 0 ). On veut que X 1 = V 1. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 9 / 1

41 Calculs S 1 = S 0 u V u = α 0 S 0 u + (1 + r)(x 0 α 0 S 0 ). L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 10 / 1

42 Calculs S 1 = S 0 u S 1 = S 0 d V u = α 0 S 0 u + (1 + r)(x 0 α 0 S 0 ). V d = α 0 S 0 d + (1 + r)(x 0 α 0 S 0 ). L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 10 / 1

43 Calculs S 1 = S 0 u S 1 = S 0 d V u = α 0 S 0 u + (1 + r)(x 0 α 0 S 0 ). V d = α 0 S 0 d + (1 + r)(x 0 α 0 S 0 ). { S0 (u 1 r)α 0 + (1 + r)x 0 = V u S 0 (d 1 r)α 0 + (1 + r)x 0 = V d L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 10 / 1

44 { S0 (u 1 r)α 0 + (1 + r)x 0 = V u S 0 (d 1 r)α 0 + (1 + r)x 0 = V d L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 11 / 1

45 { S0 (u 1 r)α 0 + (1 + r)x 0 = V u S 0 (d 1 r)α 0 + (1 + r)x 0 = V d α 0 = V u V d S 0 (u d) X 0 = 1 ( V u u 1 r 1 + r = r ( 1 + r d u d ) u d (V u V d ) V u + u 1 r u d V d ). L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 11 / 1

46 Transformations α 0 = V u V d S 0 (u d) = V u V d S u S d risque neutre L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 12 / 1

47 Transformations α 0 = V u V d S 0 (u d) = V u V d S u S d X 0 = 1 ( 1 + r d V u + u 1 r ) V d 1 + r u d u d = r E p [V 1 ]. risque neutre L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 12 / 1

48 Théorème L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 13 / 1

49 Théorème L absence d opportunité d arbitrage est équivalente à la propriété L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 13 / 1

50 Théorème L absence d opportunité d arbitrage est équivalente à la propriété Il existe une probabilité P telle que pour pour tout contrat, sa valeur sans risque soit donnée par X 0 = r E p [V 1 ], L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 13 / 1

51 Commentaires Le prix et la stratégie de couverture ne dépendent pas de la probabilité a priori. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 14 / 1

52 Commentaires Le prix et la stratégie de couverture ne dépendent pas de la probabilité a priori. Seuls deux paramètres comptent : u et d. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 14 / 1

53 Commentaires Le prix et la stratégie de couverture ne dépendent pas de la probabilité a priori. Seuls deux paramètres comptent : u et d. Risque uniquement lié au modèle. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 14 / 1

54 Commentaires Le prix et la stratégie de couverture ne dépendent pas de la probabilité a priori. Seuls deux paramètres comptent : u et d. Risque uniquement lié au modèle. Comment estimer u et d? L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 14 / 1

55 Commentaires Le prix et la stratégie de couverture ne dépendent pas de la probabilité a priori. Seuls deux paramètres comptent : u et d. Risque uniquement lié au modèle. Comment estimer u et d? On ne peut pas envisager un modèle où l actif peut prendre plus de 2 valeurs. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 14 / 1

56 Modèle à 3 périodes Modèle à plusieurs périodes S 0 = 4, r = 0, 4 L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 15 / 1

57 Modèle à plusieurs périodes Modèle à 3 périodes S 0 = 4, r = 0, 4 u = 2, d = 1/2 donc p = 1/2. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 15 / 1

58 Modèle à plusieurs périodes Modèle à 3 périodes S 0 = 4, r = 0, 4 u = 2, d = 1/2 donc p = 1/2. Taux d intérêt nul. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 15 / 1

59 Modèle à plusieurs périodes Modèle à 3 périodes S 0 = 4, r = 0, 4 u = 2, d = 1/2 donc p = 1/2. Taux d intérêt nul. Contrat = call européen maturité 3, prix d exercice 6. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 15 / 1

60 Modèle à plusieurs périodes S 0 = 4 S 1 = 8 S 1 = 2 S 2 = 16 S 2 = 4 S 2 = 1 S 3 = 32 S 3 = 8 S 3 = 2 S 3 = 0,5 Figure: Evolution à 3 pas L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 16 / 1

61 Modèle à plusieurs périodes S 0 = 4 S 1 = 8 S 1 = 2 S 2 = 16 S 2 = 4 S 2 = 1 X 3 = 26 X 3 = 2 X 3 = 0 X 3 = 0 Figure: Evolution à 3 pas L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 16 / 1

62 Modèle à plusieurs périodes S 0 = 4 S 1 = 8 S 1 = 2 X 2 = 14 X 2 = 1 X 2 = 0 X 3 = 26 X 3 = 2 X 3 = 0 X 3 = 0 Figure: Evolution à 3 pas L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 16 / 1

63 Modèle à plusieurs périodes S 0 = 4 X 1 = 7,5 X 1 = 0,5 X 2 = 14 X 2 = 1 X 2 = 0 X 3 = 26 X 3 = 2 X 3 = 0 X 3 = 0 Figure: Evolution à 3 pas L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 16 / 1

64 Modèle à plusieurs périodes X 0 = 4 X 1 = 7,5 X 1 = 0,5 X 2 = 14 X 2 = 1 X 2 = 0 X 3 = 26 X 3 = 2 X 3 = 0 X 3 = 0 Figure: Evolution à 3 pas L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 16 / 1

65 Modèle à plusieurs périodes X 0 = 4/(1,25) 3 = 2, 05 X 1 = 7,5 X 1 = 0,5 X 2 = 14 X 2 = 1 X 2 = 0 X 3 = 26 X 3 = 2 X 3 = 0 X 3 = 0 Figure: Evolution à 3 pas L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 16 / 1

66 Formules Modèle à plusieurs périodes Prix Prix = 1 (1 + r) N E p [V N ]. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 17 / 1

67 Formules Modèle à plusieurs périodes Prix Prix = 1 (1 + r) N E p [V N ]. Stratégie de couverture α k = E 1/2 [D k V N F k ] D k S k L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 17 / 1

68 Méthode Modèle à plusieurs périodes Ecrire le système linéaire : trop dur! L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 18 / 1

69 Modèle à plusieurs périodes Méthode Ecrire le système linéaire : trop dur! Être malin! L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 18 / 1

70 Modèle à plusieurs périodes Méthode Ecrire le système linéaire : trop dur! Être malin! On suppose r = 0 (juste pour simplifier la présentation) L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 18 / 1

71 Modèle à plusieurs périodes Objectif Il suffit de trouver γ 0,, γ N tels que N 1 V N = X 0 + γ j (S j+1 S j ). j=0 L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 19 / 1

72 Modèle à plusieurs périodes Objectif Il suffit de trouver γ 0,, γ N tels que N 1 V N = E 1/2 [V N ] + γ j (S j+1 S j ). j=0 L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 19 / 1

73 Modèle à plusieurs périodes Espace d état = pile/face à N coups ω = (±1, ±1,, ±1) L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 20 / 1

74 Modèle à plusieurs périodes Espace d état = pile/face à N coups ω = (±1, ±1,, ±1) U k (ω) = ω k L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 20 / 1

75 Modèle à plusieurs périodes Espace d état = pile/face à N coups ω = (±1, ±1,, ±1) U k (ω) = ω k P(U k = 1) = P(U k = 1) = 1 2 L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 20 / 1

76 Modèle à plusieurs périodes Espace d état = pile/face à N coups ω = (±1, ±1,, ±1) U k (ω) = ω k P(U k = 1) = P(U k = 1) = 1 2 Espérance E 1/2 [F (U 1,, U N )] = i 1 =±1... i N =±1 F (i 1,, i N )2 N L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 20 / 1

77 Modèle à plusieurs périodes Espace d état = pile/face à N coups ω = (±1, ±1,, ±1) U k (ω) = ω k P(U k = 1) = P(U k = 1) = 1 2 Espérance E 1/2 [F (U 1,, U N )] = Exemple : i 1 =±1... i N =±1 F (i 1,, i N )2 N E 1/2 [1 + pu i ] = 1 2 (1 + p) + 1 (1 p) = 1 2 L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 20 / 1

78 Modèle à plusieurs périodes Espace d état = pile/face à N coups ω = (±1, ±1,, ±1) U k (ω) = ω k P(U k = 1) = P(U k = 1) = 1 2 Espérance E 1/2 [F (U 1,, U N )] = Exemple : Conséquence : i 1 =±1... i N =±1 F (i 1,, i N )2 N E 1/2 [1 + pu i ] = 1 2 (1 + p) + 1 (1 p) = 1 2 E 1/2 [(1 + p 1 U 1 )(1 + p 2 U 2 )...] = 1 L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 20 / 1

79 Prix Modèle à plusieurs périodes Si U j = 1 alors S j+1 = S j u L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 21 / 1

80 Prix Modèle à plusieurs périodes Si U j = 1 alors S j+1 = S j u par conséquent ( ) u + d k k S k = (1 + u d 2 u + d U j) j=1 L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 21 / 1

81 Prix Modèle à plusieurs périodes Si U j = 1 alors S j+1 = S j u par conséquent ( ) u + d k k S k = (1 + u d 2 u + d U j) j=1 ce qui s écrit ln S k = ln( k ud) k + ln( u d ) U j j=1 L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 21 / 1

82 Modèle à plusieurs périodes Espérance conditionnelle On suppose connue la branche de l arbre jusqu au rang k, L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 22 / 1

83 Modèle à plusieurs périodes Espérance conditionnelle On suppose connue la branche de l arbre jusqu au rang k, On calcule la valeur moyenne du futur à partir de cet instant L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 22 / 1

84 Modèle à plusieurs périodes Espérance conditionnelle On suppose connue la branche de l arbre jusqu au rang k, On calcule la valeur moyenne du futur à partir de cet instant On a E 1/2 [F (U 1,, U N ) U 1 = i 1,, U k = i k ] =... F (i 1,, i k, i k+1, i N )2 (N k) i k+1 =±1 i N =±1 L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 22 / 1

85 Modèle à plusieurs périodes Exemple E 1/2 [(1 + p 1 U 1 )(1 + p 2 U 2 )... (1 + p N U N ) U 1 = u 1,, U k = u k ] k = (1 + p l u l ) (3) l=1 L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 23 / 1

86 Modèle à plusieurs périodes Opérateur de différence D k F (U 1,, U N ) = 1 2 (F (U+ k ) F (U k )) où U k + = (U 1,, U k 1, 1, U k+1, ) Uk = (U 1,, U k 1, 1, U k+1, ) L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 24 / 1

87 Modèle à plusieurs périodes Opérateur de différence D k F (U 1,, U N ) = 1 2 (F (U+ k ) F (U k )) où U k + = (U 1,, U k 1, 1, U k+1, ) Uk = (U 1,, U k 1, 1, U k+1, ) Exemple D k (1 + p k U k ) = 1 2 (1 + p k (1 p k )) = p k L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 24 / 1

88 Modèle à plusieurs périodes Formule de Clark-Ocone Théorème N F = E 1/2 [F ] + β k U k. k=1 ] β k = E 1/2 [D k F U 1,, U k L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 25 / 1

89 Preuve Modèle à plusieurs périodes Z N = N (1 + p k U k ) = 1 + k=1 N Z k 1 p k U k k=1 Z N D k Z N = p k 1 + p k U k = p k (1 + p 1 U 1 )... (1 + p k 1 U k 1 )(1 + p k+1 U k+1 )... (1 + p N U N ) donc E 1/2 [D k Z N U 1,, U k ] = p k (1 + p 1 U 1 )... (1 + p k 1 U k 1 ) = p k Z k 1 N Z N = E 1/2 [Z N ] + E 1/2 [D k Z N F k 1 ] U k. k=1 L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 26 / 1

90 Conséquence Modèle à plusieurs périodes Application à S j S j+1 S j = D j S j U j L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 27 / 1

91 Modèle à plusieurs périodes Conséquence Application à S j S j+1 S j = D j S j U j Application à V N N V N = X 0 + E 1/2 [D j V N F j ] U j j=1 N 1 E 1/2 [D j V N F j ] = X 0 + (S j+1 S j ) D j=0 j S j L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 27 / 1

92 Non arbitrage Non arbitrage Condition de non arbitrage Si alors N 1 i=1 H i (S 0,, S i 1 ) (S i+1 S i ) 0 H i (S 0,, S i 1 ) = 0, pour tout i. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 28 / 1

93 Non arbitrage Non arbitrage Condition de non arbitrage Si alors N 1 i=1 H i (S 0,, S i 1 ) (S i+1 S i ) 0 H i (S 0,, S i 1 ) = 0, pour tout i. Théorème La CNA est vérifiée ssi il existe une unique probabilité risque-neutre. L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 28 / 1

94 N = 1 Non arbitrage Probabilité risque-neutre : p tel que ps 0 u + (1 p)s 0 d = S 0 (1 + r) L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 29 / 1

95 N = 1 Non arbitrage Probabilité risque-neutre : p tel que ps 0 u + (1 p)s 0 d = ps 0 (1 + r) + (1 p)s 0 (1 + r) L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 29 / 1

96 N = 1 Non arbitrage Probabilité risque-neutre : p tel que ps 0 u + (1 p)s 0 d = ps 0 (1 + r) + (1 p)s 0 (1 + r) Cela équivaut à S 0 [p(u 1 r) + (1 p)(d 1 r)] = 0 L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 29 / 1

97 N = 1 Non arbitrage Probabilité risque-neutre : p tel que ps 0 u + (1 p)s 0 d = ps 0 (1 + r) + (1 p)s 0 (1 + r) Cela équivaut à p(u 1 r) + (1 p)(d 1 r) = 0 L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 29 / 1

98 N = 1 Non arbitrage Probabilité risque-neutre : p tel que Cela équivaut à ps 0 u + (1 p)s 0 d = ps 0 (1 + r) + (1 p)s 0 (1 + r) p(u 1 r) + (1 p)(d 1 r) = 0 Ou ( ) ( ) p u 1 r. = 0 1 p d 1 r L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 29 / 1

99 Non arbitrage Interprétation géométrique u 1 r d 1 r L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 30 / 1

100 Non arbitrage Interprétation géométrique u 1 r d 1 r L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 30 / 1

101 Non arbitrage Interprétation géométrique u 1 r Interdit par la CNA d 1 r L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 30 / 1

102 Non arbitrage Interprétation géométrique u 1 r Interdit par la CNA d 1 r L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 30 / 1

103 Non arbitrage Interprétation géométrique u 1 r Interdit par la CNA d 1 r L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 30 / 1

104 Non arbitrage Interprétation géométrique u 1 r Interdit par la CNA d 1 r L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 30 / 1

105 Non arbitrage Interprétation géométrique u 1 r Interdit par la CNA d 1 r play L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 30 / 1

106 Non arbitrage Interprétation géométrique u 1 r Interdit par la CNA d 1 r play L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 30 / 1

107 Non arbitrage L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 31 / 1

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