B) Si l écriture d un nombre entier se termine par 2, alors l écriture du carré de ce nombre se termine par 4. Cours

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1 Séance 3 : arithmétique 1 Questionnaire Les réponses doivent être justifiées. 1. Un nombre entier est divisible par 5 si et seulement si le chiffre des unités est Si un nombre entier est divisible par 9 alors il est divisible par Si un nombre entier est divisible par 3 alors il est divisible par Le nombre est égal à... A) B) C)18,43 5. Si un entier est multiple de 2 et de 6, il est aussi multiple de Si un entier est divisible par 45 alors il est divisible par 5 et aussi par Si un nombre entier a est à la fois multiple d un nombre entier b et d un nombre entier c alors ce nombre est multiple de bc. 8. Dans le nombre 343,245 indiquer le chiffre des centaines. 9. La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de La somme de deux nombres impairs est un nombre pair. 11. Calculer de tête Si un nombre entier a divise un nombre entier b et un nombre entier c alors le carré de ce nombre divise le produit bc. 13. Si l écriture d un nombre entier se termine par 2, alors l écriture du carré de ce nombre se termine par 4. Cours Quelques notions importantes : Critère de divisibilité. Notion de diviseur et de multiple. Nombres premiers ; PGCD et PPCM. Division euclidienne. Activité PGCD et PPCM Compléter le tableau suivant (s il y a plusieurs solutions, les indiquer toutes) : A B PGCD (A ;B) PPCM(A ;B)

2 Séance 3 : arithmétique 2 Exercices Exercice 1 Un rectangle a pour longueur 50 cm et pour largeur 8 cm. Calculer les valeurs exactes des mesures de son aire et de son périmètre. Exercice 2 Est-ce une division Euclidienne Quelles sont, parmi ces écritures, celles qui traduisent une division euclidienne? Dans l affirmative indiquez : dividende, diviseur, quotient et reste = = = Exercice 3 Factorielle Le nombre factorielle vingt, se note 20!. Il correspond au produit de tous les entiers jusqu à 20. Ainsi, 20! = Une calculatrice ordinaire ne peut pas afficher ce nombre, mais un logiciel de mathématique comme Maxima nous donne le nombre Pouvait-on prévoir que ce nombre aurait 4 zéros à la fin? 2. Combien de zéros pourrait-on observer à la fin de 30!? 3. Trouver la plus petite valeur de n pour que l écriture de n! termine au moins par 40 zéros. Exercice 4 Trouver tous les entiers positifs a et b vérifiant 9a 2 = b Exercice 5 Le jeu des diviseurs Voici la fiche de présentation d un jeu. Jeu des diviseurs Matériel : Des grilles à colorier comme ci-après. Un crayon rouge ; un crayon bleu. Nombre de joueurs : 2 Règles du jeu : Le jeu se joue avec une grille pour deux joueurs. Chacun utilise l un des crayons de couleur. Le joueur avec le crayon bleu commence et doit colorier la case de son choix. C est au tour du jour avec le crayon rouge : il doit colorier une case contenant un nombre qui est un diviseur ou un multiple du nombre qui vient d être colorié. Le joueur avec le crayon bleu doit lui aussi colorier une case en respectant la même règle. Et ainsi de suite. Le perdant est celui qui ne peut plus colorier de case. Grille à colorier Combien y a-t-il de nombres pairs dans la grille du jeu? Combien de multiples de 3? 2. Combien y a-t-il de nombres multiples de 6 et 4 dans la grille du jeu? 3. Pierre annonce "En commençant par 83, je suis sûr de gagner en coloriant seulement 2 cases". (a) Pierre a-t-il raison? Justifier. (b) Dresser la liste des nombres qui permettent d appliquer la stratégie de Pierre.

3 Séance 3 : arithmétique 3 Exercice 6 CRPE 2007 groupe 4 Un nombre entier naturel N est dit parfait s il est égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même. Par exemple, 28 est un nombre parfait. En effet les diviseurs de 28 sont 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28 et = Montrer que 6 et 496 sont des nombres parfaits est-il un nombre parfait? Justifier votre réponse. 3. On admet qu un nombre entier pair N est parfait si et seulement si il est de la forme : N = 2 n (2 n+1 1), n étant un entier supérieur ou égal à 1 tel que 2 n+1 1 soit un nombre premier. (a) Appliquer la formule pour n compris entre 1 et 3. Quels résultats retrouve-t-on? (b) On donne ci-dessous la liste des nombres premiers compris entre 100 et 150. En utilisant la propriété ci-dessus, déterminer le plus petit nombre parfait pair supérieur au nombre 496. Nombres premiers compris entre 100 et 150 : 101 ; 103 ; 107 ; 109 ; 113 ; 127 ; 131 ; 137 ; 139 ; 149. Exercice 7 CRPE 2007, groupe 3 Toutes les réponses seront justifiées. 1. Donner les restes des divisions par 6 et par 3 de chacune des trois sommes suivantes : 2. Plus généralement : (a) Donner le reste de la division par 6 de la somme de trois nombres impairs consécutifs. (b) Donner le reste de la division par 3 de la somme de trois nombres impairs consécutifs. 3. Trouver trois nombres impairs consécutifs dont la somme est On cherche un nombre p tel que la somme de p nombres entiers impairs consécutifs soit toujours un multiple de 5. Déterminer la plus petite valeur possible de p. Exercice 8 CRPE 2008 groupe 2 1. Voici un problème donné à des élèves du cycle des approfondissements : Dans la cour des maternelles, il y a des bicyclettes et des tricycles. J ai remarqué : qu il y a au moins trois bicyclettes et trois tricycles ; qu il n y a pas plus de dix bicyclettes, ni plus de dix tricycles ; qu il y a en tout 31 roues. Avec ces renseignements, combien peut-il y avoir de bicyclettes et de tricycles? Démontrer qu il existe exactement deux réponses possibles à ce problème. 2. Une boîte de chocolats contient moins de 100 chocolats. En répartissant les chocolats en tas de deux, ou en tas de trois, ou en tas de quatre, il en reste un à chaque fois, mais en les répartissant en tas de cinq, il n en reste pas. Combien peut-il y avoir de chocolats dans la boîte? Justifier en explicitant la démarche utilisée. Exercice 9 CRPE 2008, groupe 1 1. Dans cette question, aucune division n est à poser. Les réponses doivent être justifiées. (a) Sachant que = , donner le quotient et le reste de la division euclidienne de par 17. (b) Sachant que = , donner le quotient et le reste de la division euclidienne de par 17. (c) En déduire le quotient et le reste de la division euclidienne de la somme de et par 17. Puis, déduire le quotient et le reste de la division euclidienne du double de par Dans la division euclidienne d un nombre a par 17, on note q le quotient et r le reste. Dans la division euclidienne d un nombre a par 17, on note q le quotient et r le reste. Déterminer, en justifiant votre réponse, le quotient et le reste : (a) dans la division euclidienne de a + a par 17. (b) dans la division euclidienne de 2a par 17. Exercice 10 CRPE 2007, groupe 6 1. La lettre x désigne un nombre. Dire, en justifiant, si les énoncés suivants sont vrais ou faux :

4 Séance 3 : arithmétique 4 énoncé 1 : «Si 2x est un nombre entier naturel, alors x est un nombre entier naturel.» énoncé 2 : «Si x 2 est un nombre entier naturel, alors x est un nombre entier naturel.» énoncé 3 : «Si x + 1 est un nombre entier naturel, alors x est un nombre entier naturel.» 2. Etant donnés trois nombres, en les additionnant deux à deux, on obtient trois sommes. Si les sommes obtenues sont 78, 59 et 43, retrouver les trois nombres choisis. Exercice 11 CRPE 2009, groupe 3 1. On décompte de 4 en 4 à partir de 61 tant qu on obtient un entier naturel : «61, 57, 53,...». Quel nombre termine cette liste? 2. On décompte maintenant de 4 en 4 tant qu on obtient un entier naturel, mais à partir de 9843 : (a) Quel nombre termine cette nouvelle liste? Justifier la réponse. (b) Combien comporte-t-elle de termes? (c) Quel est le 100 ième terme? 3. En utilisant uniquement l information = ( ) , (a) donner le quotient et le reste de la division euclidienne de par (b) donner le quotient et le reste de la division euclidienne de par On sait que = ( ) = ( ) = (1996 5) + 20 Utiliser ces relations pour déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de par 1996.

5 Séance 3 : arithmétique 5 Corrigés Corrigé de l exercice 1 Calcul de l aire : 50 8 = 8 50 = 400 = 20 cm 2 Calcul du périmètre : 2 ( ) = 2 ( ) = 2 ( ) = = 14 2 cm Corrigé de l exercice = traduit la division euclidienne de dividende 94 et de diviseur 12. Le reste est 10 et le quotient = traduit deux divisions euclidiennes. Pour la première, le dividende est 60, le diviseur 7, le reste est 4 et le quotient 8. Pour la seconde, le dividende est 60, le diviseur 8, le reste est 4 et le quotient = ne traduit aucune division euclidienne puisque 13 n est strictement inférieur ni à 6 ni à 10! Corrigé de l exercice 3 1. Tout nombre entier peut se décomposer en produit de facteurs premiers. Comme 10 = 2 5, le nombre de zéros dans l écriture d un nombre entier correspond au minimum entre le nombre de facteurs 5 et le nombre de facteurs 2 dans sa décomposition en facteurs premiers. Pour notre cas particulier il suffit donc de compter le nombre de facteurs 5 dans la décomposition de 20! et de vérifier qu il y "assez de facteurs 2". Les nombres inférieurs à 20 et multiples de 5 sont : 5, 10, 15 et 20. Ce qui fait donc 4 facteurs 5. Le nombre de facteurs 2 est au moins égal à 4 puisque 2 8 = 2 4. On pouvait donc prévoir sans faire le calcul que l écriture de 20! termine par exactement 4 zéros. 2. On applique la même méthode. Les multiples de 5 que l on ajoute sont 25 et 30. Ce qui fait 3 nouveaux zéros (attention 25 compte double puisqu il est égal à 5 5). Il y aura donc exactement 7 zéros à la fin de l écriture de 30!. 3. On applique toujours la même méthode et on remarque : chaque multiple de 5 inférieur à n rajoute un zéro ; chaque multiple de 25 inférieur à n rajoute deux zéros (dont un compté précédemment) ; chaque multiple de 125 inférieur à n rajoute trois zéros (dont deux comptés précédemment). On fait des essais successifs que l on place dans un tableau : n multiples de 5 inférieurs à n multiples de 25 inférieurs à n multiples de 125 inférieurs à n nombre de zéros de n! L écriture de n! termine par 40 zéros pour les valeurs de n supérieures ou égales à 165. Corrigé de l exercice 4 On transforme la relation 9a 2 = b de la façon suivante : 9a 2 = b a 2 b 2 = 20 (3a + b)(3a b) = 20 Comme a et b sont positifs, 3a + b l est aussi. Le produit de 3a + b et 3a b est positif (il vaut 20) donc comme 3a + b est positif, alors 3a b est également positif. On pose X = 3a + b et Y = 3a b. X et Y sont deux nombres positifs tels que leur produit vaut 20. a et b étant positifs, on déduit que X > Y. Les couples (X; Y ) répondant à ces critères sont donc : (20; 1), (10; 2), (5; 4). Pour chacun des couples précédents, on va chercher des valeurs de a et b possibles. On remarque tout d abord que X + Y = 3a + b + 3a b = 6a. Donc X + Y doit être divisible par 6. Seul le couple (10; 2) vérifie cette condition.

6 Séance 3 : arithmétique 6 On résout le système suivant : { 3a + b = 10 3a b = 2 { 3a + b = 10 6a = 12 { 3a + b = 10 a = 2 { b = 4 a = 2 Il n y a donc qu un seul couple (a; b) solution, le couple (2; 4). Corrigé de l exercice = et 100 = Il y a donc 50 nombres pairs et 33 multiples de 3 dans la grille du jeu. 2. Les nombres à la fois multiples de 6 et 4 sont les nombres multiples du PPCM de 6 et 4 qui est 12. Or 100 = , donc il y a 8 nombres dans la grille qui sont multiples de 6 et (a) 83 est un nombre premier. En effet, 9 < 83 < 10 et 83 n est pas divisible par 2, 3, 5, 7. Comme les multiples de 83 strictement supérieurs à 83 ne sont pas dans le tableau l autre joueur ne peut que choisir 1. Pierre peut alors choisir n importe quel nombre de la grille. S il chosit un autre nombre premier supérieur à 50, par exemple 53, son adversaire a perdu. (b) Il suffit d appliquer la méthode du crible d Eratosthène (expliqué dans l activité de la page??) pour dresser la liste des nombres premiers supérieurs à 50 de la grille : 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97 Corrigé de l exercice 6 Un nombre entier naturel N est dit parfait s il est égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même. Par exemple, 28 est un nombre parfait. En effet les diviseurs de 28 sont 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28 et = Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6. 6 = Donc 6 est un nombre parfait. Les diviseurs de 496 sont 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 et = 496. Donc 496 est parfait , 40 et 30 sont des diviseurs de 120. Leur somme vaut 130. La somme des diviseurs positifs de 120 différents de lui-même est donc supérieure ou égale à n est donc pas parfait. 3. (a) Pour n = 1 : 2 n+1 1 vaut 3 et on trouve N = 2 1 (2 2 1) = 6. Pour n = 2 : 2 n+1 1 vaut 7 et on trouve N = 2 2 (2 3 1) = 28. Pour n = 3 : 2 n+1 1 vaut 15 (qui n est pas premier) et on trouve N = 2 3 (2 4 1) = 120 (qui n est pas parfait). (b) On remarque tout d abord que quelque soit la valeur de n, 2 n < 2 n+1. On en déduit que les nombres N que l on trouve sont rangés dans le même ordre que le paramètre n qu on utilise. 496 = = 2 4 (2 5 1). 496 est donc obtenu pour n = 4. On cherche donc la valeur de n plus grande que 4 tel que 2 n+1 1 soit un nombre premier. On complète le tableau suivant : n n = est premier (d après la liste fournie). Le nombre cherché est donc N = = Corrigé de l exercice 7 1. On présente les résultats obtenus à l aide d une calculatrice dans un tableau : Somme Division par 6 Division par 3 Quotient Reste Quotient Reste

7 Séance 3 : arithmétique 7 2. (a) Le premier nombre impair peut s écrire 2k + 1 où k est un entier positif. Les deux nombres impairs suivants s écrivent donc 2k + 3 et 2k + 5. La somme, notée S, de ces trois entiers est donc : S = (2k + 1) + (2k + 3) + (2k + 5) = 6k + 9 = 6(k + 1) + 3 Il s agit de l égalité caractéristique de la division euclidienne de S par 6 puisque 3 est inférieur strictement à 6. Le reste de la division euclidienne par 6 de la somme de trois entiers impairs consécutifs est donc 3. (b) On reprend le calcul précédent et on obtient : S = 3 (2k + 3). Ce qui implique que S est multiple de 3. Donc le reste de la division euclidienne par 3 de la somme de trois entiers impairs consécutifs est donc nul. 3. On sait, d après les calculs précédents, que la somme de trois entiers impairs consécutifs dont le premier s écrit 2k + 1 est 3(2k + 3). Il suffit donc de résoudre l équation 3(2k + 3) = Les trois entiers sont donc 4007, 4009 et (2k + 3) = k + 3 = k = On note toujours 2k + 1 le premier des entiers et S p la somme des p entiers impairs à partir de 2k + 1. On cherche la plus petite valeur de p telle que S p est un multiple de 5 quelque soit la valeur de k. S 1 = 2k + 1 qui n est pas un multiple de 5 pour k = 0. S 2 = 2k k + 3 = 4k + 4 qui n est pas multiple de 5 pour k = 0. S 3 = 4k k + 5 = 6k + 9 qui n est pas multiple de 5 pour k = 0. S 4 = 6k k + 7 = 8k + 16 qui n est pas multiple de 5 pour k = 0. S 5 = 8k k + 9 = 10k + 25 = 5(2k + 5) qui est toujours un multiple de 5. Le nombre p cherché est donc 5. Corrigé de l exercice 8 1. On note a le nombre de bicyclettes et b le nombre de tricycles. On déduit immédiatement que b = 31 2a 3. On teste donc les 8 valeurs de a : a b = 31 2a Il y a donc deux solutions : 5 bicyclettes et 7 tricycles ; 8 bicyclettes et 5 tricycles. 2. Soit N le nombre de chocolats dans la boîte. N 1 est multiple de 2, 3 et 4. Donc, il est multiple de leur plus petit multiple commun qui est 12. Les multiples de 12 inférieurs à 100 sont 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96. N est multiple de 5, et N 1 multiple de 12. Les valeurs de N sont donc 25, 85 Il peut y avoir 25 ou 85 chocolats dans la boîte. Corrigé de l exercice 9 1. (a) Comme 10 est inférieur à 17, = est l égalité caractéristique de la division euclienne de par 17. On en déduit immédiatement que le quotient de cette division est et le reste 10. (b) Même méthode mais on corrige l égalité : Le reste est donc 6 et le quotient = = (c) On utilise les écritures précédentes : Le quotient de la division euclidienne de par 17 est et le reste 16 car : = ( ) + ( ) = Le quotient de la division euclidienne de par 17 est et le reste 3 car : = 2 ( ) = =

8 Séance 3 : arithmétique 8 2. (a) a+a = (q +q ) 17+r +r. Comme r et r sont strictement inférieurs à 17, on en déduit que r +r est strictement inférieur à 34. On doit donc dégager deux cas : r + r < 17 : dans ce cas l égalité précédente est l égalité caractéristique de la division euclidienne de r + r par 17. Le quotient est donc q + q et le reste r + r. 17 r + r < 34 : dans ce cas l égalité caractéristique est : Le quotient est donc q + q + 1 et le reste r + r 17. a + a = (q + q + 1) 17 + r + r 17. (b) On utilise la même méthode puisque 2r est également strictement inférieur à 34. 2r < 17 : l égalité caractéristique est 2a = 2q r. Le quotient est donc 2q et le reste 2r. 17 2r < 34 : dans ce cas l égalité caractéristique est : Le quotient est donc 2q + 1 et le reste 2r 17. 2a = (2q + 1) r 17. Corrigé de l exercice Enoncé 1 : FAUX. si 2x = 1 (qui est un entier naturel) alors x = 0,5 qui n est pas un entier. Enoncé 2 : VRAI. x 2 est la moitié de x. Un nombre est le double de sa moitié! Or, le double d un entier est un entier. Enoncé 3 : FAUX. Si x + 1 vaut 0 alors x vaut 1 qui n est pas un entier naturel. 2. Notons a, b et c ces trois nombres. Des conditions de l énoncé, on obtient le système d équation : a + b = 78 a + c = 59 b + c = 43 On déduit immédiatement : b = 78 a c = 59 a (78 a) + (59 a) = 43 Les trois nombres cherchés sont donc 12, 31 et 47. b = 78 a c = 59 a a = 47 b = 31 c = 12 a = 47 Corrigé de l exercice = ; donc on peut retirer 15 fois le terme 4 et on termine par écrire On décompte maintenant de 4 en 4 tant qu on obtient un entier naturel, mais à partir de 9843 : (a) 9843 = donc la liste se termine par 3. (b) Elle comportera 2461 termes. (c) Le 100 ième vaut 9843 (100 1) 4 c est-à-dire (a) Le quotient de la division euclidienne de par 4548 est 3547 et le reste 3651 (qui est bien inférieur au diviseur). (b) De l écriture = ( ) , on déduit que : = ( ) Le quotient de la division euclidienne de par 3547 est 4549 et le reste 104 (qui est bien inférieur au diviseur). 4. On décompose de la façon suivante : = = 8 ( ) + 6 ( )+ 4 ( ) = ( ) = Comme 1531 est strictement inférieur à 1996, on déduit que le quotient de la division euclidienne de par 1996 est 4328 et le reste 1531.