COMPRENDRE LA METHODE X11

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1 COMPRENDRE LA METHODE X Domnque LADIRAY, Benoî QUENNEVILLE Julle 999 Domnque Ladray es Admnsraeur de l Insu Naonal de la Sasque e des Éudes Économques, 8 Boulevard Adolphe Pnard, 754 Pars, France. Ce raval a éé réalsé pendan un séjour au Cenre de Recherche e d Analyse des Séres Temporelles, à Sasque Canada. Benoî Quennevlle es Méhodologse au Cenre de Recherche e d Analyse des Séres Temporelles, 3G- RHC-BSMD, Sasque Canada, Oawa, Onaro, Canada, KA T6. Tél : , Fax : , courrel : quenne@sacan.ca.

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3 RÉSUMÉ En maère de désasonnalsaon, la méhode sasque la plus ulsée es sans aucun doue celle mse en œuvre dans le logcel X. Développé dans les années 5-6 au US Bureau of Census, ce programme a fa l'obje de nombreuses modfcaons e améloraons, en parculer les logcels X-ARIMA (975, 988) e le ou nouveau X-ARIMA (don une premère verson de es a éé dffusée dès 998). S ces logcels ncorporen, à des degrés dvers, des méhodes d'analyse paramérque e en parculer les modèles ARIMA popularsés par Box & Jenkns, ls resen sur le fond rès proches de la méhode nale X e c'es à ce "noyau" que nous nous néressons dans la sue. Ce documen a pour ambon d explquer la méhode de désasonnalsaon mse en œuvre dans les logcels de la «famlle X». Après un bref hsorque de la désasonnalsaon, vous rouverez une présenaon générale de la méhode X e des moyennes mobles. Un exemple comple de désasonnalsaon sera ensue présené e vous pourrez suvre, dans le déal, l'ensemble des calculs fas. On se concenre c sur la pare X des logcels acuels c'es-à-dre sans référence à une modélsaon ARIMA a pror de la sére à désasonnalser. Les dfférences, en général mnmes, enre X-ARIMA88 e X-ARIMA sur le fonconnemen de ce "noyau cenral" seron précsées le cas échéan. SUMMARY When comes o seasonal adjusmen, he mos wdely used sascal mehod s whou a doub ha mplemened n he X sofware. Developed a he US Bureau of he Census n he 95s and 96s, hs compuer program has undergone numerous modfcaons and mprovemens, relang especally o he X-ARIMA sofware packages (975, 988) and he all-new X- ARIMA (a frs bea verson of whch s avalable snce 998). Whle hese sofware packages negrae, o varyng degrees, paramerc analyss mehods, and especally he ARIMA models popularzed by Box & Jenkns, hey reman n essence very close o he nal X mehod, and s hs core ha wll neres us here. Ths work presens he seasonal adjusmen mehodology mplemened n he X-based sofwares. Afer some hsorcal noes, you wll fnd a presenaon of he X mehodology and a complee descrpon of he movng-averages used n he programs. Readers wll also fnd a complee example of seasonal adjusmen, and wll have a dealed pcure of all he calculaons. Emphass wll be placed here on he X poron of he curren sofware,.e. whou reference o a pror ARIMA modellng of he seres o be seasonally adjused. The generally mnor dfferences beween X-ARIMA88 and X-ARIMA concernng he operaon of hs cenral core wll be specfed where applcable.

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5 TABLE DES MATIÈRES COMPRENDRE LA MÉTHODE X... RÉSUMÉ... TABLE DES MATIÈRES... Chapre BREF HISTORIQUE DE LA DÉSAISONNALISATION... Chapre LA PHILOSOPHIE DE LA MÉTHODE X...7. Composanes e schémas de composon Moyennes mobles Un algorhme smple de désasonnalsaon L algorhme de base de la méhode X Pons aberrans e effes de calendrer....6 Le prncpe éraf de X De X à X-ARIMA e X-ARIMA...4 Chapre 3 LES MOYENNES MOBILES Quelques défnons e un peu de héore Les moyennes mobles symérques ulsées dans X Les moyennes mobles asymérques de Musgrave Le flre moyenne moble X...35 Chapre 4 LES DIFFÉRENTS TABLEAUX PARTIE B : Esmaon prélmnare des pons aypques e des effes de calendrer PARTIE C : Esmaon fnale des pons aypques e des effes de calendrer PARTIE D : Esmaon fnale des dfférenes composanes PARTIE E : Composanes corrgées des pons les plus aypques PARTIE F : Mesures de qualé de la désasonnalsaon...49 Chapre 5 MODÉLISATION DE L EFFET DE PÂQUES La fêe de Pâques Les modèles ulsés dans X-ARIMA Les modèles de X-ARIMA...76 BIBLIOGRAPHIE...89

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7 En maère de désasonnalsaon, la méhode sasque la plus ulsée es sans aucun doue celle mse en œuvre dans le logcel X. Développé dans les années 5-6 au US Bureau of Census, ce programme a fa l'obje de nombreuses modfcaons e améloraons, en parculer les logcels X-ARIMA (975, 988) e le ou nouveau X-ARIMA (don une premère verson de es a éé dffusée dès 998). S ces logcels ncorporen, à des degrés dvers, des méhodes d'analyse paramérque e en parculer les modèles ARIMA popularsés par Box & Jenkns, ls resen sur le fond rès proches de la méhode nale X e c'es à ce "noyau" que nous nous néressons dans la sue. Les déraceurs de X on souven ms en avan le côé "boîe nore" de ce logcel. L'absence de modèle explce, la mulplcé des opons e des ableaux en sore son sans doue pour beaucoup dans cee apprécaon. X es pouran un logcel reposan sur un prncpe éraf smple e assez facle à explquer. Il es vra cependan qu'l éa dffcle, pour ne pas dre mpossble, à un ulsaeur même rès aver, de reconsrure e d'explquer chaque ableau en sore de X : des erreurs mneures de programmaon e des mprécsons dans la documenaon rendaen cee âche nsurmonable. Ces pees erreurs de programmaon on, pour la plupar, dsparu des nouvelles versons du logcel e nous avons décdé de fare ce raval jamas achevé jusqu'à présen : raer à fond un exemple de désasonnalsaon par la méhode X. Pour ce fare, nous avons programmé la méhode X en langage SAS e en Mahemaca, vérfan ans chaque éape de la désasonnalsaon e valdan pas à pas les résulas de X- ARIMA88 e X-ARIMA. Après quelques correcons d'erreurs repérées dans chacun des logcels, ous ces programmes convergen. Ce documen a pour ambon d explquer la méhode de désasonnalsaon mse en œuvre dans les logcels de la «famlle X». Après un bref hsorque de la désasonnalsaon, vous rouverez une présenaon générale de la méhode X. Le chapre suvan sera consacré à l éude des moyennes mobles. Un exemple comple de désasonnalsaon sera ensue présené e vous pourrez suvre, dans le déal, l'ensemble des calculs fas. Les modèles de régresson lnéares ulsés pour les effes de jours ouvrables e le procédé de déecon e de correcon des valeurs aypques son éudés dans l exemple. L esmaon de l effe de Pâques fera l obje d un chapre séparé dans la mesure où les modèles ulsés dans X-ARIMA88 e X-ARIMA son sensblemen dfférens. On se concenre c sur la pare X des logcels acuels c'es-à-dre sans référence à une modélsaon ARIMA a pror de la sére à désasonnalser. Les dfférences, en général mnmes, enre X-ARIMA88 e X-ARIMA sur le fonconnemen de ce "noyau cenral" seron précsées le cas échéan. Lorsque par la sue nous ferons référence à X, c es à la méhode de désasonnalsaon e non au logcel X que nous ferons alluson. v

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9 Chapre BREF HISTORIQUE DE LA DÉSAISONNALISATION 3 Il es aujourd hu usuel de décomposer une sére X observée, en pluseurs composanes ellesmêmes non observées, selon un modèle du genre : X = T + C + S + I, où T, C, S e I désgnen respecvemen la endance, le cycle, la sasonnalé e la pare rrégulère. Cee dée es ancenne e c es sans doue en asronome qu'l fau en rechercher l orgne. Au 7 ème sècle, les mesures plus précses faes sur les mouvemens des planèes semblèren nfrmer les los de Kepler, e l'dée qu'elles donnaen une approxmaon de la poson de la planèe pluô que sa poson exace fu peu à peu accepée (Nerlove, Greher, Carvalho, 979). La poson observée éa alors consdérée comme la somme de la poson "héorque" e d'une flucuaon rrégulère. Plus ard, on s'aperçu que les orbes des planèes se modfaen nsensblemen e la dsncon fu fae enre mouvemens séculares e pérodques. Le modèle à composanes nobservables éa né. L'explcaon de ces mouvemens pérodques ou rrégulers a passonné nombre de mahémacens en cee fn du 8 ème sècle e débu du 9 ème sècle, parm lesquels Euler, Lagrange e Laplace. Cee dée de décomposon d'une sére emporelle es apparue dès lors dans les ravaux des économses e cerans d'enre eux n'hésaen pas à reconnaîre qu'elle leur vena drecemen de l'asronome 4 ou de la mééorologe 5. Parallèlemen, le développemen des connassances mahémaques va donner aux chercheurs les moyens de dépasser la smple vsualsaon graphque dans l'analyse des séres emporelles. Parm les ravaux mporans en la maère, l fau cer évdemmen ceux de Jean-Bapse Fourer sur la décomposon d une sére en somme de foncons rgonomérques 6, ravaux qu donneron nassance à l'analyse harmonque e, plus ard, lorsque la noon de processus sochasque sera défne, à l'analyse specrale. Car, à cee époque, en économe comme dans les aures scences, l'heure es au déermnsme e à la recherche de los exaces explquan ous les phénomènes physques, économques, démographques, bologques ec. L'obje de nombreuses éudes es alors la mse en évdence de "cycles" don l'éude e l'analyse pourraen permere d'explquer e de prévor les crses économques (Armae, 99). Dans ces condons, les composanes pérodques de cour erme son de peu d'nérê e l conven de les élmner : "Every knd of perodc flucuaons, wheher daly, weekly, quarerly, or yearly, mus be deeced and exhbed no only as a subjec of sudy n self, bu because we mus asceran and elmnae such perodc varaons before we can correcly exhb hose whch are rregular or nonperodc and probably of more neres and mporance." (Jevons, 86) 3 Cee pare s nspre beaucoup de : Armae (99), Bell & Hllmer (984), Hylleberg (99), Nerlove, Greher & Carvalho, (979) 4 Nerlove, Greher, Carvalho (979) cen pluseurs exemples don ceux de Courno (838) e Jevons (884). En 8, l'asronome brannque Wllam Herschel puble un raval mean en relaon les pérodcés observées enre les aches solares e celles du prx du blé. 5 Dffcle de ne pas cer les ravaux du mééorologue Buys-Ballo qu, en 847, éuda les varaons pérodques de empéraure en modélsan la "endance" par un polynôme, la sasonnalé par des ndcarces e fasa mplcemen appel à des echnques de régresson lnéare pour esmer les paramères. 6 Théore analyque de la chaleur, publé en 87.

10 Les fn du 9 ème e débu du ème sècles abonden de publcaons sur la décomposon de séres économques, de echnques d'esmaon des composanes, d'élémens de défnon des composanes 7. Mas c'es sans doue à W.M. Persons, en 99, que reven le mére de proposer dans un même raval une méhode "complèe" de décomposon ncluan une enave de "défnon" e de formalsaon des composanes nobservables, un modèle de composon e une méhode d'esmaon. Pour ce sascen, une sére emporelle se décompose en quare ypes de flucuaons aujourd'hu famlères :. A long-me endency or secular rend ; n many seres such as bank clearngs or producon commodes, hs may be ermed he growh elemen ;. A wavelke or cyclcal movemen supermposed upon he secular rend ; hese curves appear o reach her cress durng he perods of ndusral prospery and her roughs durng perods of ndusral depresson, her rse and fall consung he busness cycle ; 3. A seasonal movemen whn he year wh a characersc shape for each seres ; 4. Resdual varaon due o developmens whch affec ndvdual seres, or o momenous occurrences such as wars or naonal caasrophes, whch affec a number of seres smulaneously. Ces composanes son ensue combnées selon les schémas de composon, addf ou mulplcaf, ben connus : Schéma addf : Schéma mulplcaf : ou encore : X = T + C + S + I X = T * C * S * I * ( + C ) * ( + S ) * ( I X = T + ) La plupar des publcaons de l'époque accepen ces modèles e "défnons" sans beaucoup de dscusson, l'accen éan pluô ms sur les echnques propremen des d'ajusemen sasonner ou d'exracon de cycle. De même, d'aures conceps furen éudés e accepés : l dée que la sasonnalé vare dans le emps ; la nécessé de prendre en compe smulanémen oues les composanes lorsqu on esme la pare sasonnère ; l mpossblé de décrre les endances e les cycles par des formules mahémaques smples e explces ; la nécessé de raer les pons aberrans..., oues ces dées donnan nassance à des méhodes d'esmaon dfférenes (Menderhausen, 937). Les ravaux de l époque éaen cependan essenellemen nsprés par deux grandes méhodes, don on donnera une brève descrpon pour le cas d'un modèle mulplcaf (Armae, 99). Dans les années 9, c'es la méhode des "lnk relaves", mse au pon par Persons, qu a la faveur des économses sascens. Son prncpe consse à calculer pour chaque valeur mensuelle de la sére le rappor x x de cee valeur à celle du mos précéden, à fare une able de fréquence des valeurs de ces rappors pour les mos, pus à déermner les médanes de ces douze séres. Ces médanes son ensue chaînées par mulplcaon en prenan une base pour janver : S, S = M S. Ces coeffcens sasonners éan = fnalemen corrgés par un faceur ( ) / S pour que S = S. 3 S 3 = 7 Par exemple, en 95, Lucen March dsngue "des changemens annuels, des changemens polyannuels (décennaux par exemple), des changemens séculares, sans parler des pérodes plus coures qu'une année" (cé par Yule(9) e Bell, Hllmer (984)). On peu auss cer les ravaux précurseurs des sœurs Maballée (96) cherchan à soler les pons de reournemen d une sére à l ade du corrélogramme.

11 La seconde façon de déermner la endance es la méhode de la moyenne moble, méhode applquée dès 9 par la Federal Reserve Board 8 e popularsée plus ard par Macaulay (93). Elle s appue sur le calcul d une moyenne moble cenrée d ordre pour obenr une esmaon de la endance. Le rappor enre les données orgnales e cee esmaon fourn une premère esmaon de la composane sasonnère. Pour en élmner l rréguler, on calcule ensue les médanes (ou moyennes) de la composane pour chaque mos. Pus on ajuse ces nouveaux ndces pour que leur somme fasse e obenr ans les ndces sasonners défnfs. Ben que rès populares, ces méhodes on fa l'obje de nombreuses crques sur le plan héorque. Ans, Slusky (97) e Yule (97) monrèren que l'ulsaon de moyennes mobles pouva nrodure des cycles arfcels dans les données, Fsher (937) déplora que l on applque des méhodes "emprques" ad hoc alors qu l exsa des ouls mahémaques adéquas. L'événemen le plus mporan de cee pérode es sans aucun doue l'apparon des modèles auorégressfs (Yule, 97) e moyennes mobles (Slusky, 97) pour l'analyse des séres emporelles, so en d'aures ermes, le moyen pour les économses sascens de sorr du cadre déermnse radonnel en ulsan les premers processus sochasques. Mas l faudra aendre de nombreuses années pour que ces méhodes connassen un ceran succès en désasonnalsaon. Dans les années 3, les méhodes de désasonnalsaon basées sur des echnques de régresson on connu des forunes dverses. Celles-c s appuyaen en général sur une décomposon addve de la sére nale ou d une ransformaon smple de cee sére, sur une modélsaon de la sére nale e de chacune des composanes par des foncons paramérques smples e sur l'esmaon des paramères par des méhodes de ype "mondres carrés ordnares". La dffculé de rouver une bonne spécfcaon du modèle, e en parculer les fores hypohèses nécessares sur les composanes nobservables, explquen sans aucun doue le reje, momenané, de ces méhodes (Bell, Hllmer 984). Le développemen de l'nformaque, après la seconde guerre mondale, a foremen conrbué à la dffuson e à l'améloraon des méhodes de désasonnalsaon. Ans, en 954, Julus Shskn me au pon une méhode ("Mehod I") sur l'ordnaeur Unvac du US Bureau of Census. Cee echnque de désasonnalsaon sera suve par onze versons expérmenales d'une "Mehod II" (X, X, ec) pour fnalemen abour au logcel X en 965 (Shskn, Young, Musgrave 967). Insprées drecemen des lssages par moyennes mobles e des ravaux de Macaulay (93), ces dverses versons consuaen les premères méhodes auomaques d'ajusemen sasonner e X devn rapdemen un sandard ulsé dans le monde ener. Ces nouvelles possblés de calcul faclèren l'ulsaon des echnques paramérques de régresson pour l'esmaon e la correcon des effes de calendrer (jours ouvrables, jours férés, vacances... ). Un raemen auomaque de ces effes, basé sur les ravaux de Young (965), fu d'alleurs négré dans le logcel X. Parallèlemen, la modélsaon paramérque des séres emporelles e l'analyse specrale on fa des progrès mporans, essenellemen grâce au développemen de la héore des processus sochasques, progrès don les ouls de désasonnalsaon on bénéfcé peu à peu. L'analyse harmonque, employée rès ô pour résoudre des problèmes de décomposon de sére, se plaça dans un cadre résolumen déermnse e éa ulsée pour mere en évdence des pérodcés exaces alors qu'on éa ben conscen que les cycles pouvaen n'êre pas rgoureusemen pérodques ou que les sasonnalés pouvaen évoluer. Là encore, l fallu 8 C'es au physcen anglas Poynng qu'on arbue souven la premère ulsaon en 884 d'une moyenne moble pour élmner la endance e soler les flucuaons de la sére qu'l peu ans raer par l'analyse harmonque. 3

12 aendre les ordnaeurs des années 6 pour profer des progrès de la héore e meux ulser l'analyse specrale : esmaons amélorées de la densé specrale (Barle 95, Tukey 95), éude des processus non-saonnares (Presley 965), ransformée de Fourer rapde (Cooley, Tukey 965) ec. La popularsaon des modèles ARIMA à parr de la publcaon de Box e Jenkns (97) a perms de fare progresser les ouls de désasonnalsaon dans deux drecons. D une par, elle a consué un développemen mporan de X qu a évolué vers X-ARIMA en 975 (Dagum, 98). Dans cee nouvelle verson, les modèles ARIMA son ulsés pour prolonger la sére nale afn de lmer les révsons des esmaons lorsque l on dspose d un pon supplémenare. D'aure par, la modélsaon ARIMA a auss éé nrodue dans les méhodes de désasonnalsaon fondées sur la héore de l'exracon du sgnal. Les exemples de ravaux ulsan la modélsaon ARIMA e l'analyse specrale à des fns de désasonnalsaon son nombreux (vor Bell, Hllmer 984). Toues ces avancées, echnques e héorques, fon qu'aujourd'hu les méhodes de décomposon fondées sur des modèles se développen e se popularsen. Aujourd hu, les deux grandes phlosophes de la désasonnalsaon, à savor l approche emprque e l approche par modélsaon, nspren dverses méhodes, don ceranes mêlen les deux phlosophes. Parm les logcels acuellemen les plus ulsés, on peu cer BV4 (Technsche Unversä Berln, Deusche Insu für Wrschafsforschung), SABL e STL (Bell Laboraores), X-ARIMA88 (Sasque Canada), STAMP (London School of Economcs and Polcal Scence), BAYSEA e DECOMP (Insu de Sasque Mahémaque, Japon). D aures, ms au pon plus récemmen, devraen connaîre un succès ceran : X-ARIMA (US Bureau of Census) e TRAMO-SEATS (Banco de Espana). Les prncpales crques que l on peu fare à chacune des deux approches son dffcles à éver. Ans, reproche--on aux méhodes emprques de ne pas s appuyer sur des modèles explces, ce qu rend parculèremen dffcle, vore mpossble, la connassance des propréés sasques des esmaeurs ulsés ; les méhodes fondées sur les modèles son sasfasanes sur ce plan mas on s nerroge sur la pernence de la modélsaon e la robusesse des méhodes d'esmaon dans le cas de séres rès perurbées, on nvoque les dffculés de modélser a pror des composanes sur lesquelles on sa peu de choses e la relave fablesse de la héore sasque pour les séres non saonnares. C es pourquo les améloraons apporées par les recherches récenes ne concernen pas le prncpe même des méhodes exsanes mas vsen pluô à corrger cerans de leurs défaus. Les prncpales préoccupaons son ournées d une par vers les problèmes lés à l'esmaon des composanes en débu e fn de sére, e d aure par vers l élmnaon des dvers effes perurbaeurs qu nfluencen les résulas de la désasonnalsaon (pons aypques, changemens de régme, effes de calendrer...). Schémaquemen, comme le graphque qu su le synhése, les méhodes de désasonnalsaon peuven êre classées en deux grandes caégores : les méhodes non paramérques e les méhodes paramérques. Les méhodes non paramérques, des «emprques», permeen de décomposer la sére en composanes nobservables par une procédure, souven érave, basée sur des lssages successfs. On peu résumer l ensemble des lsseurs ulsés dans ces méhodes sous le nom de "régressons locales". Les régressons locales conssen à ajuser des polynômes, en général par les mondres carrés, pondérés ou non, sur des nervalles glssans (se décalan d'un pon à chaque fos). Au cenre de l'nervalle, la donnée lssée es la valeur, à cee dae, du polynôme ajusé (la donnée lssée à la dae suvane es obenue par ajusemen d'un polynôme sur l'nervalle suvan). On peu monrer que les régressons locales revennen à applquer des moyennes mobles 4

13 parculères lorsque les observaons son régulèremen espacées. Les méhodes se dsnguen essenellemen par leur degré de robusesse : dans un premer groupe, on rouve STL (Cleveland e al, 99), méhode fondée sur le "lowess", une echnque de lssage robuse par régressons locales (Cleveland, 979) ; dans un second groupe fgure la célèbre méhode de désasonnalsaon X. Les méhodes paramérques peuven elles auss se dvser en deux grands ensembles : les méhodes par régresson (nsprées de Buys-Ballo) qu posen pour chaque composane, excepé l'rréguler, une foncon déermnse du emps ; les méhodes fondées sur des modèles sochasques (non déermnses) : l s'ag prncpalemen de modèles ARIMA ulsés pour modélser les composanes nobservables. Parm celles-c on dsngue encore deux groupes : celles qu esmen les modèles des composanes à parr du modèle ARIMA de la sére nale (Burman 98, Hllmer e Tao 98), SEATS (Gomez, Maravall 997) es la plus récene, e celles qu les modélsen e les esmen drecemen (Akake 98, Kagawa e Gersch 984) comme par exemple la méhode STAMP (Harvey e al, 995). 5

14 MÉTHODES ET LOGICIELS DE DÉSAISONNALISATION Non-paramérques Modèles mplces Paramérques Modèles Explces Médanes Mobles Moyennes Mobles Méhodes Aléaores Méhodes Déermnses LOWESS (979) X (965) SABL (98) X-ARIMA (975, 988) STL (99) X-ARIMA (996) Modèles ARIMA SEATS (996) Modèles Srucurels BAYSEA (98) DECOMP (985) STAMP (987) Régressons Locales BV4 (983) Régressons Globales Buys-Ballo (847) Flres Robuses Flres non Robuses Modèle global Modélsaon de chaque composane Modèles mplces Modèles explces 6

15 Chapre LA PHILOSOPHIE DE LA MÉTHODE X La méhode X repose sur un prncpe éraf d esmaon des dfférenes composanes, cee esmaon éan fae à chaque éape grâce à des moyennes mobles adéquaes.. Composanes e schémas de composon. La méhode X perme de décomposer e de désasonnalser des séres mensuelles e rmesrelles. Les composanes qu peuven apparaîre à un momen ou à un aure de la décomposon son :. La endance de la sére qu représene l évoluon de long erme de la sére ;. Le cycle, mouvemen lsse, quas pérodque, auour de la endance e me en évdence une successon de phases de crossance e de récesson. X ne sépare pas ces deux composanes : les séres éudées son en général rop coures pour que l esmaon des deux composanes pusse se fare asémen. On parlera donc dans la sue de composane endance-cycle, noée TC. 3. La composane sasonnère, noée S, représenan des flucuaons nfra annuelles, mensuelles ou rmesrelles, qu se répèen plus ou mons régulèremen d année en année ; 4. Une composane de de «jours ouvrables», noée D, qu mesure l mpac sur la sére de la composon journalère du mos ou du rmesre ; 5. Une composane mesuran l effe de la fêe de Pâques, noée E ; 6. E enfn, la composane rrégulère, noée I, regroupan oues les aures flucuaons plus ou mons erraques non prses en compe dans les composanes précédenes. Remarquons que ces défnons son de fa qualaves e peu précses. Elles resen d alleurs aujourd hu l obje de conroverses e d nerpréaons dverses. A re d exemple, voc deux caons d émnens sascens qu, à l évdence, n on pas le même objecf : Sr KENDALL : «...The essenal dea of rend s ha shall be smooh.» 9 Andrew HARVEY : «There s no fundamenal reason, hough, why a rend should be smooh» Dans la méhode X, les composanes son en fa défnes de façon mplce par les ouls qu serven à les esmer. La méhode X consdère ros schémas de composon possbles :. Le modèle addf : X = TC + S + D + E + I. Le modèle mulplcaf : X = TC * S * D * E * I 3. Le modèle log-addf : X = Log TC ) + Log( S ) + Log( D ) + Log( E ) + Log( I ) ( X-ARIMA propose en oure un modèle «pseudo-addf» : X TC ( S + D + E + I ) = 9 Dans son ouvrage «Tme Seres», 973, p 9 Dans son ouvrage «Forecasng, Srucural Tme Seres Models and he Kalman Fler», 989, p 84 7

16 . Moyennes mobles Les moyennes mobles, qu consuen l oul de base de la méhode de désasonnalsaon X, son ulsées pour esmer les prncpales composanes de la sére, endance e sasonnalé. Ce son avan ou des ouls de lssage conçus pour élmner une composane ndésrable de la sére. Prenons l exemple smple d une sére consuée d une endance e d une composane rrégulère : s la endance es lsse, alors les valeurs de la sére auour de la dae doven conenr de l nformaon sur la valeur de cee endance à l nsan e l do êre possble d ulser une moyenne de ces valeurs comme esmaon. Une moyenne moble de coeffcens { } θ se défn donc comme + M ( X ) = Tˆ = θ X + e = p θ. Les possblés de ou le problème es alors de rouver le «bon» ensemble de coeffcens { } calcul rès lmées à la fn du sècle derner on condu les sascens à chercher des coeffcens de pondéraon ndépendans des valeurs de la sére selon des méhodes qu seron éudées en déal dans un prochan chapre..3 Un algorhme smple de désasonnalsaon So une sére brue mensuelle X que nous supposerons c décomposée en endance-cycle, sasonnalé e pare rrégulère selon un schéma addf : X = TC + S + I. On peu magner un algorhme smple de désasonnalsaon en quare éapes :. Esmaon de la Tendance-Cycle par moyenne moble : TC = M ( ) () X La moyenne moble ulsée c devra donc reprodure au meux la composane endance-cycle ou en élmnan la composane sasonnère e en rédusan la composane rrégulère au maxmum.. Esmaon de la composane Sasonner-Irréguler : () () ( S + I ) = X TC 3. Esmaon de la composane Sasonnère par moyenne moble sur chaque mos : () () () () () S = M[ ( S + I) ] e donc auss I = ( S + I) S Il s ag donc c de lsser les valeurs de la composane sasonner-rréguler de chaque mos pour exrare l évoluon du coeffcen sasonner du mos concerné. La moyenne moble ulsée c devra reprodure au meux la composane sasonnère de chaque mos en rédusan au maxmum la composane rrégulère. On peu mposer c une conrane de normalsaon des coeffcens qu leur mposera par exemple d êre de somme nulle. 4. Esmaon de la sére corrgée des varaons sasonnères : () () ( Xsa = TC + I = X S ( ) ) f La valeur à l'nsan de la sére brue es donc remplacée par une moyenne pondérée de p valeurs "passées" de la sére, de la valeur acuelle, e de f valeurs "fuures" de la sére. 8

17 Toue la dffculé résde donc dans le chox des moyennes mobles ulsées aux éapes e 3..4 L algorhme de base de la méhode X. C es ce algorhme smple que la méhode X me fnalemen en œuvre, en ulsan des moyennes mobles judceusemen choses e en affnan peu à peu, par éraon de l algorhme, les esmaons des composanes. On peu ans défnr l algorhme de base de la méhode X qu correspond en fa à ulser deux fos l algorhme smple précéden en changean à chaque fos les moyennes mobles.. Esmaon de la Tendance-Cycle par moyenne moble x : () TC = Mx ( X ) La moyenne moble ulsée c es une moyenne moble de «x», de coeffcens {,,,,,,,,,,,,}, qu conserve les endances lnéares, élmne les sasonnalés 4 consanes d ordre e mnmse la varance de la pare rrégulère.. Esmaon de la composane Sasonner-Irréguler : () () ( S + I ) = X TC 3. Esmaon de la composane Sasonnère par moyenne moble 3x3 sur chaque mos : () () S = M3x3[ ( S + I) ] La moyenne moble ulsée c es une moyenne moble sur 5 ermes, de «3x3», de coeffcens {,,3,,}, e qu conserve les endances lnéares. Les coeffcens son ensue normalsés de 9 elle sore que leur somme sur oue pérode de mos so approxmavemen nulle. () () () Snorm = S M S x ( ) 4. Esmaon de la sére corrgée des varaons sasonnères : () () ( Xsa = TC + I = X Snorm ( ) ) Cee premère esmaon de la sére corrgée des varaons sasonnères do, par consrucon, conenr mons de sasonnalé. La méhode X reme en œuvre nore algorhme smple en changean les moyennes mobles pour enr compe de cee propréé. 5. Esmaon de la Tendance-Cycle par moyenne moble de Henderson sur 3 ermes : TC = H () ( ) () 3 Xsa Les moyennes mobles de Henderson, s elles n on pas de propréés spécales en erme d élmnaon de la sasonnalé (l n y en a pas ou peu à ce sade), on un rès bon pouvor de lssage e conserven les endances localemen polynômales de degré. 6. Esmaon de la composane Sasonner-Irréguler : () () ( S + I ) = X TC 7. Esmaon de la composane Sasonnère par moyenne moble 3x5 sur chaque mos : 9

18 () [( S I ) ] () S = MM 3x5 + La moyenne moble ulsée c es une moyenne moble sur 7 ermes, de «3x5», de coeffcens {,,3,3,3,,}, e qu conserve les endances lnéares. Les coeffcens son ensue normalsés 5 de elle sore que leur somme sur oue pérode de mos so approxmavemen nulle. () () () Snorm = S M S x ( ) 8. Esmaon de la sére corrgée des varaons sasonnères : () () ( Xsa = TC + I = X Snorm ( ) ) Sére brue X mensuelle : ALGORITHME DE BASE DE X X = TC + S + I. Esmaon de la Tendance-Cycle par moyenne moble x : () TC = Mx ( X ). Esmaon de la composane Sasonner-Irréguler : () () ( S + I ) = X TC 3. Esmaon de la composane Sasonnère par moyenne moble 3x3 sur chaque mos () () () () () S M S + I Snorm = S M S 3x3 [( ) ] = e normalsaon ( ) 4. Esmaon de la sére corrgée des varaons sasonnères () () ( Xsa = TC + I = X Snorm ( ) ) 5. Esmaon de la Tendance-Cycle par une moyenne de Henderson (sur 3 ermes) TC = H () ( ) () 3 Xsa 6. Esmaon de la composane Sasonner-Irréguler () () ( S + I ) = X TC 7. Esmaon de la composane Sasonnère par moyenne moble 3x5 sur chaque mos () () () () () S M S + I Snorm = S M S 3x5 [( ) ] x = e normalsaon ( ) 8. Esmaon de la sére corrgée des varaons sasonnères () () ( Xsa = TC + I = X Snorm ( ) ) x

19 .5 Pons aberrans e effes de calendrer. Comme ou opéraeur lnéare, les moyennes mobles réagssen mal à la présence de valeurs aberranes. La méhode X ncorpore donc un oul de déecon e de correcon des pons aypques ulsé pour neoyer la sére préalablemen à la désasonnalsaon. Par alleurs d aures effes que la sasonnalé peuven explquer des varaons consaées dans la sére ; les plus usuels son des effes lés au calendrer : effe de jours ouvrables, effe de Pâques ec. Ces composanes son esmées par des modèles de régresson lnéare, à parr de la composane rrégulère. L algorhme de base de X nous perme d obenr 3 esmaons dfférenes de la composane rrégulère : À l éape 3, en enlevan l esmaon de la composane sasonnère de l esmaon de la composane sasonner-rréguler obenue à l éape : () () () I = ( S + I ) Snorm. X va ulser cee esmaon pour déecer e corrger les pons aberrans e obenr une melleure esmaon de la composane sasonnère. À l éape 7, en enlevan l esmaon de la composane sasonnère de l esmaon de la composane sasonner-rréguler obenue à l éape 6 : () () () I = ( S + I ) Snorm X va ulser cee esmaon à nouveau pour déecer e corrger les pons aberrans e obenr une esmaon plus fable de la composane sasonnère. À l éape 8, en enlevan à l esmaon de la sére corrgée des varaons sasonnères l esmaon de la composane endance-cycle obenue à l éape 5 : (3) () () I = Xsa TC X va ulser cee esmaon pour évaluer, par régresson lnéare, la composane pour jours ouvrables e déecer e corrger les pons aberrans 3..6 Le prncpe éraf de X. Pour évaluer les dfférenes composanes de la sére, en enan compe de la présence évenuelle de pons aberrans, X va procéder de façon érave : esmaon des composanes, recherche des effes gênans dans la composane rrégulère, esmaon des composanes sur une sére corrgée, recherche des effes gênans dans la composane rrégulère ec. Le programme X présene 4 éapes de raemen noées A, B, C, D plus 3 éapes noées E, F, G qu proposen des sasques e des graphques e qu ne fon pas pare de la décomposon à propremen parlé..6. Éape A : ajusemens préalables Cee éape, qu n es pas oblgaore, perme à l ulsaeur d effecuer une correcon a pror de la sére en nrodusan des faceurs d ajusemen. Il peu ans : X Arma possède un module d «Reg Arma» qu perme d esmer drecemen ces effes sur la sére brue, avan de procéder à la désasonnalsaon. Ce module ne sera pas éudé c. 3 Ces dverses méhodes seron présenées dans un prochan chapre.

20 nrodure des coeffcens mensuels (ou rmesrels) d ajusemen qu lu permeron de corrger l effe de cerans jours férés, de modfer le nveau de la sére (effe d une grève ) dans le cas mensuel seulemen, nrodure 7 coeffcens de pondéraon, à rason d un par jour pour prendre en compe les varaons de la sére mpuables à la composon des mos en «jours ouvrables». A parr de ces données, le programme calcule des coeffcens de correcon qu son applqués à la sére brue. La sére ans corrgée, ableau B des sores mprmées, passe alors à l éape B..6. Éape B : Premère correcon auomaque de la sére Cee éape consse fondamenalemen en une premère esmaon des pons aberrans e, s on le demande, des effes lés aux jours ouvrables. Cee esmaon se fa par applcaon de l algorhme de base déallé c-dessus. Ces raemens aboussen aux ableaux B9, évaluaon des effes de jours ouvrables, e B, valeurs de correcon des pons jugés aypques, qu serven à corrger la sére brue e qu condusen à la sére du ableau C..6.3 Éape C : Seconde correcon auomaque de la sére Cee éape, en applquan oujours nore algorhme de base, abou à une esmaon plus précse des effes pour jours ouvrables (ableau C9) e des valeurs de correcon des pons aypques (ableau C). La sére, enfn «neoyée», fgure dans le ableau D des sores mprmées..6.4 Éape D : Désasonnalsaon Cee éape, qu applque pour la dernère fos nore algorhme de base, es celle de la désasonnalsaon propremen de pusqu elle abou aux esmaons fnales : de la composane sasonnère (ableau D), de la sére corrgée des varaons sasonnères (ableau D), de la composane endance-cycle (ableau D), de la composane aléaore (ableau D3)..6.5 Éapes E, F e G Les éapes E e F proposen des sasques qu permeen de juger de la qualé de la désasonnalsaon. La pare G propose des graphques en mode caracère. Elle peu êre oublée dans la mesure où elle peu êre aujourd hu avanageusemen remplacée par les logcels graphques usuels de bureauque.

21 .6.6 Résumé SCHÉMA SIMPLIFIÉ DU FONCTIONNEMENT DE X Éape A : Correcon «manuelle» pour aléas mporans pour jours ouvrables Éape B : Premère correcon auomaque de la sére Esmaon de la composane aléaore Déecon e correcon auomaque des pons «aberrans» Correcon des effes de jours ouvrables Eape C : Seconde correcon auomaque de la sére Esmaon de la composane aléaore Déecon e correcon auomaque des pons «aberrans» Correcon des effes de jours ouvrables Éape D : Désasonnalsaon - Calcul de la sére désasonnalsée provsore (ableaux D à D6) - Lssage de la sére désasonnalsée par une moyenne moble de HENDERSON e nouvelle esmaon des coeffcens sasonners (ableaux D7 à D) 3 - Calcul de la sére désasonnalsée défnve (ableau D) e exracon des composanes endance-cycle (ableau D) e aléaore (ableau D3). Sasques e graphques Éape E Éape F Éape G 3

22 .7 De X à X-ARIMA e X-ARIMA. L ulsaon de moyennes mobles, comme nous le verrons dans le chapre qu leur es consacré, pose des problèmes en débu e fn de sére, noammen en ce qu concerne la sablé des esmaons. Ans, lorsque l on dspose d un pon supplémenare e que l on désasonnalse à nouveau la sére avec le logcel X, l n es pas rare de consaer des varaons sensbles des esmaons pour les daes les plus récenes. Esella B. DAGUM, dès 975, a proposé de reméder en grande pare à ces problèmes en ulsan les modèles ARIMA popularsés quelques années plus ô par les ravaux de BOX e JENKINS (97). Elle a ans monré qu on dmnua sensblemen les révsons en ajusan un modèle ARIMA à la sére, en prévoyan les valeurs fuures de la sére grâce à ce modèle e en applquan la procédure de désasonnalsaon X à cee sére ans prolongée. C es cee dée qu es à la base du logcel X-ARIMA (Dagum, 988) 4. Malheureusemen, l esmaon de modèles ARIMA es rendue délcae par la présence de pons aberrans, de rupure de nveau, d effes de calendrer. X-ARIMA repose alors sur le schéma suvan :. Premère désasonnalsaon par la méhode X. Cee éape perme d esmer les valeurs aypques, les effes de jours ouvrables comme nous l avons vu mas auss les effes de Pâques en ulsan l esmaon de la composane rrégulère du ableau D3.. Modélsaon ARIMA de la sére corrgée de ous ces effes 3. Seconde désasonnalsaon par la méhode X. X-ARIMA repose sur le même prncpe mas propose en oure un module rès comple, appelé Reg-ARIMA, permean de corrger la sére nale de oue sore d effes ndésrables. L esmaon de ces effes se fa grâce à l ulsaon de modèles de régresson à erreurs ARIMA (Fndlay e al, 998) 4 Cee dée ava déjà éé mplcemen exprmée par Frederck Macaulay (93) : However, graduaon of he ends of almos any seres s necessarly exremely hypohecal unless facs ousde he range covered by he graduaon are used n obanng he graduaon.. Though mahemacally nelegan, he mos desrable procedure n a majory of he cases of graduaon s o graduae no only he acual daa, bu exrapolaed daa whch somemes may be exremely crude esmaes. Rendons hommage à Esella B. DAGUM d avor réuss à la mere en œuvre e à l mposer. 4

23 Chapre 3 LES MOYENNES MOBILES La méhode de désasonnalsaon X ulse des moyennes mobles pour esmer les prncpales composanes de la sére, endance e sasonnalé. Ces flres, qu n'mplquen pas a pror l'ulsaon de conceps ou de modèles sophsqués, son rès smples de prncpe e se révèlen d'applcaon parculèremen souple : l es possble de consrure une moyenne moble possédan de bonnes propréés en ermes de conservaon de endance, d'élmnaon de la sasonnalé, de réducon du bru ec. Dans ce chapre nous allons éuder leurs propréés e les prncpes qu on gudé la consrucon des moyennes ulsées dans X. 3. Quelques défnons e un peu de héore Une sére emporelle peu êre consdérée de deux pons de vue : celu des emps e celu des fréquences. X comme une successon de T valeurs Dans le domane des emps, on regarde la sére { } observées aux nsans, varan de à T. C es de cee façon que l on aborde généralemen une sére emporelle e l es facle de représener graphquemen, comme dans la fgure, son évoluon au cours du emps. On noe que cee sére es caracérsée par une fore sasonnalé radusan la chue de l acvé ndusrelle au mos d aoû. Fgure : Évoluon mensuelle de l ndce de la producon ndusrelle françase 4 8 Aug-9 6 Jan-8 Jan-8 Jan-84 Jan-86 Jan-88 Jan-9 Jan-9 Jan-94 Les modélsaons de la sére, ou de ses composanes, mean en relaon la valeur à l nsan e celles des nsans passés son parculèremen asées à formalser. C es le cas par exemple de la modélsaon de la sére par un modèle ARIMA sasonner, de l expresson 5

24 d une endance lnéare, exponenelle ou encore localemen polynomale, ou de la modélsaon de la composane rrégulère par un bru blanc. X comme Dans le domane des fréquences au conrare, on par de l expresson de la sére { } somme de foncons snusoïdales 5. On mesure alors pour chaque fréquence, l mporance qu elle a dans la composon de la sére : le graphque qu assoce à chaque fréquence son mporance dans la sére s appelle le specre de la sére. Ans, le specre de l ndce de la producon ndusrelle françase es représené dans la fgure. Comme on peu le vor, ce specre lasse apparaîre une fore conrbuon (on d un pc specral) des fréquences mulples de π 6 (3, 6, 9.). La pérode assocée à cee π π fréquence es ω = = π = 6 e nous rerouvons la sasonnalé mensuelle f observée sur le graphque précéden. Les basses fréquences corresponden par naure à des composanes évoluan lenemen, endance e cycle par exemple, e les haues fréquences à des composanes évoluan plus ve comme la composane rrégulère. Fgure : Specre de l ndce de la producon ndusrelle françase Ces deux approches s avèren souven complémenares e par la sue, nous ulserons so l une, so l aure pour monrer les qualés e les défaus des flres moyennes mobles. 5 Dans sa Théore Analyque de la Chaleur, publée en 87, Jean-Bapse FOURIER a éabl que oue foncon mahémaque pouva êre décomposée en une somme de foncons snus e cosnus. Ce héorème a donné nassance ou d abord à l analyse harmonque pus, lorsqu l a éé généralsé, à l analyse specrale. 6

25 3.. Défnons e exemple On appelle moyenne moble de coeffcens { θ } l'opéraeur noé M{ θ } f, ou plus smplemen M, défn par: + M ( X ) = θ k X + k. k = p La valeur à l'nsan de la sére brue es donc remplacée par une moyenne pondérée de p valeurs "passées" de la sére, de la valeur acuelle, e de f valeurs "fuures" de la sére. La quané p+f+ es appelée ordre de la moyenne moble. Lorsque p es égal à f, c es à dre qu on ulse auan de pons dans le passé e dans le fuur, la moyenne moble es de cenrée. S en oure, on a θ k= θ k pour ou k, la moyenne moble M es de symérque. Dans ce cas, lorsqu l s agra de lser les coeffcens de la moyenne moble, l suffra de précser l ordre de la moyenne moble e les k+ premers coeffcens (Kendall, 973) : {,,,,,,,,,,,,} s écr plus smplemen [ 3] ; {,,,,,,} 4 4 De façon générale, avec une moyenne moble d ordre p+f+, calculée pour un nsan avec p pons dans le passé e f pons dans le fuur, l sera mpossble de lsser les p premères valeurs e les f dernères valeurs de la sére. Dans la méhode X, les moyennes mobles symérques jouen un grand rôle ; pour éver la pere d nformaon aux exrémés de la sére, elles son compléées par des moyennes mobles asymérques ad hoc. 3.. Foncons de gan e déphasage Consdérons la sére X = sn π e ransformons la par la moyenne moble asymérque 3 défne par M ( X) = [ X-+ X + X] qu remplace la valeur à l nsan par la moyenne 3 smple des valeurs de l nsan présen e des deux nsans précédens. La fgure 3 radu le résula du lssage e me en évdence deux phénomènes : Tou d abord une réducon de l amplude de la sére, qu répond ben à nore objecf de lssage; Mas auss un décalage dans le emps, on d un déphasage : les deux séres ne présenen pas des pons de reournemen aux mêmes daes. Ce phénomène de déphasage es désagréable dans la mesure où l ransforme les évoluons même de la sére. On peu néanmons démonrer que les moyennes mobles symérques n ndusen pas de déphasage (vor par exemple Koopmans, 974) 7

26 Fgure 3 :Lssage de la sére X = 3 sn π par la moyenne moble [ X X + X ] De façon plus générale, so une sére X = R sn( ω + ϕ) de fréquence ω (ou de pérode π X ω par une moyenne moble quelconque sera auss une snusoïde d amplude modfée e présenan un déphasage par rappor à la sére orgnale : M ( X ) = M sn( ω + ϕ) = G( ω)sn ω + ϕ + Γ( ω) ), d amplude R e de phase ϕ. La ransformée de { } [ ] [ ] La foncon qu à ω assoce G (ω ) s appelle la foncon de gan de la moyenne moble. La foncon qu à ω assoce Γ (ω ) s appelle la foncon de déphasage de la moyenne Γ(ω) moble. On représene parfos ce qu perme de mesurer le déphasage en nombre de ω pérodes. Dans le cas de la moyenne moble asymérque sur 3 ermes c-dessus on a : M ( X ) = ( X + X + X ) = R sn( ω ω + ϕ) + sn( ω ω + ϕ) + sn( ω + ϕ) 3 3 = R( + cosω)sn( ω + ϕ ω) 3 e donc : + cosω G( ω) = 3 Γ ( ω) = ω so encore Γ( ω) ω = [ ] La foncon de gan, représenée à la fgure 4, monre que la moyenne moble annule les fréquences π 3. Elle sera ben adapée à des enquêes ayan leu ous les 4 mos (donc de pérode 3) pusqu elle en élmnera ans la sasonnalé ou en conservan les évoluons de fond correspondan à des basses fréquences. Par conre, cee moyenne nrodu un déphasage 8

27 sysémaque de une pérode qu condura à prendre rop ard conscence de possbles reournemens de endance. La foncon de gan perme donc de vor essenellemen les fréquences élmnées e préservées par la moyenne moble. La foncon de déphasage monre les décalages nrodus par lulsaon de moyennes mobles asymérques. Dans la mesure où la méhode X me l accen sur des moyennes mobles symérques, nous délasserons cee foncon dans la sue de ce documen. Fgure 4 :Foncon de gan de la moyenne moble [ X X + X ] En maère de lssage, le flre «déal» sera celu qu lassera nchangées les basses fréquences, c es à dre par exemple les foncons pérodques de pérode supéreure à l année (endance e cycle), e élmnera au conrare oues les haues fréquences correspondan à des pérodcés nféreures ou égales à l année (sasonnalé e rréguler). La foncon de gan «déale» de ce flre, d flre «passe-bas», sera donc de la forme : pour ω ω G( ω) = pour ω > ω 3..3 Conservaon de endance 3 applquan cee moyenne asymérque à une smple droe Le déphasage nrodu par la moyenne moble [ X X + X ] - + peu auss se vor en X = a + b. En effe, on a : M ( X ) = ( X + X + X ) = [ a( ) + b + a( ) + b + a + b] = a( ) + b = X 3 3 Il sera pouran souhaable qu une moyenne moble respece ceranes endances smples, en parculer polynomales. Or, pour qu une moyenne moble quelconque respece les séres consanes X = a, l fau que : + f + f + f M ( X ) = θ k X k = k a = a + θ θ k = a k = p k= p k = p 9

28 e donc que la somme des coeffcens de la moyenne moble + θ k so égale à. k= p pour qu une moyenne moble quelconque conserve les droes, l fau que pour ou : + f + f [ a( + k + b] = a θ k + a kθ k + b k = a b M ( X ) = θ k X k = + θ k ) θ + k = p k = p + f k k = p + k = p ce qu enraîne que θ = e kθ k = f De façon générale, on démonrera de même que pour qu une moyenne moble conserve un polynôme de degré d, l fau e l suff que ses coeffcens vérfen : + f k k= p f + k= p j θ = e k θ = j =,..., d k Ans, pour la moyenne moble asymérque sur 3 ermes défne c-dessus, on a : θ k = + + = k = kθ k = * * + * = k= e cee moyenne, s elle conserve les consanes, ne conserve pas les droes. Par conre l es facle de vérfer que les moyennes mobles symérques suvanes conserven les droes : M ( X ) = ( X + X + X + ), M( X) = ( X + X + X + X+ + X+ ) Élmnaon de sasonnalé Comme nous l avons vu lors de la défnon de la foncon de gan (paragraphe 3..), les moyennes mobles peuven élmner ceranes fréquences e donc ceranes composanes sasonnères. C es d alleurs ce oul qu perme le plus faclemen de repérer les fréquences élmnées par une moyenne moble quelconque. Les sasonnalés fxes peuven êre "modélsées" par des foncons pérodques de pérode k (4 pour une sére rmesrelle, pour une sére mensuelle...). S on suppose en oure que la somme des coeffcens sasonners es nulle sur une année, on monre (Gouréroux, Monfor 99) que ces foncons engendren alors un sous espace vecorel de dmenson k- don l es facle d'exhber une base. Ans, dans le cas rmesrel, on rouve le sous espace engendré par les veceurs colonnes de la marce : + f k = p + f k = p f + f k = p,

29 L'annulaon de elles séres nrodu donc des conranes sur les coeffcens de la moyenne moble qu s'exprmen marcellemen : α Θ = C, où Θ es le veceur colonne des coeffcens de la moyenne moble M, C la marce de dmensons (k-,p+f+) don les lgnes son, pour k=4, les veceurs de base c-dessus e α la marce nulle de dmensons (k-,). Par exemple, s nous consdérons une moyenne moble sur 4 ermes, on devra avor : = Θ = 4 3 θ θ θ θ C so encore = = = 4 3 θ θ θ θ θ θ e donc 4 3 θ θ θ θ = = = e cee moyenne moble élmne les sasonnalés de pérode 4. En conséquence, sa foncon de gan s annulera à la fréquence π (= 4 π ). De façon générale, une moyenne moble smple d ordre k (e donc de coeffcens ous égaux à /k) annule les sasonnalés fxes de pérode k e sa foncon de gan s annule donc en k π. Par alleurs, l es possble de raer le cas de sasonnalés varan lnéaremen, ou même de façon polynomale, avec le emps (Grun-Rehomme, Ladray 994) : là encore, l élmnaon de ces sasonnalés se radu par des conranes lnéares sur les coeffcens Réducon de la composane rrégulère Après la endance e la sasonnalé, l nous rese à vor l effe d une moyenne moble sur la composane rrégulère. Le résdu, dans la décomposon de la sére brue, es souven modélsé sous la forme d'un bru blanc, sue de varables aléaores ( ε ) d'espérance nulle, non corrélées, e de même varance σ. Ce bru blanc es ransformé par la moyenne moble en une sue de varables aléaores ( * ε ), de même varance égale à : + = = f p k k * θ σ σ Dmnuer la composane rrégulère, e donc sa varance, reven à dmnuer la quané : + = f p k k θ Un exemple de consrucon de moyenne moble Cherchons par exemple une moyenne moble cenrée sur ros ermes, de coeffcens { },, θ θ θ qu rédu au maxmum la composane rrégulère e qu conserve les droes. D après ce qu précède, cela reven à résoudre le problème : [ ] = = + = + = + + = + = + = ) ( θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ Mn Mn Mn k k k

30 La dérvée, par rappor à θ, de la foncon à mnmser es θ 4 qu s annule donc pour θ = 3 e nous rouvons donc la moyenne moble smple sur 3 ermes de coeffcens ous égaux à /3, moyenne qu, comme nous l avons déjà vu, élmne les sasonnalés d ordre Les moyennes mobles symérques ulsées dans X 3.. Les moyennes mobles smples composées. Une moyenne moble de PxQ s oben en composan une moyenne moble smple d ordre P, de coeffcens ous égaux à /P, e une moyenne moble smple d ordre Q, de coeffcens ous égaux à /Q. Concrèemen, cela reven à applquer successvemen à nore sére les deux moyennes mobles smples. Ans, la moyenne moble 3x3 qu résule de la double applcaons de la moyenne moble 3 arhméque smple sur 3 ermes es une moyenne moble de coeffcens,,,,. De façon générale, une moyenne moble PxQ es une moyenne moble symérque d ordre p+q-. Lorsque Q es par, par exemple égal à q, on a une pee ambguïé de défnon dans la mesure où on peu chosr so q pons dans le passé e q- pons dans le fuur, so q- pons dans le passé e q pons dans le fuur. Le plus souven, on résou le problème en ulsan une moyenne composée symérque xq qu correspond à la moyenne des deux moyennes mobles canddaes Esmaon de la endance : moyennes x4 e x Lorsque X fa une premère esmaon de la endance (ableaux B, C e D), l ulse des moyennes mobles x4 dans le cas rmesrel e x dans le cas mensuel. A ce momen, la sére qu do êre lssée es composée d une endance, d une sasonnalé e d une composane rrégulère. Dans le cas d un schéma de composon addf, elle peu s écrre : X = TC + S + I La moyenne x4 C es une moyenne moble d ordre 5, de coeffcens,,,,. La courbe des coeffcens e la foncon de gan, présenées à la fgure 5, permeen de mere en évdence les propréés de cee moyenne moble : Elle élmne la fréquence π correspondan à la pérode 4 e de ce fa conven ben aux séres rmesrelles ayan une sasonnalé consane. La somme de ses coeffcens es égale à e elle es symérque : elle conserve donc les endances lnéares. La somme des carrés de ses coeffcens es égale à.5 e elle rédu donc de 75% la varance d un bru blanc. Ulser cee moyenne moble reven donc à supposer que la endance-cycle de nore sére es lnéare, ou lnéare par morceaux, que la sasonnalé es consane, ou vare peu dans le emps, e que la composane rrégulère ne possède aucune srucure e es de fable amplude. Dans ce cas, on aura : M X = M TC + S + I = M TC + M S + M I TC + + ε TC x4 ( ) x4 ( ) x4 ( ) x4 ( ) x4 ( )