Divisibilité dans Z. I Définition et propriétés de la divisibilité dans Z. 1. Multiples et diviseurs. 2. Propriétés de la divisibilité dans Z

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1 Divisibilité dans Z I Définition et propriétés de la divisibilité dans Z 1. Multiples et diviseurs Définitions On considère deux entiers relatifs a et b. S'il existe un entier relatif k tel que a = kb, on dit que a est un multiple de b. De plus, si b 0, on dit que b est un diviseur de a. s 63 est un multiple de 7 car 63= est un multiple de -20 car 80= est un diviseur de 12 car 12=2 6. Les diviseurs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 et leurs opposés. Des multiples de 3 sont, par exemple, -9 ; -6 ; -3 ; 0 ; 3 ; 6 ; 9 ;... Leur ensemble est noté 3Z. Remarques 0 est un multiple de tout entier, mais 0 a un seul multiple : lui-même. Tout entier non nul n a pour diviseurs 1, n, -1 et -n. Il a un nombre fini de diviseurs, tous compris entre -n et n. En revanche, un entier non nul a une infinité de multiples. 2. s de la divisibilité dans Z s a, b et c sont trois entiers relatifs non nuls. Si c divise b et b divise a alors c divise a. On note a = kb et b = k'c. Alors a = k(k'c) = (kk')c. 2 divise 4 et 4 divise 24 alors 2 divise 24. a et b sont deux entiers relatifs non nuls. Si b divise a, alors pour tout entier relatif c, cb divise ca. On note a = kb. Alors ca = ckb = k(cb). s 3 divise 12 et 15 divise 60.

2 a, b et c sont trois entiers relatifs non nuls. Si c divise a et b, alors pour tous entiers relatifs et ', c divise a ' b. On note a = kc et b = k'c. Alors a ' b= kc ' k ' c= k ' k ' c. Comment choisir l'entier relatif n pour que n divise n + 6. n divise n + 6 et n donc n divise n + 6 n = 6. Or les diviseurs de 6 sont : -6 ; -3 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6. Donc l'ensemble des solutions est : { -6 ; -3 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6}. II Division euclidienne 1. Division euclidienne dans N Théorème et définition On considère a et b deux entiers naturels avec b 0. Il existe un unique couple d'entiers naturels (q, r) tels que a = bq + r et 0 r b. On dit que a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b. 1. Existence de q et r Premier cas : si 0 a b alors le couple (0, a) convient. Deuxième cas : on suppose que a b. L'ensemble des multiples de b strictement supérieurs à a est non vide donc il contient 2b a. On admet qu'il contient un plus petit élément (c'est une propriété des parties non vides de N ) que l'on note M. On pose alors M = (q + 1)b où q N. Par définition d'un plus petit élément, on a alors qb a q 1 b. Comme b a, alors b a q 1 b, donc 1 < q + 1, d'où q N. On pose r=a bq. Comme a, b et q sont des entiers, alors r est un entier. Comme qb a, alors r 0 donc r N. Comme a q 1 b, alors bq r bq b, donc r < b. On en déduit l'existence d'un couple d'entiers naturels (q, r) tels que a = bq + r et 0 r b. 2. Unicité de q et r On suppose qu'il existe deux couples d'entiers naturels (q, r) et (q', r') tels que a = bq + r = bq' + r' (1), 0 r b et 0 r ' b (2). De (1), on déduit que b q q' =r ' r avec q q' Z donc r ' r est un multiple de b. De (2), on déduit que b r 0 donc b r' r b.

3 s Or, le seul multiple de b compris strictement entre -b et b est 0 donc r ' r=0. D'où r =r ' et par suite, q=q'. Le couple (q, r) est donc unique. 47= = Extension de la notion à Z La notion de division euclidienne s'étend à l'ensemble Z de la manière suivante : il existe un unique couple (q, r) avec q Z et 0 r b tel que a = bq + r. Les restes possibles de la division euclidienne d'un entier relatif a par un entier naturel non nul b sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;... ; b 1. On considère un entier relatif a et on pose A = n n 2 5. Démontrer que A est divisible par 3. n peut s'écrire 3k ou 3k + 1 ou 3k + 2 avec k Z. 1 er cas : n = 3k 3 divise n donc 3 divise n n e cas : n = 3k + 1 n 2 5= 3k 1 2 5=9 k 2 6 k 1 5=9k 2 6k 6=3 3k 2 2k 2 Alors 3 divise n n e cas : n = 3k + 2 n 2 5= 3k 2 2 5=9 k 2 12k 4 5=9k 2 12 k 9=3 3k 2 4 k 3 Alors 3 divise n n 2 5. III PGCD 1. Diviseurs communs à deux entiers Définitions On considère a et b deux entiers naturels non nuls. On appelle diviseur commun à a et b tout entier naturel qui divise à la fois a et b. Le plus grand de tous ces diviseurs (il en existe : par exemple 1, et ils sont en nombre fini) est appelé PGCD de a et de b. Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 et 5. Les diviseurs de 27 sont : 1 ; 3 ; 9 et 27. Par conséquent le PGCD de 15 et de 27 est 3.

4 2. Algorithme d'euclide On considère deux entiers naturels non nuls a et b tels que a > b. L'algorithme suivant, appelé algorithme d'euclide, permet de calculer, en un nombre fini d'étapes, le PGCD de a et de b : (1) Calculer le reste r dans la division euclidienne de a par b ; (2) Si r = 0, alors PGCD(a, b) = b ; (3) Si r 0, alors remplacer a par b, b par r et recommencer à partir de (1). On note d un diviseur commun à a et b. a=bq r r=a bq Comme d divise a et b, alors d divise r. Ainsi, tout diviseur commun à a et b est aussi un diviseur commun à b et r. Réciproquement, on note d' un diviseur commun à b et r. Comme a = bq + r et d' divise b et r alors d' divise a. Ainsi, PGCD(a, b) = PGCD(b, r). On note r 0, r 1, r 2,...,r n la liste des restes successifs dans les divisions euclidiennes. On a alors 0 r n r n 1... r 2 r 1 r 0 b. Sachant qu'il y a un nombre fini d'entiers compris entre 0 et r 0 et que la suite des restes est strictement décroissante alors il existe un nombre fini de restes non nuls. Si on note r n le dernier reste non nul alors PGCD(a, b) = r n. À l'aide de l'algorithme d'euclide, calculer le PGCD de 987 et 243. étapes a b r Alors PGCD(987, 243) = 3. Conséquence Les diviseurs communs à deux entiers naturels non nuls a et b sont les diviseurs de PGCD(a, b). D'après la démonstration de l'algorithme d'euclide, les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs communs à b et r 0, à r 0 et r 1,..., à r n 1 et r n. Or, r n divise r n 1 car le reste de la division euclidienne de r n 1 par r n est égal à 0(par définition de r n ). Donc, les diviseurs communs à a et b sont bien les diviseurs de r n = PGCD(a, b). Si on divise 1052 et 737 par un même entier naturel non nul n, on obtient respectivement 8 et 5 pour restes. Déterminer n. Il existe deux entiers naturels q et q' tels que 1052 = qn + 8 avec 0 8 n et 737 = q'n + 5 avec 0 5 n, c'est-à-dire 1044 = qn avec 0 8 n et 732 = q'n avec 0 5 n.

5 Ainsi n est un diviseur commun à 1044 et 732, donc un diviseur de PGCD(1044, 732). Comme PGCD(1044, 732) = 12 et n > 8 alors n = du PGCD Si on multiplie deux entiers naturels non nuls a et b par un même entier naturel k alors leur PGCD est multiplié par k. Si a=bq r avec 0 r b, alors ka=kbq kr avec 0 kr kb (car k N ). Donc kr est le reste la division de ka par kb d'après l'unicité de l'écriture. Avec les notations de la démonstration de l'algorithme d'euclide, on obtient : PGCD(ka, kb) = PGCD(kb, k r 0 ) =... = kr n = k PGCD(a, b). PGCD(1200, 800) = 100 PGCD(12, 8) = = Extension du PGCD aux entiers relatifs Définition On considère deux entiers relatifs non nuls a et b. Le PGCD de a et b est égal au PGCD de a et b. 5. Nombres premiers entre eux Définition Dire que deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux signifie que PGCD(a, b) = et 45 sont premiers entre eux car PGCD(58, 45) = 1. IV Les congruences 1. Définition de la congruence modulo n et définition On considère a et b deux entiers relatifs. a et b ont même reste dans la division euclidienne par n si et seulement si a b est un multiple de n. Dans ce cas, on dit que a et b sont congrus modulo n. On note : a b [n]. On effectue la division euclidienne de a et de b par n : a=nq r, avec 0 r n et b=nq' r ', avec 0 r ' n. Si r=r ' alors a nq=b nq ', donc a b=n q q ', d'où a b est un multiple de n. Réciproquement, si a b est un multiple de n, alors a b=kn, c'est-à-dire a=nk b. Ainsi, nk b=nq r, donc b=n q k r.

6 Alors r et r' sont tous les deux le reste de la division euclidienne de b par n. Par unicité de ce reste, on en déduit : r=r '. s 1. Démontrer que 11 et 5 sont congrus modulo 3. 11=3 3 2 et 5=1 3 2 donc 11 5[3]. 2. Démontrer que 276 et 936 sont congrus modulo 10. Ces deux nombres ont le même chiffre des unités donc ils sont congrus modulo s des congruences Si a b [n] et c d [n] alors : 1. a c b d [n] et a c b d [n] ; 2. ac bd [n] ; 3. pour tout entier naturel non nul p, on a : a p b p [n]. Comme a b[n] et c d [n] alors a b=kn et c d =k ' n. 1. On additionne les deux égalités précédentes : a c b d = k k ' n donc a c b d [n ]. On soustrait ces deux mêmes égalités : a c b d = k k ' n donc a c b d [n ]. 2. ac bd =a c d d a b =ak ' n dkn= ak ' dk n Donc ac bd [n]. 3. On effectue un raisonnement par récurrence en posant la propriété P (p) : pour tout entier naturel non nul p, on a : a p b p [n]. L'initialisation est évidente car pour p = 1, on a bien a b[n]. On suppose que a p b p [n] et on veut prouver que a p 1 b p 1 [n]. D'après le deuxièmement de la propriété, on a : a a p b b p [n], c'est-à-dire : a p 1 b p 1 [n]. Par conséquent, on a prouvé par récurrence que pour tout entier naturel non nul p, on a : a p b p [n]. Quel est le reste de la division euclidienne de par 7? 31=4 7 3 donc 31 3 [7]. On teste les puissances de 31 jusqu'à obtenir un reste égal à 1 dans la division euclidienne par 7. On trouve : 31 6 =729= donc [7]. 2011= Donc = Or [7], c'est-à-dire [7], donc [7], d'où [7]. Ainsi, le reste de la division euclidienne de par 7 est 3.