Nombres premiers. I) Multiples et diviseurs : a) Définition :

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1 Nombres premiers I) Multiples et diviseurs : a) Définition : Quand le reste de la division euclidienne d un entier a par un entier b est zéro, on dit que : b divise a ou que b est un diviseur de a. a est un multiple de b ou que a est divisible par b. Exemple : Comme le reste de la division de 126 par 3 est 0, on peut donc dire que : 3 divise 126 ou que 3 est un diviseur de est un multiple de 3 ou que 126 est divisible par 3. b) Critères de divisibilité : Pour savoir si un entier est divisible par un autre entier, il n est pas toujours nécessaire d effectuer la division euclidienne. On dispose pour cela de critères de divisibilité qui sont des techniques simples pour déterminer si un entier est un diviseur d un autre entier. 1) Critère de divisibilité par 2 : Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ( ce qui définit un nombre pair ). 2) Critère de divisibilité par 3 : Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

2 Exemples : : = 18. Comme 18 est divisible par 3, l est aussi : = 16. Comme 16 n est pas divisible par 3, ne l est pas non plus. 3) Critère de divisibilité par 4 : Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres ( chiffre des dizaines et des unités ) est un multiple de 4. Exemples : : Comme 56 est un multiple de 4 ( 56 = 4 14 ), on en déduit que est divisible par : Comme 14 n est pas un multiple de 4 ( 14 n est pas dans la table de 4 ), on en déduit que n est pas divisible par 4. 4) Critère de divisibilité par 5 : Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. 5) Critère de divisibilité par 6 : Un nombre entier est divisible par 6 s il est divisible par 2 et par 3. Exemples : 126 : = 9. Comme 9 est divisible par 3, 126 aussi. De plus, 126 se termine par 6 donc est divisible par 2. Conclusion : 126 est divisible par : Comme 351 se termine par 1, il n est pas divisible par 2. Conclusion : 351 n est pas divisible par 6. 6) Critère de divisibilité par 9 : Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

3 Exemples : : = 18. Comme 18 est divisible par 9, l est aussi : = 16. Comme 16 n est pas divisible par 9, ne l est pas non plus. 7) Critère de divisibilité par 10 : Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0. II) Nombres premiers : a) Définition : Un nombre premier est un nombre qui n'a que deux diviseurs : 1 et luimême. Remarque : 1 n est pas un nombre premier. Exemples : Voici la liste des 10 premiers nombres premiers : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29. b) Propriété : Tout nombre entier peut se décomposer de manière unique sous la forme d'un produit de nombres premiers. Exemple : Déterminons la décomposition en produit de nombres premiers de = 1980 car est pair donc divisible par = 990 car est pair donc divisible par = 495 car 990 est pair donc divisible par = 99 car 495 se termine par 5 donc divisible par = 33 car = 18 ( 18 est divisible par 3) donc divisible par = 11 car = 6 ( 6 est divisible par 3) donc divisible par 3.

4 Comme 11 est premier, on conclut que : = Ce qu on peut écrire sous la forme = c) Application à la simplification de fractions : Définition : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur ont 1 pour seul diviseur commun. Exemple n 1 : Rendre irréductible la fraction. Méthode : 1) On détermine pour le numérateur et le dénominateur leur décomposition en produit de facteurs premiers : Numérateur 462 : = 231 car 462 est pair donc divisible par = 77 car = 6 est divisible par 3 donc 231 aussi = 11. Comme 11 est premier, on conclut que 462 = Dénominateur 294 : = 147 car 294 est pair donc divisible par = 49 car = 12 est divisible par 3 donc 147 aussi = 7. Comme 7 est premier, on conclut que 294 = ) On remplace dans la fraction le numérateur et le dénominateur par leur décomposition en produit de facteurs premiers : =

5 3) On raye les nombres premiers qui apparaissent en même temps au numérateur et au dénominateur : = 4) On effectue les éventuels produits restants au numérateur et au dénominateur afin d obtenir la fraction irréductible : = Exemple n 2 : Effectuer la somme des fractions +. Avant d effectuer une somme de fractions, il faut toujours les rendre irréductible lorsqu il n est pas aisé de passer d un dénominateur à l autre ( on rappelle que pour ajouter des fractions, il faut qu elles aient le même dénominateur ). On sait déjà que =. Simplifions la deuxième fraction : Numérateur 306 : = 153 car 306 est pair donc divisible par = 51 car = 9 est divisible par 3 donc 153 aussi = 17 car = 6 est divisible par 3 donc 51 aussi. Comme 17 est premier, on conclut que 306 = Dénominateur 126 : = 63 car 126 est pair donc divisible par = 21 car = 9 est divisible par 3 donc 63 aussi = 7. Comme 7 est premier, on conclut que 126 = Puis : = ce qui permet de conclure que =.

6 Ainsi : = =28 7