Une étude de l arbelos Baptiste GORIN

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1 Une étude de l arbelos Baptiste GORIN I. Présentation et premières propriétés de l arbelos Soient A,B deux points du plan et un point du segment [AB]. Soient 1, et les demi-cercles situés dans le même demi-plan délimité par la droite (AB) et de diamètres respectifs [A],[B] et [AB]. On note O 1,O et O leurs centres, a,b et leurs rayons respectifs. L arbelos 1 est la partie du plan bornée par les demi-cercles, 1 et. 1 ans la suite de cette note, on supposera a b. Propriété I.1. Soit le point d intersection du demi-cercle avec la perpendiculaire à (AB) passant par. On a : A = a B = b A = a() B = b() = ab A B Il est clair que A = a et B = b. Les triangles A et B rectangles en étant semblables, on a : A = B. Soit : = A B = 4ab. où : = ab. Par application du théorème de Pythagore au triangle A rectangle en, on a : A = A + = 4a +4ab = 4a() d où : A = a(). e même, par application du théorème de Pythagore au triangle B rectangle en, on a : B = B + = 4b +4ab = 4b() d où : B = b(). 1. ette dénomination, due à Archimède, signifie littéralement en grec «tranchet de cordonnier»(certains ouvrages anglo-saxons emploient le terme «shoemaker s knife»).

2 Une étude de l arbelos Propriété I. (Aire). L aire de l arbelos est égale à A = πab. On a : A = π() πa πb = πab. Proposition I.3. Le disque de diamètre [] a la même aire que l arbelos. Méthode 1. Par un calcul direct, l aire du disque de diamètre [] est égale à : Méthode. «Visuellement», on a : ( ) π = πab = A A A A B A B A A 1 A B 1 B A+A 1 +A = B 1 +B A 1 A A 1 A B B 1 B 1 = A 1 +A 1 B = A +A

3 Une étude de l arbelos 3 onc : A+A 1 +A = A 1 +A 1 +A +A. Soit : A = A 1 +A = A. Proposition I.4. Soient M et N les points d intersection des segments [A] et [B] avec 1 et respectivement. Alors : le quadrilatère M N est un rectangle la droite (MN) est tangente à 1 et. M N A O 1 O B Les angles ÂM,ĈNB et ÂB sont droits ; ayant trois angles droits, le quadrilatère MN est donc un rectangle. Soit I le point d intersection des diagonales du rectangle. Les triangles MO 1 et IM étant isocèles en O 1 et I respectivement, on a : Il vient : Ô 1 M = MO 1 et ĈMI = ÎM Ô 1 MI = Ô 1 M +ĈMI = MO 1 +ÎM = ÎO 1 = π Ainsi la droite (MN) est tangente à 1 en M. On prouverait de même que (MN) est tangente à en N. Proposition I.5. Soit [UV] la corde de portant [MN]. Alors U et V appartiennent au cercle de centre passant par. U M 1 N V Soit i l inversion de pôle et de puissance. omme M A = et N B =, M et N sont les inverses respectifs de A et B par i. On en déduit que la droite (MN) est l inverse du cercle. Les points U et V appartiennent à et (MN), ils sont donc invariants par i ; d où : U = V =. II. ercles d Archimède II.1 ercles jumeaux d Archimède Proposition II.1. Soient 1 le cercle tangent à, 1 et (), le cercle tangent à, et (). Les cercles 1 et ab ont le même rayon R avec R =.

4 Une étude de l arbelos 4 1 O 1 O Soient O 1 le centre du cercle 1, H 1 son projeté orthogonal sur la droite (AB) et R le rayon du cercle 1. Première démonstration. Par application du théorème de Pythagore aux triangles O 1 H 1 O 1 et OH 1O 1 rectangles en H 1, on a : O 1 H 1 = O 1 O 1 H 1O 1 = O 1 O H 1 O (a+r) (a R) = ( R) (a b R) Il vient : R = ab. euxième démonstration. ans le triangle O 1 H 1 O 1 rectangle en H 1, on a : ) cos( H1 O 1 O 1 = O 1H O 1 O 1 = a R a+r La formule d Al-Kashi appliqué au triangle O 1 OO 1 donne : ) O 1O = OO1 +O 1O 1 OO 1 O 1O 1 cos( H1 O 1 O 1 ( R) = b +(a+r) b(a+r) a R a+r Il vient : R = ab. Troisième démonstration. ommençons par un lemme : Lemme II.. Soient 1 et deux cercles de centres O 1 et O, de diamètres [A 1 B 1 ] et [A B ] parallèles. On suppose les cercles tangents en en point I. Alors les points I,A 1,A et I,B 1,B sont alignés. 1 B 1 1 B 1 B A O 1 O I O 1 I O A B A 1 A 1 Supposons IO 1 IO. Quitte à considérer le symétrique de l un des deux cercles par rapport à I, on peut également supposer tangent intérieurement à 1. SoitJ (A 1 B 1 ) tel que(a J) et(o 1 O ) sont parallèles. Le quadrilatèreo 1 JA O est donc un parallélogramme. On a : O 1 J = O A = O I.

5 Une étude de l arbelos 5 Par ailleurs, O 1 A 1 = O 1 I. Ainsi : JA 1 = O 1 A 1 O 1 J = O 1 I O I = O 1 O = IJ. onc les triangles JA 1 A et O A I sont isocèles en J et O respectivement. Leurs angles au sommet ayant même mesure, il en est de même de leurs angles à la base :  A 1 J = IA O Les angles alternes-internes  1 JA et Ô A J ayant la même mesure, il vient : Finalement, les points I,A 1 et A sont alignés. On prouverait de même l alignement de I,B 1 et B. IA A 1 = IA O + O A A 1 =  A 1 J + O A A 1 = π Soient E,F et G les points de tangence de 1 avec (), 1 et respectivement. Soit H 1 tel que [EH] soit un diamètre de 1. Notons que (EH) et (AB) sont parallèles. après le lemme II., on a l alignement des triplets de points suivants : On considère les points d intersection suivants : (A,F,H) (B,E,F) (A,E,G) (,G,H) I = (AE) J = (AF) () J H F E I G E est l orthocentre du triangle ABJ de sorte que les droites (AE) et (BJ) sont perpendiculaires. Par ailleurs, comme les droites (AE) et (BI) sont perpendiculaires, on en déduit l alignement des points B, I et J. Les droites (H) et (BJ) étant parallèles, on a, d après le théorème de Thalès : onc : EH = A B AB = ab. AB B = AJ HJ = A EH On en déduit que le rayon du cercle 1 est égal à EH = R. Quatrième démonstration. Soient i l inversion de pôle A et de puissance A, B l inverse de B. L inverse de 1 est la perpendiculaire à (AB) passant par, autrement dit (); l inverse de est la perpendiculaire d B à (AB) passant par B. d B O 1 1 B

6 Une étude de l arbelos 6 Ainsi, l inverse i( 1 ) de 1 est le cercle tangent à 1,() et d, donc a pour rayon B. Or, on a : B = A B A AB = b (a) a () = ab Ainsi i( 1) a pour rayon R. Notons O 1i le centre de i( 1 ) et H O 1i son projeté orthogonal sur (AB). La puissance de A par rapport au cercle i( 1 ) est égale à : O 1i A R = AH O 1i +O 1i H O 1i R = AH O 1i +O 1i O 1 O 1H O 1i R = (a R) +(a R) (a R) R = 4a = A On en déduit que le cercle i( 1) est invariant par i : 1 = i( 1) a donc pour rayon R. ette expression de R étant symétrique en a et b, on en déduit que le cercle a également pour rayon R. onstruction des cercles jumeaux Soit P 1 (resp. P ) le point d intersection de 1 (resp. ) avec la perpendiculaire à (AB) passant par O 1 (resp. O ). Le point d intersection K des droites (O 1 P ) et (O P 1 ) vérifie K = ab d après le théorème de Thalès. Soient H 1 [OO 1 ] et H [OO ] les points d intersection du cercle de centre passant par K avec la droite (AB). Alors O 1 (resp. O ) est le point d intersection du cercle de centre O 1 (resp. O ) passant par H (resp. H 1 ) et de la perpendiculaire à (AB) passant par H 1 (resp. H ). P 1 1 O 1 O K P A O 1 OH 1 H O B Proposition II.3. Le plus petit cercle contenant les cercles jumeaux a un diamètre égal à ab. 1 O 1 O b En reprenant la démonstration de la proposition II.1, la distance de O 1 (resp. O ) à (AB) est égale à a a (resp. b ).

7 Une étude de l arbelos 7 onc, par application du théorème de Pythagore, on a : ( O 1 O = b a (R) + a b 4a b b b a) = () +4(a ( ) = ab ab 4ab () +1 ( = ab 4ab 1 = ( ) ab ab 1 ) ) Le diamètre du plus petit cercle contenant 1 et est alors égal à O 1 O +R = ab. II. autres cercles d Archimède Proposition (ercles de Franck Power ) II.4. Soient 3 et 4 (resp. 5 et 6) les cercles tangents à (OP 1 ) en P 1 (resp. à (OP ) en P ) et à. Les cercles 3, 4, 5 et 6 ont le même rayon égal à R. O 3 P 1 O O 5 P 3 6 O 6 Soient H 3 la projection orthogonale du centre O 3 du cercle 3 et ρ le rayon du cercle 3. Par application du théorème de Pythagore aux triangles OP 1 O 3 et OP 1O 1 rectangles en P 1 et O 1, on a : O 3 O = O 3 P 1 +P 1O = O 3 P 1 +P 1O 1 +OO 1 ( ρ) = ρ +a +b Il vient ρ = ab = R. Le calcul est analogue pour les cercles 4, 5, 6 et conduit au même résultat. Proposition II.5. Soient P le point d intersection de avec la perpendiculaire à (AB) passant par O, E et F les points d intersection de (P 1 P ) avec (OP) et () respectivement. Soient 7 le cercle de diamètre [EP] et 8 le plus petit cercle passant par F et tangent à en G. Les cercles 7 et 8 ont le même rayon égal à R. Par ailleurs, les points P,P 1,P,O, et G sont cocycliques.

8 Une étude de l arbelos 8 P G O 7 1 P 1 7 E F O 8 8 P alculons l aire du trapèze O 1 O P P 1 de deux manières : où : OE = a +b. O 1 O O 1P 1 +O P () Il vient : EP = OP OE = a +b = ab. A(O 1 O P P 1 ) = A(O 1 OEP 1 )+A(OO P E) = O 1 O O 1P 1 +OE = b (OE +a)+ a (OE +b) On en déduit que le rayon du cercle 7 est égal à EP = R. alculons de nouveau l aire du trapèze O 1 O P P 1 de deux manières : O 1 O O 1P 1 +O P () A(O 1 O P P 1 ) = A(O 1 FP 1 )+A(O P F) = O 1 O 1P 1 +F = a (F +a)+ b (F +b) +OO OE +O P +O F +O P où : F = ab. Par application du théorème de Pythagore au triangle OF rectangle en, on a : où : OF = a +b. OF = O +F = (a b) + 4a b () = Il vient : FG = OG OF = a +b = ab. ( a +b On en déduit que le rayon du cercle 8 FG est égal à = R. Montrons enfin que les points P,P 1,P,O, et G sont cocycliques. Le triangle OP étant rectangle en O, les points O, et P appartiennent au cercle de diamètre [P]. Par application du théorème de Pythagore au triangle OP rectangle en O, on obtient : P = (a +b ). Notons J le centre du cercle. OE +F Point d intersection des médiatrices de [OP] et [O], J est le milieu du segment [EF] car =. Par ailleurs, J est également le milieu du segment [P 1 P ] ; comme P 1 P = (a +b ) (par application du théorème de Pythagore), il s ensuit que P 1 et P appartiennent aussi au cercle. Enfin, considérons la symétrie d axe (OJ). E ayant pour image F par s (OJ), la droite (OP) a pour image (OF). Par suite, comme OP = OG, la corde [OP] a pour image la corde [OG] ; autrement dit, G appartient au cercle. )

9 Une étude de l arbelos 9 Proposition II.6. Soient 9 et 10 les plus petits cercles tangents à () et passant par M et N respectivement. Les cercles 9 et 10 ont le même rayon égal à R. M O O 10 N On a : A M = A, d où : 10 M = A A = a b Par application du théorème de Pythagore au triangle M rectangle en M, on a : d où : M = b a. M = M = 4ab 4a b = 4ab En notant H M la projection orthogonale de M sur (), on a, par application du théorème de Thalès : MH M A = M A A M onc : MH M = = ab A = R. On en déduit que le cercle 9 a pour rayon MH M = R. L expression de R étant symétrique en a et b, on en déduit que le cercle 10 a également pour rayon R. Proposition II.7. Soient 11 le plus petit cercle passant par et tangent à (MN), et 1 le plus grand cercle tangent à (MN) et. Les cercles 11 et 1 ont le même rayon égal à R. M O N 11 O 11 Soit O 11 le point d intersection des droites (MO ) et (NO 1 ).

10 Une étude de l arbelos 10 U 1 M 11 T O 1 O 11 S 1 N V A O 1 O O B T omme MO 1 = a, NO = b et O 1 = a O b, on en déduit que les droites (MO 1),(NO ) et (O 11 ) sont parallèles. En particulier, les droites (O 11 ) et (MN) sont perpendiculaires. Notons S leur point d intersection. Le rayon du cercle 11 est donc ab O 11 qui est égal à R = d après le théorème de Thalès. après la proposition I.5, le cercle 1 est tangent à en puisque est le milieu de l arc défini par les points U et V. Soit T le milieu du segment [UV]. O 1 est clairement le milieu du segment [T]. Première démonstration. O et étant symétriques par rapport au milieu du segment [O 1 O ], on a : d où OT +S = MO 1 +NO = T = O OT = O +S () = ab Par suite, le rayon du cercle 10 est égal à T = ab = R. euxième démonstration. Soient T le symétrique de par rapport à O et i l inversion de pôle et de puissance T T. T est donc l inverse de T. L inverse de 1 est la perpendiculaire à (T) passant par T, autrement dit la tangente à en T ; l inverse de est la perpendiculaire à (T) passant par T, autrement dit la droite (UV). Les points U et V appartiennent à et à (UV), ils sont donc invariants par i. Ainsi : omme U = (proposition I.5), il vient : On en déduit que le cercle 1 T T = U T = T = 4ab () = ab a pour rayon T = R. Proposition II.8. Soient m le demi-cercle de diamètre [O 1 O ], O 13 le point d intersection de m et 1, O 14 celui de m et. Les cercles 13 et 14 centrés en O 13 et O 14 respectivement et tangents à () ont le même rayon égal à R.

11 Une étude de l arbelos O m O 14 A O 1 O I O B Soient I le milieu du segment [O 1 O ], H 13 la projection orthogonale de O 13 sur (AB) et ρ le rayon du cercle 13. Par application du théorème de Pythagore aux triangles O 1 H 13 O 13 et IH 13 O 13 rectangles en H 13, on a : O 13H 13 = O 13O 1 H 13 O 1 = O 13I H 13 I ( ) a (a ρ) = ( ρ a b ) Il vient : ρ = ab = R. L expression de R étant symétrique en a et b, on en déduit que le cercle 14 a également pour rayon R. Proposition II.9. Le cercle 15 tangent à et m et dont le centre O 15 appartient au segment [] a un rayon égal à R. 15 O 15 1 m A O 1 O I O B Soit ρ le rayon du cercle 15. Par application du théorème de Pythagore aux triangles OO 15 et IO 15 rectangles en, on a : O 15 = O 15O O = O 15I I Il vient ρ = ab = R. ( ( a b ( ρ) (a b) = +ρ) Proposition II.10. Soit X le cercle tangent à 1 et et dont le centre X appartient à m. Le plus petit cercle 16 passant par X et tangent à (AB) a un rayon égal à R. )

12 Une étude de l arbelos 1 X X 1 m 16 O 16 A O 1 O I O B Soit r X le rayon du cercle X. Par application du théorème de Pythagore au triangle XO 1 O rectangle en X, on a : O 1 O = O 1X +O X () = (a+r X ) +(b+r X ) Par suite, r X est la solution positive de l équation : x +()x ab = 0, d où : a +6ab+b r X = () Soit H X la projection orthogonale de X sur (AB). En appliquant le théorème de Pythagore aux triangles O 1 H X X et O H X X rectangles en H X, on a : H X X = O 1 X O 1 H X = O X O H X omme H X appartient au segment [IO ] (puisqu on a supposé a b), il vient : O 1 X (O 1 I +IH X ) = O X (O I IH X ) IH X = O 1X O X (O 1 I +IO ) = (+r X)(a b) () Par application du théorème de Pythagore au triangle IH X X rectangle en H X, on a : donc : H X X = ab = R. H X X = IX IH X ( ) ( ) H X X (+rx )(a b) = = 4a b () () On en déduit que le rayon du cercle 14 est égal à H XX Proposition II.11. Soient A et B les points d intersections de avec les cercles (A,a) et (B,b) respectivement. Soient 17 et 18 les plus petits cercles passant par A et B respectivement et tangents à (). Les cercles 17 et 18 ont le même rayon égal à R = R. A O O 18 B 1 18

13 Une étude de l arbelos 13 Soit H A le projeté orthogonal de A sur la droite (AB). Notons ρ le rayon du cercle 17. Par application du théorème de Pythagore aux triangles AH A A et OH A A rectangles en H A, on a : A H A = AA AH A = OA OH A (4a) (a ρ) = () (ρ (a b)) Il vient alors ρ = ab = R. L expression de R étant symétrique en a et b, on en déduit que le cercle 18 a également pour rayon R. Proposition (ercle de Thomas Schoch ) II.1. Le cercle S inscrit au triangle curviligne défini par les cercles,(a,a) et (b,b) a un rayon égal à R. S O S Première démonstration. Soient O S le centre du cercle S et ρ son rayon. [OO S ] étant la médiane issue de O S dans le triangle ABO S, on a : AO S +BO S = OO S +OA (a+ρ) +(b+ρ) = ( ρ) +() Il vient alors ρ = ab = R. euxième démonstration. Soit i l inversion de pôle et de puissance = 4ab. L inverse du cercle (A,a) est la perpendiculaire d A1 à (AB) passant par A 1 où A 1 [A) est tel que A 1 = A = b. e même, l inverse du cercle (B,b) est la perpendiculaire d B1 à (AB) passant par B 1 où B 1 [B) est tel que B 1 = B = a. L inverse i du cercle est le cercle de diamètre [A i B i ] où A i = i(a) et B i = i(b) vérifient : A i [A) B i [B) A i = A = b B i = B = a On en déduit que i est le symétrique de par rapport à. En particulier, i et ont le même rayon. Ainsi, i( S ) est le cercle tangent à d A1,d B1 et i. Son rayon ρ est égal à A 1B 1 =. Notons O i et O Si les centres de i et i( S ) respectivement.

14 Une étude de l arbelos 14 d A1 d B1 O Si i( S ) S O S i 1 A A i O 1 A 1 O O i O B 1 B B i omme A 1 = O i B 1 = b, O Si appartient à la médiatrice du segment [O i ]. On en déduit que et O i ont la même puissance µ par rapport au cercle i( S ). omme O Si = O Si O i = +ρ = 3 (), il vient : ( ) ( ) 3 µ = O Si ρ = () = () Or S est l image de i( S ) par l homothétie de centre et de rapport µ. On en déduit que le rayon du cercle S est égal à µ ρ = 4ab () = ab = R. Lemme II.13. Soient ( ) la perpendiculaire à (AB) passant par O S avec [AB] et. S OS On a : = R a b = ab a b () ab(a +5ab+b = )(b +5ab+a ) () appartient au segment [O ] (puisqu on a supposé a b). Par application du théorème de Pythagore aux triangles AO S et OO S rectangles en, on a : O S = O SA A = O S O O (a+r) (a+ ) = ( R) (a b+ )

15 Une étude de l arbelos 15 omme R = ab, il vient : = ab(a b) () = Ra b. En supposant a b, un calcul analogue conduirait à = ab(b a) () = Rb a. Ainsi : = R a b = ab a b (). Supposons toujours a b. Par application du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle O, on a : = O O = O +(O + ) ( = () a b+ ab(a b) () ) = ab(a +5ab+b )(b +5ab+a ) () 4 où : ab(a +5ab+b = )(b +5ab+a ) (). ette expression étant symétrique en a et b, on aboutirait au même résultat en supposant a b. éfinition II.14. La droite ( ) est appelée ligne de Schoch ; on la note L S. Proposition (ercles de Peter Woo) II.15. Soient k R +, A W [A) et B W [B) tels que A W = ka et B W = kb. Le cercle W tangent à (A W,ka) et (B W,kb) et dont le centre O W appartient à la ligne de Schoch L S a pour rayon R. W O W A W B W Soit ρ le rayon du cercle W. est le projeté orthogonal de O W sur (AB). Par application du théorème de Pythagore aux triangles A W O W et B W O W rectangles en, on a : soit (puisqu on a supposé a b) : O W = A WO W A W = B WO W B W (ka+ρ) (ka+ ) = (kb+ρ) (kb ) où : ρ = a b = R. Proposition II.16. Le cercle de Woo tangent à passe par le point.

16 Une étude de l arbelos 16 W O W L S A O 1 O O B Soient 1 le point d intersection de (OO W ) et, et H 1 sa projection orthogonale sur (AB). après le théorème de Thalès, on a : O 1 = OH 1 OO W O soit (puisqu on a supposé a b) : ( OH 1 = O 1 O () a b+r a b ) = OO W +R Ainsi OH 1 = O de sorte que 1 =. Autrement dit, le cercle de Woo est tangent à en. = a b Proposition II.17. Le plus petit cercle 19 tangent à S et passant par a un rayon égal à R. S OS 19 O 19 Première démonstration. Par application du théorème de Pythagore aux triangles O S et A O S rectangles en, on a : O S = + O S = +O S A A soit (puisqu on a supposé a b) : ( OS = R a b ) +(a+r) ( a+r a b ) omme R = ab, il vient : O S = 3 ab = 3R. Il est alors clair que le rayon du cercle 19 est égal à R. euxième démonstration. Reprenons les notations de la deuxième démonstration de la proposition II.11. Soient T le point de tangence de S et 19, et T i son inverse. T i appartient à l arc de cercle ne contenant pas les points de tangence de i( S ) avec d A1,d B1 et i.

17 Une étude de l arbelos 17 T i d A1 d B1 O Si i( S ) S O S T i 1 19 A A i O 1 A 1 O O i O B 1 B B i On a : Or T T i =, donc : On en déduit que le rayon du cercle 19 T i = O Si +O Si T i = 3 ()+ 1 () = () T = T i = 4ab () = ab est égal à T = R. Proposition II.18. Le cercle 0 tangent à 1 et et dont le centre O 0 appartient à la ligne de Schoch L S a un rayon égal à R. 0 O 0 Soit ρ le rayon du cercle 0. Par application du théorème de Pythagore dans les triangles rectangles O 1 O 0 et O O 0, on a : soit (puisqu on a supposé a b) : omme = R a b, il vient : ρ = R. O 0 = O 0 O 1 O 1 = O 0 O O (a+ρ) (a+ ) = (b+ρ) (b ) Proposition II.19. Soit Q le point d intersection de m et de la ligne de Schoch L S. Soient 1 le plus petit cercle tangent à m passant par et le cercle circonscrit au triangle Q. Les cercles 1 et ont le même rayon égal à R.

18 Une étude de l arbelos 18 1 O 1 1 m O Q A O 1 O I O B Par application du théorème de Pythagore dans le triangle I rectangle en, on a : I = I + = (I + ) + soit (puisqu on a supposé a b) : ( a b I = + ab(a b) ) ( ab(a +5ab+b () + )(b +5ab+a ) () Il vient : I = a +6ab+b. () Si ρ désigne le rayon du cercle 1, il vient : ρ = 1 ( I ) = 1 ( a +6ab+b () ) = ab = R Par application du théorème de Pythagore dans le triangle I E rectangle en, on a : E = IE I = IE (I + ) ( ) ( a b E = + ab(a b) ) () = a b (3a +10ab+3b ) () 4 En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle E, on a : E = Par suite, le rayon du cercle est égal à E = R. E = + E ( ) ab(a b) () + a b (3a +10ab+3b ) () 4 = 4a b () Proposition II.0. onsidérons deux arbelos construits à partir de 1 et et semblables à l arbelos de départ. Les cercles 3 et 4 passant par des deux arbelos ainsi construits ont le même rayon égal à R. e plus, les rectangles construits à partir des milieux de chaque arc des arbelos sont semblables dans une homothétie dont le centre L appartient à la ligne de Schoch L S. Enfin, le cercle 5 de centre L passant par a pour rayon R. ) 1 P 1 5 P 3 P 5 L P 4 P P 6 A O 1 1 O O B 3 4

19 Une étude de l arbelos 19 Les cercles de diamètres [ 1 ] et [ ] ont clairement pour rayon R. ab Le rectangle P 1 P 3 1 P 5 (resp. P P 4 P 6 ) a pour dimension et es deux rectangles sont donc semblables par une similitude de rapport b a. ab (resp. ab et es considérations de parallélisme montrent que ces deux rectangles sont homothétiques. Soit L le centre de l homothétie de rapport b a. Notons H L le projeté orthogonal de L sur (AB). On a : 1 H L +H L O = 1 O = 1 +O = ab Il vient : 1 H L = ab(3) (). onc : H L 1 H L O = L 1 LP = a b +b = b(3) H L = 1 H L 1 = ab(3) () ab = ab(a b) () = Ra b = Finalement, H L = de sorte que L appartient à la ligne de Schoch L S. b ). Proposition II.1. La droite () est une tangente commune aux cercles 1 et 4 (resp. et 3). La seconde tangente T 1 (resp. T ) commune à 1 et 4 (resp. et 3 ) passe par le point B (resp. par le point A). T 1 1 O 1 O T A O 1 O O 3 O 4 O B 3 4 onsidérons la tangente T à 1 passant par B. Notons H O1 et H O 4 les projetés orthogonaux de O 1 et O 4 sur T. Par application du théorème de Thalès, on a : d où : O 4 H O 4 O 1 H O1 = BO 4 BO 1 O 4 H O 4 = O 1H O1 BO 4 BO 1 = a(b R) a+b On en déduit que T est également tangente à 4 (en H O 4 ). Soit I le point d intersection de T et (). On a : I = IH O1 = IH O 4. Il s ensuit que le symétrique du cercle 4 par rapport à I est un cercle de rayon R tangent à 1 et (); il s agit donc de 1. Finalement les tangentes T et T 1 sont confondues. On prouverait de même que T est tangente à et passe par A. = R

20 Une étude de l arbelos 0 III. ercle inscrit à l arbelos Proposition III.1. Le cercle inscrit à l arbelos, tangent à, 1 et, a pour rayon r avec r = ab() a +ab+b O Première démonstration. Soient O le centre de et H O sa projection orthogonale sur (AB). H O appartient au segment [OO ] (puisqu on a supposé a b). Par application du théorème de Pythagore aux triangles OO H O,O 1 O H O et O O H O rectangles en H O, on a : O O = O H O +OH O O O 1 = O H O +O 1H O O O = O H O +O H O ( r) = O H O +OH O (a+r) = O H O +(b+oh O ) (b+r) = O H O +(a OH O ) une part, on a boh O = ar b ab+br d après les deux premières égalités. autre part, on a aoh O = a +ab ar br d après les première et troisième égalités. Il vient alors r = ab() a +ab+b. euxième démonstration. onsidérons l inversion i de pôle A et de puissance AB. Le point B est invariant par i. Soit l inverse de par i. L inverse de est le cercle i( ) de diamètre [B ]. L inverse du cercle 1 est la perpendiculaired à(ab) passant par ; l inverse du cercle est la perpendiculaire d B à (AB) passant par B. Par suite, l inverse i du cercle est le cercle tangent à i( ),d B et d. d B d i O i O 1 i( )

21 Une étude de l arbelos 1 On a : B = AB B AB A = b (()) () a = b() a Ainsi, le rayon ρ du cercle i b() est égal à. a Soit O i le centre du cercle i. La puissance µ de A par rapport au cercle i est égale à : Or est l image de i µ = O i A ρ = (()+ρ) +(ρ) ρ = (a+b+ρ) +3ρ par l homothétie de centre A et de rapport AB µ. On en déduit que le rayon r du cercle est égal à r = AB µ ρ = 4() ρ (a+b+ρ) +3ρ = ab() a +ab+b. Proposition (ercle de Leon Bankoff ) III.. Si le cercle = (O,r) inscrit à l arbelos est tangent à 1 et en X et Y respectivement, alors le cercle B circonscrit au triangle XY a pour rayon R. O X Y B Première démonstration. Le cercle circonscrit à XY est clairement le cercle inscrit à O 1 O O car O 1 = O 1 X = a O = O Y = b O X = O Y = r = ab() a +ab+b Le demi-périmètre du triangle O 1 O O est égal à + ab() a +ab+b = ()3 a +ab+b. La formule de Héron donne : A(O 1 O O () 3 ) = a +ab+b ab() ab() a a b = +ab+b a +ab+b Par ailleurs, si ρ désigne le rayon du cercle inscrit à O 1 O O, on a : A(O 1 O O () 3 ) = ρ a +ab+b Il vient alors ρ = ab = R. euxième démonstration. Reprenons les notations de la deuxième démonstration de la proposition III.1 et considérons l inversion i de pôle A et de puissance AB.

22 Une étude de l arbelos d B d i i(x) Bi O i(y) O Bi 1 X Y i( ) B L inverse Bi de B est le cercle passant par les points,i(x) et i(y) (ces deux derniers points étant également les points de contact de i avec d et i( ) respectivement). Le rayon de ce cercle est donc égal à ρ = b() a d après la deuxième démonstration de la proposition III.1. Soit O Bi le centre du cercle Bi. La puissance µ de A par rapport au cercle Bi est égale à : µ = AO Bi ρ = A + O Bi ρ = (()+ρ) +ρ ρ = 4(+ρ) Or B est l image de Bi par l homothétie de centre A et de rapport AB µ. On en déduit que le rayon du cercle B est égal à AB µ ρ = 4() ρ 4(+ρ) = ab = R. Première construction du cercle inscrit Soit P 1 (resp. P ) le point d intersection de 1 (resp. ) avec la perpendiculaire à (AB) passant par O 1 (resp. O ). Le point d intersection K des droites (O 1 P ) et (O P 1 ) vérifie K = ab d après le théorème de Thalès. Le cercle de centre K passant par coupe les cercles 1 et en X et Y respectivement. O est alors le point d intersection des droites (O 1 X) et (O Y). P 1 O X K Y P Proposition III.3. Soient P 1 et P les points d intersection des demi-cercles 1 et avec les perpendiculaires à (AB) passant par O 1 et O respectivement. Si le cercle inscrit à l arbelos est tangent aux demi-cercles 1, et en X,Y et Z respectivement, alors : les points A,,Y et Z appartiennent à un cercle de centre P 1 les points B,,X et Z appartiennent à un cercle de centre P. Soientd etd B les perpendiculaires à(ab) passant par etb respectivement. On notep le point d intersection de la perpendiculaire à (AB) passant par O avec.

23 Une étude de l arbelos 3 d d B P Z Z X P 1 1 X Y P On a AB A = A. onsidérons l inversion i 1 de pôle A et de puissance A. L inverse de B par i est et la droite (AB) est invariante par i. Les demi-cercles 1 et ont pour inverses respectifs les demi-droites [BX ) et [). Étant orthogonal à la droite (AB) invariante par i 1, le demi-cercle est également invariant par i 1. On en déduit que le cercle inscrit à l arbelos, qui est circonscrit à XYZ, a pour inverse le cercle tangent à d,d B et en Z,X et P respectivement. étant invariant par i 1, les points A,Y et P sont alignés. On note que les points B,P,Z et P sont alignés ; ainsi l inverse de la droite passant par ces points est le cercle passant par,y,z et A. En particulier, le centre de ce cercle appartient à la médiatrice du segment [A]. e plus, le diamètre passant par A est perpendiculaire à (BP). Il s ensuit que P 1 est le centre du cercle. Ainsi, les points Y et Z appartiennent au cercle de centre P 1 passant par A (et ). Un raisonnement analogue en considérant l inversion i de pôle B et de puissance B montre que X et Z appartiennent au cercle de centre P passant par B (et ). Remarque III.4. Les points A,Y et P d une part, B,X et P 1 d autre part, sont alignés puisque i 1 (Y) = P et i (X) = P 1. euxième construction du cercle inscrit Avec les notations de la proposition III.3, on a : Z P 1 X Y P Troisième construction du cercle inscrit La démonstration fournit une autre construction du cercle inscrit. Il est aisé de construire le cercle tangent à d B,d et, qui est circonscrit au triangle X Z P. Les points X,Y et Z sont alors les points d intersection des droites (AX ),(AZ ) et (AP ) avec 1, et respectivement. Proposition III.5. Avec les notations de la proposition III.3, les droites (AY),(BX) et (Z) sont concourantes en un point S qui appartient au cercle inscrit à l arbelos. Les points A,Y et P, ainsi que B,X et P 1, sont alignés d après la remarque III.4. onsidérons le point d intersection S de la droite (AP ) avec le cercle circonscrit à XYZ.

24 Une étude de l arbelos 4 d d B Z Z X P 1 X S Y P S A B L inverse S de S par i 1 appartient à la droite (AS) et au cercle circonscrit à X Z P. Par ailleurs : ÂS Z = P S Z = P X Z = π 4 = ÂBZ de sorte que les points A,Z,S et B son cocycliques. En considérant l inverse par i 1 du cercle auquel ces points appartiennent, on conclut que S appartient à la droite (Z). Par un raisonnement analogue en considérant l inversion i, on conclurait que les droites (BX) et (Z) sont sécantes au même point S. Quatrième construction du cercle inscrit Avec les notations de la proposition III.5, on a : Z P 1 X S Y P A B Proposition III.6. Avec les notations de la démonstration de la proposition III.3, soit M le symétrique de P par rapport à la droite (AB). Alors : les points A,X,Y et B appartiennent à un cercle de centre M ; le point Z appartient à la droite (M). Les points,p et X sont alignés. L inverse par i 1 de la droite (X ) est le cercle passant par A,B,Y et X. En particulier, le centre de ce cercle appartient à la médiatrice du segment [AB]. e plus, le diamètre passant par A est perpendiculaire à (P ). Il s ensuit que M est le centre du cercle. Ainsi, X,Y appartiennent au cercle de centre passant par A (et B).

25 Une étude de l arbelos 5 d d B Z Z X P 1 X Y P A B M M Soit M le point d intersection des droites (AM) et d. omme BAM = π 4 = BZ M, les points A,B,M et Z sont cocycliques. En considérant l inverse par i 1 du cercle auquel ces points appartiennent, on conclut que M appartient à la droite (Z). inquième construction du cercle inscrit Avec les notations de la proposition III.6, on a : Z X Y A B M Sixième construction du cercle inscrit Avec les notations précédentes, les cercles circonscrits à XYZ et X Z P sont inverses l un de l autre par i 1 mais également homothétiques par rapport au pôle A. En particulier, le centre du cercle inscrit appartient à la droite passant par A et le milieu du segment [X Z ] (qui est le côté opposé à [B] sur le carré construit du même côté que l arbelos). On a une propriété analogue avec le carré construit sur le segment [A].

26 Une étude de l arbelos 6 Z O X Y Proposition (Archimède) III.7. Soient E,F tels que [EF] est un diamètre de parallèle à la droite (AB). Soient H et G les projetés orthogonaux de E et F respectivement sur (AB). Alors les longueurs AG,GH et HB sont en progression géométrique et le quadrilatère EFGH est un carré. F E G H Soient X,Y et Z les points de tangence de avec 1, et respectivement. après le lemme II., on a l alignement des triplets de points suivants : (A,F,Z) (B,E,Z) (A,X,E) (B,Y,F) (,X,F) (,Y,E) On considère les points d intersection suivants : I = (AZ) 1 J = (BZ) K = (AX) (I) L = (BY) (J) G = (FK) (AB) H = (EL) (AB) Z I F E K X Y L J G H K est l orthocentre du triangle AF de sorte que les droites (AB) et (FG) sont perpendiculaires. e même, en considérant l orthocentre L du triangle BE, on en déduit que les droites (EH) et (AB) sont perpendiculaires. Par ailleurs, les droites (I) et (BZ) sont parallèles, de même que (J) et (AZ). onc : A B = AK KE = AG GH Ainsi : AG GH = GH HB = a b. Les longueurs AG,GH et HB sont donc en progression géométrique. et A B = FL LB = GH HB

27 Une étude de l arbelos 7 On en déduit l expression du rayon r de. En effet, on a : onc : r = EF = GH Il vient alors : = ab() a +ab+b. AB = AG+GH +HB = ( a b +1+ b ) GH a AG = a b GH = a () a +ab+b et BH = b a GH = b () a +ab+b Les triangles rectangles AGF et EHB étant semblables, on a : FG = AG BH = a b () (a +ab+b ). Par suite : EF = FG = ab() a +ab+b. Ainsi EFGH est un carré. FG AG = BH EH Proposition III.8. La droite (Z) est la bissectrice intérieure de l angle ÂZB. Z Reprenons les notations de la démonstration de la proposition III.3 et considérons l inversion i 1 de pôle A et de puissance A. Z et ont pour inverses respectifs Z et B. onc : ÂZ = ÂBZ = π 4 AZB étant rectangle en Z, on en déduit que (Z) est la bissectrice intérieure de l angle ÂZB. Proposition III.9. Soit F le point du segment [] tel que F = R. Le cercle de centre F et de rayon R est tangent à en Z. Z O 1 X F Y Montrons l alignement des points O,F et Z. Notons H O la projection orthogonale de O sur [AB]. On a F = R = ab.

28 Une étude de l arbelos 8 La démonstration de la proposition III.1 fournit : OH O = r b a r = (a b)() a +ab+b Par application du théorème de Pythagore au triangle OH O O rectangle en H O, on a : O H O = O O H O O = ( r) (a b) () 4 (a +ab+b ) = 4a b () (a +ab+b ) onc : O H O = ab() a +ab+b. Il vient : F O = ab ()(a b) = H O O H O O. On en déduit l alignement des points O,F,O et Z. Par application du théorème de Pythagore au triangle OF rectangle en, il vient : ( ) ( ab a OF = O +F = (a b) +b ) + = OF = a +b. où : FZ = OZ OF = a +b = ab = R. Par suite, le cercle (F,R) est tangent à en Z. Remarque III.10. Le point F a été défini dans la proposition II.5. comme le point d intersection des droites () et (P 1 P ). Par ailleurs, le point G de cette même propriété n est autre que le point Z. IV. haîne de Pappus Proposition IV.1. On pose (0) =. On considère la chaîne de cercles ( (n) ) n N telle que (n+1) est tangent à, 1 et (n) pour n N. On note O (n) et r n le centre et le rayon du cercle (n). Si h n désigne la distance de O (n) à la droite (AB), alors : h n = nr n O (3) (3) O () () O (1) 1 (1) (0) = onsidérons l inversion i de pôle A et de puissance µ n où µ n est la puissance de A par rapport au cercle (n). Le cercle (n) est alors invariant par i. Les cercles et 1 ont pour inverses les droites d 1 et d perpendiculaires à (AB) et tangentes à (n). Par suite, pour 0 j n 1, l inverse (j) i de (j) est le cercle tangent à d 1,d et (j+1) i.

29 Une étude de l arbelos 9 d 1 d n = 3 1 (3) () i (1) i (0) i () (1) (0) Il est alors clair que les cercles (0) i, (1) i,..., (n 1) i et (n) ont le même rayon. omme le centre de (0) i appartient à la droite (AB), il est immédiat que : h n = nr n. Proposition IV.. Les centres (O (n) ) n N des cercles (n) appartiennent à une ellipse de foyers O 1 et O. O (3) (3) O () () O (1) 1 (1) (0) Pour tout n N, on a : O 1 O (n) +OO (n) = (a+r n )+( r n ) = Ainsi les points (O (n) ) n N appartiennent à une ellipse de foyers O et O 1. Proposition IV.3. Si α = A AB = a, alors, pour tout n N, on a : α(1 α) r n = () n (1 α) +α onsidérons l inversion i de pôle A et de puissance AB. Le point B est invariant par i. Soit l inverse de par i. L inverse (0) i de (0) est le cercle de diamètre [B ]. L inverse du cercle 1 est la perpendiculaired à(ab) passant par ; l inverse du cercle est la perpendiculaire d B à (AB) passant par B. Par suite, l inverse (n) i tous le même rayon. On a : du cercle (n) est le cercle tangent à d B,d et (n 1) i B = AB Ainsi, le rayon ρ des cercles (n) i Soit O (n) i B AB A = b (()) () a = b() a est égal à B = b(). a le centre du cercle (n) i. La puissance µ n de A par rapport au cercle (n) Or (n) est l image de (n) i, de sorte que les cercles (n) ont i est égale à : µ n = O (n) i A ρ = (()+ρ) +(nρ) ρ = 4() +4()ρ+4n ρ par l homothétie de centre A et de rapport AB µ n. i

30 Une étude de l arbelos 30 d B d O () i () i O (1) i (1) i O () () O (1) 1 (1) (0) (0) i On en déduit que le rayon r n du cercle (n) est égal à : r n = AB µ n ρ 4() ρ = 4() +4()ρ+4n ρ ab = () n b +a() ab () = () ( ) b n + a α(1 α) = () n (1 α) +α orollaire IV.4. On a : où α = a. α(1 α) h n = n() n (1 α) +α

31 Une étude de l arbelos 31 Références [1] Roger B. Nelsen, Proof Without Words : The Area of an Arbelos p. 144, Mathematics Magazine [] Leon Bankoff, Are the Twin ircles of Archimedes really Twins? pp Vol 47 (1974), Mathematics Magazine, Mathematical Association of America. [3] H. Okumura and M. Watanabe, The Archimedean ircles of Schoch and Woo pp. 7-34, Forum Geometricorum vol. 4 (004) [4] Peter Y. Woo, Simple onstructions of the Incircle of an Arbelos pp , Forum Geometricorum Vol.1 (001) [5] Peter Y. Woo, http ://www-students.biola.edu/ woopy/math/arbelos.htm [6] Alexander Bogomolny, http :// [7] Eric Weisstein, http ://mathworld.wolfram.com/arbelos.html [8] Thomas Schoch, http :// [9] Jürgen Köller, http :// [10] ick Klingens, http ://