BACCALAUREAT GENERAL

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1 BACCALAUREAT GENERAL Session de juin 9 MATHEMATIQUES - Série S - Enseignement Obligatoire Centres étrangers EXERCICE ) Restitution organisée de connaissances a) Les événements B A et B A constituent une partition de l événement B La formule des probabilités totales fournit alors p(b) = p(b A)+p(B A) b) Supposons maintenant les événements A et B indépendants p(b A) = p(b) p(b A) (d après a)) = p(b) p(b) p(a) (car les événements A et B sont indépendants) = p(b)( p(a)) = p(b) p(a) Ceci montre que les événements A et B sont indépendants ) Application a) La probabilité demandée estp(r S) Puisque les événementsretssont indépendants, il en est de même des événements R et S d après )b) Donc p(r S) = p(r) p(s) = (,),5 =,45 La probabilité que Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne est,45 b) Stéphane arrive à l heure si et seulement si il entend son réveil sonner et son scooter ne tombe pas en panne La probabilité demandée est donc p(r S) Puisque les événements R et S sont indépendants, il en est de même des événements R et S Donc p(r S) = p(r) p(s) =,9,95 =,855 La probabilité que Stéphane soit à l heure un jour de classe donné est,855 c) Notons X le nombre de fois où Stéphane entend le réveil sonner La variable aléatoire X est régie par un schéma de Bernoulli En effet, 5 expériences identiques et indépendantes sont effectuées ; chaque expérience a deux issues : «Stéphane entend le réveil sonner» avec une probabilité p = p(r) =,9 et «Stéphane n entend pas le réveil sonner» avec une probabilité p = p(r) =, La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 5 et p =,9 La probabilité demandée est p(x 4) et on a p(x 4) = p(x = 4)+p(X = 5) = =, 985 arrondi à la quatrième décimale ( ) 5,9 4, +,9 5 = 5,9 4,+,9 5 4 http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

2 EXERCICE ) 6 5 C 4 H O I B 4 A ) OA = +4 = 5 = 5 = OC et donc le triangle OAC est isocèle en O OA OC = = et donc le triangle OAC est rectangle en O OB = OC = 5 et OB OC = Donc le triangle OBC est rectangle et isocèle en O On en déduit que AC = BC = OC = 5 et le triangle ABC est isocèle en C D autre part, AB = (x B x A ) +(y B y A ) +(z B z A ) = + = Comme 5, le triangle ABC n est pas équilatéral Comme AC = = AB, le triangle ABC n est pas isocèle rectangle ( xa +x B ) a) Le point I a pour coordonnées, y A +y B, z ) ( A +z B ou encore, 9 ), Le vecteur ( CI a pour coordonnées (x I x C,y I y C,z I z C ) ou encore, 9 ), 5 coordonnées ( 5, 45, 5 ) On en déduit que CI = 5 D autre part, le vecteur CH a pour CH Ainsi, les vecteurs CI et CH sont colinéaires et donc les points H, C et I sont alignés b) Les points C et I sont dans le plan (ABC) On en déduit que la droite (CI) est contenue dans le plan (ABC) Puisque le point H appartient à la droite (CI), le point H est dans le plan ABC D autre part, le vecteur ( OH a pour coordonnées 5, 45, 45 ), le vecteur BC a pour coordonnées (, 5,5) et le vecteur AB a pour coordonnées (,,) Donc OH BC = ( 5)+ 5 = et OH AB = ( )+ + = Ainsi, la droite (OH) est orthogonale aux droites (BC) et (BA) qui sont deux droites sécantes du plan (ABC) On en déduit que la droite (OH) est perpendiculaire au plan (ABC) En résumé, le point H est dans le plan (ABC) et la droite (OH) est perpendiculaire au plan (ABC) Ceci montre que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC) http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

3 c) Le plan (ABC) est le plan passant par B et de vecteur normal OH Une équation de ce plan est 5 (x ) (y 5)+ (z ) = ou encore x+(y 5)+z = ou enfin x+y+z = 5 Une équation cartésienne du plan (ABC) est x + y + z = 5 4) Calculs d aire et de volume a) La distance du point A au segment [OB] est x A = et donc l aire du triangle OAB est 5 Puisque la droite (OC) est perpendiculaire au plan (OAB), le volume du tétraèdre OABC est = 5 aire(oab) OC = (5/) 5 = 75 6 Le volume du tétraèdre OABC est V = 75 6 b) ère solution Puisque le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC), la distance de O au plan (ABC) est la distance OH avec (5 ) ( ) ( ) (5 ) 5 5 OH = + + = ( + + ) = = 5 = 5 ème solution Une équation cartésienne du plan (ABC) est x+y+z 5 = et donc la distance du point O au plan (ABC) est = 5 La distance du point O au plan (ABC) est d = 5 c) On sait que V = aire(abc) d et donc 75 aire(abc) = V d = 6 = = 5 L aire du triangle ABC est 5 http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

4 EXERCICE ) Faux ) Vrai ) Vrai 4) Vrai Justifications ) Re(i ) = Re( ) = et (Re(i)) = = Donc Re(i ) (Re(i)) et la proposition est fausse ) OM = z, ON = z et OP = z z z On sait que z = z et donc OM = ON D autre part, OP = = z z z Finalement OM = ON = OP et la réponse est vraie ) ère solution Soient M, A et B les points affixes respectives z, i et i = z = OM +iz = iz i( i+z) = i(i+z) i z i = i z+i z i = z+i MA = MB M med[ab] M (Ox) Im(z) = ème solution Posons z = x + iy où x et y sont deux réels La proposition est vraie +iz = iz +i(x+iy) = i(x+iy) ( y)+ix = (+y) ix ( y) +x = (+y) +( x) ( y) +x = (+y) +x y+y = +y+y 4y = y = Im(z) = 4) ère solution Posons z = x+iy et z = x +iy où x, y, x et y sont quatre réels z+z = z z (x+x ) +(y+y ) = (x x ) +(y y ) x +xx +x +y +yy +y = x xx +x +y yy +y 4(xx +yy ) = xx +yy = OM OM = (OM) (OM ) ème solution Soit N le point tel que ON = OM+ OM Le quadrilatère OMNM est un parallélogramme z+z = OM+ OM = ON = ON et z z = OM OM = M M = M M Donc si z+z = z z alors ON = MM et les diagonales du parallélogramme OMNM ont même longueur On sait alors que ce parallélogramme est un rectangle et donc que (OM) (OM ) La réponse 4 est vraie http ://wwwmaths-francefr 4 c Jean-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

5 EXERCICE 4 Partie A - Quelques propriétés des fonctions f n et des courbes C n ) Soit n un entier naturel f n () = e +e = et donc le point A de coordonnées Pour tout entier naturel n, le point A de coordonnées (, ) appartient à la courbe C n (, ) appartient à la courbe C n ) Etude de la fonction f a) Pour tout réel x, f (x) = +e x Pour tout réel x, +e x > et donc f est dérivable sur ],+ [ en tant qu inverse d une fonction dérivable sur R et ne s annulant pas sur R De plus, pour tout réel x, On en déduit que pour tout réel x, f (x) > et donc que f e x (x) = (+e x ) = e x (+e x ) la fonction f est strictement croissante sur R b) Limite en lim x e x = lim X + ex = + puis lim x +e x = + et donc lim f (x) = x Limite en + lim x + e x = lim X ex = et donc lim f (x) = x + On en déduit que la droite d équation y = est asymptote à la courbe représentative de f en et que la droite d équation y = est asymptote à la courbe représentative de f en + c) Tableau de variation de la fonction f x + f (x) + f ) Etude de la fonction f a) Soit x un réel f ( x) = ex +e x = e x e x (+e x ) = +e x = f (x) Pour tout réel x, f (x) = f ( x) b) lim x f (x) = lim x f ( x) = lim X + f (X) = et lim x + f (x) = lim x + f ( x) = lim X f (X) = Etudions maintenant les variations de la fonction f ère solution La fonction f est dérivable sur R et pour tout réel x f (x) = (f ( x)) = f ( x) http ://wwwmaths-francefr 5 c Jean-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

6 Puisque pour tout réel x, f ( x) >, on en déduit que pour tout réel x, f (x) < et donc que la fonction f est strictement décroissante sur R ème solution La fonction g : x x est strictement décroissante sur R à valeurs dans R et la fonction f : y f (y) est strictement croissante sur R On en déduit que la fonction f = f h est strictement décroissante sur R c) Pour tout réel x, le point de C d abscisse x a même ordonnée que le point de C d abscisse x Ceci signifie que Les courbes C et C sont symétriques par rapport à l axe des ordonnées 4) Etude de la fonction f n pour n a) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à Pour tout réel x, b) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à f n (x) = e nx +e x = e nx (+e x ) = e nx +e nx x = e nx +e (n )x Puisque n > et n >, lim x enx = lim X ex = et de même lim x e(n )x = Par suite, lim x (enx +e (n )x ) = Comme de plus, pour tout réel x, e nx +e (n )x >, on a montré que pour tout entier naturel n, lim x f n(x) = + Puisque n > et n >, lim x + enx = lim X + ex = + et de même lim x + e(n )x = + Par suite, lim x + (enx +e (n )x ) = + et donc pour tout entier naturel n, lim x + f n(x) = c) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à La fonction f n est dérivable sur R en tant qu inverse d une fonction dérivable sur R et ne s annulant pas sur R De plus pour tout réel x f n(x) = nenx +(n )e (n )x (e nx +e (n )x ) Or, n >, n > et pour tout réel x, e nx >, e (n ) > et ( e nx +e (n )x) > Par suite, pour tout réel x, f n (x) < On en déduit le tableau de variation de la fonction f n x + f n (x) + + f n Partie B - Etude d une suite liée aux fonctions f n ) La fonction x e x u est de la forme +e x u avec u(x) = +e x Une primitive de cette fonction sur R est la fonction x ln(+e x ) Par suite, Ensuite, et donc u = e x +e x dx = [ ln(+e x ) ] = ln(+e )+ln(+e ) = ln() ln(+e ) u +u = dx+ +e x e x dx = +e x +e x dx = +e x u = u = ln()+ln(+e ) dx = =, u = ln()+ln(+e ) et u = ln() ln(+e ) http ://wwwmaths-francefr 6 c Jean-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

7 ) Soit n un entier naturel Soit x un réel de [,], +e x > et donc par le réel positif e nx et on obtient On multiplie alors les trois membres de cet encadrement +e x pour tout réel x de [,], e nx +e nx e nx Par positivité et croissance de l intégration, on en déduit que On a montré que e nx dx +e x e nx dx pour tout entier naturel n, u n e nx dx ) Soit n un entier naturel non nul e nx dx = n ( ne nx ) dx = [ n e nx ] = n e n + n e = e n n Maintenant, lim n + e n = et lim = Donc n + n lim e nx e n dx = lim = En tenant compte de n + n + n l encadrement de la question ), le théorème des gendarmes permet d affirmer que la suite (u n ) n N converge et que lim u n = n + http ://wwwmaths-francefr 7 c Jean-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés