Correction - Bac blanc février 2014

Transcription

1 Lycée Paul Doumer Activité Exercice Correction - Bac blanc février 0. On a dans l urne U, 7 boules blanches, donc p = 7 0 = 0, 85.. On peut s aider d un arbre. Pour obtenir p n+ il faut considérer les cas où l on a tiré au rang précédent une boule blanche : 7 0 B p n 0 N p n 0 B 9 0 N D après la formule des probabilités totales : On a donc p n+ = 7 0 p n + p n ) 0 = 6 0 p n + 0. Conclusion p n+ = 0, 8p n + 0, 05.. D après la formule trouvée p = 0, 8p + 0, 05 = 0, 8 0, , 005 = 0, , 05 = 0, 7.. a) Initialisation : p = > 0, 5. Hérédité : supposons qu au rang n 0, p n0 > 0, 5, alors 0, 8p n0 > 0, et ensuite 0, 8p n0 + 0, 05 > 0, + 0, 05 ou encore p n0 + > 0, 5. On a donc montré par récurrence sur n que pour tout naturel n non nul : p n > 0, 5. b) p n+ p n = 0, 8p n + 0, 05 p n = 0, p n + 0, 05. Or on vient de démontrer que p n > 0, 5 qui entraîne 0, p n < 0, 0, 5 soit 0, p n < 0, 05 0, p n + 0, 05 < 0. On a donc pour tout n, p n+ p n < 0, c est-à -dire que la suite p n ) est décroissante

2 c) La suite p n ) est décroissante et minorée par 0, 5 : elle donc convergente vers un réel l supérieur ou égal à 0, 5. d) Les suites p n ) et p n+ ) ayant la même limite l, la relation de récurrence p n+ = 0, 8p n + 0, 05 donne l = 0, 8l + 0, 05 0, l = 0, 05 0, 05 l = = 0, 5. 0, Conclusion : lim p n = 0, 5 = n +. Exercice Partie A : étude de fonction Partie A. fx) = xe x + = x ) e x + e x + Or : Ainsi, On pose X = x lim x = x Et lim X XeX = 0 = lim x ex + = 0 + = lim fx) = x lim x ) x ex = 0 La courbe C admet donc une asymptote horizontale au voisinnage de d équation y =.. lim x = + x + lim x + ex = + lim = x + = lim fx) = + x + par produit puis somme). Soit x R, on pose : ux) = x u x) = vx) = e x v x) = e x = e x Donc : f = u v = f = u v + u v. Ainsi : f x) = e x + x e x + 0 = e x + xe x = x + ) e x. On obtient le tableau de signe de la dérivée puis les variations de la fonction :

3 x x + e x f x) fx) e + Partie B. Par définition, T a : y = f a) x a) + fa). Donc : T a : y = a + ) e a x a) + ae a + T a : y = a + ) e a x a + ) e a a + ae a +. Une droite d équation y = mx + p passe par l origine du repère si, et seulement si, p = 0. Ainsi : T a passe par l origine a + ) e a a + ae a + = 0 a a + a) e a + = 0 a e a = 0. En remarque déjà que est effectivement solution de l équation proposée. Pour démontrer que c est la seule solution sur l intervalle ]0; + [, on étudie la fonction gx) = x e x. Déjà g0) = et lim gx) =. x + g est dérivable et donc, x ]0; + [, On en déduit le tableau suivant : g x) = 0 xe x x e x = x + x) e x

4 x x + x e x g x) gx) On conclut, sachant que g est strictement décroissante, que ces valeurs vont de en décroissant jusque. Ainsi la fonction g ne s annule qu une seule et unique fois. On sait que c est pour la valeur x =.. La tangente a donc pour équation : T : y = f )x Or f ) = + )e = e 0 =, donc : T : y = x Partie C : calcul d aire. De façon évidente : deux aires : 0 0. xe x dx =. L aire du domaine D est donc la différence entre e D = e

5 Exercice. f est dérivable sur ]0 ; + [ et sur cet intervalle : f x) = 7x ) = x x 7) qui est du signe de x 7. Donc f x) = 0 x 7 = 0 x 7 ) x + 7 ) = 0 x = 7 ou x = 7. Il y a donc une solution dans l intervalle ]0 ; + [ : 7. Le trinã me x 7 est positif sauf entre ses racines donc ici sur ] 0 ; 7 [. Conclusion : f est décroissante sur ] 0 ; 7 [ puis croissante sur ] 7 ; + [ ; donc f 7 ) est le minimum de f sur ]0 ; + [. f 7 ) = ) = ) = 7. Par définition du minimum, on a donc pour tout entier naturel n, u n 7 y compris u 0 =, car > 7.. a) u n+ u n = ) u n + 7un u n = ) 7 u n = ) 7 u n. u n Comme > 0, u n > 0 et que u n 7 u n 7 u n u n 0, on en conclut que Donc la suite u n ) est décroissante. u n+ u n 0 b) La suite u n ) étant décroissante et minorée par 7 est donc convergente vers une limite supérieure ou égale à 7. c) l = l + 7 ) l = l + 7 l l l = 7 l l = 7 l = 7 puisque la limite est positive). u n + 7un ). u n+ 7 = 7 = un 7 ). identité remarquable) u n u n + 7 ) 7 u n u n = ) u n + 7 u n 7 u n. a) Initialisation : u 0 7 = 7 0, 5 et d 0 =. On a bien u 0 7 d 0. Hérédité : Remarque préliminaire : on a démontré que u n 7, donc u n > ou encore < ). u n Supposons qu il existe un naturel n tel que u n 7 d n. On a démontré à la question que : un 7 ) u n+ 7 =. Donc comme u n 7 d n u n 7 ) d u n, n l égalité du donne : 5 =

6 u n+ 7 < d n u n < d n d après l inégalité ) ci-dessus. Finalement u n+ 7 < d n u n+ 7 < d n+. L hérédité est établie. Pour tout entier naturel n, u n 7 d n. b) L algorithme indique que pour que d n 0 9 il faut que n 5. On a donc d Comme u 5 7 < u 5 c est-à-dire u 5 7 < 0 9, on en déduit que u 5 est une valeur approchée par excès de 7 à 0 9 près. Exercice spécifique). z = z z z = reiα re iα = e iα re iα = r)e iα. r. Avec z =, la formule précédente donne z A = )e 0i =.. a) B a pour affixe b = + i. On a donc b = + b =. On peut écrire ) b = + i = cos 5π + i sin ) 5π 6 6 = e i 5π 6. b) z B = )e i 5π 6 = 0 = z O.. cf. figure. 5. a) Il s agit de résoudre z = 0 r)e iα r = ou e iα = 0. L ensemble des points dont l image par f est O est le cercle de centre O et de rayon. b) cf. figure. 6. Points invariants par f : on cherche les complexes z tels que z = z z ) z z = z car z 0 z z z z z = z z =. L ensemble cherché est bien le cercle C. 7. M a pour affixe z avec z. a) D après la question, l affixe du point I est [ re iα + e iα re iα] = eiα = e iα qui est un complexe de module quel que soit α. Le milieu I de [MM ] appartient à C. b) I et M ont à π près le même argument : ils sont donc alignés avec O et I appartient à la demi-droite [OM). c) Construction de l image de M : la demi-droite [OM) coupe le cercle C au point I ; il suffit de construire le point image M symétrique de M autour de I. 6

7 Exercice spécialité) Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité. D après la formule des probabilités totales: a n+ = P A n+ ) = P A n A n+ ) + P B n A n+ ) + P C n A n+ ) = P A n ) P An A n+ ) + P B n ) P Bn A n+ ) + P C n ) P Cn A n+ ) Si, après la n-ième navigation, l internaute est sur la page num événement A n ), il ne reste pas sur cette page donc P An A n+ ) = 0. Si, après la n-ième navigation, l internaute est sur la page num événement B n ), il ira sur la page num avec une probabilité de donc P B n A n+ ) =. Si, après la n-ième navigation, l internaute est sur la page num événement C n ), il ira sur la page num avec une probabilité de donc P C n A n+ ) =. De plus P A n ) = a n, P B n ) = b n et P C n ) = c n. Donc a n+ = a n 0 + b n + c n = b n + c n On aurait pu aussi construire un arbre pondéré pour représenter la situation. On admet que, de même, b n+ = a n + b n + c n et c n+ = a n + b n + c n.. D après la question précédente: a n+ = 0 a n + b n + c n b n+ = a n + b n + c n c n+ = a n + b n + c n a n+ b n+ c n+ 0 = a n b n c n 7

8 0 Donc en prenant M = on a U n+ = MU n. Soit P n la propriété U n = M n U Pour n = 0, M 0 U 0 = U 0 car M 0 est la matrice identité Donc la propriété est vraie au rang 0. On suppose que la propriété est vraie au rang p avec p 0, c est-à-dire U p = M p U 0. On sait que, pour tout entier naturel n, U n+ = MU n donc U p+ = MU p. Or, d après l hypothèse de récurrence, U p = M p U 0, donc u p+ = M M p U 0 = M p+ U 0. Donc la propriété est vraie au rang p +. La propriété est vraie au rang 0; elle est héréditaire, donc elle est pour tout n 0. Donc, pour tout entier naturel n, U n = M n U Pour n entier non nul, on a: M n = 5 ) a n a 0 U n = M n U 0 b n = b 0 c 5 ) n c 0 ) a n = + ) a ) b c 0 b n = a 0 + b 0 + c 0 5 ) ) c n = + 5 a ) 5 b On constate que b n = a 0 + b 0 + c 0 = a 0 + b 0 + c 0 ); or a 0 + b 0 + c 0 = donc b n =. ) c 0 8

9 On sait qu une suite géométrique de raison q où < q < est convergente vers 0 donc lim n = 0; on en déduit que lim = 0 et lim = 0. n + ) n + n + D après les théorèmes sur les limites, on peut dire: lim a n = n + a 0 + b 0 + c 0 = a 0 + b 0 + c 0 ) =. lim n + c n = 5 a b c 0 = 5 a 0 + b 0 + c 0 ) = 5.. lim a n = n + donc, à long terme, la page du site sera consultée 00 temps de visite., % du lim b n = n + donc, à long terme, la page du site sera consultée 00 temps de visite. = 5 % du lim c n = 5 n + donc à long terme, la page du site sera consultée 00 5 temps de visite., 67 % du 9