Mesures de Risque Multipériodes Cohérentes Appliquées au Compte à Terme

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1 TFE Ingénieur Civil Mathématiques Appliquées 24 juin 2010 Mesures de Risque Multipériodes Cohérentes Appliquées au Compte à Terme Auteur Christophe Pochet Promoteur Pierre Devolder

2 Comment garantir la solvabilité bancaire? 2

3 Afin d'assurer sa solvabilité, la banque doit légalement constituer une réserve financière Législation : Processus statiques Mesures statiques : VaR & TVaR Solvency II : Value-at-Risk à 99.5% Réalité : Processus multipériodes Mesures multipériodes Aucune mesure établie comme référence Objectif : Définir des mesures multipériodes Étudier leur apport 3

4 Le problème du compte à terme est un processus multipériode risqué Statique si Cash flows : Facteur de nombre Passif Actif où est le rendement offert par le compte à terme est la pénalité de sortie anticipée 4

5 Mesures de Risque Multipériodes Cohérentes Appliquées au Compte à Terme Mesures statiques Approche conceptuelle des mesures multipériodes Mesures multipériodes Application au compte à terme Conclusion 5

6 Mesures de Risque Multipériodes Cohérentes Appliquées au Compte à Terme Mesures statiques Approche conceptuelle des mesures multipériodes Mesures multipériodes Application au compte à terme Conclusion 6

7 La VaR et la TVaR sont deux mesures de risque statiques de référence Soit F une variable aléatoire mesurant des pertes Soit le niveau de risque Des pertes plus importantes que VaR arrivent avec une probabilité inférieure à Si H continue en VaR Est une mesure pondérée des pertes plus grandes que VaR 7

8 La réserve financière de solvabilité est déterminée à l'aide de la VaR et ou de la TVaR Compte à terme statique 8

9 Les mesures statiques cohérentes possèdent 4 propriétés financières importantes Convexité : Diversification Monotonicité : Augmentation du risque selon la variable Équivariance sous translations et homogénéité positive : Les éléments déterministes additifs ou multiplicatifs et positifs ne sont pas sujets à la mesure La VaR n'est pas cohérente. La TVaR est cohérente 9

10 Mesures de Risque Multipériodes Cohérentes Appliquées au Compte à Terme Mesures statiques Approche conceptuelle des mesures multipériodes Mesures multipériodes Application au compte à terme Conclusion 10

11 La mesure de risque statique néglige les sorties anticipées (1+i)² - u² 0 (1+i) - u (1+i) - d (1+i)² - ud (1+i)² - du (1+i)² - d² t = 0 t = 1 t = 2 Processus pour 2 clients : l'un client sort en t = 1 et l'autre en t = 2 Mesure statique : Les 2 clients sortent en t = 2 Réserve statique : 2 11

12 Le risque multipériode peut être calculé comme la somme de processus statiques indépendants (1+i)² - u² 0 (1+i) - u (1+i) - d (1+i)² - ud (1+i)² - du (1+i)² - d² Processus pour 2 clients : l'un client sort en t = 1 et l'autre en t = 2 Réserve indépendante : + 12

13 Le risque multipériode peut être calculé récursivement (1+i)² - u² 0 (1+i) u + (1+i) - u (1+i) - d (1+i)² - ud (1+i)² - du (1+i)² - d² 0 (1+i) d + Prise en compte de la filtration du processus Processus pour 2 clients : l'un client sort en t = 1 et l'autre en t = 2 Réserve récursive : 13

14 Mesures de Risque Multipériodes Cohérentes Appliquées au Compte à Terme Mesures statiques Approche conceptuelle des mesures multipériodes Mesures multipériodes Application au compte à terme Conclusion 14

15 La notion de mesure conditionnelle est la base des mesures multipériodes Information sur le processus : filtration Information disponible en donnée par Mesure conditionnelle : Mesure statique généralisée Modification du domaine de définition et de l'espace image Mesure conditionnelle = Mesure de dans où 15

16 La mesure indépendante est obtenue par la somme de mesures conditionnelles 16

17 La mesure récursive est obtenue par compositions de mesures conditionnelles où 17

18 La mesure récursive est consistante dans le temps et conserve donc le critère de risque Risque associé aux cash flows entre t = s et t = n exprimé en t = s - 1 Cash flow en t = s Mesure conditionnelle des cash flows en t = s par rapport à l'information disponible en t = s - 1 Risque résiduel de t = s + 1 à t = n exprimé en t = s 18

19 Mesures de Risque Multipériodes Cohérentes Appliquées au Compte à Terme Mesures statiques Approche conceptuelle des mesures multipériodes Mesures multipériodes Application au compte à terme Conclusion 19

20 Explicitons le problème du compte à terme dans le but d'en extraire les formulations des réserves L'horizon total de temps est Les cash flows ont lieu aux temps Afin de prendre en compte l'actualisation 20

21 Les propriétés du brownien géométrique réduisent la complexité du calcul conditionnel Par définition du brownien géométrique, on définit Le calcul de la mesure conditionnelle donne Facilement calculable pour la VaR et la TVaR 21

22 La réserve calculée par la mesure multipériode indépendante est donnée par Vu que on montre que Pas de transfert de risque entre les différents horizons Normalisation par le nombre de clients Somme de tous les passifs Entièrement déterministe Somme de toutes les mesures sur les actifs risqués 22

23 La réserve calculée par la mesure multipériode récursive est donnée par L'unique différence avec la mesure indépendante provient du calcul du risque sur les actifs Car À appliquer récursivement 23

24 La réserve récursive est supérieure à la réserve indépendante, mais il n'existe pas d'ordre de comparaison avec la réserve statique 24

25 Les mesures étant sensibles à leurs paramètres, il convient de définir un cas de référence Sensibilité des mesures Paramètres financiers du brownien géométrique Paramètres financiers du marché Processus de sortie Processus financier Processus de sortie Choix des et des maximisant la réserve Départs unitaires équidistants 15% de départs 25

26 Cas de référence : La réserve récursive est 11 fois plus grande que les deux autres Réserves statique et indépendante semblables. Pas de conservation du critère de risque. Vision statique Augmentation cruciale du capital de réserve due à la conservation du critère de risque. Vision dynamique 26

27 Conclusion Mesure Statique Pas d'information quant à l'effet sur la réserve de la nature multipériode du processus Mesure Indépendante Proche de la mesure statique Hypothèse forte d'indépendance Ne conserve pas le critère de risque Mesure Récursive Consistante dans le temps Niveau de risque conservé Hypothèse de processus dynamique vérifiée Donne une bonne estimation de la réserve maximale Mesure intéressante du point de vue du calcul technique à différencier de la législation 27

28 TFE Ingénieur Civil Mathématiques Appliquées 24 juin 2010 Mesures de Risque Multipériodes Cohérentes Appliquées au Compte à Terme Auteur Christophe Pochet Promoteur Pierre Devolder