Chapitre 11 : Géométrie vectorielle dans l espace

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1 Chapitre 11 : Géométrie vectorielle dans l espace I. Droites et plans de l espace Rappels des règles de base - Par deux points distincts de l espace, passe une unique droite. - Par trois points non-alignés, passe un unique plan. - Si un plan contient deux points distincts A et B, il contient la droite (AB). - Tous les résultats de géométrie plane s appliquent dans chaque plan de l espace. Propriété : Positions relatives de deux droites Deux droites de l espace sont coplanaires, soit non coplanaires. Si elles sont coplanaires, elles sont alors parallèles ou sécantes. Remarque : Deux droites coplanaire sont deux droites appartenant à un même plan. Droites sécantes Droites coplanaires (dans un même plan) Droites parallèles Droites non coplanaires Propriété : Positions relatives d une droite et d un plan Une droite et un plan de l espace sont soit sécants, soit parallèles. Notation : La droite (AC) contenu dans le plan (ABC) se note (AC) (ABC) Droites et plan sécants Droite et plan parallèles 1

2 Propriété : Positions relatives de deux plans Deux plans de l espace sont soit sécants suivant une droite, soit parallèles. Plans sécants Plans parallèles - Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elle. - Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre eux. Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan. Remarque : Sur le cube représenté ci-contre, la droite (HG) est parallèle à (DC) donc elle est parallèle à un plan (ADC). De même la droite (EH), parallèle à (AD), est parallèle au plan (ADC). Attention : Les droites (HG) et (EH) sont parallèles à un même plan mais ne sont pas parallèles entre elles. Propriété 3 : Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l un sont parallèles à deux droites décantes de l autre. Rappel : Un plan peut être déterminé par deux droites sécantes. 2

3 Propriété 4 : Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l un est sécant à l autre et les droites d intersection sont parallèles. Théorème : (du toit) Soit P et P deux plans sécants. Si une droite d de P est parallèle à une droite d de P, alors la droite d intersection de P et P est parallèle à d et d. II. Vecteurs de l espace On étend à l espace la notion de vecteur vue dans le plan. Définition : Vecteurs égaux Deux vecteurs non-nuls AB et CD sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). On peut aussi noter u un vecteur sans préciser ni origine ni extrémité. Il admet une infinité de représentants : u = AB = CD, etc. Définition : Vecteurs égaux Des vecteurs sont coplanaires si et seulement si en traçant leurs représentants à partir d un même point A, leur extrémité sont coplanaires avec A. Remarque : On admet que cette définition ne dépend pas du point A choisi. Exemple : Dans le cube ABCDEFGH ci-contre : - les vecteurs u, v et w sont coplanaires car u = AB, v = AE, w = AF et A, B, E, F sont dans le plan (ABE). - les vecteurs u, v et t ne sont pas coplanaires car u = AB, v = AE, t = AD et l unique plan contenant A, B, E est (ABE) qui contient pas D. - AB et CG sont coplanaires puisque CG = AE et A, B, E sont dans le plan (ABE), cependant les droites (AB) et (CG) ne sont pas coplanaires. Remarque : Deux vecteurs sont toujours coplanaires contrairement à deux droites. Deux vecteurs étant toujours coplanaires, on définit comme dans le plan la somme de deux vecteurs, le produit d un vecteur par un réel, les notions de vecteurs colinéaires et de vecteur directeur à une droite. On admet que les propriétés de calcul dans le plan sont conservées dans l espace. 3

4 Propriété : Pour tout réels k et k et pour tous vecteurs u et v, k(k u ) = kk u (k + k )u = ku + k u k(u + v) = ku + kv Remarque : On admet que ces définitions de la somme et du produit par un réel sont indépendantes du plan choisi. III. Caractérisation vectorielle d une droite de l espace Soit A et B deux points distincts. Un point M appartient à la droite (AB) si et seulement si il existe un réel t tel que AM = t AB. Comme étant dans le plan, une droite peut être définie par un point A et un vecteur u non-nul, appelé vecteur directeur de la droite. On peut noter cette droite (A; u ). La propriété 1 s énonce alors : M appartient à la droite d passant par le point A et de vecteur directeur u si et seulement s il existe un réel t tel que AM = tu. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. Remarque : Une droite d est définie par un point A et une direction donnée par un vecteur directeur. Cette «direction» est commune à toute les droites parallèles à d. IV. Caractérisation d un plan de l espace Soit A, B, C trois points non-alignés. Un point M appartient au plan (ABC) si et seulement si il existe des réels x et y tels que AM = xab + yac Remarque : Un plan possède une infinité de vecteurs directeurs. 4

5 Démonstration : A, B, C étant trois points non-alignés, les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires et donc (A; AB ; AC ) est un repère du plan (ABC). Si M est un point du plan (ABC) soit (x; y) son couple de coordonnées dans le repère précédent, alors AM = xab + yac. Réciproquement, si M est le point de l espace défini par AM = xab + yac, soit N le point du plan (ABC) de coordonnées (x; y) dans le repère (A; AB ; AC ). On a AN = xab + yac d où AM = AN et M = N. Donc M (ABC). Les points A, B et C ne sont pas alignés si et seulement si les vecteurs u = AB et v = AC ne sont pas colinéaires. Un plan peut donc être défini par un point et deux vecteurs non colinéaires appelés vecteurs directeurs du plan. La propriété 1 s énonce alors : M appartient au plan P passant par A et dirigé par les vecteurs non-colinéaires u et v si et seulement si il existe des réels x et y tels que AM = xu + yv. Deux plans dirigés par un même couple de vecteurs noncolinéaires sont parallèles. En effet, deux droites sécantes de l un, de vecteur directeurs respectifs u et v, sont parallèles à deux droites sécantes de l autre. Cette remarque permet de démontrer le théorème du toit énoncé précédemment. Soit u et v deux vecteurs non-colinéaires. Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si il existe des réels x et y tels que w = xu + yv. Remarque 1 : Un plan P est définie par un point et une direction donnée par deux vecteurs non-colinéaires. Cette direction est commune à tous les plans parallèles à P. Remarque 2 : Une droite d de vecteur directeur w est parallèle à un plan P de vecteur directeurs u et v si et seulement si u, v et w sont coplanaires. Démonstration : Soit A un point et B, C, D les points tels que u = AB, v = AC et w = AD. Comme u et v ne sont pas colinéaires, A, B, C ne sont pas alignés et définissent le plan (ABC). u, v, w sont coplanaires si et seulement si les points A, B, C, D sont coplanaires ce qui signifie que D (ABC) c est-à-dire qu il existe des réels x et y tels que AD = xab + yac autrement dit tels que w = xu + yv. 5