Equations différentielles. Exercices

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1 Equaions différenielles Eercices Les indispensables Dans ous les eercices, même si la quesion n'es pas posée, on pourra se demander s'il es possible, a priori, de se faire une idée sur la srucure de l'ensemble des soluions de l'équaion proposée Equaions différenielles linéaires du premier ordre 1 Résoudre les équaions différenielles suivanes en précisan l inervalle d éude : ( + 1) y =, y ' y + = Résoudre les équaions différenielles suivanes, en précisan l inervalle d éude : 1+ = 1, 1 + y = 1 3 Résoudre les problèmes de Cauchy : (1 + ) ( + 1) y =, avec : y ( ) = 1 + ln( ) =, avec : y ( 1) = 4 Résoudre les équaions différenielles suivanes, en éudian les évenuels raccordemens possibles : ( + 1) = y + y 1 = (1 + ) ( 1) y + = = y 4 = Problèmes liés à une équaion différenielle du premier ordre 5 Trouver oues les applicaions coninues de dans elles que :, f ( ) f ( ) d = e 6 Trouver les foncions f, dérivables de dans elles que : (,y), f ( + y) = f ( ) f ( y) Sysèmes différeniels 7 Résoudre les sysèmes différeniels suivans : 1 ' = a ' = ' = c ' = ' = ' = 1 + m + a b, (m,a,b) 3 ' = m b 1 ' = d ' = ' = Equaions différenielles linéaires du second ordre à coefficiens consans 8 Résoudre les équaions du second ordre à coefficiens consans suivanes : a y '' + m y = cos( ), où : m b y '' + y = an( ), avec la méhode de variaion des consanes c y '' + y = an ( ), avec la méhode de variaion des consanes 9 Soi : (ω,ω ) + *, el que : ω ω Résoudre le problème de Cauchy : y ' + ω y = cos( ω ), avec : y ( ) = 1, () = ' Problèmes liés à des équaions différenielles linéaires du second ordre à coefficiens consans 1 On noe : (λ,µ), f λ,µ la foncion de dans définie par :, f ( ) = 1+ λ µ Trouver 3 foncions a, b, c coninues de dans elles que : (λ,µ), λ, µ + λ, µ ' + a f λ, µ ' + b f λ, µ f ' = c Chapire 13 : Equaions différenielles Eercices - 1 -

2 11 On veu rouver les foncions f dérivables de dans elles que :, f '( ) + f ( ) = e a Monrer que oue soluion es nécessairemen de classe C sur b Monrer que oue soluion es soluion d une équaion linéaire du second ordre que l on précisera c Déerminer les soluions de cee équaion e résoudre le problème iniial Uilisaion d un changemen de foncion inconnue 1 Résoudre l équaion : (E) ( + 1) ' ( ) + ( 6 + 4) y =, en uilisan le changemen de foncion inconnue : z = ( +1) y Uilisaion de changemens de variable 13 Résoudre les équaions différenielles suivanes, à l aide des changemens de variable indiqués a ' + e - y = ch() + 3sh(), avec le changemen de variable : u = e - b ( + 1) ' + ( + 1) + y = ( + 1), avec le changemen de variable : u = arcan() Dans les deu cas, on s'efforcera de préciser héoriquemen les différenes opéraions effecuées Uilisaion de séries enières 14 Résoudre les problèmes suivans à l aide de séries enières : a ' + y = (on sommera les soluions rouvées) b ' + y =, y() = 1, () = c 4(1 )' 4y + y = Les classiques Equaions différenielles linéaires du premier ordre 15 Résoudre les équaions différenielles suivanes, en éudian les évenuels raccordemens possibles : 3 (1 ) + (1 ) y 1 = ln y (ln + 1) = n α y =, où : (n,α) * + * 16 Soi a une foncion inégrable de + dans Monrer que oue soluion de l équaion : y ' a( ) y =, es bornée sur + 17 Soien a e b des foncions coninues de + dans e y e z dérivables de + dans, elles que : y ' a y + b, z ' a z + b, y( ) z() En uilisan la foncion U définie par : +, U ( ) ep( a( ) d) ( y( ) z( )) =, monrer que : y z Problèmes liés à une équaion différenielle du premier ordre 18 Déerminer l'ensemble des poins d'infleion des courbes inégrales de l'équaion : 3 y = On pourra aussi commencer par rouver un ensemble dans lequel ces poins d'infleion son inclus 19 Pour : k, rouver oues les applicaions coninues de dans elles que :, f ( ) d = k f ( ) d Sysèmes différeniels Résoudre les sysèmes différeniels suivans : 1' = sin( ) a ' = ' = c ' = ' = b d 1 ' = 1 + e ' = ' = ' = e 3' = Equaions différenielles linéaires du second ordre à coefficiens consans Chapire 13 : Equaions différenielles Eercices - -

3 1 Résoudre les équaions du second ordre à coefficiens consans suivanes : a y '' + y = ma(,) b y '' 3 + y = e, sur On pose : E = {y C (,), y '' + y = y()cos( ) } a Monrer que E es un sous-espace vecoriel de C (,) b Déerminer sa dimension Equaions différenielles du second ordre 3 On considère l équaion différenielle (E) : ' + ( ) y = a Trouver une soluion polynomiale à cee équaion b Trouver une soluion eponenielle à cee équaion c En déduire les soluions de (E) sur + * e - * d Monrer que les soluions de (E) sur formen un espace de dimension 3 4 Méhode de Lagrange Soi l équaion différenielle (E) : ( + 1) ' ( ) + ( ) y = a Trouver une soluion «simple» y à cee équaion différenielle b En posan : y = y z, où z es une nouvelle foncion inconnue, rouver une équaion différenielle vérifiée par z e en déduire une deuième soluion à l équaion (E) c En déduire oues les soluions de (E) sur + * Classe d équaions différenielles pariculières : changemen de variable 5 Equaions d'euler : (E) ²' + a + by = f(), où : (a,b) ², e : f C (I,), avec : I + * ou * a Monrer que le changemen de variable : = ln perme de ramener (E) à une équaion en b Résoudre alors : ' y = (peu-on envisager un aure méhode pour cee équaion?) ' + + y = ln 6 Résoudre l équaion différenielle (E) : 4 yy y =, sur + *, en uilisan le changemen de variable : 1 =, puis le changemen de foncion inconnue : u ( ) = z( ), où : z ( ) = y( ) Problème lié à une équaion différenielle du second ordre ou d ordre supérieur 7 On considère l équaion différenielle (E) : y '' + y = a Monrer que si y es soluion de (E) sur, alors y es rois fois dérivable sur, e : y ''' = ' b En déduire les soluions de (E) qui vérifien de plus : y ''() = (4) 8 Soi l équaion différenielle (E) : y ' + y = a Prouver que : a e, es soluion de (E) b En noan z la foncion : a y( ) e, monrer que (E) se ramène à une équaion différenielle du second ordre en z e en déduire la résoluion de (E) Uilisaion de séries enières 9 Résoudre les problèmes suivans à l aide de séries enières : a (1 )' + (λ 3) y =, (λ ) (sommer les soluions lorsque : λ = 1) b y + y + y =, (e eprimer celles don la somme es une foncion paire) 3 Trouver les soluions développables en série enière en de : (E) + y = 1 Les plus Equaions différenielles linéaires du premier ordre Chapire 13 : Equaions différenielles Eercices - 3 -

4 31 Résoudre les équaions différenielles suivanes, en éudian les évenuels raccordemens possibles : sin( ) cos( ) y sin( ) = (sur ) sin( ) + 1 = (sur ) 3 Résoudre les problèmes de Cauchy suivans : an( ) =, avec : y ( ) = an( ) =, avec : y ( ) = 1 33 a Résoudre sur un inervalle où sinus ne s'annule pas l'équaion : sin 3 () cos()y = b Donner les soluions sur de cee équaion, e consaer en pariculier que la dimension de l'espace vecoriel formé par ces soluions n es pas finie 34 a Résoudre l'équaion : y ln() = b Eise--il des soluions bornées? On pourra commencer, pour la deuième quesion, par éudier l'inégrabilié d'une foncion sur [1,+ ) Sysèmes différeniels 35 Résoudre les sysèmes différeniels suivans : 1 ' = cos( ) 1 + sin( ) a, en posan : z = 1 + i ' = sin( ) 1 + cos( ) Pour les sysèmes suivans, on uilisera la méhode classique en consaan que la marice P uilisée es indépendane de 1 ' = ( ) 1 + ( 1) 1 ' = ( + 3) 1 + b c ' = (1 ) 1 + ( 1) ' = ( 3) Equaions différenielles linéaires du second ordre à coefficiens consans 36 Quelles son les valeurs des réels a e b de elle sore que oue soluion de l équaion différenielle : y '' + a + b y =, soi bornée? 37 Soi f une foncion de dans Résoudre le problème de Cauchy : y '' + y = f ( ), avec : y ( ) = () = Problème lié à une équaion différenielle du premier ordre 38 Soi f une foncion définie de dans, coninue sur e qui end vers en + Résoudre l équaion différenielle : y ' + y = f, à l aide d une foncion eprimée sous forme de primiive e monrer que oue soluion de cee équaion end vers en + 39 Monrer que si une foncion f de classe C 1 de dans es elle que (f + f) end vers L en +, alors f end aussi vers L en + 4 Soi α un réel sricemen posiif (ou un complee de parie réelle sricemen posiive) Soi f une foncion de dans (ou ), elle que (f ' + αf) end vers en + Monrer que f end vers en + 41 Soi : a Déerminer l ensemble des applicaions f de classe C 1 de dans, elles que : f ( ) f ( ) 1, a, = ( f '( ) + f '( a)) a Problème lié à une équaion différenielle du second ordre ou d ordre supérieur 4 Trouver oues les foncions coninues f de dans elles que :, f ( ) = 1 ( ) f ( ) d 43 On considère le problème suivan : «Trouver les foncions de + * dans, dérivables, elles que : >, f () = f(1/)» a Monrer qu une soluion d un el problème es de classe C sur + * Chapire 13 : Equaions différenielles Eercices - 4 -

5 b En déduire une équaion du second ordre linéaire don f es soluion c Résoudre cee équaion à l aide du changemen de variable : = ln() d Résoudre alors le problème iniial 44 Trouver ous les couples (f,g) d applicaions de + * dans, dérivables, elles que : g( ) f ( ) + *, ( f '( ) =, g' ( ) = ) 45 Soi : (α,β), e (E) l équaion différenielle : y + αy + βy = On noe u l endomorphisme de : E = C (,), défini par : f E, u(f) = f On suppose que l équaion : r + αr + β =, adme deu racines complees disinces r 1 e r a Monrer que oue soluion de (E) sur es de classe C sur b Monrer que f es soluion de (E) sur si e seulemen si : f ker(u + αu + βid E ) c Monrer que : ker(u + αu + βid E ) = ker(u r 1 id E ) ker(u r id E ) d Résoudre alors l équaion (E) 46 Soi l équaion différenielle : (E) y (4) y (3) + y y + y =, à résoudre sur y a Monrer que y es soluion de (E) si e seulemen si : X =, es soluion d un sysème différeniel : ' ' ' (S) X = AX, où A es une marice que l on précisera b Monrer que A n es pas diagonalisable dans c Monrer que : 4 = ker(a ii 4 ) ker(a + ii 4 ) ker((a I 4 ) ) d En déduire qu il eise une marice inversible P elle que P -1 AP soi une marice B définie par blocs de i i la façon suivane : B = e Résoudre l équaion (E) 47 Wronskien Soien p e q des foncions définies e coninues d un inervalle I de dans On noe S I (EH) l ensemble des soluions sur I de l équaion (E) : y '' + p + q y = Pour deu soluions y 1 e y de (E) (donc deu élémens de S I (SH)), on défini : W = y1 y ' 1' y Monrer que la famille (y, y ) es libre si e seulemen si : W = 48 Soi I un inervalle de, e soi p une applicaion coninue de I dans a Soi z une applicaion dérivable de I dans, elle que : z ' + p z > Monrer que z adme au plus un zéro dans I b Soi q une applicaion coninue de I dans, elle que : q < Si y es une soluion de (E) : y '' + p + q y =, sur I, alors y adme au plus un zéro dans I 49 Soi S l ensemble des soluions sur + 1 * de l équaion (E) : y '' y = a Monrer que S es un plan vecoriel inclus dans C ( + *,) b Monrer que l ensemble : S = {y S, y ( 1) = }, es une droie affine Chapire 13 : Equaions différenielles Eercices - 5 -