Plan de la présentation. Les mesures risque-neutre. Un exemple. Un exemple (suite). Posons, pour tout 0 t T,

Transcription

1 Plan de la présenaion Les mesures risque-neure Les méhodes sochasiques dans les sciences de la gesion Geneviève Gauhier Dernière mise à jour : 3 juin 3 Un exemple :l évoluion d un seul acif risqué La héorie Le héorème de Radon-Nikodym Le héorème de Cameron-Marin-Girsanov Un exemple mulidimensionnel : l évoluion simulanée d un acif risqué éranger ainsi que d un aux de change Le héorème de Cameron-Marin-Girsanov mulidimensionnel Un roisième exemple : non-unicié de la mesure maringale Un exemple Soi Ω, F, {F : T },P un espace probabilisé filré sur lequel es consrui un mouvemen brownien sandard W {W : T }. Le processus sochasique S {S : T } représene l évoluion du prix d un ire risqué e saisfai l équaion différenielle sochasique ds µs d + S dw. 1 Supposons aussi que le aux d inérê r es consan. Le faceur d acualisaion es donc β exp r ce qui implique que dβ r exp r d. Un exemple suie. Posons, pour ou T, Y β S 3 c es-à-dire que Y représene la valeur acualisée au emps du ire risqué. En uilisan le lemme d Iô plus pariculièremen la règle de muliplicaion, nous obenons dy µ r Y d + Y dw. 4 En effe, dy dβ S 5 β ds + S dβ + d β, S 6 β µs d + S dw +S rβ d 7 µ r β S d + β S dw. 8 Sous sa forme inégrale, cee équaion différenielle sochasique devien Y Y +µ r s ds + s dw s. 9 1

2 Rappel Les processus d Iô Définiion. SoiW un {F },P mouvemen brownien. On appelle processus d Iô, un processus X {X : T} àvaleurs dans R el que: X X + K s ds + H s dw s 1 avec K {K : T } e H {H : T } son des processus adapés àlafilraion{f }, P [ T K s ds < ] 1 P [ T H s ds < ] 1 Damien Lamberon e Bernard Lapeyre, Inroducion au calcul sochasique appliqué àla finance, Ellipses, page 53. Un exemple suie. Rappelons que W es un {F },P mouvemen brownien. Dans un monde neure au risque Ω, F, {F : },Q, le processus sochasique Y {Y : T } devrai êre une {F },Q maringale. Ainsi, sous la mesure neure au risque, la endance de Y devrai êre nulle, c es-à-dire que nous voulons que le coefficien de dérive soi. Y Y +µ r s ds + s dw s 11 Y +µ r γ Y s ds + Y s d W s + γs. 1 Puisque µ r γ γ µ r, 13 alors Y Y + s dws où W W + µ r. 14 Un exemple suie Rappelons que W es un {F },P mouvemen brownien, Y Y + Y s dws 15 où W W + µ r. 16 Noons que sous la mesure P, le processus W n es pas un mouvemen brownien sandard puisque la loi de W sous la mesure P es N µ r,. Par conséquen, le processus Y ne sera pas une {F },P maringale puisque l inégrale sochasique es consruie par rappor à W qui n es pas une {F },P maringale. En effe, E P [W ] µ r 17 variedansleemps. Un exemple suie Rappelons que W es un {F },P mouvemen brownien, Y Y + Y s dws 18 où W W + µ r. 19 Nous cherchons donc la mesure de probabilié Q à placer sur l espace Ω, F, {F } qui fera en sore que W soi un mouvemen brownien sandard. Donc en changean la probabilié sur l ensemble Ω, nous ransformons le coefficien de dérive afin que la endance soi nulle e nous inégrons par rappor à une {F },Q maringale. Il en résulera que le processus Y sera une {F },Q maringale.

3 Le héorème de Radon-Nikodym La mesure neure au risque Commen déerminons-nous cee mesure Q? Cela es nore prochain objecif. Une façon de consruire de nouvelles mesures de probabilié sur l espace probabilisable Ω, F lorsque nous avons déjà une mesure de probabilié P exisan sur ce espace es la suivane: Soi Y, une variable aléaoire consruie sur l espace probabilisé Ω, F,P elle que ω Ω, Y ω ee P [Y ]1. Pour ou événemen A F, δ A dénoe la foncion indicarice de l événemen: { 1 si ω A δ A ω 1 sinon. Pour ou événemen A F, posons Q A E P [Yδ A ]. Alors Q es une mesure de probabilié surω, F. Le héorème de Radon-Nikodym suie Démonsraion. Nous devons vérifier que P 1 Q Ω 1, P A F, Q A 1, P 3 A 1, A,... F els que A i A j si i j, Q i 1 A i i 1 Q A i. Vérificaion de P 1. Or, puisque pour ou ω, δ Ω ω 1eparceque nous avons supposé quee P [Y ]1, Vérificaion de P. La deuxième condiion es ou aussi aisée à démonrer car Y éan une variable aléaoire posiive, Yδ A l es aussi e Q A E P [Yδ A ]. D aure par, Q A E P [Yδ A ] 4 E P [Yδ Ω ] 5 E P [Y ] Q Ω E P [Yδ Ω ]E P [Y ]1, 3 ce qui éabli la condiion P 1. 3

4 Vérifions mainenan que la condiion P 3 es saisfaie. Comme nous l avons éabli au cours d un exercice du premier chapire, A 1,A,... F els que A i A j si i j, Par conséquen, δ i 1 A i i 1 δ Ai. 8 Q [ ] A i E P Yδ i 1 A i i 1 9 E P Y δ Ai i 1 3 [ ] E P YδAi i 1 31 i 1 Q A i. 3 Le héorème de Radon-Nikodym suie Définiion. Deux mesures de probabilié P e Q consruies sur le même espace probabilisable Ω, F son dies équivalenes si elles on le même ensemble d événemens impossibles, c es-à-dire que P A Q A,A F. 33 Quesion. Éan donné deux mesures de probabilié équivalenes P e Q, exise--il une variable aléaoire Y à valeurs non-négaives elle que Q A E P [Yδ A ]? 34 Noons bien la différence enre ce problème e le résula que nous venons de démonrer. Dans ce dernier, Y e P nous éaien données e nous avons consrui Q. Danscecas-ci,P e Q nous son données e nous cherchons Y, ce qui es moins aisé. C es l exisence de cee variable qui es éablie dans le prochain héorème qui es une version du fameux héorème de Radon-Nikodym. Le héorème de Radon-Nikodym suie Théorème de Radon-Nikodym. Éan donné deux mesures de probabilié équivalenes P e Q consruies sur l espace probabilisable Ω, F, il exise une variable aléaoire Y à valeurs posiives elle que Q A E P [Yδ A ]. 35 Cee variable aléaoire Y es souven noée dq dp. Ce héorème ne nous indique oujours pas commen rouver nore mesure neure au risque. En fai, c es le prochain résula qui nous fournira la recee pour consruire nore mesure e il fai inervenir la dérivée de Radon-Nikodym. Le héorème de Radon-Nikodym suie Quelques réflexions sur le cas discre Supposons que Ω ne conienne qu un nombre fini d élémens. Soi Y β T X la valeur acualisée du droi coningen accessible X. SiF {Ω, }, alors son prix au emps es E Q [Y ] ω Ω Y ω Q ω 36 Y ω Q ω P ω 37 ω Ω P ω [ E P Y Q ] 38 P 4

5 Le héorème de Radon-Nikodym suie Considérons le modèle de marché de ype binomial : S 1 représene l évoluion de l acif sans risque e S modélise un acif risqué. L unique mesure neure au risque es noée Q, P éan la mesure réelle. ω S1 ω S ω S1 1 ω S 1 ω S1 ω S ω P Q ω 1 1; 1, 1; 1, 1; 1 1 4, 36 1, 44 ω 1; 1, 1; 1, 1; 3 1 4, ω 3 1; 1, 1; 4 1, 1; 1 1 4, 15, 6 ω 4 1; 1, 1; 4 1, 1; , 34 La dérivée de Radon-Nykodym es un peu la mémoire du changemen de mesure. Pour chacune des rajecoires, elle se souvien du changemen de pondéraion que nous avons effecué. dq dp Le héorème de Cameron-Marin-Girsanov Nous nous concenrons sur un inervalle de emps borné : [,T]. Soi W {W : [,T]} représene un mouvemen brownien consrui sur un espace probabilisé filréω, F, {F },P el que la filraion {F } es celle engendrée par le mouvemen brownien, augmenée de ous les événemens de probabilié nulle, c es-à-dire que pour ou, F N e W s : s. Le héorème de Cameron-Marin-Girsanov suie Le héorème de Cameron-Marin-Girsanov suie Théorème de Cameron-Marin-Girsanov. Soi γ {γ : [,T]}, un processus {F } prévisible el que E P [exp ] 1 T γ d Il exise une mesure Q sur Ω, F elle que CMG1 Q es équivalene à P <. 39 Le prochain héorème nous permera de consruire nos mesures risqueneure. CMG CMG3 dq dp exp[ T γ dw 1 T γ d] Le processus W { W : [,T] } défini par W W + γ s ds es un {F },Q mouvemen brownien. réf. Baxer e Rennie, page 74; Lamberon e Lapeyre, page 84 La condiion E P [ exp 1 T γ d] < es une condiion suffisane mais non nécessaire. Elle es connue sous l appellaion de condiion de Novikov. 5

6 Le héorème de Cameron-Marin-Girsanov suie Le héorème de Cameron-Marin-Girsanov suie Allons-y! dx b X, d + a X, dw 41 Considérons l équaion différenielle sochasique dx b X, d + a X, dw 4 où W représene un mouvemen brownien sur l espace probabilisé filré Ω, F, {F },P. Nous supposons que les coefficiens de dériveedediffusion son els qu il exise une unique soluion à l équaion que nous noons X. Nous cherchons une mesure de probabilié Q qui fasse en sore que, sur l espace Ω, F, {F },Q, la dérive de X soi b X, au lieu de b X,. où b b X, b X, X, d + a X, a X, d + a X, dw en auan que a X, soi différen de. b X, d + a X, d W + b X s,s b X s,s ds 4 a X s,s b X, d + a X, d W 43 W W + γ s ds e γ b X, b X,. 44 a X, Le héorème de Cameron-Marin-Girsanov suie [ Si E P exp 1 T γ d] < alors par les héorèmes de Radon-Nikodym e de Cameron-Marin-Girsanov, [ T Q A E P [exp γ dw 1 ] ] T γ d δ A, A F e W { W : [,T] } es un F,Q mouvemen brownien. En praique, nous n avons pas besoin de déerminer la mesure Q. Il nous suffi de savoir qu elle exise e de connaîre l équaion différenielle sochasique du processus qui nous inéresse sur l espace Ω, F, {F },Q. Le héorème de Cameron-Marin-Girsanov suie Un exemple suie Reprenons le modèle de marché de Black e Scholes. Le processus sochasique Y {Y : T } consrui sur l espace Ω, F, {F },Payan servi à la consrucion du mouvemen brownien représene l évoluion du prix acualisé d un ire risqué où dy µ r Y d + Y dw. 45 6

7 Le héorème de Cameron-Marin-Girsanov suie Un exemple suie Or, dans un monde neure au risque Ω, F, {F },Q, la endance de Y devrai êre nulle, c es-à-dire que nous voulons que le coefficien de dérive soi zéro. Ainsi où Dans ce cas-ci, dy µ r Y d + Y dw 46 µ r Y d + Y dw 47 Y d W + µ r Y d W 48 W W + µ r W + s, γ s µ r µ r ds Le héorème de Cameron-Marin-Girsanov suie Un exemple suie Rappel du héorème de Cameron-Marin-Girsanov. Soi γ {γ : [,T]}, un processus {F } prévisible el que ] 1 T E P [exp γ d <. Il exise une mesure Q sur Ω, F elle que CMG1 CMG CMG3 Q es équivalene à P dq dp exp[ T γ dw 1 T γ d] Le processus W { W : [,T] } défini par W W + γ s ds es un {F },Q mouvemen brownien. réf. Baxer e Rennie, page 74; Lamberon e Lapeyre, page 84 Le héorème de Cameron-Marin-Girsanov suie Un exemple suie Vérifions que la condiion concernan le processus γ es bien saisfaie : ] 1 T 1 T ] µ r E P [exp γ d E P [exp d 51 1 µ r exp T 5 <. 53 Le héorème de Cameron-Marin-Girsanov suie Un exemple suie Appliquons le héorème de Girsanov : [ dq T dp exp dw 1 ] T γ d 54 [ T µ r exp dw 1 T ] µ r d 55 [ exp µ r W T 1 ] µ r T. 56 Ceci implique que Q [A] E P [exp µ r W T 1 ] µ r T δ A, A F. 7

8 Le héorème de Cameron-Marin-Girsanov suie Un exemple suie De plus, sous la mesure Q, l évoluion du prix acualisé du ire risqué saisfai l équaion où W es un Q mouvemen brownien. dy Y d W 57 Nous pouvons aussi rerouver l équaion différenielle sochasique saisfaie par l évoluion S du prix du ire risqué : ds µs d + S dw 58 µs d + S d W µ r µs d + S d W S µ r puisque W W + µ r d 59 Un exemple suie Noons que nous n avons pas réellemen besoin de calculer Q, nous avons simplemen besoin de savoir qu elle exise puis d éablir quelle es l équaion saisfaie par le processus qui nous inéresse, à savoir l évoluion du prix d un ire risqué. En effe, sur Ω, F, {F },Q, ds rs d + S d W 61 où W es un Q mouvemen brownien. Or, l unique soluion de cee équaion es [ ] S S exp r + W. 6 rs d + S d W. 6 Un exemple suie Puisque le prix d une opion d acha don le prix d exercice es K e la maurié es T es donné par E Q [exp rtmaxs T K; ] 63 ] E Q [exp rtmax S exp r T + W T K; 64 ] E Q [max S exp T + W T K exp rt; 65 S exp T + z Ke rt ; f Z z dz. 66 où f Z représene la foncion de densié d une variable aléaoire normale d espérance nulle e de variance égale à T. Le rese du calcul ne fai qu inervenir des propriéés de la loi normale. Un exemple suie. Comme S exp T + z Ke rt T + z > ln ln S ln K + z> >Ke rt 67 S lnk rt ln S 68 T r α 69 8

9 Un exemple suie S exp T + z Ke rt ; f Z z dz 7 S exp α T + z Ke rt f Z z dz 71 exp α T + z f Z z dz α Ke rt f Z z dz 1 1 S α π 1/ exp z Tz + T dz 7 T 1/ T Ke rt 1 1 α π 1/ exp z dz 73 T 1/ T 1 1 z T S α π 1/ exp dz T 1/ T Ke rt 1 1 α π 1/ exp z dz 74 T 1/ T Posons u z T T 1/ e v z T 1/ 1 S exp u du α T 1/ T 1/ π Ke rt 1 exp v dv 75 α T 1/ π 1/ α T S 1 N T 1/ Ke rt α 1 N T 1/ 76 où N es la foncion de répariion d une variable aléaoire normale cenrée e réduie. Mais la symérie de N implique que 1 N x N x. Alors α T S 1 N T 1/ Ke rt α 1 N T 1/ α + T S N T 1/ Ke rt α N T 1/ ln S ln K + r + T S N T 1/ Ke rt ln S ln K + r T N T 1/ 79 Un deuxième exemple : cas mulidimensionnel Supposons que W e W représenen deux mouvemens browniens sandards consruis sur l espace probabilisé filréω, F, {F },P. Remarquons que { B : } où es un mouvemen brownien sandard el que B ρw + 1 ρ 1/ W 8 Corr P W, B ρ. 81 Exercice :démonrez-le. 9

10 Un deuxième exemple : cas mulidimensionnel suie Le aux de change insanané dc µ C C d + C C dw 8 nous perme de modéliser le nombre de dollars canadiens par unié monéaire érangère à chaque insan. Supposons aussi que l équaion différenielle sochasique ds µ S S d + S S d B 83 µ S S d + S ρs dw + S 1 ρ 1/ S d W 84 modélise l évoluion du prix d un acif risqué éranger. Enfin le aux d inérê insanané canadien r e le aux d inérê insanané éranger v son supposés consans. Par conséquen, le faceur d acualisaion es β exp r. 85 e la valeur en devise érangère d un invesissemen iniial d une unié monéaire érangère es B expv. Un deuxième exemple : cas mulidimensionnel suie Plaçons-nous dans la peau d un invesisseur canadien. C S nous donne la valeur en dollars canadiens de l acif risqué auemps, C B nous donne la valeur en dollars canadiens d un placemen d une unié de la devise érangère dans un compe bancaire éranger au emps, U β C S nous donne la valeur acualisée en dollars canadiens de l acif risqué au emps. V β C B nous donne la valeur acualisée en dollars canadiens d un placemen d une unié de la devise érangère dans un compe bancaire éranger au emps. Nous cherchons la mesure Q qui rendra les processus sochasiques U e V des {F },Q maringales. Un deuxième exemple : cas mulidimensionnel suie Rappel: dc µ C C d + C C dw, 86 db vb d 87 dβ rβ d 88 Premièremen, déerminons l équaion différenielle sochasique saisfaie par la valeur acualisée en dollars canadiens d un placemen d une unié de la devise érangère dans un compe bancaire éranger V βcb sous la mesure P. Le lemme d Iô nouspermed écrire dc B C db + B dc + d B, C 89 C vb d+b µ C C d + C C dw 9 Ainsi, dv dβ C B 9 β dc B + C B dβ + d β, CB 93 β v + µ C C B d + C C B dw +C B rβ d µ C + v r β C B d + C β C B dw 94 µ C + v r V d + C V dw. 95 v + µ C C B d + C C B dw. 91 1

11 Un deuxième exemple : cas mulidimensionnel suie Rappel: ds µ S S d + S ρs dw + S 1 ρ 1/ S d W, 96 dc µ C C d + C C dw, 97 db vb d, 98 dβ rβ d. 99 Deuxièmemen, déerminons l équaion différenielle sochasique saisfaie par U βcs sous la mesure P. Le lemme d Iô nouspermed écrire dc S C ds + S dc + d S, C 1 C µ S S d + S ρs dw + S 1 ρ 1/ S d W 11 +S µ C C d + C C dw + S ρs C C d µ S + µ C + S C ρ C S d 1 + S ρ + C C S dw + S 1 ρ 1/ C S d W. Réuilisan le lemme d Iô, nous obenons du dβ C S 13 β dc S + C S dβ + d β, CS 14 µ S + µ C + S C ρ C S d β + S ρ + C C S dw + S 1 ρ 1 C S d W 15 +C S rβ d µ S + µ C + S C ρ r β C S d 16 + S ρ + C β C S dw + S 1 ρ 1/ β C S d W µ S + µ C + S C ρ r U d 17 + S ρ + C U dw + S 1 ρ 1/ U d W. Un deuxième exemple : cas mulidimensionnel suie Nous avons dv µ C + v r V d + C V dw, 18 du µ S + µ C + S C ρ r U d 19 + S ρ + C U dw + S 1 ρ 1/ U d W cequinouspermed écrire dv µ C + v r C γ V d + C V d W + sds 11 µ S + µ C + S C ρ r du S ρ + C γ S 1 ρ 1/ U d 111 γ + S ρ + C U d W + sds + S 1 ρ 1/ U d W + sds. Un deuxième exemple : cas mulidimensionnel suie Nous voulons donc résoudre le sysème linéaire µ C + v r C γ µ S + µ C + S C ρ r S ρ + C γ S 1 ρ 1/ γ don les inconnues son γ e γ. Sous forme maricielle, nous écrivons C S ρ + C S 1 ρ 1 γ µ C + v r. γ µ S + µ C + S C ρ r La soluion es γ µ C + v r C 11 γ µ S v + S C ρ S 1 ρ 1 ρ µ C + v r C 1 ρ

12 Un deuxième exemple : cas mulidimensionnel suie Posons donc W W + γ s ds où γ s µ C + v r C e W W + γ s ds où γ s µ S v + S C ρ S 1 ρ 1 ρ µ C + v r C 1 ρ 1. Nous pouvons alors écrire dv C V dw 114 du S ρ + C U dw + S 1 ρ 1/ U d W. 115 Le héorème de Cameron-Marin-Girsanov cas mulidimensionnel Soi W W 1,..., W n un mouvemen brownien de dimension n, c es-à-dire que ses composanes son des mouvemens browniens sandards indépendans sur l espace probabilisé filréω, F, {F },P. Es-il possible de rouver une mesure Q elle que W e W son des {F },Q mouvemens browniens simulanémen? Théorème de Cameron-Marin-Girsanov. Pour ou i {1,..., n}, γ i γ i : T es un processus {F } prévisible el que 1 T E P [exp γ i ] d <. Il exise une mesure Q sur Ω, F elle que CMG1 CMG CMG3 Q es équivalene à P [ dq dp exp n T i1 γ i dw i 1 T ni1 γ i ] d W i Pour ou i {1,..., n}, le processus W i W i : T défini par W i réf. Baxer e Rennie, page γ i s ds es un {F },Q mouv. brownien. Un deuxième exemple : cas mulidimensionnel suie Comme les foncions γ e γ son consanes, la condiion de Novikov es saisfaie e le héorème de Girsanov version mulidimensionnelle nous perme de conclure qu il exise une mesure maringale Q elle que W e W son des {F },Q mouvemens browniens. 1

13 Un deuxième exemple : cas mulidimensionnel suie Un deuxième exemple : cas mulidimensionnel suie Fai inéressan, sur l espace Ω, F, {F },Q, nous avons l équaion différenielle sochasique saisfaie par le aux de change insanané dc µ C C d + C C dw 116 µ C C d + C C d W µ C + v r C 117 r v C d + C C dw. 118 On rerouve dans le coefficien de dérive la différence enre les aux d inérê insananés local e éranger. Toujours sur l espace Ω, F, {F },Q, l équaion différenielle sochasique de l évoluion du prix de l acif risqué en dollars canadiens es dc S µ S + µ C + S C ρ C S d S ρ + C C S dw + S 1 ρ 1/ C S d W µ S + µ C + S C ρ C S d 1 + S ρ + C C S d W µ C + v r C + S 1 ρ 1/ C S d W µ S v + S C ρ S 1 ρ 1 ρ µ C + v r C 1 ρ 1 rc S d + S ρ + C C S dw + S 1 ρ 1/ C S d W 11 Un deuxième exemple : cas mulidimensionnel suie où la dernière égalié s obien de la simplificaion du coefficien de dérive µ S + µ C + S C ρ S ρ + C µ C + v r C S 1 ρ 1/ µ S v + S C ρ S 1 ρ 1 ρ µ C + v r C 1 ρ 1. Toujours sous la mesure neure au risque Q, la valeur en dollars canadiens d un placemen d une unié de la devise érangère dans un compe bancaire éranger saisfai dc B v + µ C C B d + C C B dw 1 v + µ C C B d + C C B d v + µ C C µ C + v r C W µ C + v r C 13 C B d + C C B dw 14 rc B d + C C B dw

14 Un deuxième exemple : cas mulidimensionnel suie En résumé, dc µ C C d + C C dw 16 dc r v C d + C C dw 17 dc S µ S + µ C + S C ρ C S d 18 + S ρ + C C S dw + S 1 ρ 1/ C S d W dc S rc S d 19 + S ρ + C C S dw + S 1 ρ 1/ C S d W dc B v + µ C C B d + C C B dw 13 dc B rc B d + C C B dw 131 Un deuxième exemple : cas mulidimensionnel suie Pour ce qui es des ires en devise érangère, nous avons l équaion, sous la probabilié Q, qui caracérise l évoluion du prix de l acif risqué en devise érangère : ds 13 µ S S d + S ρs dw + S 1 ρ 1/ S d W 133 ds µ S S d + S ρs d W µ C + v r 134 C + S 1 ρ 1/ S d W µ S v + S C ρ S 1 ρ 1 ρ µ C + v r C 1 ρ 1 v S C ρ S d + S ρs dw + S 1 ρ 1/ S d W 135 e celle de l évoluion d un compe bancaire en devise érangère db vb d. 136 Un roisième exemple : non-unicié delamesuremaringale Soi W e W deux mouvemens browniens sandards indépendans consruis sur l espace probabilisé filréω, F, {F },P. Supposons que le prix d un acif risqué évolue selon l ÉDS ds µs d + S dw + S d W 137 e que le aux d inérê insanané r es consan. Un roisième exemple : non-unicié de la mesure maringale Posons, pour ou T, Y β S 138 c es-à-dire que Y représene la valeur acualisée au emps du ire risqué. En uilisan le lemme d Iô plus pariculièremen la règle de muliplicaion, nous obenons En effe, dy µ r Y d + Y dw + Y d W. 139 dy dβ S 14 β ds + S dβ + d β, S 141 β µs d + S dw + S d W + S rβ d 14 µ r β S d + β S dw + β S d W

15 Un roisième exemple : non-unicié de la mesure maringale Un roisième exemple : non-unicié de la mesure maringale dy µ r Y d + Y dw + Y d W 144 µ r γ γ Y d 145 +Y d W + γ sds + Y d W + γ sds. Forçons le coefficien de dérive à s annuler : µ r γ γ γ µ r γ. 146 Il y a donc une infinié de soluions. Rappel : γ µ r γ. 147 Si l on décide que le processus {γ : T } ne dépend pas du emps, alorsilenserademême pour γ. Commeγ e γ son déerminises e consans, la condiion de Novikov es saisfaie. Par conséquen, pour ou γ R, il exise une mesure maringale Q γ elle que W γ W + γ 148 e W γ W + γ W µ r + γ 149 son des {F },Q γ mouvemens browniens. Pour ou γ R, le processus Y, es une {F },Q γ maringale. dy Y dw γ + Y d W γ 15 Conséquences Le marché es incomple Cerains drois coningens ne pourron pas êre répliqués. Dans ce cas, l espérance, sous une mesure neure au risque, de la valeur acualisée du droi coningen nous donnera UN prix mais pas LE prix. Commen déermine--on si un droi coningen es accessible? La réponse se rouve dans la prochaine série de diaposiives! Références Marin Baxer e Andrew Rennie Financial Calculus, an inroducion o derivaive pricing, Cambridge universiy press. Chrisophe Bisière La srucure par erme des aux d inérê, Presses universiaires de France. Damien Lamberon e Bernard Lapeyre sochasique appliqué àlafinance, Ellipses. Inroducion au calcul 15