LA DIMENSION D UN ESPACE VECTORIEL DE DIMENSION FINIE

Transcription

1 1 Ce que tout le monde doit savoi LA DIMENSION D UN ESPACE VECTORIEL DE DIMENSION FINIE Résumé... 2 Espace vectoiel de dimension finie... 3 Les systèmes libes d un espace de dimension finie... 4 Si v1,.., vk et libe et si u1,., um est généateu alos k m... 5 Existence d une base d un espace de dimension finie... 6 La dimension d un espace de dimension finie... 7 Solution des execices 1 et Solution de l execice Solution de l execice Solution de l execice I) Si ( E, +, ) est un espace vectoiel éel, E désignea indifféemment l ensemble des vecteus de ( E, +, ) ou l espace vectoiel ( E, +, ) lui-même s il n y a pas d ambiguïté, pa exemple : «E est un espace-vectoiel de dimension finie» vouda die «( E, +, ) est un espace vectoiel éel de dimension finie». II) E ne sea jamais l ensemble { 0 }.

2 2 Résumé 1) E est un espace vectoiel de dimension finie losqu il existe une suite u1,...,um de vecteus de E telle que tout vecteu de E soit une combinaison linéaie des vecteus u1,...,um. Pou tout vecteu v de E il existe une suite a1,...,am de éels telle que v = a1.u1 +...am.um. Dans ce cas on dit que u1,...,um est un système de généateus de E ou que E est engendé pa u1,...,um (ou que u1,...,um engende E). 2) Rappel v1,...,vk est un système libe de E losque : a1.v ak.vk = 0 implique a i = 0 pou tout i { 1,...,k }. 1 si u1,...,um est un système de généateus de E alos, n impote quelle suite w1,...,ws de vecteus de E n est pas un système libe si s m + 1. Donc si u1,.,um un système de généateus de E et si i libe de E alos k m. v1,.., vk est un système 3) Si E est espace vectoiel de dimension finie il existe une base de E. 4) Toutes les bases d un espace vectoiel de dimension finie ont le même nombe d éléments, ce nombe est la dimension de E ( dim( E)). Le nombe des vecteus d un système libe est au plus égal à dim( E). 5) Si dim( E) = n et si on sait que le système v1,..., v n affime que1 v1,..., v n est une base de E. est libe, on peut

3 3 Espace vectoiel de dimension finie (E, +, ) est un espace vectoiel éel. Rappel Soit u1,...,um une suite de vecteus de E. Si v = a1.u am.um, v est une combinaison linéaie des vecteus u1,...,um. Espace vectoiel de dimension finie «E est un espace vectoiel de dimension finie» veut die : il existe une suite u1,...,um de vecteus de E telle que tout vecteu de E soit une combinaison linéaie des vecteus de la suite u1,...,um. Pou tout vecteu v de E il existe une suite a1,...,am de éels telle que v = a1.u1 +...am.um. Vocabulaie Dans ce cas on dit que u1,...,um est un système de généateus de E ou que E est engendé pa u1,...,um (ou que u1,...,um engende E). Mise en gade «m» n est pas en généal la dimension de E. Remaques 1) Si u1,...,um n est pas un système libe la suite de éels v = a1.u1 +...am.um n est pas obligatoiement unique. a1,...,am telle que 2) Beaucoup d espaces vectoiels ne sont pas de dimensions finies (pa exemple l espace vectoiels des fonctions numéiques n est pas de dimension finie). 3) On se enda compte que l espace vectoiel des suites numéiques de longueu n est de dimension finie et que l espace vectoiel des polynômes de degés inféieus ou égaux à n est de dimension finie. 4) L espace vectoiel des vecteus du plan d oigine O est de dimension finie. 5) Un espace vectoiel de dimension finie a plusieus systèmes de généateus et le nombe de vecteus d un système de généateus n est pas fixe. Execice 1 E est l espace vectoiel des polynômes du pemie degé (du type t at + b ). 1) Véifie que si A (t) = t et B(t) = 1 alos E est engendé pa A,B. 2) Véifie que si F (t) = t + 1, G(t) = t + 2 alos F, G est un système de généateus de E.

4 Les systèmes libes d un espace de dimension finie Rappel v1,...,vk est un système libe de E losque : a1.v ak.vk = 0 implique a i = 0 pou tout i { 1,...,k }. 4 Remaques 1) Le vecteu nul 0 n appatient à aucun système libe. 2) Si v1,...,vk est un système libe de E alos si k < k, v 1,..,v k est encoe un système libe si { v 1,..,vk } est un sous ensemble de { v1,...,vk }. Peuve a1.v a'k.vk' = 0 s'écit a1.v ak.vk = 0 avec ai = 0 si vi { v1...vk' }. Popiété 1 si u1,...,um est un système de généateus de E et si v1,...,vk est un système libe de E alos : k m. 1 si u1,...,um de E alos, si s m + 1 la suite w1,...,ws n est pas un système libe pou n impote quel choix des vecteus w1,...,ws. (Peuve page suivante) Si on connait le nombe des vecteus d un système de généateus le nombe des vecteus d un système libe est au plus égal au nombe des vecteus de ce système de généateus. Remaques 1) Pou véifie que toute suite de vecteus de E de longueu s m + 1 n est pas libe, il suffit de véifie que n impote quelle suite w 1,...,wm+ 1de vecteus de E n est pas un système libe. 2) Pou véifie que w 1,...,wm+ 1n est pas un système libe, il suffit de touve une suite c 1,...,cm+ 1 de éels qui ne sont pas tous nuls telle que : c1.w cm+ 1.wm+ 1 = 0 Execice 2 E est un espace vectoiel de dimension finie engendé pa un seul vecteu u 1. Soit w1 = a11.u1 w2 = a12.u1 deux vecteus non nuls de E. Véifie que w 1,w 2 n et pas un système libe. Aide Touve en fonction de a11 et a12 des éels a et b non nuls tous les deux tels que : a.w1 + b.w2 = 0.

5 5 Si v1,.., vk et libe et si u1,., um est généateu alos k m Soit E un espace vectoiel de dimension finie et u1,.,um un système de généateus de E. Popiété Si v1,.., vk est un système libe de E alos k m. Peuve (On utilisea le fait que si un système linéaie d équations contient plus d inconnues que d équations alos il possède plusieus solutions). Il suffit de véifie que pou n impote quelle suite w 1,...,wm+ 1de vecteus de E on peut touve une suite c 1,...,cm+ 1 de éels qui ne sont pas tous nuls tels que : c1.w cm+ 1.wm+ 1 = 0. Soit w 1,...,wm+ 1une suite de vecteus de E, puisque u1,.,um engende E : 1 wi = a1i.u ami.um pou 1 i m + 1. C'est-à-die : w1 = a11.u am1.um,...,wm + 1 = a1m+ 1.u amm+ 1.um a11...am1 Les m + 1 suites... de éels sont données. a1m+ 1...amm + 1 On veut touve une suite c 1,...,cm+ 1 de éels qui ne sont pas tous nuls tels que c1.w cm+ 1.wm+ 1 = 0 : c1.w cm+ 1.wm+ 1 = c1. ( a11.u am1.um ) cm+ 1. ( a1m+ 1.u amm+ 1.um ) = ( c1a cm+ 1a1m + 1).u ( c1am cm+ 1am m+ 1 ).u m Il suffit de touve une solution ( c1,...,cm + 1) (0,...,0) du système à m équations et m + 1 inconnues a11c a1m + 1cm+ 1 = 0... am1c am m+ 1cm+ 1 = 0 Ce système contient plus d inconnues que d équations donc il admet une solution ( c1,...,cm + 1) telle que les ci ne soient pas tous nuls et : w 1,...,wm+ 1n est pas un système libe. Execice 3 1) w1 = a11.u1 + a21.u2,w2 = a12.u1 + a22.u2,w3 = a13.u1 + a23.u2. Touve concètement le système véifié pa c1,c2,c3 tel que c1.w1 + c2.w2 + c3.w3 = 0 en fonction des a i j pou i = 1,2 et j = 1,2, 3 2) w1 = u1 + u2,w2 = u1 + 2.u2, w3 = u1 + 3.u2. Touve c 1,c2,c3.

6 6 Existence d une base d un espace de dimension finie Soit E est un espace vectoiel de dimension finie et u1,.,um un système de généateus de E. 1) Il existe au moins un système libe de E : pa exemple le système constitué du seul vecteu u v v 1est un système libe puisque u1 0 donc a1.u1 = 0 implique a 1 = 0. 2) Soit v1,.., vk un système libe de E (il en existe d apès 1)). Pami tous les systèmes libes de E qui contiennent les vecteus v1,.., vk il y en a au moins un constitué pa un nombe maximum de vecteus (ca tous ces systèmes contiennent au plus m vecteus). (En effet : si des nombes enties sont tous inféieus ou égaux à m pami ceux- ci il y en a un maximum.) 3) Soit b1,...,bn un tel système ( n m, b1,...,bn est libe et contient v1,..,vk ). Popiété b1,...,bn est une base de E. Peuve 1) b1,...,bn est un système libe (pa définition). 2) Tout vecteu u de E est une combinaison linéaie des vecteus b1,...,bn. En effet I. b i est une combinaison linéaie des b 1,...,bn pou tout i = 1,...,n : b i = a1b an.bn avec a j = 0 si j i et ai = 1. II. Si u bi pou tout i = 1,..., n alos le système u b1,...,bn contient v1,.., vk et il est constitué n + 1vecteus donc il ne peut pas ête libe (n est le nombe maximum de vecteus qui constituent un système libe contenant v1,.., vk ). Puisque u b1,...,bn n est pas libe il existe c, c1,...,cn non tous nuls tels que : c.u + c1.b1 +...,cn.bn = 0. 1c 0 ca si c = 0alos c1.b1 +...,cn.bn = 0 avec c1,...,cn non tous nuls ce qui est impossible puisque b1,...,bn est libe. c Donc u = a... a avec a i 1.b n.b n i =.( u est une combinaison linéaie des c b1,...,bn ). Execice 4 Soit b 1 b 2 une base de l espace vectoiel E. v Soit u = b1 + b2,v = b1 b2. Véifie que1 u v, v est une base de E.

7 7 La dimension d un espace de dimension finie E un espace vectoiel de dimension finie. E possède une base notée b1,..., bn. Soit u1...u p une aute base de E. 1) b1,...,bn est un système de généateus de E et u1...u p est un système libe donc on sait que p n. 2) u1...u p est un système de généateus de E et b1,...,bn est un système libe donc on sait que n p. Il en ésulte n = p. Toutes les bases d un espace vectoiel de dimension finie ont le même nombe d éléments. La dimension d un espace vectoiel de dimension finie Si E est un espace vectoiel de dimension finie, le nombe des vecteus de chacune de ses bases est le même, c est la dimension de E. Si n est le nombe des vecteus de chacune des bases de E : dim( E) = Question Si dim( E) = n et si on sait que le système v1,..., v n est libe, peut-on affime que1 v1,..., v n est une base? Réponse Oui. En effet, si v1,..., v n n est pas une base il existe au moins un vecteu u qui n est pas une combinaison linéaie des vecteus v1,...,vn. Le système u v1,..,vn est alos libe, en effet : Si c,c1,...,c n une suite de éels telle que1 c.u + c1.v cn.vn = 0 alos tout nombe de cette suite est nul, en effet : si c = 0 alosc 1 = 0,...,cn = 0 puisque c v1,..., vn est libe et si c 0 alos u = a... a avec a i 1.v n.v n i = ce qui c est impossible puisque u n est pas une combinaison linéaie des v1,...,vn. Donc si v1,..,vn n est pas une base, le système de n + 1 vecteus u v1,..,vn est libe ce qui est impossible puisqu il existe une base de n vecteus (dim( E) = n), donc un système généateu de n vecteus (page 4 : n impote quelle suite de longueu n + 1 n est pas libe). Donc v1,..,vn ne peut ête qu une base. Execice 5 1) Donne une solution apide de l execice 4. v 2) Soit b1 b2 b3une base de l espace vectoiel E. u = b1 + b2,v = b1 + b2 + b3. v Véifie que1 b1 u v est une base de E. n

8 8 Solution des execices 1 et 2 Execice 1 E est l espace vectoiel des polynômes du pemie degé (du type t at + b ). 1) Véifie que si A (t) = t et B(t) = 1 alos A, B est un système de généateus de E. 2) Véifie que si F (t) = t + 1, G(t) = t + 2 alos F, G est un système de généateus de E. Solution 1) Si P est un polynôme du pemie degé, alos il existe la suite a, b de éels telle que P (t) = at + b donc telle que : P = a.a + b.b. 2) Soit P un vecteu de E, P (t) = at + b; il existe une suite x, y de éels telle que : P = x.f + y.g. En effet : at + b = x(t + 1) + y(t + 2) = (x + y)t + x + 2y donne x + y = a x + 2y = b Soit : x = 2a b y = b a Si P = a.a + b. B est un vecteu quelconque de E : P = (2a b).f + (b a).g. Donc F, G est un système de généateus de E. Execice 2 E est un espace vectoiel de dimension finie engendé pa un seul vecteu u 1. Soit w1 = a11.u1 w2 = a12.u1 deux vecteus non nuls de E. Véifie que w 1,w 2 n et pas un système libe. Aide Touve en fonction de a11 et a12 des éels a et b non nuls tous les deux tels que : a.w1 + b.w2 = 0. Solution Remaque a11 0 et a12 0. a.w1 + b.w2 = (aa11).u1 + (ba12).u1 = (aa11 + ba12).u1 Les éels a et b véifient aa 11 + ba12 = 0 soit pa exemple : ba 12 ba a = avec b 0 : 12 ba w b w 0 avec = 0 et b 0. a11 a11 a11 Donc il existe c1 et c2 non tous les deux nuls tels que tels que : c1.w1 + c2.w2 = 0.

9 9 Solution de l execice 3 Execice 3 1) w1 = a11.u1 + a21.u2,w2 = a12.u1 + a22.u2,w3 = a13.u1 + a23.u2. Touve concètement le système véifié pa c1,c2,c3 tel que c1.w1 + c2.w2 + c3.w3 = 0 en fonction des a i j pou i = 1,2 et j = 1,2, 3 2) w1 = u1 + u2,w2 = u1 + 2.u2, w3 = u1 + 3.u2. Touve c 1,c2,c3. Solution 1) c1.w1 + c2.w2 + c3.w3 = c1. ( a11u1 + a21u2 ) + c2( a12u1 + a22u2 ) + c3( a13u1 + a23u2 ) = ( c1a11 + c2a12 + c3a13).u1 + ( c1a21 + c2a22 + c3a23).u2 = 0 c1a11 + c2a12 + c3a13 = 0 c 1 a 21 + c 2 a 22 + c 3 a 23 = 0 2) a 11 = 1 ; a21 = 1 ; a12 = 1 ; a22 = 2 : a13 = 1 ; a23 = 3 On obtient le système : c1 + c2 + c3 = 0 c 1 + 2c 2 + 3c 3 = 0 On peut choisi pa exemple c 3 = 1. c1 + c2 = 1 c 1 + 2c 2 = 3 c1 = 1 c2 = 2 w1 2.w2 + w3 = (u1 + u2) 2(u1 + 2.u2) + u1 + 3.u2 = 0

10 10 Solution de l execice 4 Execice 4 Soit b 1 b v 2 une base de l espace vectoiel E. u = b1 + b2,v = b1 b2. Véifie que1 u v, v est une base de E. Solution 1) u v, v est un système libe, en effet : cu + dv = 0 c. ( b1 + b2 ) + d. ( b1 b2 ) = 0 (c + d).b 1 + (c d).b 2 = 0 Le système b 1 b c + d = 0 2 est libe donc. c d = Le déteminant = 2 de ce système est non nul donc la seule solution est : 1 1 c = 0 et d = 0 donc u v, v est libe. 2) u v, v engende E, en effet : Soit w un vecteu quelconque de E, touvons x, y tel que w = x.u + y.v. Puisque b 1 b 2 est une base il existe une unique suite a1,a2 tel que w = a1.b1 + a2.b2. w = x. ( b1 + b2 ) + y( b1 b2 ) w = (x + y)b1 + (x y)b2 Puisque la suite a1,a2 est unique : x + y = a1 x y = a 2 Puisque le déteminant de ce système est non nul il admet une solution unique : a1 1 1 a1 a2 1 a1 a2 1 a2 a2 y a1: x a1 + a2 et y a1 x = = = = = = a

11 11 Solution de l execice 5 Execice 5 1) Donne une solution apide de l execice 4. v 2) Soit b1 b2 b3une base de l espace vectoiel E. u = b1 + b2, v = b1 + b2 + b3. v Véifie que1 b1 u, v est une base de E. Solution 1) dim( E) = 2 donc il suffit de véifie que u v, v est un système libe (voi la solution de l execice 4). 2) b1 b2 b3une base de l espace vectoiel E donc dim( E) = 3. v Pou véifie que b1 u, v v est une base de E il suffit de véifie que b1 u, v libe. v x.b1 + y.u + z.v = 0 x.b1 + y.(b1 + b2) + z.(b1 + b2 + b3) = 0 (x + y + z).b1 + (y + z).b2 + z.b3 = 0 Puisque b1 b2 b3 est libe : x + y + z = 0 y + z = 0 z = 0 Donc y = 0, x = 0. v 1 b1 u v est un système libe de E, c est donc une base de E puisque dim( E) = 3. est