Mathématiques pour MPSI (mais pas que pour) JPV

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1 Mathématiques pour MPSI (mais pas que pour) JPV Lycée international de Valbonne Sophia-Antipolis address:

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3 3 Résumé. Ce fascicule développe le programme officiel de mathématiques en MPSI (à quelques suppléments près et comporte quelques démonstrations). L ordre des notions 1 n est pas nécessairement celui suivi en classe. Official program of mathematics of the MPSI s option of the so called classes préparatoires (undergraduate level) with some light topics (seems to be heavier today). Effective exposition is not teachable art. There is no useful recipe (Halmos).

4 CHAPITRE 7 Notions sur les fonctions de deux variables réelles L espace R 2 considéré est l espace vectoriel normé de dimension deux. Les fonctions sont définies sur un ouvert de R m (m = 2 ou m = 3) et à valeurs réelles. Cependant, pour respecter le programme il faudra ne pas le respecter et considérer des fonctions à valeurs dans R n (n > 1). Malgré le titre de ce chapitre, les notions étudiées sont valables en dimension quelconque Normes. E désigne R Généralités éfinition eux normes ϕ et ψ définies sur E sont équivalentes s il existe deux réels strictement positifs, c 1 et c 2, tels que pour tout x dans E : c 1 ϕ(x) ψ(x) c 2 ϕ(x) Exemple Nous utiliserons particulièrement les normes suivantes (x = (x 1, x 2 )) : (1) x 1 = x 1 + x 2 : (2) x 2 = x1 2 + x2 2 (norme euclidienne) : (3) x = max( x 1, x 2 ). Cette notation provient du fait que : lim n + ( x 1 n + x 2 n ) 1 n = max( x1, x 2 ). ans le cas de la dimension 1, la norme utilisée sera la valeur absolue. Proposition Les normes x 1, x 2, x sont équivalentes et pour tout x : x x 2 x 1 2 x émonstration. Les inégalités sont immédiates. Les égalités sont obtenues pour certains vecteurs (voir la figure 1), indiquant que les coefficients donnés sont les meilleurs. En fait, les normes de E sont équivalentes deux à deux (hors programme). 1 B 1 2 B B 1 B 2 Figure 1. Comparaison des boules 219

5 22 7. NOTIONS SUR LES FONCTIONS E EUX VARIABLES RÉELLES Ouverts. Rappel : boules ouvertes, boules fermées voir les espaces vectoriels euclidiens 6.1, page 185. éfinition Une partie U de E est ouverte si et seulement si elle est réunion de boules ouvertes. Ou : tout élément a de U est centre d une boule ouverte B telle que : a B U Convergence. Remarque Une suite (v n ) n de vecteurs de E est un ensemble de vecteurs v n dont les coordonnées sont des suites réelles. éfinition Une suite de vecteurs (v n ) n converge vers ξ si, et seulement si, pour tout réel ε strictement positif, il existe un entier N tel que la boule ouverte de centre ξ et de rayon ε contient les éléments v n pour n N. Remarque Il est inutile de préciser la norme utilisée, car la convergence ne dépend pas de la norme, comme le montre la proposition suivante. Proposition (v n ) n converge vers ξ si et seulement si les coordonnées de v n convergent vers les coordonnées de ξ. émonstration. La démonstration est semblable à celle du cas complexe ; notons v n,i la i e coordonnée de v n. Pour toute norme : v n,i ξ i v n ξ onc v n ξ n implique que pour tout i : v n,i ξ i n n Inversement, si pour tout i : v n,i ξ i, la suite v n ξ 1 = v n,1 ξ 1 + v n,2 ξ 2 tend vers, d après l équivalence des normes, il existe un réel k > tel que pour tout vecteur v : v v 1, en particulier : v n ξ tend vers Fonctions réelles Fonctions continues éfinition Soient f une application définie sur une partie U de E, à valeurs réelles et a un élément de U. La fonction f est continue en a si, et seulement si, pour toute suite (v n ) n convergente vers a, (f (v n )) n converge (vers f (a)). f est continue sur U si elle est continue en tout point de U. a U, ε R +, η, x U, x V(a,η) f (x) V(f (a),ε) (V(m,r ) désigne la boule ouverte ou la boule fermée de centre m et de rayon r ). éfinition Soit a = (a 1, a 2 ) dans U. Les applications (x 1, a 2 ) f (x 1, a 2 ) et (a 1, x 2 ) f (a 1, x 2 ) définies sur {x 1 E/(x 1, a 2 ) U}, respectivement {x 2 E/(a 1, x 2 ) U}, sont appelées applications partielles. Proposition Si f est continue en a, ses applications partielles (x 1, a 2 ) f (x 1, a 2 ) et (a 1, x 2 ) f (a 1, x 2 ) sont continues en a 1 et a 2. émonstration. Supposons f continue en (a 1, a 2 ), alors pour tout ε >, il existe η > tel que : (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) 2 η f (x 1, x 2 ) f (x 1, x 2 ) ε Nous pouvons choisir une norme particulière : (x 1, a 2 ) (x 1, a 2) 2 = x 1 x 1, d où : par suite : f (x 1, a 2 ) f (x 1, a 2) ε. x 1 x 1 η (x 1, a 2 ) (x 1, a 2) 2 η

6 7.3. CALCUL IFFÉRENTIEL 221 Remarque La réciproque est fausse : soit f définie par (x, y) (x, y) et f (,) =, n est pas continue en (,). x y x 2 +y 2 Théorème L ensemble C (U, R) des fonctions continues sur U, à valeurs réelles, muni de l addition, de la multiplication des fonctions et de la multiplication par un scalaire, a une structure d anneau et une structure d espace vectoriel (algèbre). émonstration. après les propriétés des limites Fonctions à valeurs vectorielles. Les définitions de continuité sont semblables au cas réel (et au cas des fonctions à valeurs complexes). Proposition f : (x 1, x 2 ) f (x 1, x 2 ), définie sur U à valeurs dans E est continue en a si et seulement si ses applications coordonnées (x 1, x 2 ) f j (x 1, x 2 ) (j = 1, j = 2) sont continues en a (respectivement continues sur U). émonstration. En effet (j = 1 ou j = 2) : si f j (x) f j (a) f (x) f (a) 1 = f 1 (x) f 1 (a) + f 2 (x) f 2 (a) Proposition La composée d applications continues est continue. émonstration. Soient U, V et W des parties de R m, R n et R p respectivement (m, n et p sont égaux à 1 ou 2). Supposons que g : V W est continue en b = f (a) et f : U V est continue en a. Notons ξ X la norme d un vecteur ξ de l espace vectoriel X : ε >, η >, y V : y b V η g (y) g (b) W ε η >, δ >, x U : x a U δ f (x) f (a) V η où, en posant y = f (x) : ε >, δ >, x U : x a U δ g (f (x)) g (f (a)) W ε 7.3. Calcul différentiel érivées partielles premières. Soient f une application à valeurs réelles définie sur l ouvert U de E, a un point de U, h un vecteur de E. éfinition Il existe un réel strictement positif δ tel que la fonction ϕ h : ϕ h (t) = f (a + th) soit définie sur [ δ,δ]. Si ϕ h est dérivable en, nous dirons que f est dérivable en a selon h (ou dans la direction h) et nous noterons : ou d dt f (a + th) t=. h f (a) = ϕ h () En effet, U étant ouvert, a + th appartient à U lorsque t est assez petit. éfinition Soient {e 1,e 2 } la base canonique de E et (x 1, x 2 ) les coordonnées correspondantes. Si h = e j, h f (a) est appelée dérivée partielle par rapport à x j et est notée : f j f (a), ou (a) x j

7 NOTIONS SUR LES FONCTIONS E EUX VARIABLES RÉELLES éfinition La fonction f est de classe C 1 sur U si, et seulement si, pour tout vecteur h, l application x h (f )(x) existe et est continue sur U. éfinition (Extension des notations de Landau). f est un o(g ) si, et seulement si, f = o( g ) f est un O(g ) si, et seulement si, f = O( g ) éfinition Le développement limité de f : (x, y) f (x, y) en (a 1, a 2 ) à l ordre m est une expression de la forme : P(x a 1, y a 2 ) + o(((x a 1 ) 2 + (y a 2 ) 2 ) m 2 ) où P est une fonction polynôme des variables (x, y) de degré total m. Proposition Le développement limité d une fonction f en un point a est unique. émonstration. Il suffit de démontrer que la fonction nulle a un développement identiquement nul. Soit, pour tout (x 1, x 2 ), au voisinage de (a 1, a 2 ) : En particulier, si x 2 = a 2 : α + β(x 1 a 1 ) + γ(x 2 a 2 ) + o( x a ) = α + β(x 1 a 1 ) + o(x 1 a 1 ) = après l unicité des développements limités des fonctions d une variable : α = et β =. En échangeant les coordonnées : γ =. Remarque Une fonction qui admet un développement limité d ordre 1 en a est continue en a et on peut vérifier qu elle admet des dérivées dans toutes les directions, donc des dérivées partielles. La réciproque est fausse : l application f, définie sur R 2 par f (,) = et f : (x, y) x y sinon, admet des dérivées en (,) x 2 +y 2 dans toutes les directions mais n est pas continue en (, ). Théorème Si les dérivées partielles de f sont continues sur U alors f est de classe C 1 sur U, f admet, en tout point a de U, un développement limité à l ordre 1, et l application h h (f )(a) est une forme linéaire sur E appelée différentielle de f en a, notée df (a) ou f (a) ou f (a) et h f (a) = h 1 1 f (a) + h 2 2 f (a) ou soit : h f (a) = h 1 f x 1 (a) + h 2 f x 2 (a) émonstration. (Hors programme : voir l appendice.) Exemple Soit ξ j : x x j la j e coordonnée : Par suite : ξ j (x) = ξ j (a) + dξ j (a)(x a) + o( x a ) x j = a j + dξ j (a)(x a) + o( x a ) dξ j (a)(x a) = x j a j Notations (Notations différentielles). L exemple ci-dessus suggère la notation suivante : df (a) = f (a)dx 1 + f (a)dx 2 x 1 x 2

8 7.3. CALCUL IFFÉRENTIEL 223 Proposition L ensemble C 1 (U) des fonctions de classe C 1 sur U est muni d une structure d algèbre (anneau et espace vectoriel). émonstration. après la linéarité des dérivations. Proposition Soient f à valeurs réelles et de classe C 1 sur U, ϕ de classe C 1 sur un intervalle ouvert I de R (respectivement une partie ouverte V de E), à valeurs dans U. Alors f ϕ est de classe C 1 sur V et pour tout a dans V : soit : respectivement : (f ϕ) = ((f ) ϕ) (ϕ) (f ϕ) (a) = 1 f (ϕ(a))ϕ 1 (a) + 2 f (ϕ(a))ϕ 2 (a) j (f ϕ)(a) = 1 f (ϕ(a)) j ϕ 1 (a) + 2 f (ϕ(a)) j ϕ 2 (a) émonstration. Par hypothèse les fonctions admettent des développements de Taylor d ordre 1, en posant b = ϕ(a) : et, pour j = 1 et j = 2) : f (y) = b f (b) + 1 f (b)(y 1 b 1 ) + 2 f (b)(y 2 b 2 ) + o( y b 2 ) ϕ j (x) = a ϕ j (a) + 1 ϕ j (a)(x 1 a 1 ) + 2 ϕ j (a)(x 2 a 2 ) + o( x a 2 ) d où par composition et compte tenu de y j b j = ϕ j (x) ϕ j (a) : f (ϕ(x)) = b f (ϕ(a)) + 1 f (ϕ(a))( 1 ϕ 1 (a)(x 1 a 1 ) + 2 ϕ 1 (a)(x 2 a 2 ))+ 2 f (ϕ(a))( 1 ϕ 2 (a)(x 1 a 1 ) + 2 ϕ 2 (a)(x 2 a 2 )) + o( ϕ(x) ϕ(a) 2 ) or : o( ϕ(x) ϕ(a) 2 ) = o( x a ), par unicité du développement limité, en développant on obtient : 1 (f ϕ)(a) = 1 f (ϕ(a))( 1 ϕ 1 (a)) + 2 f (ϕ(a))( 1 ϕ 2 (a)) 2 (f ϕ)(a) = 1 f (ϕ(a))( 2 ϕ 1 (a)) + 2 f (ϕ(a))( 2 ϕ 2 (a)) (f )(ϕ(a)) (ϕ)(a) s écrit matriciellement, si ϕ est définie sur I R : ( 1 f (ϕ(a)) 2 f (ϕ(a)) )( ϕ 1 (a) ) ϕ 2 (a) et si ϕ est définie sur U R 2 : ( 1 f (ϕ(a)) 2 f (ϕ(a)) )( ) 1 ϕ 1 (a) 2 ϕ 1 (a) 1 ϕ 2 (a) 2 ϕ 2 (a) Écriture ancienne : (f (x, y)) u (f (x, y)) v «Mnémotechniquement» intéressante. = f x x u + f y y u = f x x v + f y y v éfinition f admet un maximum local en a dans U si et seulement s il existe un voisinage V de a tels que pour tout x dans V : f (x) f (a) Respectivement minimum local et f (x) f (a). f admet un extremum local si f admet un maximum local ou un minimum local.

9 NOTIONS SUR LES FONCTIONS E EUX VARIABLES RÉELLES Proposition Si f, de classe C 1 sur l ouvert U, admet un extremum local en a alors f (a) = i.e. ses dérivées partielles sont nulles émonstration. a U, donc il existe une boule ouverte B(a,r ) de centre a et de rayon r contenue dans U. Soit v = (v 1, v 2 ) un vecteur tel que : v < r, alors θ l arc paramétré de classe C 1 définit sur [ 1,1], par : θ(t) = (a 1 + v 1 t, a 2 + v 2 t) est à valeurs dans U, tel que : θ() = a et θ () = v. La fonction f θ : [ 1,1] R admet un extremum local en, par suite la dérivée de f en a dans la direction v est nulle : (f )(θ())θ () =, soit (f )(a)v = qui s écrit aussi : 1 f (a)v f (a)v 2 = v est arbitraire donc : (f )(a) =. éfinition Soient U un ouvert de R m, f dans C 1 (U,R), une courbe de niveau de f est un ensemble C λ (λ R) d équation : f (x) = λ Une équation de la forme : x U et f (x) = λ, est appelée équation implicite. Exemple Les courbes de niveau de f (x, y) = x 2 + y 2 sont les cercles de centre O. éfinition Soient f C 1 (U,R) et S un ensemble d équation implicite f =. Si f (a), l espace tangent à S en a est l espace affine : a + V de direction : V = ker f (a) =. Remarque Lorsque l équation f = peut se mettre sous forme explicite : y = ϕ(x), l équation de l espace tangent en (x, y ) (où : y = ϕ(x )) est : y = y + ϕ (x )(x x ) Exemple (1) Soit P la parabole d équation : f (x, y) = y x 2, la droite affine tangente à p en (x, y ) est (x, y ) + où est la droite d équation : f (x, y )(x, y) = 2x x y =, d où : (x, y ) + : 2x (x x ) (y y ) = (2) Soit l ellipse d équation : f (x, y) = x2 + y2 1 =. La direction de sa tangente a 2 b 2 en (x, y ) a pour équation : f (x, y )(x, y) = 2 x x a y y b 2 = L équation de la droite affine tangente est : ou : x (x x ) a 2 + y (y y ) b 2 = x x a 2 + y y b 2 = 1 Proposition Soient f C 1 (U,R), S = {x U/f (x) = } et γ : [,1] S un arc de classe C 1 contenu dans S. Si f (γ()), la droite tangente à γ en t = est contenue dans l espace tangent à S en γ(). émonstration. C est immédiat, car f (γ(t)) = implique f (γ(t))(γ (t)) =, donc la direction de la tangente à l arc en γ(t) est contenue dans la direction de l espace tangent (droite, plan ) à S en ce point. éfinition Soit (x y) le produit scalaire dans E. Le gradient de f est défini par : h (f )(a) = (grad f (a) h)

10 7.3. CALCUL IFFÉRENTIEL 225 Remarque Si le gradient n est pas nul en a (soit f (a) ), une équation de l espace tangent T a à f = en a est : (x 1, x 2 ) T a si et seulement si (grad f (a) x a) = Par conséquent, le gradient : grad f (a) est un vecteur orthogonal à la direction de l espace tangent à f = en x = a érivées partielles d ordres supérieurs à 2. éfinition f est de classe C 2 si, et seulement si, f est de classe C 1. Notation de la dérivée partielle de f y par rapport à x. : 2 f x y (a) Théorème (Schwarz). Soit f de classe C 2 sur U, alors : 2 f x y (a) = 2 f y x (a) émonstration. (hors programme) Coordonnées polaires. éfinition Soit A une partie de E, un système de coordonnées sur A est une application bijective x définie sur A à valeurs dans un R n. Un changement de coordonnées, du système x au système y, est une application bijective ϕ de classe C 1 ainsi que sa réciproque ϕ 1, telle que : x = ϕ y Les changements de coordonnées les plus courants seront de classe C. Pour dériver confortablement il faut imposer aux ensembles de définition de ϕ et ϕ 1, c est-à-dire A, x(a) et y(a), d être des parties ouvertes. Exemple A = {(x, y) R 2 /x >, ou y } Le système de coordonnées naturel (canonique), défini sur A et à valeurs dans A est : (x, y) (x, y). Considérons le changement de coordonnées suivant : { x = r cos(θ) y = r sin(θ) défini pour (r,θ) ],+ [ ] π,π[. Le système de coordonnées (r, θ) est appelé système de coordonnées polaires (détermination principale). La figure 2 montre l image du pavé [,12] [ π,π] par l application : (r,θ) (r cosθ, r sinθ). Il apparait que les coordonnées polaires ne donnent pas une bonne description des voisinage de l origine : tout le segment {} ] π,π[ est envoyé sur {O} ; [,12] { π} et [,12] {π} ont la même image ; la traversée de l axe des abscisses à l arrivée, ne peut être décrite au départ, y prenant des valeurs négatives puis positives, correspond à un saut de θ = π à θ = π, par exemple. éfinition Le repère polaire de E est le triplet (O, u, v) défini par un point origine O et une base : { u = cos(θ) e1 + sin(θ) e 2 (avec un réel θ). Exercice Montrer que : v = sin(θ) e 1 + cos(θ) e 2 d u dθ = v, d v dθ = u

11 NOTIONS SUR LES FONCTIONS E EUX VARIABLES RÉELLES y = 12 θ = π 2 θ = 2π 3 θ = π 3 θ = 3π 4 θ = π 4 θ π θ = 5π 6 θ = π 6 O r = 12 ϕ π π x = 12 θ = π θ = 5π 6 θ = π 6 θ = 3π 4 θ = π 4 θ = 2π 3 θ = π 3 π 2 Figure 2. Image d un pavé par changement de coordonnées Exercice (Expression du gradient en coordonnées polaires). Soient f définie sur U et F définie par : F(ρ, θ) = f (ρcosθ, ρsinθ) F est l expression de f en coordonnées polaires (ayant choisi les ensembles de définitions ad hoc). Montrer que : F ρ F θ (ρ,θ) = f x 1 (ρcosθ,ρsinθ)cosθ + f x 2 (ρcosθ,ρsinθ)sinθ (ρ,θ) = f x 1 (ρcosθ,ρsinθ)ρsinθ + f x 2 (ρcosθ,ρsinθ)ρcosθ 7.4. Calcul intégral Ici n = 2 ou n = 3. Les démonstrations éventuelles sont hors programme Généralités. éfinition (1) Un pavé est un produit d intervalles. (2) La mesure d un pavé est le produit des longueurs des intervalles. (3) Une fonction en escalier sur R n est une fonction de la forme : c j 1 Pj 1 j k où les P 1,...,P k sont des pavés deux à deux disjoints, c 1,...,c k des réels et 1 Pj la fonction indicatrice de P j. Exemple Soit P =] 2,4[ [1,3[ un pavé de R 2, sa mesure est : ans R 2 un pavé est un rectangle. m(p) = (4 ( 2))(3 1) Proposition L ensemble des fonctions en escalier sur R n (n 1) est un sous-espace vectoriel de F (R n,r) et un anneau. éfinition = [a,b] [c,d] est une partie bornée de E et g est une fonction en escalier : g = 1 j k c j 1 Pj où, pour tout j, P j (les pavés sont deux à deux disjoints). L intégrale de Riemann de g est : g (x)dx = c j m(p j ) 1 j k

12 7.4. CALCUL INTÉGRAL 227 Figure 3. Sommes de Riemann et intégrales doubles Proposition Soit f une fonction définie et continue sur. Pour tout ε strictement positif, il existe des fonctions en escalier g ε et h ε telles que : f (x) g ε (x) h ε (x) et h ε (x)dx ε ( Alors, pour toute suite (ε j ) j tendant vers, la suite g ε j (x)dx) a une limite l. Gardons les mêmes notations. j des intégrales éfinition L intégrale de Riemann de f est l = lim j + g ε j (x)dx. Notations : f (x)dx = lim g εj (x)dx j + On note : f (x)dx = f (x 1, x 2 ) d(x 1, x 2 ) = f = f (x 1, x 2 ) dx 1 dx Propriétés. La définition de l intégrale s étend de manière évidente aux fonctions qui sont égales à des sommes finies de produits de fonctions continues par des fonctions en escalier. L exemple type est le produit d une fonction continue f par la fonction indicatrice d un ensemble convenable ; en ce qui nous concerne, il s agira des ensembles délimités par un (ou plusieurs) lacet de classe C 1 par morceaux, comme représenté dans la figure ci-dessous : pour une abscisse x fixée, les points (x, y) appartenant à sont ceux qui vérifient des inégalités (larges ou strictes) de la forme u(x) y v(x) avec u et v des fonctions de classe C 1 par morceaux. Autrement dit, il existe une subdivision de l axe des abscisses telle que, dans chaque intervalle de cette subdivision, les points de sont délimités par les graphes de fonctions de classe C 1.

13 NOTIONS SUR LES FONCTIONS E EUX VARIABLES RÉELLES v(x) p 1 y (x, y) m 6 m 1 m 3 m4 u(x) p m 2 m 5 a x b ans ce qui suit, nous admettrons que sont bien définies les intégrales de fonctions continues et bornées sur des pavés ou sur des ensembles bornés, ouverts ou fermés simples, comme indiqués ci-dessus. Par exemple, si est une partie régulière au sens ci-dessus et contenue dans un pavé P, la fonction indicatrice de possède une intégrale de Riemann, qui est par définition la mesure (l aire, le volume etc) de : mesure() = 1 (x)dx Supposons désormais ces conditions réalisées. Théorème Soient une partie de E, A 1,..., A k des parties deux à deux disjoints contenus dans, f et g deux fonctions définies et continues sur, λ et µ deux réels. Alors : λf (x) + µg (x)dx = λf (x)dx + µg (x)dx 1 j k A j f (x)dx = 1 j k A j f (x)dx Si f alors f (x)dx Un peu de notions hors programme. P éfinition (1) Une partie N de E est dite négligeable si pour tout ε strictement positif, il existe un nombre fini de pavés A 1,..., A k tels que : N A j, et m(a j ) < ε 1 j k 1 j k (2) Une partie A de E est dite quarrable, cubable intégrable si, pour tout réel ε strictement positif, il existe des réunions finies de pavés, U et V telles que : U A V et la mesure de V U, définie par : m(v U) = V 1 V U est inférieure à ε (A est une réunion de pavés à un ensemble négligeable près). (3) Soient f une fonction définie et continue sur une partie quarrable A de. L intégrale de f sur A est définie à l aide de limites d intégrales de f sur des réunions de pavés qui encadrent A. Remarque Les définitions d ensemble quarrable, et plus généralement d ensemble mesurable, est hors programme. Cependant nous calculerons des intégrales de fonctions sur des ensembles qui ne sont pas des réunions de pavés, ceci dans

14 7.4. CALCUL INTÉGRAL 229 des conditions bien précises et explicitées par la suite. Sauf exception, les ensembles d intégration rencontrés sont les produits de pavés, les parties qui s en déduisent par réunions (dénombrables), complémentations, transformations diverses (isométries etc) et, de façon générale, les parties délimitées par des ensembles possédant une certaine régularité : parties du plan délimitées par une courbe C 1 par morceaux, parties de l espace délimitées par des surfaces dont les points singuliers sont des réunions finies de parties régulières de dimensions 1 ou. Autrement dit, nous ne traiterons que des cas dûment définis Remarque Le programme évoque «l invariance par translation». Une telle notion pouvant s appliquer au cadre étroit du cours de première année est activement recherchée. Cela pourrait concerner le fait que le jacobien d une translation vaut 1 (voir , ci-dessous) Intégrale d un produit. Nous avons Proposition Soient f et g des fonctions définies et admettant une intégrale de Riemann sur un pavé P. émonstration. Par définition, pour tous réels ε 1 et ε 2 strictement positifs, il existe des fonctions en escalier α ε1,β ε1,γ ε2 et δ ε2 telles que : f α ε1 β ε1 β ε1 ε 1 g γ ε2 δ ε2 P δ ε2 ε 2 Ainsi l hypothèse implique f g α ε1 γ ε2 = f (g γ ε2 ) + (f α ε1 )γ ε2 f g αγ ε2 f g γ ε2 + f α ε1 γ ε2 f g α ε1 γ ε2 f β ε1 + δ ε2 γ ε2 Sur P, les fonctions f et γ ε2 sont bornées ; la fonction f est bornée car elle est continue sur un ensemble fermé et borné (théorème de Bolzano et Weierstrass, pour une version en dimension supérieure à 1 voir par exemple la démonstration du théorème du point fixe, chapitre 4.8). Par construction (que dire d autre ici?), la fonction γ ε2 est majorée pour tout ε 2 assez petit. onc il existe un réel M tel que f β ε1 + δ ε2 γ ε2 (β ε1 + δ ε2 )M Posons ε = ε 1+ε 2 2M, soit h ε = (β ε1 + δ ε2 )M, alors h ε ε P comme α ε1 γ ε2 est une fonction en escalier, nous en déduisons que f g possède une intégrale de Riemann Calcul des intégrales Cas de la dimension 1. éfinition Soit f continue par morceaux sur l intervalle [a, b], on définit : b f (t)dt = f (t)dt [a,b] a lorsque a b. P

15 23 7. NOTIONS SUR LES FONCTIONS E EUX VARIABLES RÉELLES Calcul sur un produit. Soient = A B ou A et B sont des pavés, f continue et bornée sur et x = (x 1, x 2 ). Alors : On note : f (x)dx = f (x 1, x 2 )dx 1 dx 2 A B Nous avons : ( f (x)dx = f (x 1, x 2 )dx 1 )dx 2 B A Intégrations itérées. Soit une partie de R 2 telle que pour tout x, {y R/(x, y) } soit un intervalle I x = [u(x), v(x)] avec u et v de classe C 1 et la première projection de soit un intervalle J (f étant continue et bornée sur ). Alors : ( ) f (x)dx = f (x 1, x 2 )dx 2 dx 1 J I x ans le cas de R 3, I x et J sont des ensembles simples sur lesquels x 2 f (x 1, x 2 ) et x 1 I x f (x 1, x 2 )dx 2 ont des intégrales bien définies (voir la figure 4). Cette formule fut démontrée pour des fonctions intégrables au sens de Riemann par Stolz en 1886 et étendue par Fubini aux fonctions intégrables au sens de Lebesgue. y O x y Figure 4. Saucissonnage Exemple Les réels a et b étant strictement positifs, appelons P le pavé [, a] [,b] de R 2 et T le triangle de sommets l origine O et les points A et B de coordonnées respectives (a, ) et (, b). Intégrons la fonction f définie sur P par { f (x, y) = 3x 2 y si bx + ay ab (x, y) P : f (x, y) = sinon Nous sommes dans les conditions d application du théorème de Stolz-Fubini : ( ) f = f (x, y)dy dx P [,b] d après Chasles P = f = [,a] a ( b f (x, y)dy a ( y ) dx b ) f (x, y)dy + f (x, y)dy dx y

16 7.4. CALCUL INTÉGRAL 231 f (x, y) = si y y b, donc or bx + ay = ab, donc P P f = = = = f = a ( y a ( y a a a a ) f (x, y)dy ) dx 3x 2 y dy dx ( y ) 3x 2 y dy dx 3x 2 [ y 2 2 ] y dx 3x 2 (b b a x)2 2 3b 2 dx ( = 2 x2 1 x ) 2 dx a a 3b 2 = (x 2 2 x3 2 a + x4 a 2 = a3 b 2 2 ) dx y B (x, b) (T) (x, y ) O (x, ) Figure 5. Stolz-Fubini A x Changement de variables. Soient U et V des ouverts bornés de E, ϕ un difféomorphisme de U sur V. Rappelons que le déterminant jacobien : ϕ 1 ϕ 1 J(ϕ) = x ϕ 2 x y ϕ 2 y ne s annule pas sur U (ainsi, ϕ 1 est aussi C 1 ). Alors, pour toute fonction continue bornée sur V : f (y)dy = f (ϕ(x)) J(ϕ)(x) dx V U

17 NOTIONS SUR LES FONCTIONS E EUX VARIABLES RÉELLES Exemple (Jacobien d une application linéaire). ans le cas où le changement de variable est affine : { x = ax + by + t 1 y = c x + d y + t 2 Le jacobien est : a c b d = ad bc Exemple Soit un ensemble, réunion finie de pavés ou d ensembles de la forme : = {(x, y) R 2 /a x b, y f (x)} (après déplacement éventuel). Soit le changement de variables : x = u et y = v f (u), le jacobien est : 1 v f (u) f (u) = f (u) où l ensemble d intégration décrit par les nouvelles coordonnées : = [a,b] [,1] Effectuons le changement de variables dans l intégrale : dxdy = f (u) du dv Puis d après Stolz (Fubini) et puisque est un produit : 1 ( b ) b dxdy = f (u) du dv = f (u) du On retrouve une formule connue. Plus généralement si : = {(x, y) R 2 /a x b, g (x) y f (x)} : 1 ( b ) b dxdy = f (u) g (u) du dv = f (u) g (u) du a a Remarque Soit une partie telle que = V N où V est ouvert et N négligeable, alors f (x)dx = U f (x)dx. Ainsi il est possible d appliquer la formule du changement de variables à des cas où le déterminant jacobien s annule sur une partie négligeable (cas du passage en coordonnées polaires). Remarque (Signification géométrique du jacobien). Soit x ϕ(x) un changement de coordonnées. Évaluons l accroissement des coordonnées en a = (a 1, a 2 ) : ϕ(x) ϕ(a) = ϕ (a)(x a) + o( x a ) L aire A(ϕ(a),ϕ(x),ϕ(x )) du triangle (ϕ(a),ϕ(x),ϕ(x )) est : 1 2 det(ϕ(x) ϕ(a),ϕ(x ) ϕ(a)) = 1 2 det(ϕ (a)(x a)+o( x a ),ϕ (a)(x a)+o( x a )) onc si A(a, x, x ) est l aire du triangle (a, x, x ) : A(ϕ(a),ϕ(x),ϕ(x )) = det(ϕ (a)) A(a, x, x ) + o( x a ) + o( x a ) L aire du triangle image par ϕ est, au premier ordre, l aire du triangle source multipliée par le jacobien. a a

18 7.4. CALCUL INTÉGRAL Aires, masses, centres d inertie. Soit A une partie de R 2 et ρ une fonction (densité) continue et positive sur A. Soit, pour tout ε >, une réunion finie (p k ) 1 k n de pavés deux à deux disjoints tels que : 1 k n p k A et p k dx dy ε. Pour tout k, on note (x k, y k ) les coordonnées d un point de p k. Alors, lorsque ε tend vers, les sommes : 1 k n ρ(x k, y k ) p k dx dy tendent vers le réel m : m = A ρ, appelée masse de A avec la densité ρ. ans les mêmes conditions et si m, les sommes g 1 = 1 m 1 k n x k ρ(x k, y k ) p k dx dy et g 2 = 1 m 1 k n y k ρ(x k, y k ) p k dx dy sont les coordonnées du barycentre des centres des pavés p k affectés de la masse ρ(x k, y k ) p k dx dy. Lorsque ε tend vers, les sommes g 1 et g 2 tendent vers les coordonnées du centre d inertie de la «plaque» A, de densité ρ : A A xρ(x, y)dx dy, ρ(x, y)dx dy A A yρ(x, y)dx dy ρ(x, y)dx dy

19 Index A aire application partielle C courbe de niveau dérivée partielle dérivée partielle d ordre supérieur à dérivée suivant un vecteur ou une direction 221 développement de Taylor fonctions de deux variables E équation implicite espace (affine) tangent F fonction en escalier fonction continue deux variables fonction de classe C G gradient I intégrale de fonction en escalier intégrale des fonctions de plusieurs variables M maximum local mesure mesure d un pavé N normes notations intégrale notations de Landau extension P partie négligeable partie ouverte partie quarrable (intégrable) pavé R repère polaire S suite convergente vecteurs système de coordonnées V volume