Relations Binaires Relations d équivalence sur un ensemble

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1 Relations Binaires Relations d équivalence sur un ensemble MPSI 2 1 Généralités Soit E un ensemble non vide. Définition 1..1 On appelle relation binaire sur E le couple (E, G où G est un graphe de E dans E. Notations: (E, G, R (x, y E 2, x R y (x, y G Notons E = {(x, x, x E} E s appelle la diagonale de E On en définit une relation binaire: (x, y E 2, x R y (x, y E x = y 2 Relations d équivalences Soit R une relation binaire sur E Définition 2..2 R est réflexive si x E, x R x Définition 2..3 R est symétrique si (x, y E 2, (x R y (y R x Définition 2..4 R est transitive si (x, y, z E 3, (x R y et y R z (x R z 1

2 Définition 2..5 R est une relation d équivalence sur E si R est réflexive, symétrique et transitive. Définition 2..6 Soit R une relation d équivalence sur E. Soit x un élément de E. On appelle classe d équivalence de x suivant R le sous ensemble de E: C R (x = {y E, x R y} Propriété 2..1 La famille des classes d équivalences suivant R, (C R (x est une partition de E. 1 Montrer que: C R (x R est réflexive, donc x R x Autrement dit, x C R (x donc C R (x 2 Montrer que: C R (x = E C R (x E et que E C R (x a Les classes d équivalences sont des sous-ensembles de E. x E, C R (x E Ainsi, C R (x E b Montrer que: E CR(x t E, t C R (x R est réflexive, donc t C R (t En posant t = x on démontre la proposition. Cela étant vrai pour tout x, on obtient E C R (x 3 Montrer que: (x, y E 2, C R (x = C R (y ou C R (x C R (y = (x, y E 2, (C R (x C R (y (C R (x = C R (y H 1 : Soit (x, y un couple d éléments de E tels que C R (x C R (y Montrer que: C R (x = CR(y C R (x C R (y et C R (y C R (x 2

3 a Montrer que: C R (x C R (y z E, z C R (x z C R (y H 2 : Soit z un élément de C R (x Montrer que z C R (y D après H 1, t E, t C R (x C R (y H 3 : Soit t E tel que t C R (x et t C R (y Montrer que: z C R z R y D après H 2 : z R x D après H 3 : t R x Par symétrie et transitivité: z R t D après H 2 : t R y Par transitivité: z R y Conclusion 1: z C R z C R Conclusion 2: Ceci étant vrai pour tout z dans E: C R (x C R (y b Montrer que C R (y C R (x En échangeant les rôles de x et y, et par une démonstration analogue, on obtient: C R (y C R (x Finalement: C R (x = C R (y Conclusion Générale: (x, y E 2, C R (x C R (y C R = C R La famille (C R (x est une partition de E. Propriété 2..2 Soit (A i i I une partition de E, alors, il existe une relation d équivalence R dont la famille des classes d équivalences est cette partition. Soit R une relation binaire définie par: (x, y E 2, x R y i I, x A i et y A i 1 Montrer que R est une relation d équivalence sur E. a Montrer que R est réflectve x E, x R x H 1 : Soit x un élément de E Montrer que: i I, x A i A i est une partition de de E, donc d après H 1, i I, x A i b Montrer que R est symétrique (x, y E 2, (x R y (y R x 3

4 H 1 : Soit (x, y E 2 tel que x R y H 2 : i I, x A i et y A i i I, y A i et x A i On a donc y R x Donc R est symétrique. c Montrer que R est transitive (x, y, z E 3, (x R y et y R z (x R z H 1 : Soit x, y et z trois éléments de E tels que x R y et y R z H 1 : i I, (x A I et y A I et ( j I, y A j et z A j H 2 : Soit i et i deux éléments de I tels que { x Ai, y A i y A i, z A i Donc y A i A i Or (A i i I est une partition de E Donc A i = A i Donc x, y et z sont des éléments de A i, Donc x R z Donc R est transitive. Conclusion 1 : R est une relation d équivalence. 2 Montrer que les A i sont les classes d équivalences suivant R i I, x E, A i = C R (x H 1 : Soit i un élément de I. Montrer que x E, A i = C R (x (A i i I est une partition de E, donc en particulier A i non vide, écrit: x E, x A i H 2 : Soit x un élément de A i fixé. Montrer que A i = C R (x (A i C R (x et (C R (x A i a Montrer que A i C R (x y E, y A i y C R (x H 3 : Soit y un élément de A i. Montrer que y C R (x D après H 1 et H 2, on a y A i et x A i Donc x R y par définition de R Cela étant valable pour tout i dans I et pour tout y dans A i, A i C R (x b Montrer que C R (x A i j E, y C R (x y A j H 4 : Soit y un élément de C R (x Montrer que y A i H 4 : y R x, autrement dit: j I, y A j et x A j H 5 : Soit j un élément de I tel que y A j et x A j D après H 2 : x A i Avec H 2 et H 3, on en déduit que x A i A j Or (A i i I est une partition de E, donc A i = A j 4

5 Montrer que y A i Or, y A j, donc y A i Cela étant valable pour tout y dans A i, C R (x A i Conclusion 2 : i I, x E, A i = C R (x Conclusion générale: Par raisonnement sur des conditions nécessaires et suffisantes, la propriété est démontrée 3 Partition associée a une application Soit E un ensemble non vide, soit F un ensemble. Soit une application f : E F x f(x Définition 3..7 On appelle relation d équivalence associée a f la relation définie par: (x, y E 2, x R y f(x = f(y Définition 3..8 On appelle partition associée a f la famille des classes d équivalences suivant R f 5