SECONDE B DEVOIR N 3 DECEMBRE 2010

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1 SECONDE B DEVOIR N DECEMBRE 200 Durée : h45 heures Calculatrice autorisée NOM : Prénom : Classe : «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.» Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Bilan Présentation Fonction Algèbre Géométrie / 40 / 2 / 6 / 0 / 2 FONCTION 6 POINTS Exercice - 5 points - (A faire sur le poly) f est une fonction affine telle que f(2) = et f(-) = 4. ) Exprimer f(x) en fonction de x. 2) Donner, en justifiant, le sens de variation de f. ) Calculer f( 2 ). 4) Résoudre l inéquation f(x) 2. Exercice 2-2 points - (A faire sur le poly) Comparer 0,6² et 0,7² puis (,)² et ( )². Justifier Exercice - 9 points - (A faire sur le poly) Partie A : Etude d une situation géométrique Sur la figure ci-contre : les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires, AB = 6 et BC = 2. Le point M se déplace sur le segment [AB], on note x la longueur AM. On s intéresse à l aire du motif constitué des deux carrés (en gris sur le dessin). ) Dans quel intervalle varie x? 2) Exprimer en fonction de x la longueur MB. ) En déduire MC². 4) Exprimer en fonction de x l aire du carré AMFG. 5) Exprimer en fonction de x l aire du carré MCDE. 6) On appelle f (x) l aire du motif constitué des deux carrés en fonction de x. Calculer f (x), et montrer qu elle peut s exprimer par f (x) = 2x² 2x / 4

2 Partie B : Etude graphique On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. (Unités : 4 carreaux = unité en abscisse ; carreau = 2 unités en ordonnée) Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. ) Quel est l ensemble de définition de f? 2) Quelle est l image par f de 6? ) Que vaut f (4)? 4) Quel est (sont) le ou les antécédent(s) de 0 par la fonction f? 5) Quel est le minimum de f sur son ensemble de définition? Interpréter ce résultat pour la situation géométrique précédente. 6) Dresser le tableau de variations de la fonction f. ALGEBRE 0 POINTS Exercice 4 - points (A faire sur une copie) La figure initiale était un carré. On a découpé aux quatre coins de ce carré des carrés de cm de côté. Trouver x pour que l aire de ce carré sans coins fasse 7 cm². Exercice 5-4 points - (A faire sur une copie) Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = x² 6x (forme ) ) Vérifier que f (x) peut s écrire sous la forme : f(x) = (x )² 2 (forme 2) 2) En choisissant, selon le cas, la forme qui vous semble la mieux adaptée, résoudre les équations suivantes : a) f ( x) = b) f ( x) = 2 c) f ( x) = x² d) f ( x) = 20 Exercice 6 - points - (A faire sur une copie) Résoudre les équations suivantes : 9 x² 25 a) 0 ( x )(x 5) b) x 2 0 x 2 / 4

3 Exercice 7-6 points - (A faire sur le poly) Soit le losange ABCD ci-contre. On note I le point de concours de ses diagonales. GEOMETRIE 2 POINTS ) Compléter les égalités suivantes en indiquant une seule réponse même si plusieurs sont possibles. De plus, chaque réponse doit être donnée sous la forme d'un vecteur et d'un seul. a) AB AD... c) AI CI... e) DC AI CA... b) CB... CD d) BD ID... f) I B IB 2) Construire sur la figure précédente les points E, F, G et H tel que: a) le quadrilatère DBCE soit un 2 c) BG BI parallélogramme. b) DF CI BI d) AH BI BC IA 2 ) Que représente le point G pour le triangle ABC? (On ne demande pas de justifier) Exercice 8-6 points - (A faire sur une copie) Soit ABC un triangle. On considère les points D et E tels que BD BC et AE AC 2AB ) Faire une figure 2) Montrer que les points A, D et E sont alignés. (Indication : on pourra chercher à exprimer AD en fonction de AC et AB ) / 4

4 SECONDE B CORRECTION DEVOIR N DECEMBRE 200 FONCTION 6 POINTS Exercice - 5 points - (A faire sur le poly) f est une fonction affine telle que f(2) = et f(-) = 4. ) Exprimer f(x) en fonction de x. f est une fonction affine, elle est alors de la forme f(x) = mx + p où m = f(2) f(-) 2 (-) = = - 5 d où f(x) = - 5 x + b de plus f(2) = et f(2) = p = p on obtient alors : = p ce qui donne p = 5. Conclusion : f(x) = - 5 x ) Donner, en justifiant, le sens de variation de f. Le coefficient directeur de la droite représentant f est négatif. Donc f est strictement décroissante sur R. ) Calculer f( 2 ). f(- 2 ) = = = 25 0 = ) Résoudre l inéquation f(x) 2. f(x) -2 signifie : - 5 x x - 2 donc x et x 7 L ensemble des solutions est donc ]- ; 7]. Exercice 2-2 points - (A faire sur le poly) (+) Comparer 0,6² et 0,7² puis (,)² et ( )². Justifier On utilise les variations de la fonction carré (croissante sur [0 ; + [ et décroissante sur ] ; 0]) ; comme 0 < 0,6 < 0,7, alors 0,6² < 0,7² ; comme, < < 0, alors (,)² > ( )². 4 / 4

5 Exercice - 9 points - (A faire sur le poly) Partie A : Etude d une situation géométrique Sur la figure ci-contre : les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires, AB = 6 et BC = 2. Le point M se déplace sur le segment [AB], on note x la longueur AM. On s intéresse à l aire du motif constitué des deux carrés (en gris sur le dessin). ) Dans quel intervalle varie x? On a M AB avec AB = 6. Donc x 0;6. 2) Exprimer en fonction de x la longueur MB. MB AB AM 6 x. ) En déduire MC². Le triangle BCM est rectangle en B. D après le théorème de Pythagore : MC² BC² BM² MC² 2² 6 x) ² MC² 4 6 2x x² MC² x² 2x 40. 4) Exprimer en fonction de x l aire du carré AMFG. L aire du carré AMFG est A AMFG AM ² x². 5) Exprimer en fonction de x l aire du carré MCDE. L aire du carré MCDE est : A MCDE MC² x² x. 6) On appelle f (x) l aire du motif constitué des deux carrés en fonction de x. Calculer f (x), et montrer qu elle peut s exprimer par f (x) = 2x² 2x f (x) A AMFG A MCDE f (x) x² x² x f (x) x² x. Partie B : Etude graphique On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. (Unités : 4 carreaux = unité en abscisse ; carreau = 2 unités en ordonnée) Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. ) Quel est l ensemble de définition de f? f est définie sur l intervalle [0 ; 6]. 2) Quelle est l image par f de 6? L image de 6 par f est f ) Que vaut f (4)? f ) Quel est (sont) le ou les antécédent(s) de 0 par la fonction f? Les antécédents de 0 par la fonction f sont et 5. 5) Quel est le minimum de f sur son ensemble de définition? Interpréter ce résultat pour la situation géométrique précédente. Sur [0 ; 6], le minimum de f est 22. Le minimum de f est obtenu lorsque x =. L aire minimale du motif constitué par les deux carrés est égale à 22. On obtient cette aire minimale lorsque M est au milieu de [AB]. 5 / 4 6) Dresser le tableau de variations de la fonction f.

6 ALGEBRE 0 POINTS Exercice 4 - points La figure initiale était un carré. On a découpé aux quatre coins de ce carré des carrés de cm de côté. Trouver x pour que l aire de ce carré sans coins fasse 7 cm². A(x ) = (x + 2)² 4 7 = (x + 2)² 4 (x + 2)² 2 = 0 (x + 2)² ² = 0 (x + 2 )(x ) = 0 (x 9)(x +) = 0 Soit x 9 = 0 x = 9 Soit x + = 0 x = - Or x = - est une valeur refusée car x est une dimension Donc x = 9 cm Exercice 5-4 points - (A faire sur le poly) Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = x² 6x (forme ) ) Vérifier que f (x) peut s écrire sous la forme : f(x) = (x )² 2 (forme 2) En développant l expression ( x )² 2 = (x² 6x + 9) 2 = x² 6x = x² 6x = f(x) 2) En choisissant, selon le cas, la forme qui vous semble la mieux adaptée, résoudre les équations suivantes : a) f ( x) = En utilisant la forme on trouve : x² 6x = x² 6x = 0 x(x 6) = 0 Le produit de facteur est nul si et seulement si l un des facteurs est nuls d où x = 0 ou x = 6 Donc les solutions des cette équation sont : S = {0;6} b) f ( x) = 2 En utilisant la forme 2 on trouve : (x )² 2 = 2 (x )² = 0 x = 0 x = Donc la solution des cette équation est : S = {} c) f ( x) = x² En utilisant la forme on trouve : x² 6x = x² 6x = 0 6x = x = 6 2 Donc la solution des cette équation est : S = {-/2} d) f ( x) = 20 En utilisant la forme 2 on trouve : (x )² 2 = 20 (x )² = 8 Or le premier membre de cette équation est toujours positif et le deuxième membre est négatif, Donc d où cette équation n a pas de solution et : S = 6 / 4

7 Exercice 6 - points - 9 x² 25 0 ( x )(x 5) Valeurs interdites : et 5 Car x + = 0 x = x 5 = 0 x = 5 Résolution : 9 x² 25 0 ( x )(x 5) D après la règle du quotient nul : 9x² 25 = 0 (x)² 5² = 0 (x 5)(x + 5) = 0 Soit x 5 = 0 x = 5 Soit x + 5 = 0 5 x = Solutions possibles : 5 et 5 Bilan : Valeurs interdites : et 5 Solutions possibles : 5 et 5 5 Conclusion : S x 2 0 x Valeurs interdites : Car x = 0 x = Résolution : x 2( x ) 0 x x x 2x 2 0 x x x 2x 2 0 x x 0 x x 0 x Solution possible : Bilan : Valeurs interdites : Solutions possibles : Conclusion : S 7 / 4

8 GEOMETRIE 2 POINTS Exercice 7-6 points - (A faire sur le poly) Soit le losange ABCD ci-contre. On note I le point de concours de ses diagonales. ) Compléter les égalités suivantes en indiquant une seule réponse même si plusieurs sont possibles. De plus, chaque réponse doit être donnée sous la forme d'un vecteur et d'un seul. a) AB AD AC b) CB BD CD c) AI CI 0 d) BD ID BI e) DC AI CA DI f) IC CB IB 2) Construire sur la figure précédente les points E, F, G et H tel que: 2 a) le quadrilatère DBCE soit un parallélogramme. c) BG BI b) DF CI BI d) AH BI BC IA 2 ) Que représente le point G pour le triangle ABC? (On ne demande pas de justifier) G est le centre de gravité du triangle ABC Exercice 8-6 points - (A faire sur le poly) Soit ABC un triangle. On considère les points D et E tels que ) Faire une figure BD BC et AE AC 2AB 2) Montrer que les points A, D et E sont alignés. On cherche à exprimer AD en fonction de AC et AB. AD AB BD AD AB BC AD AB ( BA AC ) AD AB BA AC AD AB AB AC 2 AD AB AC 2 AD AC AB D où AE AC 2AB et Donc AD AE 2 AD AC AB D où les vecteurs AD et AE sont colinéaires Donc les points A, D et E sont alignés 8 / 4