ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

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1 hapire 7 ÉQUTIONS DIFFÉRENTIELLES I. GÉNÉRLITÉS SUR LES ÉQUTIONS DIFFÉRENTIELLES désigne indifféremmen ou. Eemples liminaires Les lois qui régissen, en physique ou chimie, l évoluion de grandeurs G au cours du emps se meen parfois sous la forme : G ( ) u(, G( ),...) ou dg u(, G( ),...) d ou dg u(, G( ),...) d Eemple : Un corps M, don la empéraure à l insan es noée T() es mis au voisinage d une source de chaleur S à empéraure consane T. On adme que la variaion de empéraure de M es proporionnelle à la différence T() T : T ( ) K( T T ) (K consane posiive) ou T KT KT. q () Eemple : Dans un circui RL, la loi d Ohm s écri : U Rq ( ) Lq ( ) (U ension du généraeur, capacié, q charge du condensaeur, R résisance, L inducance). Équaions différenielles du er ordre a) Définiion : On appelle équaion différenielle du premier ordre, oue égalié de la forme (, y, y ), noée (), où es une foncion de 3 variables, réel, y e y réels ou complees. On appelle soluion de cee équaion sur I, oue foncion f : I dérivable sur I elle que : I, (, f, f ( )) Dans ce cadre, lorsque =, on appelle courbes inégrales de l équaion différenielle, les représenaions graphiques des soluions de (). b) ondiions iniiales (ou condiions de auchy) hercher une soluion de () sur I saisfaisan à une condiion du ype [ f ( ) y ], I, y, revien à déerminer les soluions de () avec une condiion iniiale, qui fie la valeur d une soluion en un poin donné. c) Eemple : Pour l eemple, cela revien à fier la empéraure du corps M à l insan : T() 3 Équaions différenielles du ème ordre a) Définiion : On appelle équaion différenielle du second ordre, oue égalié () de la forme (, y, y, y ), où es une foncion de 4 variables, réel, y, y e y élémens de. On appelle soluion de () sur I, oue foncion f : I deu fois dérivable sur I elle que : I, (, f, f, f ( )) Dans ce cadre, lorsque =, on appelle courbes inégrales de l équaion différenielle, les représenaions graphiques des soluions de (). b) ondiions iniiales (ou condiions de auchy) hercher une soluion de () sur I saisfaisan à une condiion du ype [ f ( ) y, f ( ) y ], I, y, y, revien à déerminer les soluions de () avec une condiion iniiale, qui fie la valeur d une soluion e de sa dérivée en un poin donné (le même poin!). c) Eemple : Pour l eemple, cela revien à fier la charge du condensaeur e l inensié du couran à l insan : q() q (), par eemple. 5

2 II. ÉQUTIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉIRES DU PREMIER ORDRE adre général a) Définiion 3 : On appelle équaion différenielle linéaire du er ordre, oue équaion (E) de la forme : u y v y w( ), où u, v e w son des foncions coninues de I dans, y foncion inconnue. b) Remarque fondamenale : Lorsque la foncion u ne s annule pas sur I, en divisan l équaion par u e en noan : a, b, l équaion (E) équivau à : y a y b( ), noée (). es sous cee forme que la résoluion va s opérer. b) Définiion 4 : On appelle équaion sans second membre (ou homogène) associée à (), l équaion ( ) : y a y v u w u Résoluion de l équaion homogène b) Théorème : Soi ( ) l équaion [ y a y ], a foncion coninue sur I, à valeurs dans. En noan une primiive de a sur I, les soluions de ( ) son les foncions : y e, omme une eponenielle ne s annule jamais, l équaion ( ) équivau à: I, ( y a y) e Le premier membre de cee équaion es eacemen la dérivée de y() e. ee dérivée éan nulle sur l inervalle I, la foncion y es soluion de ( ) ssi y() e es consane sur I, noée, d où le résula. c) Eemple 3 : ( ) : y ( ) y On résou, sur *, l équaion ln y e e, ; y ( ) y : d ln Sur *, la résoluion es du même ype, avec une différence noable : d ln( ) ln y e e,, ce qui s écri aussi : y () e, éan posée égal à µ e le calcul éan indépendan du précéden, les consanes n on aucune raison d êre égales. Remarque : Les demi-angenes à l origine son disinces! d) onséquences essenielles du héorème a Les soluions de y ay, a réel quelconque fié, son de la forme : e, Les soluions de ( ) peuven elles s annuler sur I? L écriure y e des soluions implique: pour =, la foncion nulle es soluion de ( ); pour la soluion correspondane ne s annule jamais sur I. 5

3 Soluions non nulles de ( ) y y Les soluions sur son de la forme : ln( ) y ( ) e,. 3 Qu es ce que la méhode du physicien? Pour résoudre ( ), on écare d emblée la soluion nulle. Toues les aures soluions ne s annulen jamais sur I e on peu écrire : I, y y k a, d où ln y k, k. On en dédui : y e e e, avec > quelconque. omme y es coninue e ne s annule pas sur I, elle es oujours sricemen posiive ou sricemen négaive sur I : I, y() e ou I, y() e e ype de foncion peu se mere sous la forme : y e, *. e) Proposiion : Soi m e () l équaion : y my Il eise une unique soluion de () sur vérifian y () : c es la foncion D après le héorème : y e m e y () = m e 3 Résoluion de l équaion complèe a) Proposiion Soi () : y a y b( ), a e b coninues sur I. En uilisan les noaions du héorème : Si es une soluion pariculière de (), alors : f es soluion de () si e seulemen si, I, f e uremen di : f es une soluion de () ssi elle peu s écrire comme la somme d une soluion pariculière de () e d une soluion quelconque de ( ). Par hypohèse : a b. f soluion de () f af b a ( f ) a( f ) ( f ) a( f ) f soluion de ( ). b) as de coefficiens consans : En physique de PSI, les foncions a() e b() son des consanes! Dans le cas où les foncions a e b son des consanes (a ), () b es une soluion évidene de a a l équaion y ay b. E la soluion générale sur I s écri : y() a b e K Dans l eemple, T es soluion évidene e donc les soluions s écriven : T() T e. c) Théorème (Méhode de Lagrange ou méhode de la variaion de la consane) Soi () l équaion y a y b( ), a e b coninues sur I. vec les noaions du héorème, () adme pour soluion pariculière : f c e, où c es dérivable sur I, avec : I, c b e, ou, ce qui es équivalen : c es une primiive quelconque de b() e sur I. Soi f une foncion dérivable sur I e on pose : I, c f e soi : f c e. f soluion de () f a f b( ) c e a c e a c e b( ) c b e c es une primiive de b() e sur I. 53

4 d) Eemple 4 : Soi ( 4 ) l équaion : ( ) y y (y foncion à valeurs réelles) Sur l inervalle I = ],+[, la soluion générale de ( 4, ) es : y (),. Sur l inervalle J = ],[, la soluion générale de ( 4, ) es : y (), µ. La méhode de la variaion de la consane sur chaque inervalle de résoluion perme d obenir : c () qui perme de choisir : c (). La soluion générale de ( 4 ) s écri alors : I, y () ; J, e) Remarques fondamenales y (), e µ réels quelconques. R Dans la démonsraion du héorème, on a raisonné par équivalence logique ; si on noe () une primiive pariculière de b() e sur I, alors f soluion de () f c e avec c primiive de b() e f ( ) e e e,. On redémonre alors sous forme eplicie le résula de la proposiion, à savoir que oue soluion s écri comme la somme d une soluion pariculière (ici : ( e ) ) e de la soluion générale de l équaion homogène associée (ici : e ). R Dans la praique, lorsque les soluions de ( ) son écries sous la forme y e, on recherche une soluion pariculière sous la forme y c e, en remplaçan, dans l équaion () générale, y e sa dérivée que l on calcule, e on arrive à une écriure du ype c( )..., e on rouve c par primiivaion. ela es préférable à l uilisaion de c b e, pas si facile à reenir. R3 Lorsque l on a effecué une résoluion sur des sous inervalles de I conigus, comme dans l eemple 3, on peu rechercher s il eise des soluions de () définies sur I en enier. Pour cela, on essaie de déerminer des consanes de façon qu au poin de séparaion m des inervalles, les foncions soluion définies à gauche e à droie de m, aien une limie finie en m, qui soi la même. Si cela es possible, on vérifie ensuie si la foncion obenue par raccord des deu soluions es dérivable au poin m. Dans l eemple 4 : on obien une seule soluion sur, y ˆ, car il es nécessaire que: = µ =. f) Proposiion 3 (principe de superposiion des soluions pour recherche d une soluion pariculière) Soi () l équaion différenielle : y a y b b( ), a, b, b foncions coninues sur I. Pour i = e, on pose : ( i ) y a y b ( ) e on noe e des soluions pariculières respecives de ( ) e. lors : g = es une soluion pariculière de (). i On a : a b, a b. Par addiion des égaliés : a a b b a b b g a g b b, ce 4 Résoluion avec condiions iniiales a) Théorème 3 Soi () l équaion y a y b( ), a e b coninues sur I. Soi (, y) I. Il eise une unique soluion f de () sur I elle que : f ( ) y L eisence e l écriure des soluions éan données par ce qui précède sous la forme: y e, éan une soluion pariculière de (). f soluion de () avec f ( ) y, y ( ) e e qui amène à poser : = ( y ( )) e e f es la soluion correspondane. b) ure écriure de la soluion avec condiion iniiale (écriure inégrale des soluions) 54

5 éan une soluion pariculière de (), on peu l écrire sous la forme : e c( ) où c es une primiive sur I de b() e. On peu s assurer, pour simplifier, que ( ), en posan : La soluion f elle que f ( ) y es : c) orollaire du héorème 3 Par un poin donné, d abscisse ( ) ( ) f b( ) e d y e e ( ) b( ) e d e. I, il passe une unique courbe inégrale de l équaion (). Par conséquen, deu courbes inégrales disinces n on aucun poin commun. Eemples de soluions de : ( ) y y d) Eemple vec T (), on obien : T( ) T ( T ) e K III. ÉQUTIONS LINÉIRES DU SEOND ORDRE À OEFFIIENTS ONSTNTS Généraliés a) Définiions 5 : Éan donnés 3 réels a, b e c, avec a, on défini l équaion () : ay by cy f(), où f es une foncion coninue sur, à valeurs dans. Les soluions y cherchées son, a priori, définies sur, à valeurs dans. [L équaion sera éudiée de façon approfondie lorsque f es de la forme m e, m,.] L équaion [ ay by cy ], noée ( ), es l équaion homogène (ou sans second membre) associée à (). b) Définiion 6 : L équaion [ ar br c ] es appelée équaion caracérisique de ( ). c) Proposiion 4 vec les mêmes noaions, si y es soluion de () définie sur, alors Re(y) e Im(y) son soluions respecives sur de ( R) : ay by cy Re( f( )) e de( I ) : ay by cy Im( f( )). On noe : y u iv, f i, uv,,, foncions de dans. ay by cy f() a( u iv ) b( u iv ) u iv i au bu cu i( av bv cv) i En égalan les paries réelles e imaginaires des membres, on a le résula. d) Eemple : Résoluion de Lq Rq q U cos( ): on résou l équaion Lq Rq q U e e on calcule la parie réelle du résula. i Résoluion de l équaion sans second membre (ou homogène) a) Théorème 4 : Soi ( ) : ay by cy, a, b, c réels, a e S l ensemble des soluions de dans de ( ). On considère les racines réelles ou complees de l équaion caracérisique, noée (E). 55

6 Si (E) adme deu racines réelles disinces r e r, les élémens de r r forme e e, avec e µ réels quelconques. son les foncions de la Si (E) adme une seule racine double, noée r (qui es réelle), les élémens de S son les foncions de la forme ( ) e r, avec e µ réels quelconques. Si (E) adme deu racines complees conjuguées i ( ), les élémens de S son les foncions de la forme e ( cos sin( )), avec e µ réels quelconques. Lemme n : f u de dans de la forme e es soluion de ( ) ssi u es racine de (E). u u u u u u Soi fu e. f u soluion de ( ) au e bue ce ( au bu c) e omme une eponenielle ne s annule jamais, on a le résula. r Lemme n : Soi r réel ou complee une racine de (E). Pour f :, on pose : z f e lors : f soluion de ( ) z soluion de () donnée par [ az ( ar b) z ] f z e r, donc : f ( z rz) e r e f ( z rz r ) e r r af bf cf ( ) az ( ar b) z ( ar br c) z e e comme r es racine de (E) e l eponenielle ne s annule jamais : az ( ar b) z En prenanr r, alors : ar b a r r r a r r. vec le lemme : f soluion de ( ) z ( r r) z. es une équaion linéaire du er ordre d inconnue z : ( r r) z () pe, p e en primiivan : z ( ) () p r r r r e q, p, q. On pose alors : p r r, q, qui son réels quelconques si p e q le son. ( r r) r r z() e f e e. En prenanr r b a, alors ar b e, avec le lemme : f soluion de ( ) z. On en dédui immédiaemen : z e f ( ) e r, e µ réels quelconques. En noan i, e en reprenan poin par poin l argumenaion du avec r =, on voi que les soluions de dans de ( )s écriven : () ue ve, u e v complees quelconques. On cherche alors parmi ces foncions, celles qui son à valeurs réelles :, ( ) ue ve ue ve de la forme e ( cos sin( )), c) Définiion 7 i i i i ue e ve e ue e ve e. On monre alors qu elles son (, ) Dans les rois cas du héorème 4, les soluions son de la forme g h( ), e µ réels quelconques. Les foncions g e h son appelées soluions fondamenales de ( ) ; oue soluion de ( ) es combinaison linéaire des soluions fondamenales. d) as pariculier : Lorsque a es un réel posiif, on pose : a. Les racines de r son i e les soluions générales de y e) Eemples y son de la forme : y( ) cos( ) sin( ) 4L Eemple : Soi = R le discriminan de (E). Si >, la soluion es : q e e, r, r <. Si =, q( ) ( ) e L R R. Si <, q( ) e L ( cos( ) sin( )) avec = () r r R L. L Eemple 5 : Une masse m au bou d un ressor horizonal es lâchée sur un ae. Son abscisse () au cours du emps es donnée par : m ( ) k( ), soi ( ) ( ), en posan k m. 4 56

7 3 Srucure des soluions de () a) Proposiion 5 : Soi () : ay by cy f(). On noe g e h les soluions fondamenales de ( ). La soluion générale de () es la somme d une soluion pariculière fiée de () e de la soluion générale de ( ) : Soi ŷ une soluion pariculière de (). y es soluion de () (,µ), y yˆ g h. Même démonsraion que la proposiion b) pplicaion à l eemple : q () Les soluions de U Rq ( ) Lq ( ) son : q( ) U g( ) h( ), car l équaion possède visiblemen une soluion consane, qui es U. c) Proposiion 6 : (Principe de superposiion des soluions) Soi () : ay by cy f f( ). Si y es une soluion pariculière de ( ) : ay by cy f( ) e si y es une soluion pariculière de : ay by cy f( ), alors y y es une soluion pariculière de (). Même ype de démonsraion que la proposiion 3 d) Remarque : La proposiion précédene s éend au cas où les foncions soluions son périodiques e où le second membre es une somme infinie de foncions périodiques. 4 Résoluion de l équaion générale a) Théorème 5 Soi un complee non nul e () l équaion : ay by cy (a ), () possède une soluion pariculière simple, noée L, don la forme change suivan rois cas : () c : L () c () c = e b : L () b (3) b = c = : b) Théorème 6 L () a Soien a, b e c rois réels, avec a e, m. Soi () l équaion : On noe P() = Pm m ay by cy e. a b c. () adme pour soluion pariculière une foncion de la forme : ( ) e m si m n es pas racine de (E). P ( m) ( ) e m si m es racine simple de (E). m P ( m) e si m es racine double de (E). m On cherche une soluion pariculière : de () : on pose :, z e m m lors : e z mz( ) e e z mz m z( ) m soluion de () e az amz am z bz mbz cz e az ( am b) z ( am bm c) z, noée( ˆ ). ( e m n es jamais nul!) Le h. 5 affirme que cee équaion ( ˆ) adme une soluion L avec la discussion suivane : Si am bm c, z es donc de la forme P ( m) am b, z es donc de la forme analogue : ( ˆ ) az (). La foncion Pm P ( m) () a, e donc ; donc Pm ( ) e m. Si P ( m) z es soluion de ( ˆ ). m am bm c e ( ) e m. Le dernier cas es 57

8 d) Remarque : Pour déerminer une soluion pariculière, on peu égalemen chercher, au lieu de reenir les formules, déerminer une soluion de la forme : m () Be (B à déerminer), lorsque m n es pas racine de l équaion caracérisique. m Be (B à déerminer), lorsque m es racine simple de l équaion caracérisique. m B e (B à déerminer), lorsque m es racine double de l équaion caracérisique. e) Eemples Eemple 7 : Résoluion complèe de () : y 4y 3y e 3 * Éape : Les racines de [ r 4r 3 ] son e 3 ; la soluion générale de( ) es : y e e * Éape : es racine simple de (E); donc () possède une soluion pariculière de la forme () = 3 e e. La soluion générale de () es : () P () Eemple 8 : Résoluion complèe de () : y y y e sin( ) y e e e, e µ réels quelconques. * Éape : es racine double de (E) : les soluions de ( ) son de la forme : y ( ) ( ) e i ( i) * On cherche une soluion pariculière de ( ) : y y y e e e ( + i) n es pas racine de ( i ) (E) ; on la cherche donc sous la forme e, complee : soluion de ( ) (( i) ( i ) ) 8i = i 8 i 8 i. D où : () e e. La parie imaginaire de fourni une soluion pariculière f de () : f( ) e cos( ). Finalemen, la soluion générale y s écri : y( ) f( ) y( ) e cos( ) ( ) e, e µ réels quelconques Résoluion avec condiions iniiales a) Théorème 7 (DMIS) Soi () l équaion : ay by cy f(), f foncion à valeurs dans ou. Soi, ( y, y ). Il eise une unique soluion de () vérifian : ( ) y, ( ) y b) Eemple 5 : ( ) ( ), avec k m. vec les condiions iniiales : () L, () (pas de viesse iniiale), on obien : ( ) cos( ) sin( ), avec = L e µ =, soi ( ) L cos( ). Si la viesse iniiale es V >, alors : ( ) L cos( ) V sin( ), ce qui peu êre écri : ( ) cos( ) (cf. chapire n 5 des nombres complees) ; Pour cela, on pose : V L e an (ici V L 3 V L. ; que vau?) 58