( ) = ln. ( ( ) sin( 0)

Transcription

1 Devoir sur Temps Libre n 7 - Mathématiques - Terminale S La qualité de la présentation et de la rédaction de la copie sera prise en compte dans son évaluation. Sauf mention du contraire, toute réponse doit être justifiée. Exercice sin(x) On pose I = cos(x) et J =. ) Calculer I + J puis I J. sin(x) I + J = + I J = sin(x) + cos(x) = = cos(x) sin(x) cos(x) / = ln( cos(x) sin(x) ) = ln cos sin + ln cos = ln + ln sin(x) ( ) = ln sin(x) cos(x) = = dx / = x = cos(x) ( ( ) sin( ) ) ) En déduire la valeur des deux intégrales. D après la question précédente, I + J = ln et I J = donc : I = ln J = ln ln I = + ln J = +

2 Exercice Dans un repère orthogonal, on a tracé la parabole P représentant la fonction f définie sur [ ; ] par f(x) = x(-x). On note A l aire du domaine coloré (exprimé en unités d aire). ) Calculer A. f étant positive sur son intervalle de définition, l aire cherchée est égale à : A = x( x)dx = x x dx = 5x x = 5 u.a. ) Déterminer l aire du domaine compris entre P et la droite d équation y = x. On cherche les abscisses des points d intersection entre P et la droite d équation y = x en résolvant l équation du second degré f(x) = x. f ( x) = x x( x) = x x( x) x = x( 9 x) = x = ou x = 9 Sur l intervalle [ ; 9], x et 9 x donc la différence f(x) x est positive : la courbe représentative de la fonction f est au-dessus de la droite d équation y = x. L aire cherchée est donc égale à : 9 x( 9 x)dx = 9x x dx = 9 x x 9 9 = 4 u.a. ) Si elles existent, déterminer les valeurs de m pour lesquelles l aire du domaine compris entre P et la droite d équation y = mx est égale au quart de A.

3 On résonne comme précédemment. On commence par chercher les abscisses des points d intersection entre P et la droite d équation y = mx en résolvant l équation du second degré f(x) = mx. f ( x) = mx x( x) = mx x( x) mx = x( m x) = x = ou x = m La fonction f étant définie sur [ ; ], P et la droite d équation y = mx ont : - deux points d intersection distincts de coordonnées ( ; ) et ( m ; m( m)) si < m < : le domaine est bien défini - un point d intersection de coordonnées ( ; ) sinon : le domaine est mal défini. Dans le premier cas, pour tout x compris entre et, f(x) mx donc l aire du domaine compris entre P et la droite d équation y = mx est égale à : m x( m x)dx = ( m)x x dx = m x x m = m ( ) = m ( m) m ( ) ( = m ) m ( ) m Ainsi, elle vaut le quart de A si et seulement si : ( m) = 5 ln 5 m = e ( ) = 5 ln( m) = ln( 5) m ( ) m = e ln 5 ( )!,7

4 Exercice Soit f et g les fonctions définies sur [ ; + [ par f (x) = xe x et g(x) = x e x. ) D après le graphique, conjecturer le tableau de variations de la fonction f puis la position relative des courbes représentatives des fonctions f et g. Tableau de variations de la fonction f : x + Variations de f e - La courbe Cf semble être au-dessus de Cg sur l intervalle [ ; ] puis au dessous de Cg sur l intervalle [ ; + [. ) Démontrer tous ces résultats. Calcul des limites : lim x f (x) = f () = par continuité de la fonction f en. lim x + xe x = lim x + x = par croissances comparées. x e Calcul de la dérivée : f '(x) = e x + x ( e ) x = e x xe x = ( x)e x

5 Signe de la dérivée : x + -x + e -x + + f (x) + Tableau de variations de la fonction f : x + f (x) + e - Variations de f En effet, f () = e = e. Position relative des courbes Cf et Cg Pour tout x réel positif, f (x) g(x) = xe x x e x = xe x ( x) est du signe de x. Donc la courbe Cf est au-dessus de Cg sur l intervalle [ ; ] puis au dessous de Cg sur l intervalle [ ; + [. ) a. Déterminer les réels a et b tels que x (ax + b)e x soit une primitive de la fonction f. F : x (ax + b)e x est une primitive de f si F (x) = f(x) = x e -x Or F '(x) = ae x + (ax + b) ( e ) x = ( ax + a b)e x. On peut donc poser a = et b =. Ainsi, F : x ( x )e x est une primitive de la fonction f.

6 b. En déduire f (x)dx. Interpréter graphiquement le résultat. La fonction f étant positive sur [ ; ], l intégrale est l aire (exprimée en u.a.) du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction f, l axe des abscisses, les droites verticales d équation x = et x =. f (x)dx = F() F() = ( )e ( )e = e +!,4 4) Soit H la fonction définie sur [ ; + [ par H(x) = ( x + x)e x. a. Calculer la dérivée de H. La formule de la dérivée d un produit donne : ( ( )( e )) x = x + H '(x) = ( x + x)e x = ( x + )e x + x + x H '(x) = ( x )e x = g(x) e x (( ) ( x + x) )e x b. En déduire une primitive de la fonction g. De la relation précédente on déduit que g(x) = H '(x) + e x. Or une primitive de H est H et une primitive de x e x est x e x. On en déduit qu une primitive de la fonction g est G : x ( x + x)e x e x = ( x + x + )e x. c. Calculer l aire du domaine compris entre les courbes Cf, Cg et les droites verticales d équation x = et x =. Comme la courbe Cf est au-dessus de Cg sur l intervalle [ ; ], l aire cherchée est : f (x) g(x)dx = f (x)dx g(x) dx = e + ( x + x + )e x f (x) g(x)dx = e + 5e + ( ) = e!,4

7 5) Que contient la variable res à la fin de l algorithme? Interpréter graphiquement le résultat. x res h. tant que x<= faire : res res + h*x*exp(-x)*(-x) x x+h x res h,,,,,84574,,,48857,,4, ,,5, ,,, ,,7,888985,,8, ,,9, ,, ,,, , A la fin de l algorithme, res contient environ,5. Il s agit de l approximation par défaut de l aire précédemment calculée par la méthode des rectangles.