UNE APPLICATION LINÉAIRE

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Bérengère Piché
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1 UNE APPLICATION LINÉAIRE Monsieur Lavaine et son associé sont actionnaires à la Bourse de Paris. Chaque jour, Monsieur Lavaine relève la valeur de son portefeuille. Il gagne ou il perd x Euros. Son associé possède 25 % du portefeuille. Le tableau ci-dessous résume les différents résultats de la semaine dernière. Résultats de M. Lavaine :x 5 8-4,4 0 5,6-2,8 Résultats de son associé :y Il s agit d une relation de PROPORTIONNALITÉ. Le coefficient de cette proportionnalité est :... Exprime le résultat y de l associé en fonction du résultat x de M. Lavaine :... Représente graphiquement les différentes valeurs de y en fonction de x : Nous avons constaté, depuis la classe de 6 ème, que la représentation graphique d une situation de proportionnalité est une droite passant par l origine. Le procédé de calcul permettant de trouver y en fonction de x est appelé APPLICATION LINÉAIRE. y = x

2 L APPLICATION LINÉAIRE - Définition Une application linéaire est le modèle mathématique d une situation de proportionnalité Si a est le coefficient de proportionnalité, le procédé de calcul qui, à tout nombre x, fait correspondre le nombre : y= a x, est appelé application linéaire. application linéaire x y= ax La représentation graphique d une application linéaire est une droite passant par l origine. (Voir la représentation graphique d une relation de proportionnalité) y est appelée l image de x par l application linéaire. - Exemples y 6 x y= 3x x 0 2 y x y= x 3 x 0 3 y x -2 O x y= x x y Détermination d une application linéaire (Exemples) a) Trouver l application linéaire qui, au nombre 4, fait correspondre le nombre -12. x y= ax 12 a 4 = 12 ou a = = x y= 3x

3 b) Trouver l application linéaire telle que la somme des images de 0,2 et de 1,8 soit égale à , 2 0, 2a sachant que : 0, 2a + 1,8a = ( 0, 2 + 1,8 ) a = 2a 1,8 1,8 a 2a = 10 a = 5 x y= 5x

4 Exercices APPLICATIONS LINÉAIRES - Pourcentages et applications linéaires a) Prendre 15 % d un nombre x : y =... b) Augmenter un nombre x de 15 % : Le nombre x est augmenté de 15 % de x soit : x+ 15 x 100 =... c) Diminuer un nombre de 15 % : Le nombre x est diminué de 15 % de x soit : x 15 x 100 =... d) Une augmentation de 15 % suivie d une baisse de 15 % : + x 15% %... x... Conclusion :... - Vitesse et application linéaire On sait qu à vitesse constante la distance parcourue est proportionnelle à la durée du parcours. d= vt d = distance (km) v = vitesse (km/h) t = durée (h) Le procédé de calcul qui, à une durée t, fait correspondre la distance parcourue d, est celui d une application linéaire de coefficient v. Complète le tableau donnant les distances parcourues (en km) par un automobiliste en fonction des différentes vitesses proposées et des durées du parcours. Représente graphiquement les trois applications linéaires associées. durée (h) vitesse (km/h) /4 1/2 1 3/2 Les trois applications linéaires sont : d =... d =... d =...

5 Corrigé UNE APPLICATION LINÉAIRE Monsieur Lavaine et son associé sont actionnaires à la Bourse de Paris. Chaque jour, Monsieur Lavaine relève la valeur de son portefeuille. Il gagne ou il perd x Euros. Son associé possède 25 % du portefeuille. Le tableau ci-dessous résume les différents résultats de la semaine dernière. Résultats de M. Lavaine :x 5 8-4,4 0 5,6-2,8 0,25 Résultats de son associé :y 1,25 2-1,1 0 1,4-0,7 Il s agit d une relation de PROPORTIONNALITÉ. Le coefficient de cette proportionnalité est : 0, 25 Exprime le résultat y de l associé en fonction du résultat x de M. Lavaine : y= 0,25x Représente graphiquement les différentes valeurs de y en fonction de x : Nous avons constaté, depuis la classe de 6 ème, que la représentation graphique d une situation de proportionnalité est une droite passant par l origine. Le procédé de calcul permettant de trouver y en fonction de x est appelé APPLICATION LINÉAIRE. y= 0,25x

6 Exercices APPLICATIONS LINÉAIRES - Pourcentages et applications linéaires a) Prendre 15 % d un nombre x : 15 y = 15% de x = x = 0,15x 100 b) Augmenter un nombre x de 15 % : Le nombre x est augmenté de 15 % de x soit : x+ x= x+ x = x = 1,15x c) Diminuer un nombre de 15 % : Le nombre x est diminué de 15 % de x soit : x x= x x = x = 0,85x d) Une augmentation de 15 % suivie d une baisse de 15 % : + 15% 15% x 1,15x 0,85(1,15x) x 0,9775x Conclusion : On ne retrouve pas 100 % de x mais moins car on retranche 15 % de 1,15 x et non de x - Vitesse et application linéaire On sait qu à vitesse constante la distance parcourue est proportionnelle à la durée du parcours. d= vt d = distance (km) v = vitesse (km/h) t = durée (h) Le procédé de calcul qui, à une durée t, fait correspondre la distance parcourue d, est celui d une application linéaire de coefficient v. Complète le tableau donnant les distances parcourues (en km) par un automobiliste en fonction des différentes vitesses proposées et des durées du parcours. Représente graphiquement les trois applications linéaires associées. durée (h) 1/4 1/2 1 3/2 vitesse (km/h) 30 7, , Les trois applications linéaires sont : d = d = 30 t 60 t d = 90 t 1

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