Introduction des nombres complexes en TS

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1 Introduction des nombres complexes en TS 1

2 À la découverte de nouveaux nombres Résoudre : dans, puis dans, l équation 5 + x = 0 ; dans, puis dans, l équation 3x + 2 = 0 ; dans, puis dans, l équation x 2 2 = 0 ; dans l équation x = 0. 2

3 Un peu d histoire! Au 16 è siècle, les mathématiciens italiens de la Renaissance sont parvenus à trouver des solutions d équations du 3 è et 4 è degré. En 1547, dans son ouvrage l ARS MAGNA essentiellement consacré à la résolution des équations du 3 ème degré, Giralomo CARDANO expose en les enrichissant des résultats qu il a «empruntés» à son rival Nicolo FONTANA dit TARTAGLIA (le bègue). 3

4 Rivalité Tartaglia-Cardan 4

5 La formule de Cardan Pour des équations du type x 3 = px + q avec p 0 et q 0, Si le discriminant 2 3 q p 2 3 est positif ou nul, alors le nombre est une solution. q q a Il va de soi que Cardan ne disposait pas de ces notations. 5

6 Notons (E) l équation x 3 = px + q, et posons x = u + v. ( E) x u v ( u v) 3 p( u v) q ( E) x u v u 3 v 3 (3 uv p)( u v) q 6

7 Si (u ; v) vérifie 3uv p u v q soit 3 3 p uv u v q 3 alors x = u + v est une solution de l équation (E). On est amené à déterminer deux nombres connaissant leur somme et leur produit ce qui nous conduit à résoudre l équation 3 p 3 2 X qx 0 7

8 Le discriminant réduit de cette équation est : 2 3 q p 2 3 Si 0 l équation a deux solutions éventuellement confondues : q 2 8

9 On obtient alors, en supposant u v, u u q q et v q 3 et v 3 q 2 2 q q x

10 Exercice A l aide de cette formule, déterminer une solution de chacune des équations suivantes : (1) : x 3 = 18x + 35 (2) : x 3 = 3x + 18 Pour (2) remarquer que

11 L équation cruciale Peut-on appliquer la formule de Cardan à l équation suivante? (3) : x 3 = 15x

12 Dans ce cas, la méthode de Cardan ne permet pas de trouver une solution à cette équation qui pourtant en admet trois (pour le prouver, il suffit d appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction f définie sur par f(x) = x 3 15x 4). Deux attitudes s offrent alors au calculateur : stopper les calculs et le problème reste entier. poursuivre la méthode en transgressant les règles usuelles de calculs. 12

13 En 1572, BOMBELLI ose transgresser l interdit : sachant que 4 est une solution de l équation x 3 = 15x + 4, il imagine des nombres non réels dont les carrés sont négatifs ce qui lui permet de retrouver cette solution avec la formule ci-dessus. 13

14 En appliquant les mêmes règles de calcul que 2 3 dans avec, 1 1et 1 1, calculer : 2 1 et Retrouver ainsi, à l aide de la formule de Cardan, que 4 est une solution de l équation (3). Achever alors la résolution de (3). 14

15 Cette audace, qui consiste à travailler pendant une partie du calcul avec des éléments hors de l ensemble des réels, est porteuse de résultats corrects. Cette procédure est à l origine de l invention de nouveaux éléments, auxquels on donne encore la qualité de nombres. Ces «nombres» seront dits «imaginaires», leur origine n étant que calculatoire. Pendant de longues années, ils ne seront que des intermédiaires de calculs, non admis comme des solutions d équations. 15

16 L écriture de ces «nombres» a varié depuis le 16 è siècle. On trouve chez Bombelli les notations : «più di meno 1» pour désigner la racine carrée de 1. «meno di meno 1» pour désigner l opposé de cette racine carrée. 16

17 En 1637, c est DESCARTES qui qualifie ces nombres d imaginaires et qui note, par exemple les racines carrées de 1 sous la forme 1 et 1 Cette notation, encore utilisée au début du 19 è siècle, conduit à des contradictions : ( 1) ( 1) 1 1 Les règles de calcul dans ne se prolongent pas à ces «nombres». 17

18 En 1777, EULER propose de remplacer 1 et 1 par i et i. (i comme imaginaire). Cette notation, reprise par GAUSS, est toujours utilisée de nos jours. La notation 1 est définitivement abandonnée. 18

19 i est un NOMBRE NOUVEAU (non réel) dont le carré est égal à 1. i 2 = 1 La notation a ne peut être utilisée que si a est un RÉEL POSITIF OU NUL. 19

20 Nous supposons l existence d un nouvel ensemble de nombres, appelés nombres complexes. Cet ensemble, noté, vérifie les propriétés suivantes : contient ; contient un élément i tel que i 2 = 1 ; est muni d une addition et d une multiplication qui prolongent celles de et qui suivent les mêmes règles de calcul. 20

21 Forme d un nombre complexe Nous connaissons le nombre complexe i. Quelle est la forme d un nombre complexe z quelconque? En remarquant que 4 = 4i 2, résoudre dans l équation z = 0. Résoudre de même les équations z = 0 et 4z = 0. En utilisant la forme canonique du polynôme z 2 4z + 5, résoudre dans l équation z 2 4z + 5 = 0. Résoudre de la même façon les équations z 2 6z + 11 = 0 et 2z 2 + 3z + 2 = 0. 21

22 Nous admettons que tout nombre complexe z peut s écrire de façon unique sous la forme : z = a + ib où a et b sont deux nombres réels. 22

23 L intérêt des nombres complexes. Ces nombres interviennent dans de nombreux domaines : en algèbre, en analyse, en géométrie, en électronique, en traitement du signal, en musique, etc. En plus ils interviennent sous différente formes : la forme algébrique, la forme géométrique, la forme exponentielle. Ils facilitent les calculs en dimension 2. De plus, dans l ensemble des nombres complexes un polynôme de degré n a toujours n racines distinctes ou non. 23

24 Pour conclure. Consulter la très belle vidéo d introduction des nombres complexes : Chapitre 5 du dossier Dimensions. par Jos Leys - Étienne Ghys - Aurélien Alvarez Dimensions-Chapitre5 Merci de votre attention. 24

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